Kinematická teorie elektronové difrakce
• Rozptyl elektronů na atomu a na krystalové mřížce.
• Reciproká mřížka.
• Elektronová difrakce krystalických a amorfních objektů.
• Bodový a kruhový difraktogram.
• Braggova rovnice.
• Laueovy zóny.
• Ewaldova konstrukce.
• Kikuchiovy linie.
• Základní úlohy elektronové difrakce.
Úvodní poznámky:
• pojem difrakce vychází z vlnového pojetí elektronu
• k čemu je difrakce použitelná:
rozlišení krystalické látky od amorfní,
určení krystalové struktury,
určení velikosti a tvaru krystalických oblastí,
…
Jak se liší elektronový svazek od RTG:
- vlnová délka
- intenzita rozptylu na atomech pevné látky
- lepší manipulovatelnost el. svazku díky náboji
Rozptyl na izolovaném atomu je :
• Elastický – vlnová délka se nemění
• Koherentní – fázový posuv mezi dopadající a rozptýlenou
vlnou je stejný pro stejný druh atomů
• Tak slabý, že sekundární rozptyl již rozptýlené vlny lze
zanedbat
• Celková intenzita difraktovaných vlna je tak slabá, že
intenzita dopadající vlny se prakticky nemění.
Rozptyl elektronů na atomu: letící elektron je ovlivněn
potenciálovým polem atomu, změní směr (popř. i rychlost
při nepružné srážce).
Z hlediska kvantové mechaniky je dopadající elektron popsán
Schrödingerovou rovnicí
2
2
2
0
( ) 0
8
h
E V
m e
 

 + + =
eE … celková energie elektronu, −eV … potenciální energie
pravděpodobnost výskytu el. v objemu d je
Pro V=konst je řešením rovinná vlna ,
kde
2 ik r
Ae 
 =
d 
( )
1/2
2
02 ( )/k m E V h= +
Potenciál atomu v místě ri vyjádříme pomocí rozložení
hustoty el. náboje atomu jako ( )
( )
j
i j
i j
r
V r d
r r

=
−
rovinná vlna s vlnovým vektorem dopadající
na atom produkuje sférickou rozptýlenou vlnu
jejíž amplituda je úměrná atomovému rozptylovému faktoru
1
( )k k

=
exp(2 )
( ) ( )s
ik r
r f
r

 =
( )
22
40
2
( ) (běžně ( ) 10 , [nm])
2 sin
x x
m e
f Z f f f
h

 

 
= −  
 
Typicky střední hodnota potenciálu V10-4E, jde tedy o malou
poruchu. V tomto (kinematickém) přiblížení platí:
Rozptyl elektronů na elementární buňce:
ik r k ( ) ( )
exp(2 )
( )
exp 2
s
i i
i
ik r
r
r
f i k k r


 
= 
 −
 

strukturní faktor
( )2 2ik k r n − =
K maximální interferenci dochází tehdy, je-li fázový rozdíl
Krystal = elementární buňka periodicky opakovaná v prostoru
a obsazená atomy (3 délky, 3 úhly, 3N souřadnic atomů)
Vektor v krystalové mřížce s translační periodicitou je
, kde jsou základní mřížkové
vektory (báze krystalové mřížky).
Podmínka interference
je splněna právě tehdy, když
, kde je vektor tzv. reciproké mřížky.
1 2 3r n a n b n c= + + , ,a b c
( )k k r n− =
k k g− = g
Pomocí vektorové báze v reálném prostoru
definujeme vektorovou bázi v reciprokém prostoru vztahy
, ,a b c
* * *
, , , kde
b c c a a b
a b c V a b c
V V V
  
= = = = 
Vlastnosti:
• platí
• transformace je reciproká
• speciální případy bází s vyšší symetrií (viz další strana)
• je snadné ukázat, že skutečně pro každý vektor reciproké mřížky
platí
* * * *
1 2 3g m a m b m c= + +
( )( )* * *
1 2 3 1 2 3g r n a n b n c m a m b m c Z= + + + + 
* * * *
ostatní1, 0a a b b c c= = = =
V triklinické (monoklinické) soustavě je reciproká
mřížka opět triklinická (monoklinická).
Ortorombická, tetragonální a kubická mřížka:
Hexagonální (a trigonální):
Další důležité a užitečné vlastnosti reciproké mřížky
Definice Millerových indexů
atomových rovin:
na obrázku je rovina (hkl).
Platí:
( ) hklhkl g⊥
1
hkl
hkl
g
d
=
( ) ( )* * *
; 0; ... hkl
a b a b
BA ha kb lc hkl g
h k h k
 
= − − + + =  ⊥  
 
* * *
1
hkl
hkl hkl
a ha kb lc
d
h g g
+ +
= =
Označení směrů a rovin krystalové mřížky:
[uvw] … směr (konkrétní)
uvw … směry (všechny ekvivalentní)
(hkl) … rovina (konkrétní)
{hkl} … rovina (všechny ekvivalentní)
Mezirovinná vzdálenost v systému rovin (hkl) u systémů
s vyšší symetrií:
ortorombický
tetragonální
kubický
hexagonální
2 2 2
2
22 2
2 2 2
2 2 2
2 2
22 2
2 2
1
1
1
1 4
3
h k l
d a b c
h k l
d a c
h k l
d a
h hk k l
d a c
     
= + +     
     
+
= +
+ +
=
+ +  
= +  
 
Další vztahy krystalové geometrie
Obecně:
• Rovina (hkl) patří k zóně [uvw], když
• (hkl) patří k [u1v1w1] a [u2v2w2], když
• [uvw] obsahuje (h1k1l1) a (h2k2l2), když
Je rovina (abc) kolmá na směr [abc]?
Osa zóny rovin = společná přímka systému určitých rovin
1 1 1 2 2 2
1 1 1 2 2 2
( ) [ ] 0
( ) [ ] [ ]
[ ] ( ) ( )
hkl uvw
hkl u v w u v w
uvw h k l h k l
=


L02-14PřF MU Brno, podzim 2016, Analytická elektronová mikroskopie (C8080)
Specifika hexagonální mřížky:
Millerovy – Bravaisovy indexy pro označení rovin:
(hkl) → (h k i l), kde i = −(h+k)
obecně platí h+k+i=0
( ) ( )21 01 1120
Specifika hexagonální mřížky - pokračování:
Jak provést rozšíření [uvw] na [UVJW] tak, aby při libovolné
permutaci indexů U, V a J byly směry [UVJW] krystalograficky
ekvivalentní?
Zároveň chceme, aby skalární součin [uvw]•(hkl) dával stejný
výsledek i ve tvaru [UVJW]•(hkil).
Vyhovuje tranformace
a obráceně
   
   
1
2 ,2 , ( ),3
3
2 , 2 ,
UVJW u v v u u v w
uvw U V U V W
= − − − +
= + +
Z popisu krystalu (mřížkové parametry a rozmístění atomů v
elementární buňce) jednoznačně vyplývá rozložení a intenzita
„bodů“ v reciprokém prostoru.
Výpočty jednoduchých struktur a další příklady (software Carine)
Krystal umístěn ve středu
kulové plochy s poloměrem
1/lambda
Body reciproké mříže uvnitř
koule splňují Laueho
difrakční podmínku
Laueovy zóny:
Bodový difraktogram z monokrystalu je rovinný řez
reciprokou mřížkou (Laueova difrakce).
Na jemnozrnném polykrystalickém vzorku vzniká
kruhový difraktogram (Debyeova difrakce).
Na amorfním vzorku vzniká kruhově symetrický difraktogram
se spojitým rozdělením intenzity v radiálním směru:
Průběh radiální distribuce (zejména poloha prvního maxima
difraktované intenzity) poskytuje informaci o průměrném počtu
nejbližších sousedů a jejich vzdálenosti.
L02-23PřF MU Brno, podzim 2016, Analytická elektronová mikroskopie (C8080)
Dvojitá
difrakce:
Difrakční konstanta mikroskopu:
Bragg: 2 sin 2
2 2
.
hkl
hkl
hkl hkl
d d
R
tg
L
R d L konst
  
 

=
=
= =
Protože je malé ( mrad), platí ( )
a difraktogram je rovinným řezem reciproké mřížky
kolmým k primárnímu svazku.
hklR hkl ⊥
V poloze odchýlené od přesné Braggovy polohy je při
studiu rozložení intenzity v okolí difrakčních maxim
potřeba vzít v úvahu konečné rozměry vzorku (x0, y0, z0):
s … excitační chyba (odchylka)
k k g s
s g 
− = +
= 
( ) ( )
( )
.
exp(2 )
( ) exp 2
exp(2 )
s i i
i
g
c kryst
ik r
r f i g s r
r
f
is r dV
V

  


 = + 
 =


Kikuchiovy linie v difrakčních obrazcích
Využití elektronové difrakce
Nastavení přesné orientace vzorku potřebné (výhodné) pro
pozorování a studium určitého objektu (dislokace, hranice
zrn, …).
Identifikace krystalové struktury matrice, zrna, částice
apod. a jejich vzájemné orientace.
Bližší charakterizace defektů mřížky, určení mechamismů
probíhajících před připravením vzorku nebo přímo při
pozorování v mikroskopu (in situ mikroskopie se
speciálními přípravky na deformaci či ohřev vzorku).