MOCNOST BODU KE KRUŽNICI
(1) V rovině je dána kružnice k(S, 5 cm) a bod M tak, že |SM| = 7 cm. Bodem
M prochází přímka p, která na kružnici k vytíná tětivu AB délky 2 cm.
Vypočtěte délky úseček MA a MB.
(2) Sestrojme společnou tečnu dvou daných kružnic, které se protínají ve dvou
bodech A a B. Dokažte, že přímka AB prochází středem úsečky, která spojuje
body dotyku sestrojené tečny s danými kružnicemi.
(3) Uvnitř stran BC, CA, AB daného trojúhelníku ABC jsou zvoleny po řadě
body D, E, F. Dokažte, že kružnice opsané trojúhelníkům ABC a DEF
jsou soustředné, právě když platí
|DB| · |DC| = |EC| · |EA| = |FA| · |FB|.
[Návod: Užijte vzorec pro (záporné) mocnosti bodů D, E, F ke kružnici
k(S, r) opsané trojúhelníku ABC.]
(4) V kružnici jsou dány tři tětivy. Každá z nich je rozdělena průsečíky s ostatními
dvěma tětivami na tři shodné části. Dokažte, že všechny tři tětivy jsou
stejně dlouhé.
(5) Je dána kružnice k se středem S a bod A ležící v její vnější oblasti. Zvolme
libovolný průměr MN kružnice k, při kterém jsou body A, M, N vrcholy
trojúhelníku. Dokažte, že kružnice l jemu opsaná prochází kromě bodu A
ještě dalším pevným bodem, který nezávisí na volbě průměru MN. [Návod:
Ukažte, že oním bodem je průsečík kružnice l s polopřímkou opačnou
k polopřímce SA.]
(6) Jsou dány kružnice k a l se společnou tětivou AB. Jejím vnitřním bodem P
vedeme libovolnou tětivu KM kružnice k a libovolnou tětivu LN kružnice l
tak, že vznikne konvexní čtyřúhelník KLMN. Dokažte, že vždy jde o čtyřúhelník,
který je tětivový. [Návod: Využijte mocnost bodu P ke kružnici
opsané trojúhelníku KLM k důkazu, že na ní leží také bod N.]
Konec dokumentu
Typeset by AMS-TEX
1