Domácí úkol z kombinatoriky, 7. prosince 2023
Přestože tento domácí úkol nebudete odevzdávat, měli byste si jej ve vlastním zájmu sepsat. Nezapomeňte vždy zapsat i úvahu, kterou jste k výsledku došli, způsobem, kterým byste svůj postup vysvětlili spolužákovi.
Vzorové řešení zadaných úloh bude uveřejněno v interaktivní osnově 10. prosince 2023, abyste si svůj domácí úkol mohli sami opravit.
1. Ve čtvercové síti je povoleno jít dolů, doprava a diagonálně vpravo dolů (viz náčrtek). Označme an, kde nGZ,ii>0, počet cest z daného startovního bodu do cílového bodu, který je o dvě délky strany čtverce níže a o n délek strany čtverce vpravo (náčrtek popisuje situaci pro n = 9).
Nalezněte rekurentní vztah pro výpočet členů posloupnosti {an}^Lo pomocí předchozích členů. Vypočtěte 013.
2. Rekurentní posloupnost {&n}^Lo Je dána svými počátečními hodnotami &o = 1, bi = 5, a rekurentním vztahem bn+i = Abn — 76n_i platným pro každé přirozené číslo n. Nalezněte explicitní vyjádření členu bn této posloupnosti, tj. vyjádření, ve kterém nebudou vystupovat jiné členy této posloupnosti (jedinou proměnnou bude n).
3. Kolik anagramů můžeme vytvořit ze slova ABCDE? Určete, kolik z těchto anagramů splňuje, že každé jejich písmeno stojí na jiném místě než stálo v původním slově (tj. dotyčný anagram nezačíná písmenem A, nemá na druhém místě písmeno B, nemá na třetím místě písmeno C, nemá na čtvrtém místě písmeno D, ani nekončí písmenem E).