12. Středové souměrnosti, vlastnosti a užití
Definice středové souměrnosti.
Vlastnosti středové souměrnosti. Souměrně sdružené body a útvary v dané středové
souměrnosti. Středově souměrné útvary.
Konstrukce úsečky s daným středem. Konstrukce středově souměrných útvarů. Konstrukce
trojúhelníků se zadanou těžnicí.
Definice. Je dán bod S. Středová souměrnost se středem S je shodné zobrazení
S(S), které přiřazuje
(1) každému bodu X = S bod X′
= X tak, že bod S je středem úsečky XX′
,
(2) bodu S bod S′
= S.
Poznámky.
(1) Žáci chápou S(S) kinematicky jako výsledek otáčení celé roviny kolem
bodu S o 180◦
.
(2) Často S(S) stručně nazýváme „souměrnost podle středu S .
Vlastnosti středové souměrnosti.
(1) Inverzní zobrazení k S(S) je samo zobrazení S(S).
(2) Bod S je jediný samodružný bod zobrazení S(S).
(3) Samodružné přímky v S(S) jsou právě ty, které procházejí bodem S.
(4) V S(S) je obrazem každé přímky p, kde S /∈ p, přímka p′
p různá od
přímky p, přitom bod S leží na ose těchto dvou rovnoběžek, neboli na ose
pásu mezi nimi.
(5) V S(S) je obrazem každé úsečky, resp. polopřímky rovnoběžná úsečka, resp.
rovnoběžná polopřímka.
(6) Středová souměrnost je přímá shodnost, tj. zachovává orientaci každého
úhlu, mění však orientaci každé úsečky a každé polopřímky.
Příklad 1. Jedním ze dvou průsečíků daných kružnic k, l veďte přímku, která na
těchto kružnicích vytne dvě tětivy téže délky.
Příklad 2. Sestrojte ∆ABC, je-li dáno ta, tb a γ.
Příklad 3. V rovině jsou dány body M, N, P neležící v jedné přímce. Sestrojte
kosočtverec ABCD s úhlem 60◦
u vrcholu A tak, aby bod M ležel na přímce AB,
bod N na přímce CD a aby se jeho úhlopříčky AC, BD protínaly v bodě P.
Příklad 4. Sestrojte ∆ABC, je-li dáno a, b, tc.
Příklad 5. Sestrojte ∆ABC, je-li dáno ta, tb, tc.
Konec dokumentu