09. Podobné trojúhelníky a jejich užití
Intuitivní přístup k zavedení shodných a podobných útvarů.
K čemu slouží zavedení podobných trojúhelníků na základní škole.
Středoškolská definice podobných trojúhelníků, koeficient (poměr) podobnosti.
Zápis definice bez užití koeficientu.
Vlastnosti podobných trojúhelníků. Věty o podobnosti trojúhelníků.
Které veličiny dvou podobných trojúhelníků jsou ve stejném poměru
jako jejich strany. Poměr obsahů dvou podobných trojúhelníků.
Dva způsoby zápisu poměrů stran podobných trojúhelníků.
Praktický význam podobnosti útvarů. Užití podobných trojúhelníků
v geometrii.
Věty o pravoúhlém trojúhelníku a jejich odvození pomocí podobnosti.
Význam těchto vět pro konstrukce délek určených vzorci z jiných délek.
Geometricky úměrné veličiny, konstrukce čtvrté geometrické úměrné.
Konstrukční rozdělení dané úsečky v daném poměru.
Intuitivní pojetí shodných a podobných útvarů:
(1) Dva útvary se nazývají geometricky shodné, lze ji jeden z nich
vhodně přemístit tak, aby se kryl s druhým útvarem (tj. byl pak
tvořen stejnou množinou bodů).
(2) Dva útvary se nazývají geometricky podobné, lze jeden z nich ve
vhodném měřítku zvětšit či zmenšit tak, aby pak byl geometricky
shodný s druhým útvarem. Také dva shodné útvary považujeme
za podobné (v měřítku 1 : 1).
Znamená to, že podobné útvary mají stejný tvar, zatímco shodné útvary
mají navíc i stejnou velikost.
O podobných trojúhelnících se učí na ZŠ hlavně proto, aby bylo možné
zavést goniometrické funkce ostrého úhlu pomocí poměrů stran pravoúhlého
trojúhelníku. Tyto poměry totiž závisí pouze na tvaru vybraného
trojúhelníku, nikoli na jeho velikosti.
Shodnost a podobnost útvarů se na SŠ popisuje exaktněji pomocí
shodných, resp. podobných zobrazení (v našich otázkách 10 a 15). Podobné
trojúhelníky je však účelné probírat dříve nežli geometrická zobrazení.
Proto se podobné trojúhelníky na střední škole zavádějí způsobem,
které je obdobou věty sss pro shodnost trojúhelníků.
Definice. Trojúhelník A′
B′
C′
je podobný trojúhelníku ABC, pokud
existuje reálné číslo k > 0 tak, že pro obvykle značené délky stran těchto
dvou trojúhelníků platí
a′
= ka, b′
= kb, c′
= kc.
Tehdy píšeme △A′
B′
C′
∼ △ABC (dbáme na pořadí odpovídajících
si vrcholů). Číslo k nazýváme koeficient (poměr) podobnosti trojúhelníku
A′
B′
C′
s trojúhelníkem ABC. V případě k > 1 mluvíme o zvětšení,
v případě k < 1 o zmenšení, v případě k = 1 jde o shodnost.
1
Určující podmínku z definice △A′
B′
C′
∼ △ABC lze zapsat bez koeficientu
podobnosti následovně:
a′
a
=
b′
b
=
c′
c
nebo také a′
: b′
: c′
= a : b : c.
Slovně: „podíly délek odpovídajících si stran trojúhelníků jsou stejné
nebo „délky stran jednotlivých trojúhelníků jsou ve stejných poměrech .
Vlastnosti podobných trojúhelníků.
(1) Je-li trojúhelník A′
B′
C′
podobný trojúhelníku ABC s koeficientem
k, pak trojúhelník ABC je podobný trojúhelníku A′
B′
C′
s koeficientem 1/k.
(2) Platí-li △A1B1C1 ∼ △A2B2C2 a △A2B2C2 ∼ △A3B3C3, pak
také △A1B1C1 ∼ △A3B3C3.
(3) Podobné trojúhelníky mají shodné vnitřní úhly:
V případě △A′
B′
C′
∼ △ABC platí α′
= α, β′
= β a γ′
= γ.
(4) O podobnosti trojúhelníků rozhodujeme podle dvou vět.
Věta uuuuuu. Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže se shodují ve
dvou vnitřních úhlech.
Věta sussussus. Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže se shodují
v poměru délek dvou stran a v úhlu jimi sevřeném.
(5) V poměru k jsou nejen délky stran podobných trojúhelníků, ale
také délky všech dalších významných úseček (těžnic, výšek, poloměrů
kružnic vepsaných a opsaných). Obsahy dvou trojúhelníků,
které jsou podobné s koeficientem k, jsou v poměru k2
.
Vztahy mezi délkami dvou dvojic odpovídajících si stran podobných
trojúhelníků △KLM ∼ △PQR zapisujeme jedním ze způsobů:
a)
|KL|
|PQ|
=
|KM|
|PR|
(podíly rovné koeficientu podobnosti),
b)
|KL|
|KM|
=
|PQ|
|PR|
(podíly stran jednotlivých △ jako v sinové větě).
Praktický význam podobnosti – zachovává tvar útvarů (rozpoznávání
objektů z fotografií, mapy a plánky, obrazovky, projektory apod.).
Užití podobných trojúhelníků v geometrii:
⊲ prostředek odvozování vzorců a dokazování tvrzení,
⊲ teoretický základ trigonometrie,
⊲ prostředek řešení konstrukčních úloh,
⊲ konstrukce délek určených vzorci z jiných délek.
Věty o pravoúhlém trojúhelníku.
V pravoúhlém trojúhelníku ABC s výškou CP na přeponu AB k obvyklým
značením a, b, c, α, β přidáváme ještě v = |CP|, ca = |BP| a
cb = |AP| (úseky přepony AB rozdělené výškou CP, které jsou přilehlé
k odvěsně a, resp. b).
2
Na přednášce zdůvodníme podobnosti △ABC ∼ △ACP ∼ △CBP.
V důsledku toho platí rovnosti a : b : c = v : cb : b = ca : v : a, ze kterých
odvodíme
⊲ Eukleidovu větu o výšce: v2
= cacb,
⊲ Eukleidovu větu o odvěsnách: a2
= cca a b2
= ccb,
⊲ Pythagorovu větu: a2
+ b2
= c2
.
Příklad: Z úseček daných délek u, v sestrojíme úsečky délek
x = u2 + v2, y = v2 − u2, z =
√
uv.
Definice. Hodnoty a, b, c, d se nazývají geometricky úměrné, pokud
pro ně platí a : b = c : d.
Konstrukce čtvrté geometrické úměrné.
Konstrukce bodu X, který dělí danou úsečku AB v poměru daných
čísel m : n.
Konec dokumentu
3