J . S o p o u š e k ú l o h a
±δ
12. Statistické zpracování experimentálních výsledků
Přesnou hodnotu měřené veličiny lze získat pouze dokonalým a přesným
měřením. To však není možné, protože každé měření podléhá chybám. Obvykle
předpokládáme, že přesná hodnota zvolené veličiny se rovná tzv. nejlepšímu
odhadu, který získáme statistickým zpracováním dat. Těsnost shody výsledku měření
s přesnou hodnotou je experimentální přesnost měření. Číselným vyjádřením
přesnosti měření je její chyba, která se může obecně skládat ze dvou složek:
• Náhodná chyba je výsledkem náhodných jevů působících v době měření, které
nelze předvídat, opakovat ani eliminovat. Pozorujeme tedy rozptyl výsledků.
• Soustavná chyba je způsobena stálým nebo neustále se měnícím příspěvkem
k hodnotě měřené veličiny, který lze zcela nebo částečně korigovat (např. novou
metodou měření, kalibrací, použitím standardů, apod.).
Odlehlý výsledek (hrubá chyba) je extrémním případem chyby způsobené selháním
člověka nebo přístroje. Odlehlý výsledek je třeba vyloučit z experimentálních dat buď
přímo, nebo po testu na odlehlé hodnoty.
Experimentální přesnost měření je charakterizována průměrem a nejistotou.
Statistická teorie předpokládá, že tyto hodnoty lze zlepšit opakováním měření. Datový
soubor od 𝐴𝐴1 do 𝐴𝐴𝑛𝑛 získáme, když 𝑛𝑛 – krát zopakujeme měření veličiny 𝐴𝐴 .
Aritmetický1
průměr
𝐴𝐴̅ =
1
𝑛𝑛
∑ 𝐴𝐴𝑖𝑖
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 (1.)
je obvykle považován za nejlepší odhad měřené veličiny 𝐴𝐴 . Čím větší 𝑛𝑛, tím je
nejlepší odhad přesné hodnoty - tedy průměrná hodnota 𝐴𝐴̅ (při absenci systematické
a hrubé chyby) blíže hodnotě 𝐴𝐴 .
Výhodné je zavést odchylku každého měření od průměru
ε𝑖𝑖 = 𝐴𝐴𝑖𝑖 − 𝐴𝐴̅ (2.)
pak nejlepší odhad nejistoty je funkcí směrodatné odchylky definované vztahem:
𝑠𝑠 = �
∑ (ε𝑖𝑖)2𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
𝑛𝑛−1
(3.)
kde výraz ve jmenovateli 𝑛𝑛 − 1 = ν je tzv. počet stupňů volnosti.
Platí, že aritmetický průměr 𝐴𝐴̅ je tzv. bodovým odhadem přesné hodnoty 𝐴𝐴 , zatímco
směrodatná odchylka 𝑠𝑠 je tzv. intervalový odhad nejistoty 𝐴𝐴 . Provedeme-li 𝑛𝑛 = ∞
měření (za této situace nazýváme směrodatnou odchylku často standardní
nejistotou) získáme dle vztahu (3.) interval 𝐴𝐴̅ ± 𝑠𝑠 do kterého nové měření 𝐴𝐴𝑛𝑛+1, pokud
se jedná o normální (Gaussovo) rozdělení chyb, spadne s pravděpodobností
68.27%. Rozšíříme-li interval na 𝐴𝐴̅ ± 2𝑠𝑠 (resp. 𝐴𝐴̅ ± 3𝑠𝑠) bude nové měření 𝐴𝐴𝑛𝑛+1 v tomto
intervalu ležet s pravděpodobností blízkou95%, kdy hladina spolehlivosti je α = 0,05
(resp. 99.9%, kdy α = 0,001). Zde srovnej s hodnotami 1,960 (resp. 3,090) pro 𝑛𝑛 = ∞
(viz TABULKA I). Pokud bychom opakovali celé měření 𝐴𝐴1 až 𝐴𝐴𝑛𝑛 opět pro 𝑛𝑛 = ∞, budou
nově vyhodnocené hodnoty 𝐴𝐴̅ i 𝑠𝑠 stejné a obě hodnoty 𝐴𝐴̅ rovny nejlepšímu odhadu
správné hodnoty.
1
V některých případech se k získání nejlepšího odhadu přesné hodnoty používají jiné způsoby. Např. geometrický,
kvadratický nebo harmonický průměr. V sociálních vědách se používá často místo průměru medián a místo
směrodatné odchylky percentily.

J . S o p o u š e k ú l o h a
±δ
Pokud je počet provedených měření 𝑛𝑛 malý, se používá nejčastěji Studentovo
rozdělení2
. K dosažení stejné pravděpodobnosti na dané hladině spolehlivosti α
musíme interval rozšířit násobením směrodatné odchylky 𝑠𝑠 koeficientem 𝑡𝑡, který uvádí
TABULKA I pro ν = 𝑛𝑛 − 1. Tímto zavádíme rozšířenou nejistotu:
𝐴𝐴̅ ± 𝑡𝑡 .𝑠𝑠 (4.)
a interval spolehlivosti (eng. confidence interval):
𝐴𝐴̅ ± 𝑡𝑡 .
𝑠𝑠
√ 𝑛𝑛
(5.)
Pro malý počet měření nejlepším odhadem správné hodnoty není 𝐴𝐴̅, ale správná
hodnota leží v intervalu spolehlivosti (5.) s pravděpodobností dle zvolené hladiny
spolehlivosti α.
Cílem experimentu může být také získat hodnotu 𝑦𝑦, která je funkcí provedeného
experimentálního měření. Například v případě, kdy 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2) je funkcí dvou
nezávislých experimentálních vstupů 𝑥𝑥1 ± 𝑠𝑠𝑥𝑥1
a 𝑥𝑥2 ± 𝑠𝑠𝑥𝑥2
Tehdy je třeba věnovat
pozornost šíření chyb. Zjednodušený konzervativní odhad standardní nejistoty
výsledku 𝑠𝑠𝑓𝑓 zjistíme v případě, že se chyby obou měření nemohou kompenzovat, ze
standardních nejistot 𝑠𝑠𝑥𝑥1
a 𝑠𝑠𝑥𝑥2
dle vztahu:
𝑠𝑠𝑓𝑓 = ��
∂𝑓𝑓
∂𝑥𝑥1
𝑠𝑠𝑥𝑥1
�
2
+ �
∂𝑓𝑓
∂𝑥𝑥2
𝑠𝑠𝑥𝑥2
�
2
(6.)
kde
∂𝑓𝑓
∂𝑥𝑥1
a
∂𝑓𝑓
∂𝑥𝑥2
∂𝑓𝑓
∂𝑦𝑦
jsou parciální derivace funkce 𝐹𝐹 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2) . Tuto standardní nejistotou
výsledku 𝑠𝑠𝑓𝑓 pak můžeme rozšířit dle vztahu (4.) a (5.). Obvykle na α = 0,05.
Vzhledem k možnostem dnešní výpočetní techniky se obvykle získávají výsledky
s nadbytečně vysokým počtem číslic. Počet platných číslic v zápisu výsledku
však musí být v souladu s odhadem nejistoty. Toho docílíme zaokrouhlením výsledku
s ohledem na chybu měření.
2
Pro velmi malé počty měření 𝑛𝑛 < 10 je alternativou rozdělení Dean-Dixon. (Q-test, analytická chemie).


TABULKA I: Kritické hodnoty 𝑡𝑡-rozdělení, kde ν je počet stupňů volnosti a α je hladina
spolehlivosti (s údajem o intervalové spolehlivosti měření v procentech).
ν α = 0.05
(95%)
α = 0.001
(99,9%)
ν α = 0.05
(95%)
α = 0.001
(99,9%)
2 4,303 22,326 12 2,179 3,930
3 3,182 10,213 13 2,160 3,852
4 2,776 7,173 14 2,145 3,787
5 2,571 5,893 15 2,131 3,733
6 2,447 5,208 16 2,120 3,686
7 2,369 4,785 17 2,110 3,646
8 2,306 4,501 18 2,101 3,610
9 2,262 4,297 19 2,093 3,579
10 2,228 4,144 20 2,086 3,552
11 2,201 4,025 ∞ 1,960 3,090
J . S o p o u š e k ú l o h a
±δ
Výsledky experimentálního měření zapisujeme ve vědeckých výstupech s uvedením
intervalové spolehlivosti vyjádřené procenty nebo hodnoty α. Například pokud máme
7 experimentálních měření a zvolíme α = 0,05 můžeme v textu použít formulace:
• „latentní teplo je s 95% spolehlivostí v intervalu ∆ 𝐻𝐻 = (31,52 ± 0,65) 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚“.
Interval spolehlivosti zde byl vypočítán pomocí Studentova rozdělení (𝑠𝑠 =
0,70, ν = 6, 𝑡𝑡 = 2.447).
• „průměrné latentní teplo ze 7 měření je ∆ 𝐻𝐻 = 31,52 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 se směrodatnou
odchylkou 𝑠𝑠 = 0,70 g“.
Mimo odbornou komunitu obvykle postačuje uvést výsledek experimentálního měření
s použitím relativní chyby měření v procentech:
• „latentní teplo je ∆ 𝐻𝐻 = 31,52 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 s relativní chybou měření 0,49%“. Tím, že
jsme použili rozšířené Studentovo rozdělení (𝑠𝑠 = 0,70, ν = 6, 𝑡𝑡 = 2.447) čtenáře
nezatěžujeme.
Lineární a nelineární regrese
V praxi se setkáváme s případy, kdy závislost měřené veličiny 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)
obsahuje jeden nebo více parametrů. Častým případem je opakované naměření,
kdy získáváme dvojice experimentálních hodnot 𝑥𝑥𝑖𝑖 a 𝑦𝑦𝑖𝑖. Hodnoty mohou být svázány
lineární závislostí, pak platí že:
𝑦𝑦𝑖𝑖 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏⋅𝑥𝑥𝑖𝑖 + δ𝑖𝑖 (7.)
nebo nelineární funkcí:
𝑦𝑦𝑖𝑖 = 𝑓𝑓( 𝑥𝑥𝑖𝑖, 𝑎𝑎1, … 𝑎𝑎 𝑚𝑚) + δ𝑖𝑖 (8.)
kde 𝑎𝑎 a 𝑏𝑏 (respektive 𝑎𝑎1, … 𝑎𝑎 𝑚𝑚) jsou parametry lineární (resp. nelineární) závislosti a δ𝑖𝑖
jsou tzv. rezidua.
Parametry získáváme regresí experimentální závislosti. K regresi lze s výhodou použít
vhodné software. Jednou z možností je použití SW nástroje „Řešitel“, která je volitelnou
součástí softwaru MS EXCEL.
Do úvodních buněk SW Excel vložíme odhad parametrů. Vytvoříme si tabulku se
sloupci hodnot 𝑥𝑥𝑖𝑖 a 𝑦𝑦𝑖𝑖. Do buněk dalšího sloupce zadáme instrukce k výpočtu hodnot
𝑌𝑌𝑖𝑖 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏⋅𝑥𝑥𝑖𝑖 (respektive 𝑌𝑌𝑖𝑖 = 𝑓𝑓( 𝑥𝑥𝑖𝑖, 𝑎𝑎1, … 𝑎𝑎 𝑚𝑚)) s použitím odhadů výchozích parametrů
a experimentálních hodnot 𝑥𝑥𝑖𝑖. V dalších sloupcích vypočítáme rezidua δ𝑖𝑖 mezi
experimentálními hodnotami 𝑦𝑦𝑖𝑖 a hodnotami vypočtenými z odhadů parametrů 𝑌𝑌𝑖𝑖. Do
závěrečného sloupce doplníme hodnoty (δ𝑖𝑖)2
a nakonec vypočteme hodnotu účelové
funkce 𝑀𝑀𝑀𝑀 = ∑ (δ𝑖𝑖)2𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 . Nástroj „řešitel“, pak použijeme pro minimalizaci účelové
funkce MF a získání optimalizovaných hodnot parametrů lineární (resp. nelineární)
závislosti. Tuto metodu nazýváme s ohledem na tvar funkce 𝑀𝑀𝑀𝑀 metodou nejmenších
čtverců.
Vzhledem k tomu, že měření podléhají chybám, je nutné vyhodnocovat větší počet
experimentálních dvojic 𝑥𝑥𝑖𝑖 a 𝑦𝑦𝑖𝑖, minimálně tři na každý optimalizovaný parametr.
Výpočet parametrů lineární závislosti a test jejich významnosti
Alternativou k numerické lineární regresi metodou nejmenších čtverců je
analytický výpočet regresních parametrů 𝑎𝑎 a 𝑏𝑏. Metoda je vhodná i pro
posouzení statistické významnosti parametrů regresní přímky.


J . S o p o u š e k ú l o h a
±δ
1. Pro hodnoty 𝑥𝑥𝑖𝑖 a 𝑦𝑦𝑖𝑖 vypočítáme aritmetické průměry 𝑥𝑥̅ a 𝑦𝑦� (nezaokrouhlujeme!).
2. Hodnoty 𝑥𝑥𝑖𝑖 a 𝑦𝑦𝑖𝑖 centrujeme, tj. získáme odchylky: 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑥𝑥̅ , 𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝑦𝑦�.
3. Vypočítáme hodnot sum ∑(𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖)2
, ∑(𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖)2
, ∑(𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖⋅𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖) . Parametry 𝑎𝑎 a b pak
spočítáme dle následných vztahů:
𝑏𝑏 =
∑(𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖⋅ 𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖)
∑(𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖)2
(9.)
𝑎𝑎 = 𝑦𝑦� − 𝑏𝑏⋅𝑥𝑥̅ (10.)
5. Ze získaných parametrů 𝑎𝑎 a b a z nezávisle proměnných hodnot 𝑥𝑥𝑖𝑖 vypočítáme
vyrovnané hodnoty 𝑌𝑌𝑖𝑖 a konečné rezidua δ𝑖𝑖 jako rozdíly hodnot naměřených𝑦𝑦𝑖𝑖
a vyrovnaných 𝑌𝑌𝑖𝑖:
𝑌𝑌𝑖𝑖 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏⋅𝑥𝑥𝑖𝑖 (11.)
δ𝑖𝑖 = 𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝑌𝑌𝑖𝑖 (12.)
6. Úspěšnost regresního modelu se testuje pomocí standardní odchylky regrese 𝑠𝑠𝑅𝑅
a pomocí korelačního koeficientu 𝑟𝑟.
𝑠𝑠𝑅𝑅 = �
∑(𝑦𝑦𝑖𝑖−𝑌𝑌𝑖𝑖)2
𝑛𝑛−2
(13.)
𝑟𝑟 =
∑(𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖⋅𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖)
� ∑(𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖)2⋅ ∑(𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖)2
(14.)
𝑡𝑡𝑟𝑟
= 𝑟𝑟⋅�
𝑛𝑛−2
1−𝑟𝑟2 (15.)
7. Regrese je tím lepší, čím je 𝑟𝑟2
bližší číslu 1 pro exaktnost se však musí testovat ve
vztahu k počtu experimentálních dat. Obvykle očekáváme, že bude významný
alespoň na 0.1%-ní hladině spolehlivosti, t.j. α = 0.001. Je-li hodnota 𝑡𝑡𝑟𝑟
vypočítaná
z hodnoty 𝑟𝑟 větší než kritická hodnota t-rozdělení pro odpovídající počet stupňů
volnosti tj. ν = 𝑛𝑛 − 2, lze z 99.9 %-ní pravděpodobností usoudit, že odpovídající
lineární závislost není náhodná.
8. Ze směrodatné odchylky regrese 𝑠𝑠𝑅𝑅 vypočítáme směrodatné odchylky parametrů
𝑎𝑎 a 𝑏𝑏
𝑠𝑠𝑎𝑎 = 𝑠𝑠𝑅𝑅⋅�
1
𝑛𝑛
+
𝑠𝑠𝑅𝑅
2
∑(𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖)2
(16.)
𝑠𝑠𝑏𝑏 = 𝑠𝑠𝑅𝑅⋅�
1
∑(𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖)2
(17.)
9. Otestujeme významnost parametrů 𝑎𝑎 a 𝑏𝑏 t-testem dle Studentova rozdělení.
Cílem může být rozhodnout, zda lze lineární závislost zjednodušit na prostou
konstantní funkci 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 (Tj. ověřit hypotézu I: „správná hodnota 𝐵𝐵 = 0“ 3) nebo na
prostou lineární funkci 𝑦𝑦 = 𝑏𝑏⋅𝑥𝑥 (Tj. hypotéza II: „správná hodnota 𝐴𝐴 = 0“ 4).
Pokud platí:
|𝑏𝑏 − 𝐵𝐵| = |𝑏𝑏| < 𝑠𝑠𝑏𝑏⋅ 𝑡𝑡95%
pak platí hypotéza I a jedná se s pravděpodobností 95% o konstantní funkci 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎.
Je-li platné:
|𝑎𝑎 − 𝐴𝐴| = |𝑎𝑎| < 𝑠𝑠𝑎𝑎⋅ 𝑡𝑡95% (18.)
platí hypotéza II a funkce je s pravděpodobností 95% prostá lineární 𝑦𝑦 = 𝑏𝑏⋅𝑥𝑥.
3
Častý případ u adsorpčních kalibračních křivek.
4
Viz případ posouzení klimatické změny.
J . S o p o u š e k ú l o h a
±δ
Grafické znázornění experimentální závislosti
Hodnoty, které
v experimentu měníme,
vynášíme na osu x.
Naměřené hodnoty na osu y.
Obvykle provádíme
experiment tak, že nejistoty 𝑥𝑥𝑖𝑖
jsou zanedbatelné.
Nejistotu hodnot 𝑦𝑦𝑖𝑖
vypočteme dle vztahů
v úvodní části kapitoly 12, kde
𝐴𝐴𝑖𝑖 nahradíme
experimentálními hodnotami
𝑦𝑦𝑖𝑖. Nejistoty naznačíme
úsečkami ve směru osy 𝑦𝑦
nebo pásem kolem
odpovídajících průměrných
hodnot (viz Obr. 1).
V případě lineární regrese
experimentální závislosti 𝑦𝑦
na 𝑥𝑥 vynášíme
experimentální body [𝑦𝑦𝑖𝑖, 𝑥𝑥𝑖𝑖], které můžeme doplnit o pás spolehlivosti (viz Obr. 2).
Pás získáme tak, že pro každou hodnotu 𝑥𝑥𝑖𝑖 vypočítáme 𝑠𝑠𝑅𝑅 dle vztahů (13.). Po
vynásobení 𝑠𝑠𝑅𝑅 odpovídající kritickou hodnotou 𝑡𝑡 −rozdělení vyneseme získaný
výsledek (viz Obr. 2).
Výsledný graf musí být lehce srozumitelný. Při tvorbě grafu nesmíme zapomenout
na vhodnou velikost symbolů a os, správné značení hodnot a jednotek na osách,
rozlišení experimentálních a teoretických bodů za pomoci legendy a titulek grafu
s jasným popisem.

Obr. 1: Průměrná teplota měsíce bez uvážení
klimatické změny, doplněna o další statistické údaje.
Pás spolehlivosti je pro 𝑡𝑡95% = 1,960 (α = 0,05).

Obr. 2: Klimatická změna průměrné roční teploty proložená rovnicí (18.)
s pásem spolehlivosti pro 95% (α = 0,05) (t95% = 2,002).
-10
-5
0
5
10
15
20
25
1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,0011,0012,00
Teplotaměsíce/°C
Pořadí měsíce
Průměr Medián
Min Max
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
12,00
1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020 2030
Teplota/°C
Rok
Průměrná klimatická teplota.
Spodní hranice pásu spolehlivosti.
Horní hranice pásu spolehlivosti.
Proložení přímkou.
J . S o p o u š e k ú l o h a
±δ
12.a. Statistické vyhodnocení změn klimatu
Klimatická data podléhají přirozeným fluktuacím, avšak od počátku průmyslové
revoluce jsou negativně ovlivněna člověkem. Jedním z nejdůležitějších
parametrů změn klimatu je průměrná teplota či množství srážek. O tom, že ke změnám
klimatu dochází, se můžeme přesvědčit statistickým zpracováním měření klimatických
dat v čase 𝑡𝑡.
V kratším období (nízké desítky roků) je možné pro změnu klimatu, např. pro
průměrnou roční teplotu 𝑇𝑇𝑎𝑎, předpokládat lineární funkci:
𝑇𝑇𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏⋅𝑡𝑡 (19.)
Avšak pro údaje sledované zpětně k počátku průmyslové revoluce (parní stroj: 1765)
vykazují některé parametry klimatu nelineární růst (pro obsah 𝐶𝐶𝐶𝐶2 platí exponenciála!).
ÚKOL: Statisticky vyhodnoťte data klimatického pozorování v místě svého
bydliště. Použijte například data, které uvádí Portál ČHMÚ : Historická data :
Počasí : Základní informace (chmi.cz) a zpracujte jeho data v období od roku 1961.
Rozhodněte, zda klimatická změna je statisticky významná či nikoliv na hladině 95%.
POTŘEBY: tabulkový procesor (například MS EXCEL s SW nástroji „Řešitel“ a
„Analytické nástroje“ (eng.: Solver, Analysis Toolpack).
Seznamte se s jednoduchým statistickým zpracováním dat v kapitole 12.
Vytvořte si soubor klimatických dat měsíčních a průměrných ročních teplot
ve zvoleném regionu v období nejméně 60 roků. Předpokládejte lineární trend změny
klimatu ve tvaru (19.).
1. VÝPOČET PRŮMĚRNÉ TEPLOTY VE ZVOLENÉM MĚSÍCI BEZ UVÁŽENÍ KLIMATICKÉ ZMĚNY A
BEZ POUŽITÍ STATISTICKÝCH FUNKCÍ.
• Vyberte například leden a spočtěte jeho průměrnou teplotu jako aritmetický
průměr za celé klimatické období.
• Spočtěte pro vybraný měsíc: maximum, minimum, medián, standardní odchylku,
interval spolehlivosti pro α = 0.05 a α = 0.001, percentil 25 % a 75%.
• Vyhodnoťte ostatní měsíce
2. LINEÁRNÍ REGRESE KLIMATICKÉ ZMĚNY BEZ POUŽITÍ STATISTICKÝCH FUNKCÍ.
• Vytvořte graf závislosti průměrné roční teploty 𝑇𝑇𝑎𝑎 na roku měření.
• Vypočítejte parametry 𝑎𝑎 a 𝑏𝑏 rovnice klimatické změny (19.) a její statistiku dle
vztahů v kapitole 12.
3. PŘEPOČÍTEJTE VŠECHNA ZÍSKANÁ STATISTICKÁ DATA za pomoci statistických nástrojů
software MS EXCEL.
VYHODNOCENÍ. K vyhodnocení statistických dat (medián, percentily,…)
zvoleného měsíce v roce bez uvážení klimatické změny a bez použití
statistických funkcí je vhodné si nejprve seřadit data od nejnižší pozorované teploty
v sledovaném měsíci k hodnotě nejvyšší.
PROTOKOL: Zdroj klimatických dat. Klimatické období, region. Použitá verze MS
EXCEL. Tabulka 1: Dlouhodobá data klimatického pozorování: na řádcích: rok
pozorování, ve sloupcích kalendářní měsíc, průměrná roční teplota, následovaná
sloupci pomocných dat (např. odchylky δ𝑖𝑖, atd.). Pod tabulkou aritmetický průměr
teploty měsíce, min. a max. hodnota, medián, percentily 0,25 a 0,75. Tabulka 2: Pro
zvolený měsíc (například leden): ve sloupcích: název počítané hodnoty, data získaná
bez použití statistických funkcí, data získaná za pomoci statistických funkcí SW
EXCEL, název statistické funkce vč. argumentů. Na řádcích pak: hodnoty: 𝑛𝑛, ν,
průměrná teplota měsíce, hodnota ∑ (ε𝑖𝑖)2𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 , směrodatná odchylka 𝑠𝑠, hodnoty

?




J . S o p o u š e k ú l o h a
±δ
pravděpodobnosti 𝑡𝑡 oboustranného Studentova rozdělení pro ν = 𝑛𝑛 − 1, α = 0,05
a α = 0,001, interval spolehlivosti pro α = 0,05 a α = 0,001, medián, max. a min.
hodnota, percentily (25%, 75%). Společný graf 1: závislost průměrné teploty
jednotlivých měsíců v roce bez uvážení klimatické změny včetně symbolů hodnot
mediánu, maxima, minima a percentilů. Graf 2: závislost průměrné roční teploty
na roku pozorování s vyznačením lineárního trendu. Dále: parametry 𝑎𝑎 a 𝑏𝑏 rovnice
klimatické změny (19.) Tabulka 3: pro klimatickou změnu ve sloupcích: název
počítané hodnoty, data získaná bez použití statistických funkcí, data získaná
za pomoci statistických funkcí SW EXCEL, název statistické funkce vč. argumentů.
Na řádcích pak: hodnoty 𝑛𝑛, ν, 𝑥𝑥̅, 𝑦𝑦�, suma ∑(𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖)2
, ∑(𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖)2
, ∑(𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖⋅𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖) , parametr 𝑎𝑎 a b
, pak 𝑠𝑠𝑅𝑅, 𝑟𝑟2
, 𝑠𝑠𝑎𝑎, 𝑠𝑠𝑏𝑏, 𝑠𝑠𝑏𝑏⋅ 𝑡𝑡95%, součin 𝑠𝑠𝑏𝑏⋅ 𝑡𝑡95% Dále: rozbor testu významnosti parametru 𝑏𝑏
v rovnici klimatické změny (19.). Zvýšení klimatické teploty od r. 1961.