DISCOURS
DE LA METHODE
Pour bien conduire fa raifon,5č chcrcher la veritc dans lcsfciences.
Plus
LA DIOPTRÍQVE. LES METEORE S.
ET
LA GEOMETRIE. (jlui font da tffrús de ccte Met hode*
a    L e y d e
De rimprimerie de l a n M a i r e.
clo Id c xxxvii.
Aua Trwtlege.
TABLE
'Des matter es de U GEOMETRIE.
Liure Premier.
DES PROBLESMES QJLJ'ON PEUT conflruire íäns y employer que des cercles &Ĺ
des ligncs droitcs.
O m m e n t U calcul ď AňthmetiqueJe rapporte aux operations de Cjcontetrie, 297 Comment (e fint CjeometriquemcM la Multiplication Ja Ditiifiony & ľ extraction de la r acme quarreé, 29S Comment on pent vfer de chifftes en (jeometrie. 299 Comment il fant venir aux Equations qui fieruent a refiudre les pro* blefmes* 300 Gjuels fint les problefmes plans; E t comment ús fie refiluent. 302 Excmple tiréde Pappus. 304 Hefponfia la queflion de Pappus. 307 Cornent on doit pofer les termcs pour vcnir a C Equation en cet exeple. 5 / 0
K k k Com
Table.
Comment on trcuue que ce problefme eft plan lorfqu'tl rieft point propofe en plus de 5 lignes» 313
Difcours Second. DE LA NATURE DES LIGNES
COURBES,
QVellesfont Us hgnes combes quon pent receuoir en (jeometrie. ?i f La jaeon de diftinguer toutes ces lignes combes en certains genres: ht de connoiftrek rapport qUonttons leurs poins a ceux des lignes drones. 3.19
Suite de ['explication de la queftion de Pappus wife an liure precedent,
3*3>
Solution de cete queftion quand tile neft propofce' qu en 3 ou 4 lignes* 324>
Demonftration de cete folution, 332 Quels font les lieux plans & folides & la facon de les trouuer tous. 334 Quelle eft la premiere & la plus ftmple de toutes les lignes combes qui
feruenta la queftion des anciens quandelle eft propojec en cinq lignes*
33S-
Quelle* font les lignes combes qu'on defcrit en trouuant pluftems de leurs poins quipeuuent eftre receues en (jeometric, 340 Quelles font auffy celles qu on defcrit auec vne cborde,quipeuuenty eflre receues. 3 40
Que pour trouuer toutes les propriet erodes lignes combes, il fuffit de fca-uoir le rapport quoht tons lems poins a ceux des lignes droites ; Or la facon de tirer a autres lignes qui les coupent en tous ces poins a angles droits. 34 J
Facon genet ale pour trouuer des lignes droites qui couppent les courbes donnees%ou leurs contingentes a angles^ droits. 34I Exemple de cete operation en vne Ellipfe : Et en vne parabole du (econd geure. 343 tsfutre exemple en vne ouale du fecondgeure. 3 44
Exemple de la conftrutlion de ce problefme en la conchoide. 351, Explication de4nouueaux geure s d*Oualesqui feruent a l'Optique,3S2 Lespropriete^de ces Ouales touchant les reflexions & les refrallions.
357
Demonftration de ces proprietez. %6o
De La Geometrie,
Comment on peut faire vn verre ant ant conuexe oh concam en l*vm de fes fuperfciestqu on voudra, quiraffemble a vn point donne torn les ray ons qui vienent d*vn autre point donne. 363
Comment on en peutfaire vn qui face le mcfme, ey que la connexite de Cvne de fes fuperficies ait la proportion donnee auec la connexite oh concauite de I*autre, 366
Comment on petit rapporter tout ce qui a efle dit des lignes combes de* fcrites fur vne fuperficie plate,a cedes qui fe defcriuent dans vn ejpaee qui a 3 dimenfons% oubien far vne fuperficie combe. 36$
Liure Troijiefme
DE LA CONSTRUCTION DES problefmes folides,ou plufque folides.
DE quelle s lignes courbes on pent fe pruir en la conftmllion de chaf que problefme. 3 69
Exemple touchant I'muention deplufiems moyenesproportionates, 37e De la nature des Equations. $71 Combien il peuty auoir de racincs en chaf que Equation^ 37 z
Quelles font les fhuffes ratines. 37Z
Comment on pent dimmuer lenombre des dimenfions if vne Equation, lorfquon connoifl quelqu'vne de fes ratines. 37 z
Comment on peut examiner ft quelque quantiti donnee eft la valeur d'vne ratine. $73 Combien tl peuty auoir de vrayes ratines en chaf que Equation.      37 3 Comment on fait que les fauffes racmes deuienent vrayes , & les vrajes fauffes. 37? Comment on peut augment erou diminuer les ratines d'vne Squat ion, 3 74. £>hien augment ant am files vrayes ratines on diminue les fauffes , oh oh contraire. 37S Comment on peut ofter lepcond terme ctvne Equation. 376 (fomment on fait que les fauffes racmes deuienent vrayes funs que les vrayes deuienent fauffes. 377 (fomment on fait que toutes les places d* vne Equation foient rem plies 378 (fomment on peut multiplier ou diuifer les ratines d' vne Equation. 379 Comment on ofle les nombres rompus d'vne Equation. 379 (fomment on rend la quatftite connuc de l*vn des tcrmes d'vne Equation efgale a telle autre qnon veut. 3$°
Table. De LA Geometrie.
Que les rarities tant vrajts quefhuffespeuuent eflre reelles ou imaginäres. 3$o La reduction des Equations cubiques lorfquc le problcfme eft plan. 380 La faeon de diuifer vne Equation par vn binome qui comient ß racine. 381.
jQuels problefmes font filides lorfque ^Equationeß cubique, 383 La redutlion des Equations qui ont quatre dimenfions lorfqne le problef-me esl plan. Et quels font oeux qui ßnt filides. 383 £xemple de i'vfage de ces re duel ions. 387 Tfegle generale pour reduire toutes les Equations qui parent le quarre de quarre. 3%$ Facon generale pour conßruire tons les problefmes jo tides reduits a 'vne Equation de troü ou quatre dimensions. ^gp Vinuention de deux moyenes proportionclles, jp; La diuifion de tangle en trois. ^yfr Jghie tons les problefmes filides fe peuuent reduire a ces deux conßru-Üions. spy m
La facon d'exprimer la valenr de toutes les racines des Equations cubiques: Et en fuite de toutes Celles qui ne moment que iufques au quarre de quarre- 4C0 ^Tourquoj les problefmes filides ne peuuent eflre conßruits jam les fe-tlions coniquesyny ceux qui fint plus compofes (ans quelques autres lignes plus compfecs. 4ot Facon generale pour conßruire torn les problef wes reduits a vne Equation qui n*a point plus de fix dimenfions. 402 Vinuention de quatre moyenes proportionales. 4 / /
F  I N.
Aduertiíľement.
Iufques icy ľay iafché de me rendre intelligible a tout le monde; mais, pour ce traité, ie crains qiľil ne pour r a eflre leu que par ceux qui f c au e nt defia ce qui eft dans les liures de Geometric : car, ďautant quils contienent plufieurs verités fort bien demonßrees, ■ ľay creu quil feroitfuperflus de les repeter, & nay pas laiffé, pour cela, de m'en feruir.
2J>7
L A
GEOMETRIE.
LIVRE PREMIER.
*Des problefmes qu'onpeut conßruire fans y employer que des cercles & des
lignes drones.
O u s les Problefmes de Geometrie fe peuuent facilement reduire a tels termes, qu'iln'eft befoin parapres que de connoi-ftre la longeur de quelques lignes droites, 'pour les conftruire. EtcommetouterAnthmetiqueneftcompoföe,que Commcc dequatre ou cinq operations, qui font TAddition, la J*Ac*kul Souftra&ion, la Multiplication, la Diuifion, & TExtra- thmYti-<äion des ratines, qu'on peut prendre pour vne efpece ^aupep^tc de Diuifion : Ainfi n at'on autre chofe a faire en Geo- auxope-metrie touchant les lignes qu on cherche, pour les pre- ™H^c parer a eftre connues, que leur en adioufter d'autres , oucrie-en öfter, Oubien en ayant vne, que le nommeray IVnite pour la rapporter dautant mieux aux nombres , & qui peutordinairement eftre pnfe a difcretion,puis en ayant encore deux autres, en trouuer vne quatriefme, qui foit äl'vnedeces deux,comrneI'autreeft atVnite', cequieft lemefme que la Multiplication - oubien en trouuer vne quatriefme, qui foit a r vne de ces deux, comme IVnite'
2p8 La Geometrie.
eft a l'autre, ce qui eft le mefme que la Ditüfion. ou enfin trouuer yne,ou deux ,oupIufieurs moyennes proportion-nellesentreTvnitd, &quelque autrelignes ce qui eft le mefme que tirer la racine quarrde, on cubique,&c. Et ie ne craindray pas d'introduire ces termes d'Arithmeti-que en la Geometrie , afEn de me rendre plus intel-
ligibile.
La Multiplication.
Soit par exemple A B IVnitd, & qui! faille multiplier BD par B C, ie nay qu'aioindre les poins A & C, puis tirer D E parallele a C A, & B E eft le produit de cete Multiplication. La Divi- Oubiens'ii faut diuifer BE par BD, ayant ioint les flon'    poins E & D, ie tire A C parallele a D E, & B C eft le
l'Extra- Pro^uit ^e Cete diuifion.
aiondeh Ou s'il faut tirer la racine
iu^e.        y      "X     <luarre'e de G H, ie lay ad-
ioufte en Iigne droite F G,
qui eft rvnite',& diuifant F H
H en deux parties efgales au
point K, du centre K ie pre
!e cercle FIH, puis efleuant du point G vne ligne droite
iufques^ I, a angles droits fur FH, e'eft GI la racine
cherchee. Ie ne dis rien icy de la racine cubique, ny des
autres^caufequeienparleray plus commodement cy
aprds.
wpeuf   ^a^s foment onn'a pas befoin de tracer ainfi ces ligne
LivRE Premier. 299 gnes fur Ic papier, & ilfuffift de les defigner par quelques vrer de lettres, chafcune par vne feule. Comme pour adioufter chiffresen la ligne B D a G H, ie nomrae l'vnc a & lautre £,& efcris tnc?mC* a -h by Et a — £,pour fbuftraire £ d' a; Et # £,pour les multiplier l'vne par failure; Et ^,pourdiuifer# par^-Et a a,
ou pour multipliers par foymefme; Eta, pour Ie multiplier encore vne fois par a , & ainfi a Imfini; Et
'It z z
* a-h by pour tire? la racine quarrc'e d* a -f- £ . Et
^ Q. a~b -\-abb, pour tirer la racine cubique d* 0 & -habb, 8c ainfi des autres.
Ou ileft a remarquer que par a ou £ ou femblables, ie ne convoy ordinairement que des lignes toutes fim-ples, encore que pour meferuir des noms vfitds eni'Al-gebre, ie les nomrae des quarre's ou des cubes, &c.
Ileftaufly a remarquer que toutes les parties dVne mefmeligne,le doiuentordinairementexprimerparau* tant de dimenfions 1'vne que lautre, lorfque lVniteVeft
point determinee en la queftion, comme icy a en con*
5
tientautant q\i abb ou b dont fecompofe la ligne que
i ay nommde ^C. * — b -f- abb: mais que ce n'eft pas de mefine lorfque l'vnitd eft determinee, a caufo quelle peut eftre foufentendue par tout ou il y a trop ou trop pen de dimenfions: comme s'il faut tirer la racine cubique de a abb — b , il faut penfer que la quantitd a a bb eft diuifee vne fois par lvnitc, 6c que lautre quan-rite b eft multiplied deux fois par la mefme.
nies.
3°° La Geometrie.
Au refte affin de ne pas manquer a ie fouuenir des nomsde ces lignes, il en faut toufiours faire vn regiftrc fepare , & mefure qu'on les pofeouquonleschange, efcriuant par exemple.
AB oo i,   e'eft adire, A B efgal & t.
GH so a
BD xi, *zc.
Commtr Ainfivoulantrefbudrequelqueproblefrne,on doit da* nirTiLT" bord le confiderer comme defia fair, dc donner des noms Equatios a toutes les lignes, qui femblent neceffaires pour le con-Sent arc- &ruire, auffy bien acelles qui font inconnues , qu aux foudre les autres. Puis fans confiderer aucune difference entre ces probkf- |jgnes conmgs^ inconnues, on doit par counr la difficulty, felon lordre qui monftre le plus naturellemenc de tous en qu'elle forte elles dependent mutuellement-les vnes des autres, iufques a ce qu'on ait trouue moyen "d'exprimer vnemefmequantiteendeux fa§ons: ce qui fenommevneEquationjcarlestermes de Tvne de ces deux fa§ons font efgaux aceux de l'autre. Et on doit trouuer autant de telles Equations,qu'ona fuppofc de lignes, qui eftoient inconnues. Oubien s'il ne sen trouue pas tant, & que nonobftant on n omette ricn de ce qui eft defire en la queftion,cela tefinoigne qu'elle n'eft pas en-tierement determined. Et lors on peut prendre a difcre-tion des lignes connues, pour toutes les inconnues aut qu'elles ne correfpond aucune Equation. Aprds cela s'il enrefte encore plufieurs , il fe faut feruir par ordrede chafcune des Equations qui refteut auffy, foit en la con-fiderant toute feul?,foit en la comparant auec les autres, pour expliquer chafcune de ces lignes inconnues; & faire
ainfi
Li vre Premier. 3°r
ainfi en les demeflanc, qu'il n en demeure quVnc feule, efgale a quelque autre, qui foit connue, oubien dont le quarrd, oule cube, oule quarre de quarre, oule furfbli-de,oule quarrende cube,&c. foit efgal a ce, qui fe pro-duift parl'addition, ou fouftra&ion de deux ou plufieurs autres quantites , dont lVne fbit connue , & les autres foient compofe'es de quelques moyennes proportion* nelles entre l'vnite', & ce quarre, ou cube , ou quarre de quarre,&c. multipliers par d'autres connues. Ce que i'e-fcris en cete forte. ^ oo b* ou
z
^30—a %-\-bb. ou
3 - 5
^ oo        ^-t-bb^—c. ou
4 j j 4
^ y> a ^ — c d. &rc. Ceft a dire, que ie prens pour la quantity inconnue, eftefgale'a£, oule quarry de 3; eft efgäl au quarre de b moinstf muitiplie' par £ ou le cube de ^ eft efggl ä a multipliepar le quarre de 3; plus Ie quarre" de b muitiplie par ^ moins le cube de c. & ainfi des autres.
Etonpeut toufiours reduirc ainfi toutes les quantity inconnues ä vne feule, lorfque le Problefme fo peut con-ftruire par des cercles & des lignes droites, ou aufly par des fedtions coniques,ou mefme par quelque autreligne qui ne foit que dvn ou deux degrds plus compofee. Mais ie ne m'arefte point a expliquer cecy plus en detail, a caufe que ie vous ofterois le plaifir de lapprendre de vousmefme, Stlvtilitd decultiuervoftrc efprit en vous y exerceant, qui eft a mon auis la principale,qu on puifle
tirer
302 La Geometrie.
tirer de cete fcience. Aufly qne ie n y remarque rien de Ii difficile, que ceux qui feront vn peu verfes en la Geometrie commune, & en ľAlgebre, & qui prendront garde a tout ce qui eil en ce traite, ne puiflent trouuer.
C'eftpourquoy ieme contenteray icy de vous auer-tir, que pourvů qu'en demeflant ces Equations on ne manque point a fe feruir de toutes les diuifions, qui feront poffibles, on aura infalliblemcnt les plus iimples termes,aufquels la queftion puiiTe eftre reduite.
fogies Et que ii eile peut eftre refolue par la Geometrie ordi-probief- naire, c eft a dire, en ne fe feruant que de lignes droites mes plans ^ circu]aires tracées fur vnefuperficie plate, lorfque la derniere Equation aura eftéentierementdéíneílee,iln y reftera tout an plus quvnquarreinconnu,efgal a cequi fe produift de ľ Addition, ou fouftračtion de fa ratine multiplied par quelquequantite'connue, & de quelque autre quantite'aufTy connue
Com-     Et lors cere racine, ou ligne inconnue fe trouue ayfe-
ment ils _    n ,
fercfoi- ment. Carluayparexemple
uent.
^ x> a % -t-bb iefais le triangle rectangle N L M, dont le co-fteX M eft efgal ä b racine quarre'e de la quan-tité connue bb, & ľau-M trc L N eft ~ a, la moi-tie de ľautre quantite' connue, qui eftoit multiplied par 3; que ie fuppofe eftre la ligne inconnue. puis prolongeant M N la baze 3e ce triangle,
Livre Premier. 3 ° 3
angle, iufques a O, en forte qu'N O foit efgale a N L, latoute OMeft^laligne cherchée Et eile s'exprime en cete forte
^?o\a «+- V\ aa •+•
Quefi iayj^y — a y -\- bb, 8c qu'y foit la quantitc qu'ilfaut trouuer , ie fais le mefme triangle rectangle NLM, &defabazeMNiofteNPefgalea NL, &le refte P M eft y la racine cherchee. De fa$on que iay
y 30 — ~ a «+- KEttout de mefme íi i a-uois x 33 — a x Hr b»  PM feroit at.  & i'aurois
V'\aaHr bb: &ainii des autres.
4-
Enfin íi i'ay
z
ie fais N L efgale ä \ a, & LM efgale ä £ cóme deuät, puis,au lieu de ioindre les poins M N, ie tire MQJl parallele a LN. & du centre N par L ayant defcrit vn cercle qui la couppe aux poins Q & R, la Iigne cherchée jjeftMQj oubiě M R, car en ce cas eile s'exprime endeuxfa§ons,af$auoir\?n\aH-V ^aa—bb.
Et íi le cercle, qui ayant fon centre au point N, pafle par le point L, ne couppe ny ne touche la lignedroite MQR, ilnyaaucune racine enTEquation, de fagon qu'on peut aíTurer que la conftručtion du problefms propoféeft impoffible.
3°+ La Geometrie,
Au refteces mefraes racines fe peuuent trouuer par vne infinite ďautres moyens , & i ay íeulement veulu mettreceuxcy,commefort fimples, affin de faire voir qu'on peut conftruire tous les Problefmes de la Geometrie ordinaire, fans faire autre chofe que le peu qui eft comprisdans les quatre figures que i'ay expliquees. Ce queienecroy pas quelesanciens ayent remarques car autrementilsn'euflentpas pris Ja peine d'en efcrire tant de gros liures, ou le ieul ordre de leurs propofitions nous fait connoiftre qu'ils n'ont point cu lavraye methode pour les trouuer toutes,mais qu'ils ont feulement ramat fďcelles qu'ils ont rencontrees. Bxemplc    £t on Ie peut voir auiTy fort clairement de ce que Pap-Pappus, pus amis au commencement defonfeptiefme liure, ou aprés s'eftre arefte'quelque tems a denombrer tout ce qui auoit efte' efcrit en Geometrie par ceux qui Tauoient precede7, il parle enfind vne queftion , qu'ilditque ny Euclide,ny Apollonius, ny aucun autre n'auoient fceu entierement refoudre. & voycy fes mots. ie cite      Quem autem dicit {Apollonius) in tertio libro locum ad ^verfionU- tres> & quatuorlineas ab EuclideperfeBum non ejfe, neque tine que le ipfe perficere pot erat, neque all qui alius': fed neque pau-affin que lulumquidaddereiis, quce Euclides fcrip fitter ea tant urn chafiun   conjca 9   qUce ufque ad Euclidis tempora prcemonfirata
plws ayfe- JWlty &C.
ment.       jjt yn ^n apre's jj expüqUe ainfi qu'elle eft cete que-ilion.
jit locus' adtres, & quatuor lineas, in quo (Apollonius) magnifice [c iatlatj & oflentat3nulla habit a gratia ei , qui prius fcrip[erat , efibujufmodu   Sipofitione dattstnbus
rcüii
Livre Premier. 3°f
reBis lineis ab uno & eodempunBey ad tres lineas in datis an* gulis reBa linea ducantur, (3 data Jit proportio TeBanguli contenti duabus duBis adquadratum reliquce: punBum con-* tingitpojitione datum folidum locum, hpc efl unam ex tribus conicis feBionibus. Et fi ad quatuor reBas lineas pojitione datas in datis angulis linea ducanturi & reBanguli duabus duBis contenti ad contentum duabus reliquisproportio data fit: fimiliterpunBum datum coni feBionem pofitione continue t. Si quidem igituradduos tantum locus planus ofienfus efl. Quodfiadplures quam quatuor, punBum continget locos non adhuc cognitos9 fed lineas tantum diBos > quales au-temfinty velquam babeantproprietatem, non conflat: earum unam}ne que pi"imam9 & qua manifeftijfima videtur, compo-Jueruntoflendentes utilemefte. propofitiones autemipjarum ha pint.
Si ab aliquo punBo ad pofitione datas reBas lineas quin-que ducantur reBa linea in datis angulis, & datafit proportio falidiparallelepiptdi reBangulh quod tribus duBis lineis continetur ad folidum parallelepipedum reBangulum , quod continetur reliquis duabus, & data quapiam linea , punBum pofitione datam line am continget. Si ant em adfex, & data fit proportio folidi tribus lineis contenti ad folidum, quod tribus reliquis continetur $ rurfus punBum continget pofitione datam lineam. Quodfi adp lures quam fex, non adhuc habent dicere,an data fit proportio cuiufpid contenti quatuor lineis ad id quod reliquis continetur, quoniam ?ion efl aliquid con* tentum pluribus quam tribus dimenfionibus.
Ouie vous priederemarquerenpaflant, que lefcru-pule,quefaifoientlesanciens d'vfer.des terraes del'A-rithmetique en la Geometrie, qui ne pouuoic proccder,
que
La Geometrie.
que de ce qu'ils ne voyoient pas aíTés claírement Ieur rapport, caufoitbeaucoupďobfcurite, &dembaras,en lafa$ondontilss'expliquoient. car Pappus pourfuit en ceteibrte.
Acquiefcunt autem his, quip aulo ante talia interpretati pint, neque unum aliquopaFio comprehenfibilefignificantcs quod bis continetur.Licebit autě per coniunblas proportioncs hctcy & dicere, demonfirare univerfe in diSlis proportioni-bus, at que his in hunc modum. Si ah aliquo puntlo adpofi-ťione datas-reBas lineas ducanturreíla linea in datis angu-lisy & data ft proportio coniunBa ex ea, quam habct una du-Barum adunamy & altera adalteram3 & alia adaliam, re-liquaad datam lineám, fifint feptemj ft vero ofio, & reliqua, ttd reliquam: punílum continget pofitione dat As lineas. Et fimiliter quotcumque fint impares vel pares multitudine, €um hacy ut dixi> loco adquatuor lineas refpondeant, nullum Vgiturpofuemntita ut linea nota fit, &c.
Laqueftiondoncquiauoit efté commence a refou-dreparEuclide, &pourfuiuieparApoIloaiu$, ians auoir efteacheuéeparperfbnne, eftoit telle. Ayant trois on quatreou plus grand nombre de lignes droitesdonnefes parpofition-premierement on deniande vnpoint,.du-quelon puifle tirerautant d autres lignes droite$,vne fur chafcune des donnees, qui fa$ent auec elles des angles donnés, & que le rectangle contenu en deux de celles, qui feront ainfi tirées d'vn mefme point, ait la proportion donnée auec Ie quarré de la troifiefme, s'il n y en a que trois,* oubien auec Ie rectangle des deux autres, s'ily en a quatre;Oubien,s'il y en a cinq,que le parallelepipede compofe'de trois ait la proportion donnee auec le parak
lelepipede
Livre Premier. 3°7 Ielepipede compofedes deux qui reflect, & d'vne autre lignedonnee. Ou s'ily enafix, que le parallelepipede copofd de trois ait la proportion donnee auec le parallelepipede des trois autres. Ou s'il y en a fept,que ce qui fe produift lorfqu'on en multiplic quatre Tvne par i autre, ait la raifon donude auec ce qui fe produift par la multiplication des trois autres, & encore d'vne autre ligne donnee; Ou s'il yen a huit, que le produit de la multiplication de quatre ait la proportion donne'e auec le produit des quatre autres. Et ainfi cete queftion fe peuc eftendre a tout autre nombre de lignes. Puis acaufe qu'il ya toufiours vneinfinite'dediuerspoins qui peuuent fa-tisfaireacequi eft icy demands', il eft aufly requis dc connoiftre,& de tracer laligne,dans laquelle ils doiuent tous fe trouuer. & Pappus dit que lorfqu'il n y a que trois ou quatre lignes droitesdonnees, ceft en vne des trois fe&ionsconiques.mais iln entreprend point de la determiner, nyde la defcrire. non plus que dexpli-quer celles ou tous ces poins fe doiuent trouuer, lorfque la queftion eft propofee en vn plus grand nombre de lignes. Seulement il aioufte que les anciens en auoient imagine'vne qu'ilsmonftroient yeftrevtile , raaisqui fembloit la plus manifefte, &c qui n eftoit pas toutefois la premiere. Cc qui ma donne occafion defrayer fi par la methodedontieme fers on peut aller aufTy loin quils ontefte'.
Etpremierementi ayconmi que cete queftion neftant Refponfc propofe'equ en trois, ouquatre,ou cinq lignes , on peuti?*^" toufiours trouuer les poms cherches par la Geometrie Pappus, fimplej e'eft a dire en ne fe feruaut que de la reigle & du
compas,
3°S La Geometrie,
compas, ny ne feifant amsechofe* que ce qui a defiaefte' dit; excepte'feulement lorfqu'il y a cinq lignes donndes, fi elles font routes paralleles. Auquel cas, comme aufly lorfque la queftion eft propofefe en fix,ou7, ou 8, ou 9 lignes, on peut toufiours trouuer les poins cherchds par la Geometrie des folides$ e'eft a dire en y employapt quelqu'vne des trois fe&ions coniques. Excepte' feule-inent lorfqu'il y a neuf lignes donnees, Ii elles font toutes paralleles. Auquel casderechef, & encore en 10,11,12, ou 13 lignes on peut trouuer les poins cherches par le moyen d'vne ligne courbe qui foit d'vn degre' plus com-pofde que les fedtions coniques» Excepte' en treize fi elles font toutes paralleles, auquel cas, & en quatorze, 1 ?9 i69 &i7Üyfaudra employer vne ligne courbe encore cTva degre' plus compofee que la precedente & ainfi ai'infini.
Puistay trouue'aufly, que lorfqu'il ny a que trois ou quatre lignes donne'es,Ies poins cherchds fe rencontrent tous , nonfeulement en Tvnedes trois (ecäions coniques , mais quelquefois aufly en la circonference d'vn cercle, ou en vne ligne droite. Et que lorfqu'il y en a cinq, ou fix, ou fept, ou huit, tous ces poins fe rencontrent en quelque vne des lignes, qui font dvn degrd plus compofefes que les fe&ions coniques, & il eft impoffibie d'enimagineraucune qui nefoit vtile a cete queftion; mais ils peuuent aufly derechef fe rencontrer en vne fe-^ (Stion conique, ou en vn cercle, ou envne ligne droite. Et s'il y en a neuf, ou 1 o, ou 11, ou 11, ces poins fe rencontrent en vne ligne, qui ne peut eftre que dvn degr^ plus compofe'e que les precedentes 5 mais toutes Celles
qui
Li vre phemiir. * v
qui font ďvndegrepluscompofeesy peuuentferuir, & ainii a l'infini.
Au refte la premiere, & la plus fimple de toutes aprés lesfečtions coniques, eft celle quon peut defcrirepar ťinterféčtion d'vne Parabole, &d'vneligne droite, en la fa<jon qui fera tantoft expliqu^e. En ibrte que ie penfe auoir entierement fatisfait a ceque Pappus nous dit auoir eft e'chetche'en cecy par les anciens. & ie tafcheray ďen mettre la demonftration en peu de mots.car il m ennuie defia d'en tant efcrire.
Soient A B, A D, E F, G H, &c. plufieurs lignes don-nces par pofition, & qu il faille trouuer vn point, comme C, duquelayant tire ďautres lignes droites fur les don-nées,comme CB, C D, CF, &CH, en forte que les angles C B A, C D A, C F E, C H G,&c. foient donnés,
3IC La Geometrie.
& que ce qui eft produit par la multiplication d Vne par* tie de ces Iignes,foit efgal a ce qui eft produit par la multiplication des autres, oubien qu'ils ayent quelque autre proportion donnec, car cela ne rend point la queftion phis difficile.
Commcc   Premierement ie fuppofe la chofe comrae defia faite, pofcr'ics &POLir me demefler de la cofufion d.e toutes ces* lignes, termes   ie confidere Tvnedes donnees, & IVne de cellesqu'il mil ye. &ut trouuer3 parexempleA B,&CB, comme lespriu-quation cipales, & aufquelles ie tafche de rapporter ainfi toutes cxcmpic. les autres. Quelefegment delaligne A B, quieftentre les poins A & B, foit nbmmd x. & que B C foit nomme y. &c que toutes les autres lignes donndes foient prolonged, iufques a ce qu'elles couppent ces deux, aufly pro-longees s'il eftbefoin, 5cfiellesneleur font point parallels, comme vous voyes icy quelles couppent la Iigne A B aux poins A, E, G, & B C aux poins R,S,T. Puis a caufe que tousles angles du triangle ARB font donnes, la proportion,qui eft entre les cofte's A B, & B R, eft aufly donnee, &ie lapofecommede^a£, defagonqu'AB
fa fa
eftantx9 R Bfer i & latoute C R fera v + :Ja caufe que Ie point B tombe entre C & R- car fi R tomboit entre C & B,C R feroit y—&c fi C tomboit entre B&R,
b x
C R feroit — y    — *   Tout de mefme les trois angles
du triangle D R C font donned, & par confequent aufly la proportion qui eft entre les cofte's CR,&CD, que ie
fa X
pole comme de    c: de fagon que C R eftant y —*
Live e Premier,
c y      h c x
C D fera - -+- —. Apre's cela pourceque les lignes A B,
A D, & E F font donnees par pofition, la diftance qui eft entre les poins A & E eft auflfydonnde, & fi onlanom-me K, on aura E B efgal a ^mais ce feroit x, fi le point B tomboit entre E & A,*& — ^H- .r,fi E tomboit entre A & B. Et pourceque les angles du triangle E S B font tous donmfs, la proportionde BE a BS eftaufTy donne'e, & ie la pofe comrae ^ad , fibienque BS eft
dk&dx    „  , _   n zy * dk>^dx        . r
-, & la toute C S eft ——--; mais ce leroit
z,       7 Z. 3
iy~dk~ax^ ie p0ints tomboit entre B &Cj&ce feroit
z
■ ~ zy >ž* d k ^ dx
~ , fi C tomboit entre B & S. De plus les
trois angles du triangle F S Cfont donnes, & en fuite ta
La Geometrie.
proportion de C S ä C F, quiíbit comme de % k e, 8ch
r     ezy *dek >%* dex r       r « ^
touteCFlera-—-. En melme ragon AG
que ie nomme /eft donnee, & B G eft / — x\ & a caufe du triangle B G T la proportion de B G ä BTefiraufly
donnée, quifoit comme de % ä f. &B Tíera —„ ,&
Z Y 4< ft- -fx
C Too ——2-. Puisderechef la proportion de T C a
C H eft donnc'e, a cauíe du triangle T C H, & la pofant
ix ^        &gz>y >ťfgl~- fsx
comme de   g> on aura C H so —
Et ainfi vous voye's, quentel nombrede Iignes don-rieesparpofitionqu'onpuifleauoir, toutes lesligncs ti-reesdeflusdu point Ca angles donnes fuiuant la teneur de la queftion ,iepeuuent toufiours exprimer chafcune par trois termess dont Pvn eft compofďde la quantity in-connue yy multiplied , ou diuiiee par quelque autre connue; & lautre de la quantity inconnue x, aufly multiplied ou diuiiee par quelque autre connuě, & le troíieť me d'vne quantite'toute connue. Excepte feulement fi elles font paralleles-oubien a la ligne AB, auquelcas le terme compofe'de la quantité x íeranul ; oubien a la ligne C B, auquel cas celuy qui eft compofe'de la quantite' y iera nul; ainfi qu'il eft trop manifeftc pour que ie m are-fte a Texpliquer. Et pour les fignes -+-, & — 9 qui fe ioi-gnentacestermes,ilspeuuent eftre changes en toutes les fa§ons imaginables.
Puis vous voyés aufly, que mnltipliant plufieurs de ces lignes Tvne par i'autre, les quantitós x 3cy, qui fe trouuent dans le produit, n y peuuentauoir que chaicu-neautant de dimenfions, qu'il y a eu de lignes, application
LivRE Premier. 3*5
cation defquelles elles feruent, qui ont efte' ainfi multipliers: enforce qu'ellesn'aurontiamais plus de deux di-menfions,encequi neferaproduitque par la multiplication de deux lignes; ny plus de trois, ence qui ne fera produit que par la multiplication de trois, & ainfi a fin-fini.
De plus, a caufe que pour determiner le point C, il ^ouuc 11 y a qu vne feule condition qui foit requife , a fijauoir que cc que ce qui eft produit par la multiplication d* vn certain f~ nombre de ces lignes foit efgal, ou (cequi n eft de rien plan, lorf-plus malayfe') ait la proportion donnee, & ce qui eft pro- c duit par la multiplication des autres- on peut prendre a ProPof^ difcretion 1*vne des deux quantites inconnues x ou y, & ,"jgncs.6 chercher Tautre par cete Equation, en laquelle il eft eui-dent que lorfque la queftion n'eft point propofee en plus de cinq lignes, la quantity* qui nefert point a l'expref-fion de la premiere peut toufiours n'y auoir que deux di-menfions. defagon queprenant vne quantity connue poury, il ne reftera que x x x -f - ou — a x -f - on—b b. & ainfi on pourratrouuer laquantite' x auec la reigle &Ie compas,enlafacontantoft explique'e. Mefine prenant faccefiiuement infinies diuerfes grandeurs pour la ligne yf on en trounera aufly infinies pourla ligne     ainfi on aura vne infinite de diuers poins , tels que celuy qui eft marqud C, par le moyen defquels on defcrira la ligne courbe demand ee.
II fe peut faire aufly, la queftion eftantpropofefe en fix, ou plus grand nombre de lignes- s'ily en a entre les don-ndes, qui foient paralleles a B A, ou B C, que lvne des deux quantitds x on y n'ait que deux dimenfions en
TEqua-
U4 JLa Geometrie.
['Equation, & ainfi qu'on puifle trouuuer le point C auec la reigle & le compas. Mais au contraire fi elles font toutes paralleles , encore que la queftion ne foit propofee qu'en cinq lignes, ce point C nepourra ainfi eftre trou-ue', a caufe que la quantity x ne fe trouuant point en tou-te lT5quation,il ne fera pluspermis de prendre vne quan~ titd connue pour celle qui eft nomm&y, mais ce fera eile qu'il faudra chercher. Et pource quelle aura trois di-menfions,on nelapourra trouuer qu'en tirant la racine d'vne Equation cubique. cequi ne fe peut generalement faire fans qu'on y employe pour le moms vne fed:ion co-nique. Et encore quil y ait iufques a neaf lignes don-ndes,pourvuqu*eIles ne foient point toutes paralleles, on peut toufionrs faire que TEquation ne monte que iufques au quarre dequarrd au moyen dequoy on la peut aufly toufiours refoudre par les fe£tions coniques, en la fa$on quei'expliqueraycyapres. Et encore qu'il yen ait iufques a treize, on peut toufiours faire quelle ne monte que iufques au quarrd de cube, en fuite de quoy on la peut refoudre parle moyen d'vne ligne , qui n'eft que dVn degreplus compofee que les fe&ions coniques, en la fa$on que i'expliquerayaufly cy apres. Et cecy eft la premiere partie de cequei'auoisicyademonftrer^ mais auantqueie pafle a la feconde il eft befoin que ie die qtielquechofe en general dela nature des lignes cour-bes.
Livre Second*
GEO ME TRIE.
LIVRE SECOND.
<De la nature des hgnes courbes.
T E s anciens ont fort bien remarque , qu'cnrre Ies
'Problefines de Geometrie, les vns font plans, Ies au- Queilcs
C 1
tres folides,& Ies autres lineaires, c eft a dire, que les vns peuuent eftre conftruits, ennetra^ant que des lignes co?rbcs droites, &de$cercles; au lieu que les autres ne le peu- peU°nrc-uent eftre, qu'on n'y employe pour le moins quelque fe- ccuoir en dtion conique; ni enfin Ies autres , qu'on n'y employe ut?™^ quelque autre ligne plus compofee. Mais ie m'eftonne de ce qu'ils n'ont point outre cela diftiugud diuers degree entre ces lignes plus composes, & ie ne f§aurois comprendre pourquoy ils Ies ont nommdes mechani-ques, plutoft que Geometriques. Car de dire que 5 ait eftd', a caufe qu'il eft befoin de fe feruir de quelque machine pour les defcrire, il faudroit reietter par mefme raifon les cercles & les lignes droitess vu qu'on ne les de-fcrit fur le papier qu'auec vn compas, & vne reigle, qu'on peut auffy nommer des machines. Ce n'eft pas non plus, a caufe que les inftrumens, quiferuent a les tracer.eftant plus compofe's que la reigle & le compas , ne peuuent eftre fi iuftes;car il faudroit pour cete raifon les reietter des Mechaniques, ou la iuftefle des ouurages qui fortent de la main eft defirefe; plutoft que de la Geometrie , ou c'eftfeulementlaiuftefleduraifonnemet quonrecherche,
1t6 La Geometrie.
che, &qui peut fans doute eftre aufly parfaitetouchant ces lignes, que touchant les autres. Ie ne diray pas aufly, que ce foit a caufe qďils n ont pas voulu augmenter le nombre de leurs demandes , & qu'ils fe íontcontentés qu on leur accordaft, qďils puíTent ioindre deux poins donnes par vne ligne droite , & defcrire vn cercle d'vn centre donne, qui paíTaft par vn point donne'car ils nont point fait de ícrupule de fuppofer outf e cela,pour traiter des fečtions coniques , qďon puft coupper tout cóne donnéparvn pian donne'. &ilneft befoin de rien fuppofer pour traper toutes les lignes courbes, que ie pre-tens icy ďinfcroduire- finon que deux ou plufíeurs lignes pniíTent eftre meues i vne par lautre, & que leurs inter-fečfcions en marquentd'autres ce qui ne me paroift en rien plus difficile. 11 eft vray qi/ils n'ont pas aufly entie-rement receu les fečiions coniques en leur Geometrie, & ie ne veux pas entreprendre de changer les noms qui ont e&éappronués par Tvíage- mais il eft, ce me femble, tresclair, queprenant comme on fait pour Geometri-que ce qui eft precis & exad: , & pour Mechanique ce quinel'eftpas; & confiderant la Geometrie comme vne fcience, qui enfeigne generalement a connoiftre les mefures de toas les cors, on n'en doit pas plutoft exclure les lignes les plus compofees que les plus fimples, pourvu qu'on les puifleimaginer eftre deferites par vn mouue* ment continu, ou par plufieurs qui s'entrefuiuent & dont lesderniersfoient entierement regles par ceuz qui les precedent, car par ce moyen on peut toufiours auoir vne connoiíTance exačte de leur mefure. Mais peuteftre que ce qui a empefche' les anciens Geometres de re<je-
uoir
Li vre Second. 317 uoir Celles qui eftoient plus compofeesque lesfe&ions coniques, c'eftqueles premieres quils ont confiderees, ayant par hafard efte la Spirale, la Quadratrice, & fein-blables, qui n'appartienent veritablement qu aux Me-chaniques,&nefont point du nombre de Celles que ie penfe deuoir icy eftre receues, a caufe qu on les imagine defcrites par deux mouuemens fepares, & qui n'ont erv. tre eux aucun raport qu on puifle mefurer exa<Sement> bienqu'ilsayentapresexamind la Conchoide, la Ciflbi-de, &quelquepeudautresquienfont, toutefois a caufe qu'ils n ont peuteftre pas afTe's remarqud lenrs pro-priete's, its n'en ont pas fait plus d eftat que des premieres. Oubien c'eft que voyant , qu'ils ne connoifToient encore, que peu de chofes touchant les fe&ions coniques, &qu'illeur en reftoit mefme beaucoup, touchant ce qui fe pent faire auec la reigle & 1c compas , qu ils ignoroient, ils ont creu ne deuoir point entamer de ma-tiere plus difficile. Mais pourceque i'efpere que d'orena-uant ceux qui auront Tadreffe de fe feruir du calculGeo-metriqueicy propofe', netrouueront pas afTe's dequoy s'arefter touchant les problefmes plans, ou folidesj ie croy qu'il eft a propos que ie lesinuite a d'autres re-cherches, ou ils ne manqueront iamais d exercice.
Voyesles lignes AB, AD, AF, & femblables queie fuppofe auoir eftd defcrites par l'ayde de l'inftrument Y Z,qui eft compofe' de plufieurs reigles tellement ioin-tes, quecellequi eft marquee YZ eftant areft^e fur la ligne A N,on peut ouurir & fermer langte X Y Z; & que lorfqu ileft tout fcrmd , les poins B, C, D, F, G, H font tous afTembl& au point A 5 mais qua mefure qu'on
l'ouure,
La Geometrie*
4
Touiire, la reigle B C, qui eft iointe a angles droits auec X Yau point B, poufle vers Z la reigle CD, qui coule fur Y Z enfaifant toufiours des angles droits auec elle,& C D pouffe D H, qui coule tout de mefine fur Y X en de-meurant parallele a B C, D E pouíTe E F,E F pouíTe F G, cellecypoufleG H. & on en peutconceuoirvne infinite'' d'autnes', qui fe pouifent confequutiuement en mefme fagon, & dont les vnes facent toufiours les mefmes angles auec Y X, & les autres auec Y Z. Or pendant qu'on ouureainfiTangle XYZ,lepoint B dcfcritlaligne AB, qui eft vn cercle, &les autres poins D>F, H, ou fe font les interferons des autres reigles, deferment d autres lignes courbes A D, A F, A H ,dont les dernieres font par ordre plus copofees que la premiere, Sccellecy plus quele cercle, mais ie ne voy pas cequi pcut empefcher, qiťonneconcoiueauíTynettement, &c aufly diftinčte-ment la defcription de cete premiere,que du cercle, ou
du
Livre Second. i*9 da moins que des fe&ions coniques; ny cequi peut em-pefcher, qu'on ne concoiue la feconde, & la troifiefine, & toutes les autres, qu'on peut defcrire, aufTy bien que la premiere- ny par consequent qu'on ne les recoiue toutes en mefmefa§on, pour feruir auxfpeculations de Geometrie.
Iepourroismettre icy plulieurs autres moyens pour La facoa tracer & con$euoir des lignes courbes, qui feroient de g^1^ plus en plus composes par degrds a linfini. mais pourtcs ies li-comprendre enfemble toutes celles, qui font en la natu-f "SCSCC°U1> re, &les diftiuguer par ordre en certains genres; ie ne certains fjjacheriendemeilleur que de dire que tous Ies poins,dei™™- L celles qu'on peut nommer Geometriques , e'eft a direnoiftre Ic qui tombent lous quelque mefure precife & exa&e, ont necefTairement quelque rapport a tous les poins d'vne-tous ,curs
i      x i l l poins a
ligne droite, qui peut eftre exprime'par quelque equa-^cuxdes tion, en tous par vne mefme, Et que lorfque cete equa^- ^^Bi tion ne monte que iufques au redtangle de deux quanta tdsindeterminees,oubienauquarrdd'vnemefme, la ligne courbe eft du premier & plus fimple genre, dans le-quelilnyaquele cercle, la parabole, Thyperbole , & l'Ellipfe qui foient comprifes. mais que lorfque l'equa-tion monteiufques a la trois ou quatriefme dimenfion des deux,ou de Pvne des deux quantite's indetermindes, car il en faut deux pour expliquer icy le rapport dVn point a vn autre,elle eft du fecond:& que lorfque liquation monte iufques a la j ou fixiefme dimenfion, elle e& du troifiefme; & ainfi des autres a Tinfini.
Commefiie veuxf^auoir de quel genre eft la ligne E C, que umagine eftre defcrite par finterfe&ion de la
reigle -
i 10
La Geometrie.
reigle G L, & du phn rečtiligne C N KL, dont le cofté KNeftindefiniementptolongé vers C , & qui eftant meu für leplan de deflbus en ligne droite, c eft a dire en telíc forte que fon diametre K L fe trouue toufiours ap-pliqueTurquelqueendroitdelaligne B A prolong^e de part & ďaurre, fait mouuoir circulairement cete reigle G L autour du point G, a caufe quelle luy eft tellement iointe quelle paffe toufiours par le point L. Ie choifis vne ligne droite,comme A B,pour rapporter a fes diuers poinstousceuxdecetelignecourbeEC, &en cete ligne A B ie choifis vn point, comme A,pour commencer par luy ce calcul. Ie dis que ie choifis & ľvn & ľautre, a caufe quil eft libre de les prendre teis qu'on veult. car encore qu'il y ait beaucoup de choix pour rendre ľequa-tion plus courte, & plus ayfée; toutefois en quelle fagon qu on les prene, on peut toufiours faire que la ligne pa-roiflbde meíine genre, áinfi qu'il eft ayfe' a demonftrer.
Apres
Li vre Second.
32t
Apres celaprenantvnpointadifcretion dans kcourbe, comme C, für Iequel ie fiippofe que Finftrument qui fert aladefcrireeftapplique', ie tire de ce point Claügne CBparalleleaGA, &pourcequeCB & B A fontdeux quantites indetermine'es & inconnues , ie Ies nomme F vne^ & lautre x. mais affin de trouuer le rapport de IVneäl'autrejieconfidere auffy les quantites connues qui determinent Ia defeription de cete ligne courbe, comme G A que ie nomme ä,KL que ie nomme b, & N L parallele a G A que ie nofnme c. puis ie dis, comme NLeftäLK,ouckb,ainfiCB,ou^, eftäBK, qui eft
r b b
parconfequent: &BLeft — y--b, & Ä I/eftar-i-~y — b. de plus comme C B eft ä L B, oxxy ä jy—b, ainfi
a>ou G A, eft ä L A, ou x    —y - b.de fa$on que mul-
tipliant
S2* La Geometrie.
tip liant la feconde par la troifieíbe on produit —jr - ai,
qui eft eřgale á xy-^^yy —   qui fe produit en multi-
pliant la premiere par la derniere. & ainfi ľequation qu'il falloittrouuereft .
cx
yyzo cy~--j;y-\-ay—ac.
delaquelle onconnoift quelaligneEC eft do premier genre , comme én effect elle n eft autre qďvne Hyperbole.
Que íi en ľinftrument qui fert a la deícrire on fait qu'aulieudeíalignexlroiteCN K> ce fdic cete Hyperbole, ouquelque autre ligne courbe du premier genre, qui termine le plan C N K L; ľinterfečtion de cetc ligne & de la reigle G L defcrira, au lieu de ľHyperbole E C, vne autre ligne courbe, qui fera du fecond genre. Comme lí C N K eft vn cercle, dont L foit lé centre, cm defcrira la premiere Conthoide des anciens5 &íi c eft vne Parabole dont lediametre foit K B, ori defcrira la ligne courbe, que i ay tantoft dit eftre la premiere,& la-plus fimple pour la queftion dePappus^orfqu'il n'y a quecinq lignes droites données par pofition. Mais fi au lieu dVne de ceslignescourbesdu premier genre, e'en eft vne du fecond, qui termine le pian C N K L, on en defcrira par fón moyen vne du troifiefme, ou fi e'en eff vne du troifiefme, onen defcrira vne du quatriefihe, &ainíi a Finfioi. comme il eft fort ayfe a connoiftre par Ie calcul. Et en quelque autre fagon, qu'on imagine la defcription ď vne ligne courbe , pourvuqu'elle fbic du nombre de celles qucienomme Geometriques, onpourratouliourstrou-
uer
LivRE Second. *2J oervne equation pour determiner tous fes poins en cete forte.
Au refte ie mets les lignes courbes qui font monter cete equation iufques au quarre'de quarre', au mefine genre quecellesqui ne la font monter que iufques au cube. &cellesdont1 equationmonteau quarrddecu-be,au mefme genre que celles dont elle ne monte qu au furfolide. & ainfi des autres. Dont la raifon eft, qu'il y a reigle generale pour reduireau cube toutes les difficul-te's qui vont au quarre'de quarrd, & au furfolide toutes celles qui vont au quarrd de cube, de fagon qu'on ne ics doit point eftimer plus compofees.
Mais il eft a remarquer qu'entre les lignes dc chafque genre, encore que la plus part foient efgalement compofees , en forte qu'ellespeuuentferuir a determiner les mefmes poins, & conftruire les roefmes problefines ,il y eaa toutefois aufly quelques vnes, qui font plus fimples, &qui n'ontpastantd'eftenduecnleurpuiflance. com-mcentre celles du premier genre outre l'EUipfe I'Hyper-bole & la Parabole qui font efgalement compofe'es ,le cercle y eft aufly compris, qui mauifeftemeut eft plus Ampler & entre celles du fecoird genre il y a la Conchoi-de vulgaire, qui afon origine du cercle; & il y en a encore quelques autres, qui bien qu'elles n ayenr pas tant d'eftendue que la plus part de celles du mefine genre, ne peuuenr toutefois eftre mifes dans le premier.
Or apresauoir ainfi reduit toutes les lignes courbes a^piica-certains genres, il m eft ayle'de pourfuiure en la de- "°n «ei* monftration de larefponfe,que i ay tantoftfaite a la que- 3c pappus ßion de Pappus. Car preraierement ayant fait voir cy mi&au
, ^ * liurc pre-dcflllS, ccdet>r
3*4 La Geometrie.
deíTus , que lorfqu'il n'y a que trois ou 4 lignes droites données, Tequation qui fert a determiner les poins cher-chés, ne monte quciufques au quarre; il eft euident,que la lignecourbeoufetrouuentcespoins, eftneceflaire-ment quelqu vne de cefles du premier genre: a eaufe que cete mefme equation explique le rapport, qu ont tons les poins des lignes du premier genre a ceux d'vne ligne droite* Etquelorfqu'iln'ya pointplusde 8 lignesdroi-tes données , cete equation ne monte que iufques au quarredequarre tout au plus, & que par confequent la ligne cherchee ne peut eftre que du fecond genre, ou au deflbus.Et que Iorfqu'il n'y a point plus de 12 lignes données , ťequationne monte que iufques auquarre'de cube, & que par confequent la ligne cherchee n'eft quedu troifiefme genre, ou au deffous. & ainfi des autres. Et mefme a caufe que la pofition des lignes droites données peut varier en toutes fortes, & par confequent faire cha-ger tant les quantités connuěs, que les fignes •+- & — de Tequation, en toutes les fa^ons imaginables; il eft eui-dentqn'iln'ya aucune ligne courbe du premier genre, qui ne foit vtilea cete queftion, quand elle eft propofefc en 4 lignes droites;ny aucune du fecond qui ny foit v tile, quand elle eft propose en huit; ny du troifiefme, quand elle eft propofee endouze: & ainfi des autres. En forte qu'il ny a pas vne ligne courbe quitombe fous le Solution caicul &puifle eftre receůe en Geometrie , qui n'y foit queftion vt^e pour quelque nombre de lignes. quandelic   Mais il faut icy plus particulierement que ie determi-pofé/r0 **e> & donnc la fa§on de trouuer la ligne cherche'e * qui *u'C V       cn c'la^3ue ca*> lorfqu'il ny a que 3 ou 4 lignes droi-
Livrb Second. tesdonoeeS; & on verra par mefme moyen que le premier genre des lignes courbes n'en contient aucunes au-tres, que les trois fe&ionsconiques,& le cercle.
Reprenonsles4lignes AB, AD, EF, & GH don-neescydeflus,&qu'iifailletrouuer vneautre lignea en laquelleilfe rencontre vne infinite' de poins tels que C, duquelayanttire'les4 lignes CB, CD, C F, & CH # a angles donnes, fur les donn^es, C B multiplied par C Ff produift une fomme efgale a C D, multiplied par C H.
cell a dire ayant fait C B so y 9 C D oj c*y*z
—VL-&CHso   y ——— lequatioeft
yy^ *c/giz jy~*/*** Cyj
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au
32g La GeometriEc
au moinsen fuppofant e ^plus grand que fg.car s'il eftoit moindre, il faudroit changer tous les fignes -+-&—. Et fi la quantitdy fe trouuoit nulle, ou moindre que rien en ceteequation,lorfquonafuppofd'le point C enPangle DAG, il faudroit lefuppoferauflyeni'angle D A E, 011 EAR,ouRAG, en changeant les lignes -f- &: — felon qu'ii feroit requis a cet effect. Et fi en toutes ces 4 po-fitionslavaleur d'y fe trouuoit nulle, la queftion feroit impoflible au cas propofif. Mais (uppofons la icy eftrc poflible, & pouren abreger les termes, au lieu des quan-
•   ✓ cfglz — d etzz     r .
titcs-,------- elcnuons xm ,   & au lieu de
ez.-- cgzz dezz*cfgz~bcgl{ tn
----,--efcnuons —& ainfi nous au-
rons
in        *bcfglx -bcfgxx   £ont Ia raci.
yy^Qzmy— ~ xy-------*
e z — cgzz
ne eft
ytom- ~+y mm'----—h~? -(±*.t—l*~
ez—cgzz
iC derechefpour abreger, au lieu de
zm»     bcfgl nn -bcfg
_l—.-eicriuonsfl» &au heu de- »
Z 1 ~> zz ■
ez-cgzz e.-cgzz
efcriuons    car ces quantites eftant toutes donnees,
nons les pouuons nommer comme il nous plaift. & ainfi nous auons
y 20m — -iX-{-^mm -+• ox~ ^.v#,quidoit eftrela
Iongeur dela ligne B C, en laiflant A B,ou .vindeter-
mince.
LivKE Second.
3*7
ttun£e. Et ileft euident que la queftion n'eftantpro-pofee qu'cn trois ou quatre lignes, on peut toufiours auoirdetels termes. excepfe que quelques vns d'eux peuuenteftrenuls, & que les lignes -+- & — peuuent di-uerfement eftrechangds.
Aprds celaie fais KI efgalc & parallele a B A, en forte qu'ellecouppedeBClapartieBK efgale ämy k caufe qu'il y a icy mj & ie lauroisadioufteeentirantccte lignelKdel'autre cofte, s'ilyauoiteu — m; &ienel'au-roispointdutouttiree, Ii la quantite'/ra euftefte'nulfe. PuisietireauflyIL,en forte que laligne IKeftaKL, comme Zefta«. c'eft adire que IK eftantx, KL eft
~x» Etpar raefmemoyenieconnois aufly laproportion
qiri
32» La Geometrie.
qui dt entre K L, & IL, que ie pofe comrac entre n Sc a:
fibienque K L eftant -{x, I L eft ~ .v; Et ie fais que le
point K foit entre L & C, a caufe qu'il y a icy - \ x,
au lieu que i'aurois mis LentreK & C,fi i'eufle eu -
& ien'eufle point tirecete ligne IL, fi;#euft eftenulle. Or cela fait,il ne me reftepluspour laligne L C, que
cestermes, LC»^ ww+ ox---mxx. d'oüievoy
que s'ilseftoientnuls,ce point C fe trouueroit en la li-gne droite I Ls& que s'ils eftoient tels que la racine s'en
pufttirer,ceftadirequemm&c-mx x eftant marqu& d'vn mefine figne    ou—, o o fuft efgal ä qp m, ou bien
quekstetme$m7nteox,ouox &c~xx fuflent nuls, ce point C fe trouuerpit en vne autre ligne droite qui ne fe* roit pas plus malayföe a trouuer qu* IL. Mais lorfque cela n*eftpas,ce point C eft toufiours enTunedes trois feäions coniques, ou en vn cercle , dont l'vn des dia-metres eft enla ligne I L,&laligneLC eft Tvne de Celles qui s'appliquent par ordre ä ce diametre; ou au con-traire L C eft parallele au diametre, auquel celle qui eft en la ligne IL eft appliqu^c par ordre. A f§avoir fi le ter-
me ~ x x9 eft nul cete fe£tion_conique eft vne Parabole;
&s'ileft marqug du figne -+-, ceft vne Hyperbole; & enfinYil eft marque du figne — ceft vne Ellipfe. Excepte' feulement fi la quantite aam eft efgale k pfä & que Tan-gle ILC foit droit.- auquel cas on k vn cercle au lieu
d'vne
LrvRE Second.
ď vne Ellipfe. Que fí cete íečtion eft vne Parabole, fon
0 7
coft e'droit eft eígal ä & íbn diametre eft toufiours en laiigne IL. & pour trouuer le point N, qui en eftle
fommet,ilfautfaireINefgalea~^-& que le point I
foit entre L & N,fi les termesfbnt -f - m m -f- o x-y oubien que le point L foit entre I & N, s'ils font -f- mm — ox; oubien il faudroit qu'N fuft entré I & L, s'il y auoit
— m m 4- o x.    Mais il ne peut iamais y auoir
— m m3 en la fa^on que les termes ont icy efte" pofďs. Et enfin le point N feroit le mefme que le point I (í laquan-titéw^e&oitnulle. Au moyen dequoy il eft ayíe de trouuer cete Parabole par leicr.Problefrae du icr. liure ďApollonius.
Que
jjo la Geometrie.
Que fi la ligne demädee eft vn cercle,ou vne ellipfe, ou vne Hyperbole, llfaut premierementchercherle point M, quieneftle centre, &qui eft toufiours enlaligne
ao m
droite IL, ou on le trouue en prenant — pour IM. cn
forte que íi la quantité o eft nulle,ce centre eft iuftement au point I. Et íi la ligne cherchee eft vn cercle, ou vne Ellipfe. on doit prendre lé point Mdumefmď cofté que le point L, au refpečt du point I, lorfqďon a -+- o x; 5c Ioríqďon ä — o x, on le doit prendre de lautre. Mais tout au contraire en 1'Hyperbole, fi on a — o xy ce centre MdoiteftreversL.&fiona-f-otf, il doit eftre de lautre cofte'. Aprés cela le coftď droit de la figure doit eftre
r "77* H--lorřqu on a •+• m m, & que la ligne
cherchee eft vn cercle, ou vne Ellipfe; oubien lorfqiťon a— mm, 5c que c'eft vne Hyperbole.   & il doit eftre
^°~7t' "~ ~7T~~fik ligoe cherchee eftant vn cercle,
ou vne Ellipfe, oiiá-J^% oubien fi eftant vne Hyperbole & la quaatité* o eftant plus grande que 4 mp, on á -i-mm. Que li la quantité7^ m eft nulle, ce cofte'droit
eft °\ & fi o eft nulle,il eft V 4-^l Puis pour le cofté
travcrfant, il fanttrouuer vne ligne; qui foita cecoftď droit, comeaameftkp ^,äf<jauoirfice cofte droit efc
r   _—^--—— Ie trauerfant eft
Et en tous ces cas le diametre de la fe&ion eft en la ligne I M, & L C eft lvne de Celles qui luy eft appliquee par ordre. Sibienquefaifant M N efgale ala moitiedu cofte'
trau er-
Li vre Second* 3Ji traucríant & le prenant du mefme cofré' du point M, qu eft le point L, on a Ie point N pour Ie fommet de ce diametre .en fuite dequoy il eft ayfe'de trouuer la íečtion par le fecond & } prob, du i€r. liu. d'ApolIonius*
Mais quand cete lection eftant vne Hyperbole, on á -\-mmi&c que la quantité o o eft nulle ou plus petite que 4^ m, on doit tirer du centre M la ligne MOP parallele a LC,&CP parallele ä L M.* & faire M O efgale a
^mm — °~ j oubien la faire efgale ä m li la quantite* o x
eft nulle. Puis confiderer le point O, come le fommet de cete Hyperbole^ dont le diametre eft O P 9 & C P la
ligne
33* La Geometrie.
ligncqui luy eft appliqu£e par ordre^ fon coftedroirefc
V *****     a+oom* */ *om.
Excepte'quand o x eft nulle.car alors le cofte' droit cfo -jtt-, & le trauerfant eft i m. & ainfi il eft ayfc de la trouuer par le 3 prob.du ier. Iiu. d'Apollonius.
jbwTion Et *es demonftrations de tout cecy font euidentes,car detoutcocompofant vn efpace des quantites que iay aflignees 3'cftreCnt pourle cofte droit, Sc Je trauerfant, & pour lefegment cxpiiquc. dudianietreNL,ouOP,fuiuatlateneurderii,du
du 13 theorefines du xc*. liured'ApoIlonius, on trouuera touslesmefraestermes dont eft compofd le quarre de laligne C P> ou C L,qui eil appliquee par ordre a ce diametre. Comme en cet exemple oftantl M , qui eft
^jr, deNM, qui eft — r 0 0-+-4*w/>,iayIN, alaquel-
le aiouftant 1L, qui eft - a;, iay N L , qui eft ^ x —
^^.V 0 o~-h 4. rnp , & cecy eftant multiplie' par
■j   * 0    4     qui eft Ie cofte droit de la figure, il vient
xVoo-\-\mp ~~ r~ ^ 00 -t-4.771 p     ~ -\- 2 m ?n
pour Ie re&angte. duquel il faut ofter vn efpacequi foit auquarre'de N L comme le cofte'droit eft au trauerfant.
& ce quarrd de N L eft ^l&x— f3LJL- x
d A 0 77) TV
Livre Second. ?33
m a o m m    ~m -
---ipp*T~    * *   4    qu'ii rautdiuiferpar^tf^&
multiplier par/^acaufe que cestermes expliquentla proportion qui eft entre le coftd trauerfant & le droit, &
il vient - xx~ o x-t- xy oo    4 mp---
"* T ^ oo-\-^mp-t- Ttf/w.cequ'il faut ofter da rectangle precedent, & on trouue mm-^rox ~*^xx pour le quar-
re'de C L, qui par confequent eft vne ligne appliquce par ordre dans vne Ellipfe,ou dans vn cercle,au fegment du diametre N L.
Et fi on vent expliquer touted les quantites donncfes parnombres,enfaifentparexemple EAo)^ AGooy, AB»BR,BS3oiBE,GB30 BT,CDoo |CR,CF oozCS, GH^ofCT, & que 1 angle A B R foit de 60 degrds- & enfin que le re&angle des deux C B, & C F, fort efgal au redrangle des deux autres C D &rC H; car il faut auoir toutes ces chofes affin que la queftion foit en-tierement determinec. & auec cela fuppofant A B 20 x, & CB soy, on trouue par la fa§on cy deflus expliqufe
y y 00 2 y " x y    5 x — x x & y 30 1 — i• #
^i-f-4**-f fibieuqueB K doit eftre i,& KJL doiteftrelamoitiede KI, & pourceque Tangle IKL ou A B R eft de 60 degres, & KI L qui eft la moitie'de KIBouIKL, de 30,1 LKeftdroit. Et pourceque IK ou A B eft nomine*, K Left \x, & IL eft xV\,&la quantite' qui eftoit tantoft nommdfe ^ eft 1, celle qui eftoit a eft Y j, celle qui eftoit m eft 1, celle qui eftoit 0 eft4,& celle qui eftoit p eft |,de fa£on quon k Y~ *|
pou*v
La Geometrie.
pourIM, & V *f pour N M, & pourcequcnam qui eft | eft icy efgal a & que Tangle IL C eft droit, on trouue que la ligne courbe N C eft vn cercle. Et on peut facilement examiner tousles autres cas en mefme forte.
Quels Aurefte acaufe que Ies equations, qui ne montent
UcuxCS     que iufques an quarre", font tou tes comprifes en ce que ie j>ianSj &     viens d'expliquer; non leulement le problefine des an-L facon    ciensen j &4lignes eft icy eutierement acheue'- mais de les       aufly tout ce qui appartient a ce qu'ils nommoient la compofition des lieux folides • & par confequent aufly a celle des lieux plans* a caufe qu'ils font compris dans les folides. Car ces lieux ne font autre chofe, finon que lors qu'il eft queftion de trouuer quelque point auquel il
manque
Livre Second. 33J"
manque vne condition poureftre entieremcnt determine, ainfi qu'il arriue en cete exemple,tous les poins ďvne mefme ligne pewuent eftre pris pour celuy qui eft de-mande'. Ec fi cete ligne eft droite, ou circulaire , on la nommevn lieu plan. Mais fi ceft vne parabole, ouvne hyperbole, ou vnecllipfe, on la nomme vn lieu folide. Et toutefois & quantes que cela eft, on peut venir a vne E-quationqui contient deux quantite's inconnues, & eft pareille a quelqu'vne de celles que ie viens de refoudre. Que fi la ligne qui determine ainfi Ié point cherché, eft d'vn degre'plus compofee que les fečiions coniqucs, on la peut nommer, en meime fagon , vn lieu furfolide, & ainfi des autres. Et s'il manque deux conditions a la determination de ce point, le lieu ou il fe trouue eft vne fu-perficie, laquelle peut eftre tout de mefme ou plate, ou fpherique, ou plus compofee. Mais le plus haut but qu'ayenteulesanciensencetematiere a efte deparue-niralacompofitiondes lieux folides: Et il femble que toutcequ'Apolloniusaefcritdes fečtions coniques na efte'qu'ä deíTein de la chercher. Quelleeft
De plus on voir icy que ceque iay pris pour Ie premierIa Prc™ic-genredeslignescourbes,nenpeutcomprendreaucunespíus fim-autres que Ie cercle, la parabole, rhyperbole,&l ellipfe. Plcudc Ic qui eft tout ce quefauois entrepris de prouuer. lignes
Que fi la queftion des ancicns eft propofee en cinq Ii- c°^r? gnes, quifoient toutes paralleles ; il eft euident que le uenten la point chercheTeratoufiours en vne ligne droite. Maisfi 3« an-" clle eft propofee en cinq lignes, dont ilyenait quatre «en$ qui foient paralleles, & que la cinquiefme les couppe aíTaipr^ angles droits, 6c mefme que toutes les lignes tirées duPofécetl
. cinqli-pointgncs.
53* La Geometrie*
pointclierchelesrencontrent aufly a angles droits, & enflnquelcparallelcpipedecompofédc trois des lignes ainfi tirées fur trois de Celles qui font paralleles,foit eígal au parallelepipedecompofé des deux lignes tirées ľvne fur la quatrieíine de celieš qui font paralleles & 1 autre fur celie qui les couppe a angles droits, & d Vne troifief. me ligne donnee. ce qui eft ce femble Ie plus Ample cas qu on puifle imaginer aprcs le precedent ; le point cherche fera en la ligne courbe, qui eft defcrite parle mouuement d'vne parabole en lafajon cy deflus expliquee.
Soient
Livre Stcoxxx* 337 Soient par exeinple les lignes cherchées A B,I H,E D, G F, & G A. & qiťon demande le point C, en forte que tirant CB,CF,CD,CH,&CMa angles droits fur les donnees, leparallelepipede des trois CF, CD, & CH foitefgalaceluydes 2autresCB,&CM,&ďvne troi-íiefme qui foit AI. IepoíeCBooy. CMíox. AI, ou A E, ou G E 00 a,de fa§on que le point C eftant entre les lignesAB,&DE, iayCF302^ ~^,C D a -y. & C H 30y -\-a» & multipliant ces trois Tvne par ťautre,
iay y ~z*yy-m * &y •+" *a eígal au produit des trois autres qui eft a xy. A pres celaie confidere laligne cour-be C E G, que rtmagínc eftre deferite par ttnteríečtion, de la Parabole CKN, qu'on fait mouuoir en telle forte que fon diametre K L eft touliours fur la ligne droite A B, & de la reigle G L qui tourne cependant autour du point G en telle íorte quelle paíTe touíiours dans le pian de cete Parabole par le point L. Et ic fais K L 00 a, & le co&édroit principál, c eft adire celuy qui íe rapporte a laiffieu de cete parabole, aufly eígal ka, fcGAxna, 8c CBouM A30^,&C Mou A Boo x. Puis a cauíe des triangles femblables GM C & C B L,G M qui eft 2 a -y% eft á M C qui eft x, comme C B qui efty, eft á B L qui eft
X v
par confequeut        EtpourcequeLKeftď, BKeft a
mm x y !/>/!-• ($ y — xy
—~,oubien ——. Et cnfinpourceque ce mef-me B K eftant vn fegment du diametre de la Parabole, eftáBCquiluy eft appliquée par ordre, comme cel-lecyeft au cofté droit qui eft a, le calculmonftíeque
y —zayy— aay     %us eft eígal á a xy. & par confer
quent
33* La Geometrie.
quem que lepoint C eftceluy quieftoitdemande. Etil pcut eftre pris en tcl cndroir de la ligne C E G qu on ve-uille choifir, ou aufly ea fon adiointe cE G c quife de-fcri t en mefme facjo^exceptrf quele fbminet de laPara-boleefttourneversi'autrecoft£, ouenfinenleurscon-trepofees NI o, n 10,qui font defcrites par rinterfeäion que fait la ligne G L en lautre coftd de la Parabole KN.
OrencorcqueIe$parallelesdonn&sA B, 1H, ED, & G F ne fuflcnt point efgalement distantcs, & que G A iie les couppaft point aangles droits, ny aafly leslignes
LiVRE Second. 33? tir&s du point C vers dies, ce point (t ne laifleroit pas defetrouuertoufiours en vne ligne courbe» qui feroit de cete mefme nature. Et il s y peut aufly trouuer quel-quefois, encore quaucune des lignes donne'es nefoient paralleles. Maisfi lorfqu'ilyena 4 ainfi parallele s,&vne ciuquiefrne qui les trauerte: & que le parallelepipede de troisdeslignes tiroes du point cherche', lvne fur cete cinquiefme, & les 1 autres for 2 de Celles qui font paralleles; (bit efgalaceluy, des deux tirees fur les deux autres paralleles, &d'vne autre ligne donne'e. Ce point cherchefeft en vne ligne courbe d'vne autre nature, a igauoir en vne qui eft telle, que toutes les lignes droites appliquees parordreafondiametreeftant efgales a Celles dVne fe&ion conique, les fegmens de ce diamctre, qui font entrelefommet&ces lignes > out mefme proportion a vne certaine ligne donncfc, que cete ligne don* nee a aux fegmens du diatnetre de la fe&ion conique, aufquels les pareilles lignes (but appliquees par ordre. Et ie ne fijaurois veritablement dire que cete ligne foit moins fimple que la precedente, laquelle iay creu toute-foisdeuoir prendre pour la premiere, acaufequela de-fcription, & le calcul en font en quelque fajon plus faciles.
Pour les lignes qui feruent aux autres cas, ie ne m are-fteray point ales diftinguer par efpeces. car ie nay pas entrepris de dire tout ; & ayant explique la fa^onde trouuer vne infinite'de poins par ou elles paffent,ie penfe auoir afles donn£ le moyen de les defcrire.
Mefme ileft apropos de remarquer, qu'il ya grande difference entre cete &£on de trouuer plufieurs poins
pour
34o £A Geometrie.
font les  pour tracer vne ligne courbe,& celle donton fefertpour
cfurbcs *a *Pira*e>& ^es fomblables. car par cete derniere on ne auon de- trouue pas indifferement tons les poins de la ligne qu on trouuant cherchc, maisfeulcmentceux qui peuuent eftre dc'ter-piufieurs mine's par qu elque mefure phis fimple, que celle qui eft po/*^ & ainfi a proprement parier
peuuent on ne trouue pas vnde fes poins. c'eft a dire pas vn de ceues^n ceuxquiluyfont tellement propres, qu'ils ne puiflcnt Geome- eftre trouues que par elle: Au lieu qu'ilny a aucun point dans les lignes qurfernent a la queftionpropofee, qui ne fe puifle rencontrer entre ceux qui fe determinent par la fagon tantoft expliquee. Et pourceque cete fa§on de tracer une ligne courbe, en trouuant indifferement piufieurs de fes poins, ne s'eftend qu a Celles qui peuuent aufly eftre defcrites par vnmouuement regulier & continue on ne la doit pas entierement reietter de la Geometrie.
S^aufly Etonn'en doit pas reietter non plus, celle ou on fe ceiies fertd'vnfil, ou d'vne chorde repliee, pour determiner ?ait*auec legality ou la difference de deux ou piufieurs lignes vncchor- droites quipeuuent eftre tire'es de chafqne point de la peuuent courbe qu'on chcrche, a certains aiitres poins ^ ou fur y eftre certaines autres lignes a certains angles, ainfi que nous auons fait en la Dioptrique pour expliquer l'Ellipfe & l'Hyperbole. car encore qu'on ny puiffe re§euoir au-cunes lignes qui femblent a des chordes, c'eft a dire qu] deuienent tantoft droites & tantoft courbes, a caufe que la proportion, qui eft entre les droites & lescotirbes, n'eftant pas connue, & mefme ie croy ne le pouuant eftre par les homines, onnepourroitrien conclure de lä qui
fuft
LivRE Second 3+* &ft exact &a{Turé. Toutefoisa caufe qu'on tiefe ferr de chordes en ces conftručtions, que pour determiner des lignes droites, dont on connoift parfaitement la loa-geur, cela ne doit point faire qu'on les reiette.
Or de cela feul qu'on f$ait le rapport, qu'ont tous les q« pout poins ďvne ligne courbe a tous ceux d'vne ligne droite, ^uwsies-en lafa^onqueiay expliquee- il eft ayféde trouuer aufly proprie-le rapport qu'ils ont a tous les autres poins, & lignes don- "s^cs U~ nees: & enfuite de connoiftre les diametres, Ies aiflieux, combes*
- .. . .   %   r       i- ilfuffift
lep centres, & autres lignes, ou poins ř a qui chalque li- ac fcaujw* gne courbe aura quelque rapport plus particulier , oulc"PPoi:c plus fimple, qu'aux autres: & ainfi ďimaginer diners ?ousicurs moyens pour Ies defcrire, & d'en choifir les plus faeiles. Et mefme on peut aufly parcela feul trouuer quail tout lignes cequi peut eftre determine'touchant la grandeur de fe-^^n fpace quelles comprenent, iäns qu'ilfoit beibin que i*en de titer donneplusd'ouuerture. Etenfinpourcequieft detou^a^cs tes les autres proprietes qu'on peut attribuer aux lignes qui ies courbes, ellesne dependent que de la grandeur des an-^"^s" gles qu ellesfontauec quelques autres lignes. Mais lor A ces poins
, .      j    *. j    . ., a angler
qu on peut tirer deslignes droites qui les couppenc a an* droits, gles droits, aux poins ou ellesfont rencontre'es par eel-lésauec qui elles font les angles qu'on veut mefurer, ou, cequeie prensicy pour Ie mefme, qui couppent leurs contingentes; la grandeur de ces'angles n'eftpas plus malayfée a trouuer, que s ils eftoient compris entre deux lignes droites. Ceftpourquoyiecroyray anoir mis i6y tout cequi eft requis pour Ies elemens des lignes courbes, lorfque i'auray generalement donne' la fa§ön de tirer des Kgnes droites, qui tombent a angles droits ilir
tels
Facon generate pour crouucr deslignes droites* qui coup-pent les combes donates, on
cantia-gcntes>a
droits.
La Geometrie. tels de leurs poins qu'on voudra choifir. Et ľofe dire que c eft cccy le probléfme le plus vtile, & le plus general ncmieulement que ie flache, mais meüne que ľaye iamais defiré de f$auoir en Geometrie.
Sok C E la ligne courbe, 6c qu'il faille ti-rer vne ligne droitc par le point C, qui fa-
teurľ ce a«ec eile des angles droits. Ie íuppoie la chofe delia faite, & que la ligne cherchée eft C P, iaquelle ie pro-gíeľ" longc iuíques aü point P, ou elle rencontre la ligne droi-teG A, que ie fuppofe eftre celie aux poins de laquelle on rapporte tous ceux de la ligne C E: en forte que fai-íantMAouCBsoy,&CM,ou BAx>#, iay queíque equation, qui explique le rapport > qui eft entre x 8zy* PuisiefaisPCooj, 8cTAy>vf ou P M y> v -y9 & a caufe du triangle rectangle PMC iay ss, qui eft Is quarry de la baze eígäl ä x x -H* v— zvy-hyy, qui font les quarrés des deux cofte's.  c'eft a dire iay x 3>
Yss*-i)Q-\rxvy—yy> oubien^ » v -H V ss~xxySc parieinoyende cete equation, ťofte de ľautre equation qui m'expfique le rapport qu'ont tous les poins de la courbe C E a ceux de la droite G A,ľvne des deux quan-titésindetermínées x ony, ce qui eft ayfó a faire ea
mettantpartout Vss~vv-i-zvy—yy au lieu ďx,& le quarré de cete fomme au lieu ď x x, &fon cube au lieu
d'x\ &ainfidesautres,fiťeft#queieveuilleofter- oubien
LivRE Second,
P M
bienfic'cft^enmettantenfonlieutf-f- Vst-xx^te le quarre, ou Ie cube,&c. de cete fomme, au lieu d^,ou
y &c. De fagon qu'il refte toufiours aprés cela vne equation, en laquelle il ny a plus qu'vne feule quantite'indc-terminée, x,ou y.
Comme fi CE eft vne Ellipie , Zcque M A foit le fegment de fon diametre, auquel C M foit appliquée par ordre, & qui ait r pour foncofté droit, & q pour le tra-
uerfantjonä parle 151 h. du i liu. d'Apollonius.
xxx>ry-^y y, ďon
oft ant xXfil refte
- vvHrzvy-yy 00 ry-^yy* oubien,
y y * *ĽlľĽ2^ f™"*efgal a rien. catil cftmieuxen
cetendroit de confiderer ainíi eníemble toute la fomme , que ďen faire vne partie elgale -aľautre.
K    Tout de mefine fi C E eft la ligne courbe L deícrite par le mou-uement d'vne Parabole en la fa§on cy deflus B expliquéfe, ôcquonait pofé^pourGA, *ponr K L, & d pour Ie cofte' droit du diametre K £ a enlaparabole:lequatio qui explique le rapport
qui
344 La Geometrie.
qui eft entre x &y, eíty -úyy-cdy ~hbcd-r-dxyx>o+
ďoů oftantx y on a y3- lyy—tdy -f- bcd-i-dy V^sJ^vv-+~~ivy^-yy. & remetrant en ordre ces termes par lemoyen de la multiplication, il vient
&d\dJ   - %&avJ    "ddssC J
>$*d,d v v*
Et ainfi des autreš. Mefme encore que les poins de la ligne courbe neíe rapportaflentpasenlaía^onqueiay ditte a ceux d'vne ligne droite, mais en toute autre quon fgauroit imagi-ner, on ne laifle pas de pouuoir toufiour s auoir vne telle equation. Comme li Q E eft vne ligne, qui ait tel rapport aux trois poins F, G, & A, que les lignes droites ti-.réesde chafcun de fes poins comme C^iufques au point F, fürpaffent la ligne F A 3 Vne quantite, qui ait certaine
proportiodon-Ql^ss^^ nee a vne autre
N quantite dont
G A furpaffe les lignes tirees des   mefme s
poins iufques ä G. Faifons GÄ3o£,AF:x>r>& prenant ädiícretíonlepoint C dans la courbe, que la quantite dont C F furpaffe FA, (bit ä celie dont G A furpaffe GC, commhd&e, en forte que fi cete quantite qui eft
indererminee fe nomme ^FC eft c-h ^,&GC eft ŕ—
PuispofantM Atx)y,G Mcílí-^&FM eft£-hy,&: a caufe du triangle reŕrangle C M G, oftant le quarre
de
Livre Second. 347 de G M du quarrc de G C, on a Ie quarre de C M, qui eft
2iZ\mm~I*L~1r2 &y m*yy* Pu*s oftant le quarre'de F M du quarre'de F C, on a encore le quarre'de C M en d autres termes, a ftjauoir^H-2 zcy~yy, & cester-mes eftant efgaux auxprecedens, its font connoiftrej,
.      ddzz >$< i cddz — eezz. >fr ibdc7. .
ou MA, qui eft-7im*7m-~&fubftituant cete fomme au lieu d'y dans le quartfede C M, ontrouue qu'il s'exprrme ences termes.
bddzz *i* ceezz    i beddz — i bedez
Idd*cdd "    " —//•
Puisfuppofant que la ligne droite PC rencontre la courbe a angles droits au point Cr & faifant PC xj, & P Aoov comme deuant, PMeftv-y ; & a caufe du triangle redtangle P C M,on hss—vv-h z vy—yy pour le quarre' de C M, ou derechef ayant au lieu dy fubftituc' la fomme qui luy eft efgale, il vient
>$* i bcddz — i bedez — z eddvz   zbdevz — bddss     Bddvv — X^L ~~ bdd *b cee    ee tj   44 v
- Mss * eddw. yy o pourl'equation que nous cherchions.
Or apres qu'on a trouue'vne telle equation , au lieu des'enferuir pour connoiftre les quantites #,ou7, ou qui font defia donncjes, puifque le point C eft donnd, on la doit employer a trouuer v> ou / , qui determinent le point P, qui eft demanded Et a cet effedt il faut confide-rer,que fi ce point P eft telqu'on le defire, le cercle dont il fera le centre, & qui paflera par Ie point C, y touchera la ligne courbe C E, fans la coupper: mais que fi ce point P, eft tant foit peu p!usproche,ou plus efloigne du point
A,qu'il
La Geometrie.
A, qu'ilne doit, ce cercle couppera la courbe , non feu-lenient au point C, mais aufly neceflairement en quel-que autre. Puis il faut aufly confiderer, que lorfque ce cercle couppe la ligne courbe C E, ('equation pariaquelle on cherche la quantite'*,ouy% ou quelque autre fem-blable, en fuppofant P A & P C eftreconnues, contient neceflairement deux racines, qui font inefgales. Car par exemple Ii ce cercle couppe la courbe aux poins C & E, ayant tireEQjparallele a CM, les noms des quantitds indeterminees x &y, conuiendront aufly bien aux lignes EQ^ &QA,qua CM, & MAS puis PE eft efgale a P C, a caufe du cercle, fi bien que cherchant les lignes
EQ & QA% parPE &
P A qu'on fuppofe com-rae donnees, on aura la mefme equation y que fi on cherchoit C M & M A par P C, P A. d ou il fuit euideinment,quela valeurdar, ou d>, ou de telle autre quantite qu'on aura fuppofee, fera double en cete equation, c'eft a dire qu'il y aura deux racines inefl galesentreelles; &dont Tvne fera CM, lautre EQ, fi c'eft a: qu'on cherche. oubien Tvne fera M A, & Tautre QA,fic'efty. &ainfi des autres. II eft vray que fi le point E ne fe trouue pas du mefme cofte de la courbe que le point Q il n'y aura que Tvne de ces deux racines quifbit vraye, & Taurre fera renuerfee, ou moindre que rien: mais plus ces deux poins, C, & E, font procheslVn del autre, moinsily a de difference entre ces deux racines ;
P M
LivKE Secokd. 347
nes • & enfin elles font entierement efgales, s'ils font tous deuxioins en vn; c'eft adire fi le cercle,qui pafle par C, y touche la courbe C E fans la coupper.
De plus il faut confiderer, que lorfqu'il y a deux raci-nes efgales en vne equation, elle a neceffairement la mefme forme,que fi on multiplie par foy mefme la quan-titéqu on y fuppofe eftre inconnuě moins la quantité connue qui luy eft efgale, & qu apre's cela fi cete derniere fomme tfapas tant de dimenfions que la precedente, on la multiplie par vne autre fomme qui en ait autant qu'il luy en manque^ affin qu'il puiíTe y auoir ieparement equation entre chafcun des termes de ľvne, & chafcun des termes de lautre.
Comme par exemple ie dis que la premiere equation trouuee cy deflus, afijauoir
y J——Ifrr—'--doit auoir la mefme forme que
celle qui feproduift enfaiíant e efgalaj, & multipliant j — e par foy mefme, ďoů il vient — 21 y •+■ e *,cn forte qu'onpeut comparer ieparement chafcun de leurs termes, & dire que puifque le premier qui eft j y eft tout Ie mefmeénľvnequ'enlautre, le fecond qui eftenľvne
—7;— eft efgal au fecôd de ľautre qui eft - 2 e y ,ďou cherchant la quantity v qui eft la ligne P A , on á
v to c ~-;£-f- i r, oubie
a caufe que nous auons fuppofe' e efgal a y , on a
vZO) —\ y-*~kr- Ec
ainfi
$48 La Geometric*
ainfi on pourroifc trouuer s par le troifiefme terme
ee so' -~ ''maispourceque Iaquantite v determine
affds le point P,qui eft le foul que nous cherchions,on n'a pas befoin de paflfer outre.
Tout de mefine la feconde equation trouu^e cy de£ fus, a f§auoir,
if' "N    — ibbcd-y ffrddJ 1 - zddv-*    - d d ssC1 J
doitauoirmefme forme, que la fommequifeproduifc lorfqu'onmultiplie )j--zey-±-eepar
4 3 J 4
yHrfj+ggJlH-hyH-l^ qui eft
de&gon quedeces deux equations i'en tire fix autres, qui feruent a connoiftre les fix quantites fy g9 by %j v3 & s: Douil eft fort ayfe' a entendre, que de quelque genre, quepuifTeeftrela ligne courbe propofee, il vient tou-fiours par cete fa§on de proeeder autant d'equations, qu'on eft obligd defuppofer de quantites, qui font inconnues. Mais pour demefler par ordreces equations, & trouuer enfin la quantity, qui eft la feule dont on a befoin, & a Poccafiondelaquelle oncherche les autres: Ilfautpremierementparlefocond terme chercher/, la premiere des. quantites inconnues de la derniere fom-me, & on trouue /'ooze — ib.
Puis par le dernier il faut chercher ^la derniere des quantites inconnues de la mefmefomme, & on trouue
bbccd d.
K*>~7T~
Puij
L i vre Second. 34P
Puispar le troifiefrae rerme il faut chercher g !a feconde quantite, &onagg o> $ «—4 be—z cd*T- bb-\-dd. Puis par Ie pcnultiefme il faut chercher h la penultiefine
.   ,        .   n t,     ibbccdd      zbccdd. .  r t|/.
quantite, qui eft #J 30--—---—— Etainfi 4I faudroit continuer fuiuant ce mefme ordre iufques a la der-niere, s'il y en auoit d'auantage en cete fomme; car c'eft chofe qu on peut toufiours faire en mefme fa§on.
Puis parle terme qui fuit en ce mefme ordre, qui eft icy Ie quatriefme, il faut chercher la quantite7 v, & on a
if J     \bee     bbe    ice ibc     bcc hhc<£
*z>-dd--~dT-h'7d~-d + ' + "d +77-"7iT ou mettantJ au lieu d\? qui luy eft efgal on a
pourlaligne AP*
Etainfilatroifiefine equation, qui eft
iSo La Geometrie.
$4 2bcddz — %bcdex,--i cddvz — xbdevz — bddss tj* h ddvv-? \ " bdd t^ce§*in$0v'
— cddss *y cddvv $   .        - r
—--■— a la me fine forme que
K,K9-*fK.m*mff> en fappoknt/efgal a{, fi bienque it y a derechef equation entre — 2/, ou — 2 $f &
*f* ibcdd—ibcdc — l. cddv — zbdev .    _ ,Ä
-rrr;-;-77^- d oü cm connoift que
Ä .   ,       A bedd-bede tj* bddz, »fr c»gx
la quantite v eft tdd**d*—**ddi
C'eft pourquoy compofant la ligne A P, de cete fomme et Q gale ä v dont toutes les quantity font connues, & tirant du point Painfi trouue, vne ligne droite vers C, eile y couppe la courbe C E a angles droits, qui eft cequ'ilfälloit faire. Et ie ne voy rien qui empefche, qu'on n'eftende ce problefme cn mefme fa§on a toutes les lignes courbes,quitombentfous quel-que calcul Geometrique.
Mefme il eft aremarquer touchant la derniere fomme, qu'on prent a diferetion, pour remplir le nombre des dimenfions de l'autre fomme , lorfqu'il y en manque , comme nous auons pris tantoft
y*-t-fy ^-b-ggyy-t-h^y-lrK** 9U€'esfignes -f-& — y peuuent eftre fuppofestels, qu'on veut, fans que la ligne v9 ou A P, fe trouue diuerfe pour cela, comme vous pourres ayfement voir par experience, car s'il falloit que iemareftafTeademonftrertous les theorefmes dont ie
fais
Livre Secokd, fais quelque mention, ie ferois contraint d efcrire vn volume beaucoup plus gros que ie ne defire. Mais ie veus: bien en paflant vous auertir que Tinuention defuppofer deux equations demefme forme, pour comparer fepa-rement tous les termes de IVne a ceux de lautre, & ainfi enfairenaiftreplufieursd'vnefeule, dont vousauesvu icy vnexemple, peutferuir a vne infinite d'autres Pro-blefmes, & n'eft pas 1'vne des moindres de la methode dont ie me fers*
Ien adioufte point les conftru&ions, par lefquelles on peut defcrire les contingentes ou les perpendiculaires cherchdes, en fuite du calcul que ie viens d'expliquer, a caufe qu'il eft toufiours ayfe'de les trouuer: Bienque fbu-uenton aicbefoin d'vn peu d adrefler pour les rendre courtes &fimples.
Commeparexemple, ffD Ceft lapremiere conchoi- Excmpie
de des anciens, de la <?°n-dont A foit le po- d^cc prole, & BH la regie: McCdmb
r °    la con-
en lorte que tou- choidc.
b _________ tes les lignes droi*
tes qui regardent
vers A , & font
comprifes entre la
'a courbe CD, &Ia
droite B H, com-
meDB&CE, fbientefgales: Etqu'on veuille trouuer
ligne C G qui la couppe au point C a angles droits.
Onpourroitencherchant, dans la ligne B H, Ie point
par oucete ligne CG doit pafler, felon la methode icy
expH-
Explication de 4 nouuc-aux genres a O-ualcs, qui feruent a rOpti-que.
3Í* La Geometrie.
expliquďe, s*engager dans vncalcul autantou plus long qu'aucundes precedens:Et toutefois Iaconftručh*on,qui deuroit apre's en eftre deduite,eft fort fimple. Car ilne fatit que prendre C F en la ligne droite CA, & la faire efgale äCH qui eft perpendiculaire fur HB; puis du point FtirerFG, parallele ä BA, & efgale ä EA: au moyen de quoy on a le point G, par lequel doit paifer C G la ligne cherchée.
Au reite affin que vous f^achiées que la coníideration des lignes conrbes icy propofee n'eft pas fans vfáge, Sc qu'elles ont diuerfes proprietés, qui ne cedent en rien a Celles des fečtions coniques,ie veux encore adioufter icy ťex plication de certaines Ouales, que vous verres eftre tres vtiles pour la Theorie de la Catoptrique , &dela Dioptrique. Voycy la facon dont ie les defcris.
7 G -v
Premierement ayant tire" les lignes droites F A, & A R, qui s'entrecouppent au point A, fans qďil importe a quels angles, ie prens en fvne le point F a difcretion, c eft a dire plus ou moins efloigne'du point A felon que
ie
LiVRE Second. 3S3 ievcux faire ces Ouales plus oumoins grandes, &dece point Fcomme centre ie defcris vn cercle , quipafle quelquepeuau delädu point A, commc par le point f> puisde ce pointy ie tirelaligne droite $ 6, qui couppe 1 autre an point 6, en forte qu* A 6 foit moindre qu" A felon telle proportion donneequon veut, a f<jauoir felon celle qui mefure les Refractions ii ons'en veut fer-uir pour la Dioptrique. Aprés cela ie prens aufly le point G, en la ligne F A,du cofte'ou eft le point y, a diicrction, c'eftadireenfaifantqueleslignes AF&GA ontentrc ellestelle proportion donnee qu'on veut. Puis ie fais R A efgale ä G A en la ligne A 6. & du centre G defcri-uant vn cercle, dont le rayon foit efgal ä R 6t il couppe i'autre cercle de part & d'autre au point x, qui eft i'vn de ceux par oú doit paifer la premiere des Ouales cher-chees. Puisderechef du centre F ie deícris vn cercle, qui paiTe vn peu au de§a, ou au delá du point s, comme par le point 7,&ayant tire" la ligne droite 7 8 parallele a S 6% du centre G ie defcris vn autre cercle, dont le rayon efteigalala ligne R8. & ce cercle couppe celuy qui paiTe par le point 7 au point 1, qui eft encore Tvn de ceux de la mefme Ouale. Et ainfi on en petit trouuer au-tant d'autres qu on voudra f en tirant derechef d au-tres lignes paralleles ä 7 8, & d'autres cercles des centres F,&G.
Pour la feconde Ouale il n'y a point de difference, fi-nonqu'aulieud' ARilfautde Pautrecoftd du point A prendre A S efgalä A G, & que le rayon du cercle de-fcritdu centre G, pour coupper celuy qui eft defcrit du centre F & qui paiTe par le point y, foit efgal a la
ligne
La Geometrie.
ligne S 6; ou qu'il foit cfgal k S 8, fi c'eft pour couppcr eeluyqui paffepar Ie point 7. & ainfi des autres. au moyen dequoy ces cercles s'entrecouppent aux poins marquds 2,2,, qui font ceux de cete feconde Oualc A2X.
Pour la troifiefme, & la quatriefme, au lieu de la ligne A G il faut prendre A H de lautre coft£ du point A, & f§auoir du mefme qu'eft le point F. Et il y a icy de plus a obferuer que cete ligne A H doit eftre plus grande que AF:IaquelIepeutmefme eftre nulle, en forte que Ie point Ffe rencontre ou eft le point A, en ladefcription detoutescesouales. Aprcscela les lignes AR, & AS eftantefgalesa AH , pour defcrire la troifiefme ouale A 3 Y, ie fais vn cercle du centre H, dont le rayon eft
efgal
LrvuE Second.
35S
cfgal ä S 6, qui couppe au point 3 celuy du centre F, qui pafle par le point &vn autre dontle rayon eft efgala S 8, qui couppe celuy qui paflepar le point 7, au point aufly marque' }• &: ainfi des autres. Enfin pour la derniere
ouale
La Geometrie. oualeicfaisdescerclcsdu centre H , dont les rayons font efgaux aux lignes R tf,R 8, & femblables, qui coup-pent les autres cercles aux poins marque's 4.
On pourroit encore trouuer vne infinite d'autres moyens pourdefcrire ces mefmes ouales. comme par exemple, on peut tracer la premiere AV* lorfqu onfup-pofe les lignes F A & A G eftre efgales, fi on diuife la toute F G au point L, en forte que F L foit a L G, com-
me A A 6. c'eltk dire qu'clles ayent la proportion, qui mefure les refra&ions. Puis ayant diuife A L en deux parties efgales au point K, qu'on face tourner vne reigle, comme F E, autour du point F, en preffant da doigt C, la chorde E C, qui eftant attachee au bout de cete reigle vers E,fereplie de C vers K, puis de K derechef vers C, & de C vers G, ou fbn autre bout fbit attache7, en forte que la longeur de cete chorde foit compose de celle des lignes G A plus A L plus PE moins AF. & cefera Ie mouuement du point C, qui defcrira cete ouale , a limitation de cequi a cfte'dit en la Dioptriq-, de TEllipfe^
&
Livre Second. 3S>
StdeTHyperbole. mais ie neveux point m'arefter plus long terns fur ce fuiet*
Or encore que toutes ces ouales femblent eftre quafi de mefme nature,elles font neanmoinsde 4 diuers genres, chafcun defquels contient fbus foy vne infinite d autres genres, qui dcrechef contienent chafcun autant de diuerfesefpeces, que fait Ie genre des Ellipses, ou celuy des Hyperboles. Car felon que la proportion, qui eften-tre les lignes A y, A 6, ou femblables, eft difFerente • le genre fubalternede ces ouales eft different. Puis felon que la proportion, qui eft entre les lignes A F, & A G,ou A H, eft changee, les ouales de chafque genre fubalter-ne changent d'efpece. Et felon qu' A G, ou A H eft plus ou moins grande, elles font diuerfes en grandeur. Et fi les lignes A 5 & A 6 fbntefgales, au lieu des ouales du premier genre ou du troifiefme, onne defcrit que des lignes droites; mais au lieu de celles du fecond on a toutes les Hyperboles poflibles; & aulieu de celles du dernier toutes Ies EUipfes.
Outre cela en chafcnne de ces ouales il faut confiderer Les pro-deux parties, qui ont diuerfes propriety; a fijauoir en la premiere, la partie qui eft vers A, fait que les rayons, qui touchant eftant dans Tairvienentdu point F, fe retouruent tous i"ns?& vers le point G, lorfqu'ilsrencontrent la fuperficie con- les rcfra-uexedVn verre, dont la fuperficie eft 1 A 1, &£ dans le- I0ns* quel les refracSkionsfe font telles, que fuiuant ce qui a eftddit en laDioptrique, elles peuuent toutes eftre me-furees par la proportion , qui eft entre les lignes A ^ & A tf,ou femblables, par fayde defquelles on a defcrit cete ouale*
Mais
35*
La Geometrie.
Mais la partie, qui eft vers V, fait que les rayons qui vienent du point G fe reflefchiroient tons vers F, s'ils y rencontroient la fuperficie concaue d'vn mifoir, dont la figure fuft i V i, & qui fuft de telle matiere qu'il di-minuaft la force de ces rayons,felon la proportion qui eft entre les Iignes A 5 & A 6: Car de ce qui a eftd demon-ftre en la Dioptrique, il eft euident que cela pofe, les angles de la reflexion feroient inefgaus, aufly bien que font ceux de la refraction, & pourroient eftre mefure's en mefme forte.
En la feconde ouale la partie 2 A z fort encore pour les reflexions dont on fuppofo les angles eftre inefgaux. car eftantenla fuperficie d'vn miroir compofo de mefme matiere quele precedent,elle feroit tellement reflefchir tous les rayons, qui viendroient du point G, qu'ils fem-bleroient apres eftre reflefchis venirdu point F. Et il eft a remarquer, qu ayant fait la ligne A G beaucoup
plus
Livre Second^ 3/^
plus grande que A F, ce rairoir íeroit conuexe au milieu, vers A, 8c concaue aux extrémitez: car telle eft la figure decete ligne, qui en cela repreíente plutoftvn coeur qu'vne ouale.
Mais fon autre partie X 2 fert pour les refractions, 8c fait que les rayons, qui eftant dans lair tendent vers F,fe detournent vers G, en trauerfant la fuperficie ďvn ver-re, qui en ait la figure.
La troifiefme ouale fert toute aux refractions, 8c fait que les rayons, qui eftant dans lair tendent vers F, fe vont rendre vers H dans le verre, apre's qu'ils ont trauer-Í6 fa fuperficie, dont la figure eft A 3 Y 3, qui eft conuexe par tout,excepté vers A oil elle eft vn peu concaue,en forte qu'elle ala figure d*vn coeur aufly bien que la precedente. Et la difference qui eft entre les deux parties decete ouale, confifte en ce que le point F eft plus pro-clie de i'vne , que n eft le point H; 8c qu'il eft plus efloigne'de l'autre, que ce mefme point H.
En mefme fa^on la derniere ouale fert toute aux reflexions, & fait que fi les rayons,qui vienent du point H, rencontroient la fuperficie concaue ďvn miroir de mefme matiere que les precedens, & dont la figure fuft A 4 Z4, ilsfereflefchiroient tousversF.
De fa§on qu'on peut nomraer les poins F, & G, oaH Iespoinsbriiilansdecesouales^lexemplede ceux des EHipfes, &des Hyperboles, qui ont efte ainfi nommés enlaDioptrique.
I'ometsquantite'd'autres refractions, & reflexions, qui font reigle'es par ces mefmes ouales : car n'eftant que les conuerfes, ou les contraires de celles cy, clles en
peuuent
3<*o LA Geometrie.
Dcmott- peuucnt fadlement eftre deduites. Mais il ne faut pas <!cs*Cpro- quei omettelademonftratibhde cequeiaydic. &acet prices de cffecft, prenons par exemple le point C a difcretionenla touchanc premiere partie de la premiere de ces ouales; puis tirons fesrefle- la ligne droite
refra- Ot P, qui COUp-
^onSi pe la courbe au
\/ point C k an-
ex    i*iP~ ^^"g gfcsdroits,ce-
qui eft facile
par le problefme precedent - Car prenant b pour AG, c pourAF/-h{ pourF C; &fuppolant que la proportion qui eftentre d&ce, que ie prendray icy toufiours pour celle qui mefure les refra&ions du verre propofc', defigneaufly celle qui eft entre les lignes A 5, & A 5, ou femblables, qui out ferui pour delcrire cete ouaIe,ce qui
donne b — ^ pour G C: on trouue que la ligne A P eft
m''u.*M*<u*~«Ca,nfl9U dacftc^onftrccy deflin. De plus du point P ayant tir^PQ^a angles droits for la droite F C, & P N aufly a angle* droits fiir G C,confidc-ronsquefiPQeft& P N, commedeft ke, c'eft i dire, comme les lignes qui mefurent les refra&ions du verre conuexe A C, Ie rayon qui vient du point F au point C, doit telleraent s y courber en entrant dans ce verre, qu'il s'aille rendre apr£s vers G: ainfi qu'il eft tres euident de cequiaeftdditenlaDioptrique. Puis enfin voyons par lecalcul,s'ileft vray,quePQfoit k PN; comme d eft k e. Les triangles re&anglesP Q F, & C M F font fem-
blablesj
LivRE Second. i61
blables- ďoú il fuit que C F eft á C M, commc F P eft a P Q • &parconfequent que FP, eftant multiplied par C M, & diuifee par C F, efťefgale a P Tout de met me Ies triangles rectangles PNG, &CMG font fem-b!ables; d'ou il fuit que G P, multipliée par C M, & diuifee par C G, eft efgale a P N. Puis a caurfe que Ies multiplications, oudiuifions, qui fe font dedeux quantités par vne mefme, ne changent point la proportion qui eft entre elles; fi F P multipliée par CM;& diuifée par C F, eft á G P multiplied aufly par C M & diuifee par C G-comme deft áe3 en diuifant lVne Scďautre de ces deux ibmmes par C M , puis les multipliant toutes deux par C F,& derechefpar C G,il refte F P multiplied par C G, qui doit eftre á G P multipliée par C F, comme d eftáe«
^        t n.    rv-     r-n  n.   * bcdd-~ bcde * bddz*«ez>
Or par la conftručlion F P eft c  Ue^ M ^ ddz _ M — oubien F P oo hcdd*ccdd *hdd*. * cddz. ~
bde* edd * dd{ -eex.   X ^ U ClZ
b — "5 K- fibienque multipliant F P par C G il vient
bbcdd^bccdd^bbddz^bcddz — bcdez — ccdex. — bdezA — tdez\.
bde ^ cdd&dd\—eezT ~ _  . — bcdd&bcde-bddz — ceeZ,     . .
PuisGPeft b cdd + ^Ui • oubien
_ ^      bbde & btde--beez—ceez,> A
G P 30 wr*-^ *^-T^ & C F eft ř -f - K. fibienque multipliant G P par C F, il vient
4*        —        - - cceez >ť bbde\ *j< bcde7— beezz -- cgftsg.
bde >$* cdd >$< ddz — eez
Etpourcequela premiere deces ibmmes diuifee pard, eft la mefme que la feconde diuifée pár ey il eft manifefte, que F P multiplied par C G eft a G P multiplied par CF;
c'eft
I** La Geometrie.
c eft a dire que P Qeft k P N, comme d eft k e, qui eft tout ce qu'ilfalloit demonftrer.
Etf§ache's, quecete mefme demonftration s'eftend a tout cequi a efte' dit des autres refractions ou reflexions, qui fe font dans les ouales propofdes; fans qu'il y faille changer aucune chofe, que les fignes -f- & — du calcul. ceftpourquoy chafcun les peut ayfement examiner de foymefme, fans qull foit befoin que ie my arefte*
Mais il faut maintenent, que iefatisface a ce queiay omisen la Dioptrique,lorfqiiapresauoir remarque'qu'il peuty auoir des verresdeplufieursdiuerfes figures, qui facentaufTybienlVnquerautre,que les rayons venans d'vn mefme point de l'obiet, s'affemblent tous en vn autre point apres les auoir trauerfes. & qu'entre ces verres, ceux qui font fort conuexes d'un cofte', & concaues de l'autre, ont plus deforce pour brufler, que ceux qui font efgalement conuexes des deux eoftds. au lieu que tout au contraire ces derniers font les meifleurs pour les lune-tes. ie me fuis contente d'expliquer ceux, que i'ay cnl eftre Ies meilleurs pour la prattiquc, en fuppofant la diffi-culte que les artifans peuuent auoir a les tailler. C eft pourquoy,affin qu'il ne refte rien a fouhaiter touchant la theorie de cete fcience,ie doy expliquer encore icy la figure des verres, qui ayant IVne de leurs fuperficies au-tant conuexe, ou concaue, qu'onvoudra, nelaiffentpas de faire que tous les rayons , qui vienent vers eux d'vn mefme point, ou paralleles, s'affemblent aprds en vn mefme point- & celle des verres qui font le femblable, eftant efgalement conuexes des deux coftes , oabienla
conue-
Li vre Second. l6i
conuexite'de l'vne de leurs fuperficies ayant la ptropor-tion donnee ä celte de lau tre.
Pofons pour Ie premier cas, que les poins G,Y, C, &F eftant donne's, les rayons qui vienent du point G, oubien faire vn qui iont paralleles k GAfe doiuent aflembler au point ^Tco^ F, apres auoir trauerfe'vn verre fi concaue, qu* Y eftant ««e ou Ie milieu de fa fuperficie interieure, ťextremité' en íbit červne au point C, en forte que la chorde CMC, ßdafleche^ Y M de Tare CYC, font donn&s. La queftion va lá, ^iT^ que premierement ilfaut confiderer, de laquelle des*™d™> ouales expliquees, la fuperficie du verre Y C, doit auoir Smbie a la figure, pour faire que tous fes rayons, qui eftant de-™P°*nt dans tendent vers vnmefhie point, commevers H, qui tous les n'eftpas encore connu,saillentrendre vers vn autre, a^ř°v". fgauoir vers F, apres en eftre fbrtis. Car il n*y a aueun n*nt d'vn effect touchant le rapport des rayons change par refle-po"Dct xion, ou refraction ďvn point a vn autre , qui ne puiíTe donné. eftre caufe'par quelquVne de ces ouales.   & on voit ayfementque ceťuycy le peut eftre par la partie de la troifiefmeOuale,quiatantoft efté marquee 5 A j, ou par celle de la mefme, qui a efté marquee j Y 3, ou enfin par la partie de lafeconde qui a efte'marquee 2X2. Et pourceque ces trois tombent icy fous meíme calcul, 011-doittant pour I'vne, que pour Tautre prendre Ypour
leur
&4 La Geometrie.
leurfommet, CpowTvndespoins de leur circonferen-ce, & Fpourl'vndeleurs poins bruflans; apres quoy il uerefte plus a chercher que le point H, qui doit eftre lautrepointbruflant. EtonIe trouue en confiderant, que la difference, qui eft entre les lignes FY&F C,doit eftre acelle, qui eft entre les lignes HY&H C,comme deft a e, e'eft a dire, comme la plus grande des lignes qui mefurent les refractions du verre propofe' eft a. la moin-dres ainfi qtfon peut voir manifeftenient de la defcri-ption de ces ouales. Et pourceque les lignes FY&FC fbntdonnees, leur difference Teftaufly, Scenfuite celle qui eft entre HY&HC; pourceque la proportion qui eft entre ces deux differences eft donnee. Et de plus a caufe qtfe Y M eft donnde, la difference qui eft entre M H,& H C, reft auffy;& enfin pourceque C M eft donnee, il ne refte plus qu'& trouuer M H Ie cofte'du triangle
rectangleC MH,donton a lautre cofte' CM, & on a auffy la difference qui eft entre C H la baze, & M H le coftedemande' d'ou il eft ayfe'dele trouuer. carfion prent ^pour lexcds de C H fur M H, & n pour la longeur
n n
delaligne C M, on aura     \ ^ pour M H. Et apre's
auoir ainfi le point H>s,ilfetroune plus loin du point Y>
que
Livre Second. 3<$£
que n'en eft le point F, la ligne C Y doit eftre la premiere partie delouale du troifiefme genre3qui a tantoft efté nominee 3 A 3: Mais li H Y eft moindre que F Y, oubien ellefurpafTe HF de tant, que Ieur difference eft plus grandearaifondelatoute F Y, que n eft e la moindre 3es lignes qui mefurenif Tes refractions comparée auec d la plus grande, c'eft a dire que faifant HFoo c, 8c HYooč Jrhyd h eft plus grande que 2ce-]-eh9 8c lors C Y doit eftre la feconde partie de la mefme ouale du troifiefme genre, qui a tantoft efténomee 5 Y*3 jOubien d^eftefgale, ou moindre que 2 ce-t-eb? 8c lors CY doit eftre la feconde partie de Touale du fecond genre quiacydefTuseftenommee 2X2. Et enfin ii le point H eftle mefme que le point F,ce qui n'arriue quelorfque F Y 8c F C font efgales cete ligne Y C eft vn cercle.
Aprés cela il faut chercher C A C f autre fuperficie de ce verre, qui doit efrre vne Ellipfe, dont H foit le point bruflantjfi on fuppofe que les rayons qui tombent deffus foie t paralleles; 8c lors il eft ayfé de la trouuer. Mais fi on fuppofe qu'ils vienět du point G,ce doit eftre la premiere partie ďvne ouale du premier genre,dortt les deux poins bruílans foiět G 8c H, & qui paffe par le point C:d'ou on trouue le point A pou r le fommet de cete ouale,en confident,que G Cdoit eftre plus grade que GA,ďvne quantity, qui foit a celle dont H A furpaffe H C,comme da e* car ayant pris ^pour la difFerence,qui eft entre C H,& H M,fi on fuppofe a: pour A M,on aura]# - ko pour la difference qui eft entre A H, & C H- puis fi on prent g pour celle, qui eft entre G C,&GM, qui font données, on aura^ -+- % pour celle, qui eft entre GC, & GA; &
pour-
La Geometrie. commit pourccquecetcdernierc^-+-^eftäTautrcv—^, com-
OU FCUC . C , . ge*dk
faire vn   nie aeft ä e, on ä £ £ -f- £ .r oo x   rf>^, oubien ■
vene, qui
aide mef- pour la ligne ^ouAM , par laquelle on determine le qua\fa Point A (3ui e^olt cherchd-
&CCue hi* P0fons maintenent pour Tautre cas, qu'on ne donne co3uexi- que les poins GC, &F,auecla proportion qui eft entre
dtdfesVfu!les lignes AM,&Y M, & qu'il faille trouuerla figure du perfides verrc ACY, qui face que tous les rayons, qui vienent
portion0" du Point G s affemblent au point F.
<ionnee     On peut derechef icy fe feruir de deux ouales dont
dcSutrc! fvne, A C, ait G & Hpour fespoins bruflans- & Tautre,
C Y,ait F& H pour les fiens.Et pour les trouuer,premic-rement fuppofant le point H qui eft commun a toutes deux eftre connu, iecherche A M par les trois poins G, C,H,en la fa<jon tout maintenent expliquee- a fijauoir preuant >^pour la difference, qui eft entre C H, &HM; &£pourcelle qui eft entre GC, &GM: & AC eftant la premiere partie de TOuale du premier genre , iay
g-*_ - pour A M: puis ie cherche aufly M Y par les trois
poins F, C, H, en forte que C Y foit la premiere partie ďvne ouale du troifiefine genre^ &prenant y pour M Y,
&
Livre Second. 3*?
Scfpour la difference, qui eft entre C F, &FM , fay
/~*~y> Pour ce^e 9" e^ eutre C F, & F Y: puis ayant de-fia^pourcelle qui eft entre CH,&H Mjayj^-hy pouř cellequi eft entre CH,&H Y, que ie fcay deuoir eftre kf 'iry comme e eft á d> a caufe de I'Ouale du troifiefmc
genre, douie trouue quej ou MY eftpuis ioi-gnant enfemble les deux quantites trouuees pour A M, &
MY,ietrouue ~77^pourlatoute A YjD'ou il fuit que
de quelque cofte'que foil íuppoíele point H, cete ligne A Yeft toufiours compofée ďvne quantite, qui eft a eel-le dont les deux enfemble G C, & C F furpaflent la route G F, Comme *,la moindre des deux lignes qui ieruent a mefurer les refractions du verre propofe", eft á d— e, la difference qui eft entre ces deux lignes. cequi eft vn at fésbeautheorefme. Or ayant ainfi latoute AY, ilia faut couper felon la proportion que doiuent auoir fes parties A M Sc M Y- au moyen de quoy pource qiťon a defiale point M, on trouue auíly les poins A ScY s Seen fuite le point H, par le problefme precedent. Mais au-parauant il faut regarder,fi la ligne A M ainfi trouuee eft
plus grande que 377OU p'us petite, ou efgale. Car fi elle eft plus grande,on apprent de la que la courbe A C doit eftre la premiere partie d'vne ouale du premier genre. & CYla premiere dVne du troifieime, ainfi qďelles ont efté icy fuppofees; au lieu que fi elle eft plus petite, cela monftre que e'eft C Y, qui doit eftre la premiere partie d'vne ouale du premier genre- & que AC doit eftre la premiere dVne du troifiefine : Enfixifi AM eft efgale á
3*8 La Geometrie.
d -e les deux courbcs AC&CY doiuent eftre deux hyperboles.
On pourroit eftendre ces deux problefraes a vne mfi-nite'dautres cas, que ie ne m'arefte pas a deduire,a caufe qu'ikn'ont euaucunvfage en la Dioptnque.
On pourroitatifTypafler outre, & dire, lbrfque IVne desfuperficiesduverre eft donnee, pouruu qu'elle ne foit quetoute plate, oucompofeede fe<5tions coniques, oudecercles- comment on doit faire fon autre fuperfi-cie, affin qu'il tranfmette tous les rayons d'vn point don-ne', a vn autre point aufly donnd. car ce n'eft rien de plus difficile que cequeieviensd'expliquer • ou plutoft c'eft chofe beaucoup plus facile,, & caufexjue le chemin en efc ouuert. Mais i ayme mieux, que d'autres le cherchent, affinques'ils ont encore vn peu de peine a le trouuer, ce-la leur face d'autant plus eftimer l'inuention des chofes qui font icy demonftre'es. Au refte ie nay parle en tout cecy,que des lignes cour-on peut bes, qu'on peut defcrire fur vne fuperficie plate. mais il
cePu?aer a^ ^e raPPorter ceque i'en ay dit, a toutes celles eftedit qu'on f<jauroit imaginer eftre formees , par le mouue-iignc" ment regulier des poins de quelque cors, dans vn efpace courbes qUi a trois dimenfions. A f§auoir en tirant deux perpen-fur "neS diculaires,de chafcun des poins de la ligne courbe qu'on fuperficie veut confiderer,fur deux plans qui sentrecouppent a an-Lifesqu glesdroits,l'vnefurrvn,8crautrefurrautre. carlesex-fe defcri- tremjt^s <Je ces perpendiculaires defcriuent deux autres
u6cdasvn 1   r       i i 1 r 11
efpace qui lignes courbes, vne fur chalcun de ces plans, defquelles me'iifioDs.011 peut,en lafa§on cy defTusexpfique'e,determiner tous
les
Livre Second. }*9
les poins, & les rapporter a ceux de la ligne drcite , qui eft commune a ces deux plans, au moyen dequoy ceux delacourbe,qui a trois dimenfions, font entierement determines. Mefme fi on veut tirer vne ligne droite,qui couppe cete courbe an point donne' a angles droits • il taut feulement tirer deux autres lignes droites dans les deux plans, vne en chafcun, qui couppent a angles droits les deux lignes courbes, qui y font, aux deux poins, ou tombent les perpendiculaires qui vienent de ce point donne. car ayant efleue'deux autres plans, vn fur chat cunede ces lignes droites, qui couppea angles droits le plan ou elle eft, on aura l'interfe&ion de ces deux plans pour la ligne droite chcrchee. Et ainfi ie penfe n'auoir rienomisdeseIemens,qui(bntneceflaires pour la con-noiflance des lignes courbes.
L A
GEOMETRIE.
LI VRE TROISIESME.
*De U conßruäton des ¥ rob/e fines , qui font Solides^ou plufque Solides.
De quel-
TJ N c o r e que toutes les Iignes courbes, qui peuuentIci J^nes •^eftre defcrites par quelque mouuement regulier, on pcuc doiuent cftre receuěs en la Geometrie, ce n'eft pas a di-fc £ruir'
-1/»/- -    .f/Y* 1     f Cn*a COn"
re qu il foit permis de fe feruir mdifferemment de la pre- íhučHon miere quiferencontre, pour la conftručtion de chafqtie ^y^1
pro- mc
37o La Geo metrie.
problefme: maisilfaut auoirfoin de choifir toufioursla plus fimple, par laquelle il foit poflible de Ie refoudre. Et mefme il eft a remarquer, que par les plus fimples on ne doit pas feulement entendre Celles, qui pcuuent le plus ayfement eftre defcrites, ny cellesqui rendent la conftrudtion, ou la demonftration du Probleftne propofee plus facile, mais principalement celles, qui font du plus fimple genre,qui puiffe feruir a determiner la quan-tite'qui eftcherchde.
Exemple to ii chant l'inucntio de plu-fieurs moyenes propto-tioncllcs»
A C\       E\ G ^
Comme par exemple ienecroypas, qu'il yaitaucu-nefa§onplus facile, pour trouuer autant de moyennes proportioňnelles, qu'on veut, nydpnt la demonftration foit plus euidente, qued'y employer les lignes courbes, quifedefcriuent parTinftrumentX YZcydeffus expli-que. Car voulant trouuer deux moyennes proportioňnelles entre Y A & Y E, il ne fautque defcrire vn cercle, dont le diametre foit Y E; & pource que ce cercle coup-
pe
Livre Troisiesme. 37'
pe la courbe A D au point D, Y D eft l'vne des moyennes proportionnelles cherch&s. Dont la demonftration fe voital'oeilpar lafeuleapplication decet inftrument fur, Uligne Y D. carcomme Y A,ou YB, quiluy eftefgale eftaYC; ainfiYCeftaYD.&YDa YE.
Toutdemefme pour trouuer quatre moyennes pro-portiouelles entre Y A & Y G; ou pour en trouuer fix eu-tre Y A & Y N, il ne faut que tracer le cercle Y F G,qui couppant A F au point F, determine la ligne droite Y F, qui eft Tvne de ces quatre proportionnelles; ouYHN, qui couppant A Hau point H, determine YH i'vne des fix, & ainfi des autres.
Maispourceque la ligne courbe AD eft du fecond genre, & qu'on peut trouuer deux moyenes proportio-nelles par les fe&ions coniques,qui font du premier ; & aufly pourcequ on peut trouuer quatre ou fix moyenes proportionates, par des lignes qui ne font pas de genres fi compofes, que font A F, & A H, ce feroit vne faute en Geometrie que de les y employer. Et c eft vne faute aufly d'autrecoftedefetrauaillerinutilement a vouloir conftruire quelque problefme par vn genre de lignes plus fimple, que fa nature ne permet.
Or affin que ie puiffe icy donner quelques reigles, dc la na-poureuiterlVne& lautre de ces deux fautes, il faut que ^rJj*™ ie die quelque chofe en general de la nature des Equa-tions-c eft a dire des fommes compofe'es de plufieurs ter-mes partie connus, & partie iuconnus, dont les vns font efgaux aux autres, ouplutoft qui confidents tous enfem-ble font efgaux a rien. car ce fera fouuent le meilleur de les confiderer en cete forte.
Scaches
37* La Geometrie.
iipcuty    Scachds done quen chafque Equation, autant que auoir dc ja quantity inconnue ade dimenfions, autant peut ily en chafqi auoir de diuerfes racines, c eft a dire de valeurs de cete Equate quantite'. car par exemple fi on fuppofe x efgale a z} oubien      2 efgal a rien } & derechef x 30 3; oubien x -- 3 30 0»en multipliant ces deux equations # - 2 30 o% & at — 3 30 0, X vne par l'autre, on aura xx~ j x-h6ioo9 oubien xx 20 j x— 6, qui eft vne Equation en laquelle la quantity x vaut 2 & tout enfemble vaut j. Que fi derechef on fait x *- 4 30 0, & qu 'on multiplic cete fomme par XX"" jx>0, on aura    — 9*3:-t-26*# —24300, qui eft vne autre Equation en laquelle x ayant trois dimenfions a aufly trois valeurs,qui font 2, }, &4-
Comic$S ^ a*S *°uuent arr*ue> quelques vnes de ces raci-fauffesra- nes font fauffes, ou moindres que rien. commefion cincs.    foppofequc ardefigne aufly le defaut d'vne quantity
qui foit j, on a x -+■ j 30 0 , qui eftant multiplied par
x5 — 9 x x    2$ at — 24 30 0 fait
#4"4#' —Io6#« i2o 300
pour vne equation en laquelle il y aquatre racines, a fjauoir trois vrayes qui font 2, 3, 4,8c vne faufle qui eft ?.
on pcu" ^ 011 vo*c euidemment de cecy, que la fomme d'vne diminucr equation, qui contient plufieurs racines, pcut toufiours dcs°4i.brC e^re diuifee par vn bin6me compofe' de la quantite' in-menfions connue,moins lavaleurdel'vnedes vrayes racines, la-oujuToif quelle que ce foit5 ou plus la valeur de Tvne des fauffds. lotfqu'on Au moyen de quoy on diminue d'autant fes dimeu-
connoift c J x
quel- lions*
?« iaci^C   ^ recip*0^01611* <luc   k fomme dVne equation
ncs. ne
Li vre Troisiesme. ne peut eftre diuifee par vn biuöme compofe de Ia quau- on^euc titeinconnue-7-ou —quelque autre quantity cela te£ "a™jn" moigne que cete autre quantity n'eft la valeur daucune auandV de fes racines, Comme cete derniere cft?a va-
X*    4 X * — 19 XX-+- ICO      I lO 00 0 icurd'vne
peut bien eftre diuiföe, par x — 2, & par #— 3,8c parracmc' #--4,8c par*-*-5 ;mais non point par ou--aucu-ne autre quantite". cequi monftre quelle ne peut auoir que les quatre racines 2,3,4,8c y.
On connoift aufly de cecy combienil peut y auoir de Combicn vrayes racines, & combien de faufles en chafque Equa- auoir de tion. A fijauoir ily en peut auoir autant de vrayes, que vra7cs les fignes -+• 8c—s'y trouuent de fois eftre changes    Sc chafque autant de faufles qu'ilsy trouue de fois deux fignes 4-, E(luatiß* ou deux fignes — qui s'entrefuiuent. Comme en la derniere^ caufe qu'aprds -f-#4ilya--4Ar >,qui eft vn chan-gement du figne •+- en —, 8c apres — 19 x x ily a 4-100 x, 8c apres -+■ 106 xil y a — 120 qui font encore deux autres changemens, on connoift qu'il y a trois vrayes racines-& vne faufle,a caufe que les deux fignes —,de 4 x \ & 19 xx> s'entrefuiuent.
De plus il eft ayfede faire en vne mefme Equation, egment que toutes les racines qui eftoient faufles deuienent on fait vrayes,8c par mefme moyen que toütes celles qui eftoiet vrayes deuienent faufles : a fijauoir en changeant tous *a^incc* les fignes -+• ou — qui font en la feconde , en la quation quatriefme , en la fixiefme , ou autres places qui fe defignent par les nombres pairs , fans changer ceux les vrayes de la premiere , de Ia troifiefme, de la cinquiefine faufles# 8c femblables qui fe defignent par les nombres
impairs.
574 La Geometrie.
impairs.   Comme íí au lieu de -h.v4~ 4#* — 19 xx-h 106 x — 120 30 0 on eícrit
x 4    45 — i$x%— \06x — 120:00 on a vne Equation en laquelle il n'y a quVne vraye ra-cine, qui eft j, & trois fauffes qui font 2, j, &?4. Comcnc     Que fi fans connoiftre la valeur des racines dvne E-
onpeuc
augmcn- quation, on la veut augmenter, ou diminucr de quelque min°ucrdl" qu*n tit e'connue, ilne faut qďau lieudu terme inconnu lesracincs enfuppofer vn autre, qui ibitplus ou moins grand de ce-
quatio^, temefme quantite', &le fubftituer par tout en la place fansics  du premier.
connoi-     Comme fi on veut augmenter de 3 la racine de cete Equation
at 4-4-45? * —tp##—106 X-* 120 :» 0 il faut prendre yau lieudu, &penfer que cete quantite' y eft plus grande qu a: de 3, eníbrte que^y — j eft eígal aAr,&aulieud*a;#, ilfautmettrelequarre'd'y — «3 qui ettyy — 6y^r 9&aulieud'# * il faurmettre ion cube qui efty5 — $yy H- 27y —17, & enfin au lieu d' x4 il faut mettrefbnquarrédequarréquiefty 4 — 1 ty f^yy — 1 oty-J-8 r. Et ainfi defcriuant laíbmme precedente en fubftituant par touty au lieu d'x on a
y 4   1   f ~t~f4yy — io$jf-+-8i J— 36^ ■+■ 108 v —108
— io6y-f"3l8
—120
oubien
Livre Troisiesme. 377 oubieny * — iyy   jy    8 do o. oil la vrayeracine qui eftoit j eft maintenant 8, a caufe du nombre trois qui luy eft aioufté.
Que fi on veut au contraire diminuer de trois la raci-ne de cete mefme Equation , il faut faire^y 3 jox 8cyy-h 6y •+• poo xx. & ainfi des autres de fa§on qu'au lieu de
# 4 -H4 je * — 19XX — ioSx — izoOOo on met
^4-hi2j/} -I- 5 4 jy j -f-108^ H- 8r -1-4 J-f-3  yy-t-108j^H-108 — 1 o j/jv — 114 y — 171 106 j — 318 —120
4-4- i6y 5 H- 71 yy—    4^ --420 3t> Etil eft a remarquer qu en auementant les vrayes ra- Q£'en cines d vne Equation, on diminue les taulies de la mei- tanc les me quantity ou au contraire en diminuant les vrayes,on J™ Jscs0™~ augmente les fauflfes. Et que fi on diminue íbit les vnes diminue foit les autres, dVne quantite qui Ieur foit eigale, elles f",& "u deuienent nu lies ,& que fie'eft ďvne quantítďquilesfur- contraire. pafle, de vrayes elles deuienent faufles, ou de fauíTes vrayes. Commeicyenaugmentantde 3 la vrayeracine qui eftoit y, on a diminue de 3 chafcune des faufles , en forte que celle qui eftoit 4 fi'eft plus qu'i, &: celle qui eftoit 3 eft nulle, & celle qui eltoit 2 eft deuenue viaye & eft 1, a caufe que — 2 ■+- 3 fait -h 1. e'eft pourquoy en cete Equation^J - 8^y — \y H- 8 so 0 il ny a plus que 3 racines, entre lefquellcs il y en a deux qui font vrayes,
J La Geometrie.
i, & 8, & vne fatiiTe qui eft auffy i. & en cete autre
y4-+*5 **~7iyy mm4y — 4*o 30• il n y en a qu'vne vraye qui eft 2, a caufe que H- y — } fait
-+-2,&troisfauiTes qui font f,6,&7. C6mcot    Or par cete fa$on de changer la valeur desracines öfter ic fans les connoiftre, on peut faire deux chofes, qui auront fecond   Cy aprés quelque vfage: la premiere eft qu'on peut tou-ďvne E- fiours öfter le fecond terme de ľEquation qďon examination. ne^ a f^auojr en diminuant les vrayes racines, de la quan-tité connuě de ce fecond terme diuifce par le nombre des dimensions du premier, fi ľ vn de ces deux termes eftant marque'd u figne -+-,ľautreeft marquedu figne—-oubien en ľaugmentant de la mefme quantite, s'ils ont tous deux le figne      ou tous deux le figne—. Comme pour öfter le fecond terme de la derniere Equatiö qui eft
y 4 4- i6y1 -f- 7lyy — 4 y — 420 do d ayantdiuiféiô'par4,acaufedcs4 dimenfiQUs du terme y 4> il vient derechef4, c'eftpourquoy iefais ^ ~ 4 00yÄ & feferis
$4~16^ -*-p(j^^— 25(íí£-f-2j$ -f-itf^*-- ip2^j^-*-7<s8 ^--1024 -H71        f6$ ^-Hri3tf
4 16
— 420
ou la vraye racine qui eftoit 2, eft 6, a caufe quelle eft augmentée de ^ & les faufles qui eftoient y, 6, & 7, ne font plus que 1,2,6c 3, a caufe qu'elles font diminuďes chafcunedc4.
Tout
Livke Troxsiesme. 377 Tout de mefme fi on veut öfter le fecond terme de
pourcequediuifant z a par 4Ü vient ~ ah il faut faire £-+-^*3D*&€fcrire
-% cc   -~ acc —jaacc —za* -~a+ -ha*
V    *        Hr\aa^v-&> ^r^** 30a
— cc   — axe     - • %aacc
& fi on trouue apres la valeur de ^, en luy adiouftant ~ « onauracellede*. C5racnt La feconde chofe, qui aura cyapre's quelque vfege, °° p«« eft, qu on pent toufiours en augmentant la valeur des tomes0 vrayes racines, d'vne quantitd quifbit plus grande que ,c»faufl*« n'eftcelledaucunedesfaufles,faire quelles deuienentd'vne toutes vrayes,en forte qu'il n y ait point deux fignes -+-, fcmcne* oudeux fignes — quis'entrefuiuent, & outre cela que la vrayes, quantitc' connue du troifiefme terme foit plus grande, f*" väycs que le quarre'de la moitie'de Celle du fecond. Car en- deuienct core que cela fe face, lorfque ces faufles racines font£auircs* inconnues, ileftayfeneanmoinsdeiuger a peu pre' de leur grandeur, &de prendre vne quantite, quilesfur-paffe d autant, oude plus, qu'il n'eftrequis acet efFeA. Comme fi on a
37^ La Geometrie.
x* ť*ttx*4< tilft+x* * 1196mx — 7776 *
ca faifánty — 6 *f» *, on trouuera
fť y5*ř J4<5»«> y *--4Ji0 »J-jy5 * 19440»^ yy — 4^^>^ «5^ y ^ 466^6 n«
»ř»  r   — 10»»^   *i» ^6o ni{   — li60 »«I    4« 6480» 11  -- 77761té
*    jí a?-*     —   64.8 * JÍ88*5? 7776n*
n* I    >ř if 91 » 51
J      >fr J2ytf     'J
*    56 a*-7    —   648**1    * jí88**f 7771
>£iJ9i»5| 7776n*
7776» *
Cómcne on fait
y' -- jj » y f >j< 504»» y4 - 3780 »J y 1 >£< íjiio & 4 y      17116 «*y * 30 0.
OuiLeft manifefte, que 704 nn, qui eft la quantite' connuědu troifiefme terme eft plus grande, quele quar-réde ^ n% qui eft la moitie'de celle du fecond. Et il n y apointdecas, pour lequella quantite, dont on augmente les vrayesracines, aitbeíbina cet effect, ďeftre plus grande, a proportion de ceiles qui font donnces , que pour cetuy cy.
Mais a caufe que le dernier terme s'y trouue nul, fi on que tou- ne defire pas que cela (bit, il faut encore augmenter tant p"c«    íbitpeula valeurdesracines; Etcene fijauroit eftre de ďvne E- fi peu, que ce ne foit afles pour cet effect. Non plus que Sicnt?*   lorfqu'on veutaccroiftre le nombre des dimenfions de tcropiLcs. quelque Equation, &faire que toutes les places de fes termesfoientrempHes. Comme fiaulieude -5 » o, on veut auoir vne Equation, en laquelle la quantitemconnue ait fix dimenfions, & dont aucun des termes ne foit nul, il faut prcmierement pour *   *   * mmyefcrjre X'6 *   *   *   *..bx *3o<> puisayant fait y — a 30   on aura
y* - 6ay* »f< ij*/*^4-- lO^fj^J^ 15a*yy-- ta^y^a*
Qu il eft manifefte que tant petite que la quantite7 a foit
fuppofée
Livrb Troisiesme. 37P fuppofce toutes les places de l'Equation ne laiflent pas d'eftre remplies.
De plus on peut, fans connoiftre la valeur des vrayes Comm5c racines d'vne Equation, les multiplier, ou diuifer tou-mutates, par telle quantity connue qu on veut. Cequi fe fait §|^rf®ttlcs en fuppofant que la quantity inconnue eftant multiplied, racincs oudiuifce, parcellequi doit multiplier, ou diuifer les^nnsn^ racines, eft efgale a quelque autre. Puis multipliant, ou ft** diuifant la quantite connue du fecond terme, par cete mefrae qui doit multiplier, ou diuifer les racines $ &par fon quarrd, celle du troifiefme; &c par fon cube, celle du quatricfme; & ainfi iufques au dernier. Ce qui peut fer- o^Juift uirpourreduireades nombres entiers &rationaux, B°™" fradtions,ou fbuuent auflyles nombres fours , qui fe?us*vnl trouaent dans les termes des Equations. Comme fi on a £<}oa"on
Xi~V J  XX-t-^X-* £rJOOo, tiers.
& qn'on veuille en auoir vne autre en (a place, dont tons les termes s'exprimcnt par des nombres rationaux: ilfaut
fuppofery soxY^, & multiplier par Y$ la quantitd connue du fecond terme, qui eft aufly Y% , & par fon quarrd qui eft 3 celle du troifiefme qui eft §|, & par fon cube qui eft 3 Y 3 celle du dernier, qui eft *|v^ ,ce qui fait
Puis fi on en veut auoir encore vne autre en la place de celle cy, dont lesquantites connues nc s'expriment qr e par des nombres entiers. il faut fuppofer ^ 30 3 y, & multipliant 5 par3, \6 par 9, & |par 27 on trouue
V ~9lK-t~ 26 ^•-2430 0, ou les racines eftant 2,3, & 4, on connoift de Ik que celles de l'autre d'auparauant
eftoient
$8o La Geometrie.
eftoicnti, & |, &que celles de la premiere eftoient
Cn rend u *"ete 0Peration Peut an^Y feruir pour rendre la quan-quanticc tite'connuédequclqu'undes termesdeľEquatioeígale deT™   a clue^ue autre donnde, comme fi ayaiit
dester-       *}    *    --bbx-hc^ 300-
Equation On veat auoir en fa place vne autre Equation, en laquei-cf^aic a le la quantite connue, du terme qui occupe lä troifiefme quonUtrC p'ace, a f$auoir celle qui eft icy b ŕ,foit 3 a ay\\ faut fuppo
fery so v r ^puiseicnre^5   - h—^~ f j 300«
Que les Aurefte tantlesvrayesracinesquelesfauffes ne font taľwa- pas toufiours reelles- mais quelquefois feulement imagines que  naires5 e'eft a dire qu'on peut bien toufiours en imaginer
peuuent autant que iay dit en chafque Equation; mais qu'ilja y a ^rcor^cl- quelquefois abcune quantite', qui correfponde a celles imaginai- qu on imagine, comme encore qu'on en puifTe knagi-rcs*      ner trois en celle cy, *■ — 6**-*-13 .v— loaoa, il rľý enatoutefoisquVne reelle, qui eft 2, & pour Ies deux autres, quoy qu'on les augmente,ou diminue, ou multi-plieenlafa§onqueieviensd'expliquer, on nef§auroit Ies rendre autres qu'imaginaires.
Lar-du-     Or quand pour trouuer la conftručUon de quelque Equariös probIefme,on vient a vne Equation, en laquelle la quan-cubiqucs titc inconnue a trois dimenfions; premierement fi Ies pbrobicf-le quantites connues , qui y font , contienent quelques ™ eft   nombres rompus, il Ies faut reduire a ďautres entiers,par plan'    la multiplication tantoft expliquée - Et s'ils en contienent de fours , il faut auffy les reduire a d'autres ratio-naux, autant qu'il fera pofl3ble,tant par cete mefme multiplication,
Livre Troisiseme. tiplication, que par diners autres raoyens, qui font afl& facites a trouuer. Puis examinant par ordre toutes les quantitds , qui peuuent diuifer fans fra&ion le dernier terme, il faut voir, fi quelqu'vne d'elles, iointe auec la quantite'inconnue'parlefigne-f- ou —, peutcompofer vn binome, qui diuife toute lafomme5 & fi cela eft Ie Problefme eft plan , c'eft a dire il peut eftre conftruit auec la reigle & de compas; Car oubien la quantity conn ue de ce binofme eft la racine chercbe'e ; oubien I'Equation eftant diuifee par luy, fe reduift a deux di-menfions, en forte qu on en peut trouuer apresla racine, par ce qui a efte'dit au premier liure. Par exemple fi on a
le dernier terme, qui eft £4, peut eftre diuife' fans fraction par 1,2,4, 8,16, $z9 & 6^ C'eft pourquoy il faut examiner par ordre fi cete Equation ne peut point eftre diuifee par quelqu'vn des binomes , yy ~ 1 on yy -H i,yy — 2 ouyy 4- 2 9yy — 4 &c.&on trouue quelle pent Teftre pary^ — 16, en cete forte.
-f- y*~ - %yA--i24.yy ^-64 00a
- * y6~ 8y4- tyy
—   16 yA—i2$yy 16 16
— 1*
-h y + -t-$yy   +4 30(?. Ie commence par le dernier terme, & diuife - 64. par ^JJL — 16, ce qui fait -+- 4, que i'efcris dans le quotient, puis vncEqua-ie multiplie -f- 4 par -hyy.ee qui fait -f- 4^^. c'eft pour-S" quoyi'efcris-4yyenlafomme,quilfautdiuifer.carilymc sui „
* r»     conticc fa
taut racine.
382 La Geometrie.
řauttoufiours efcrire le figne *H ou — tout contraire a celuy que produiftla multiplication. & ioignant— n+yy auec —4^j, iay— izSyy, queiediuifederechefpar— 16, & iay -H $yy, pour mettre dans le quotient & en Ie mul-tipliant par yy,iay %y 4,pour ioindre auec le terme qu'il fautdiuifer, quieftaufly — 8^4, Sc ces deux enfemble font — 1 óy4, queie diuife par —16, ce qui fait -f- iy4 pour fe quotient, 8c — iy6 pour ioindre auec jy ce-qui fait o, & monftre que la diuiííon eft achcuee. Mais s'il eftoit refte quelque quantité, oubien qa'on ďeuft pu diuiíerfans fraction quelquVn des termes precedens, on euft par la reconnu,quelle ne pouuoit eftre faite.
Tout de mefme fi on ay6 * a"y    * vy ~        oo o.
le dernier terme fe pent diuifer fens fraction par a, aa, aa -+- rr, a* H- & fěmblables. Mais il n y en a que deux quon ait beíbin de confiderer, a i^auoir aa & aa ^carles autres donnant plus ou moins de dimen-fions dans le quotient, qu'il tfy en a en la quantité con-nuě du penultiefme terme, cmpefcheroient que la diuiííon ne s'y puft faire. Et note's, que ie ne conte icy les dimenfions d'y <9 que pour trois, acaufeqrfil ny a point d'y5, ny d'y \ ny d'^ en toute la fomme. Or en exami-nant le binómejry — aa--cc o> <?,on trouue que la diuifion ie peut faire par luy en cete forte.
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LivreTroisiesme. 3 $3
Ce qui monftref que la racine cherchee eftaa-i-cc. Et la preuue en eft ayfee a faire par la multiplication.
Mais lorfqu on ne trouue aucun bin6me, qui puifle Qs^* ainfidiuifertoutelafomme de i'Equation propofee, ilmes font eft certain que Ie Problefme qui en depend eft folide. Et ce n eft pas vne moindre faute apres cela, de tafcher a le l'Equa-conftruire fans y employer que des cercles & des lignes droites, que ceferoitd employer des fedtions coniques aconftruireceuxaufquelsonn'abefoin que dc cercles. car cnfin tout ce qui tefmoigne quelque ignorance sap-pele faute.
Quel! on a vne Equation dont la quantite inconnue La reau_ ait quatre dimenfions, il faut en mefme facjon, apres en aio* des auoir ofte'les nombresfours, & rompus, s'tly en a, voir fi on pourra trouuer quelque bin6me, qui diuife toute laont o^ua-fomme,enlecompofantdervnedes quantitds, qui di-mkons, uifent fans fraction le dernier terme. Et fi on en trouue lorfguele vn, oubien iaquantite'eonnue de ce bindme eft la racine mc eft cherchee; on du moins apres cete diuifion, il ne refte en ?hn- rEc I'Equation, que troisdimenfions , enfuitedequoyilccuxqui faut derechef fexaminer en la mefme forte. Mais lorf- ?™ io]lm qu'ilnefe trouue point de tel bindme , il faut en au-gmentant, ou diminuantlavaleur de la racine, ofterle fecond terme de la forame , en la fa$on tantoft expli-qude. Etaprdslareduire a vne autre , qui ne contie-ne que trois dimenfions • Cequi fefait en cete forte. Aulieude-J-A;4 * .pxx . qx . r 000,
il faut efcrire    y^zpy **lty y — jq mo.
Et pour les fignes HH ou — que iay omis, s'il y a
eu
384 La Geometrie.
eu -hp en laprecedenteEquation, il faut mettre en ccl-lecy 4- 2/?, ou s'il y a eu -p, il faut mettre — 2 & au contraire s'il y a eu 4- r, il faut mettre — 4. r, ou s'il y a eu
— r, il faut mettre 4-4 r. &foitqu'il y ait eu 4- 7, ou
il faut toufiours mettre — qq,& 4- au moins fi onfuppofe que .v4, & ^ * font marques du fignes 4-, car ce fcroit tout le contraire fi on y fuppofbit le fi-gne
Par exemple fi on a4- x 4 *—4 ata;— 8 Ar 4- 37 30 0 ilfautefcrireenfbnlieuy* — 8^* — 124/^ — (54300, car laquantiteque iay, nommdep eftant — 4, il faut mettre
— 8^4pour2 ^ 4- &celle, que iay nommee reftant 35-, il faut mettre *£0yy9 ceft a dire — 124)7, au lieu de
*4 r» & en^n ? eftaDt 8» *1 &ut niettre — £4, pour - 3^. Toutdemcfme au lieu de 4- a; 4 * —17 ata? — 20 x~ 6,x>o. il faut efcrire 4-y 6~ 34^ 4 4- 313^ - 40000 0,
Car ai4eft double de 17, & 3f3 en e^ 'e quarrd ioint au quadruple de 6> & 400 eft ie quarrd de 20. Tout de mefme aufTy au lieu de
II faut efcrire
Carpcl\-+"£aa~cc9 &/>/>, eft |^4~ m& 4- *4 , & 4r eft— 1^*4-acicCy&enfin —   eft—0* — 2 aV* — aai 4.
Apres que TEquation eft ainfi reduite a trois dimen-fions, il faut chercher la valeur d'yy par la methode defia expliquee- Etil celle ne peut eftre trouuee, on na point
befoin
Livre Troisiesme,
befoin depafler outre; caril fuit de la infalliblement, que le problefme eft folide. Mais fi on la trouue , on peutdiuiferpar fon moyen la precedente Equation en deuxantres,enchafcune defquelles la quantite'incon-nuen aura que deux dimenfions, & dont les racines fe-ront Ie$ mefmes que les fienes. A fgauoir, au lieu de -\-x** .pxx.qx. rzoo, il faut efcrire ces deux autres
xx--yx-h±yy ,~p. *   coo, &
-1- xx -\-yx-h \yy \t**Cy :x)0'
Et pour les fignes H- &-- que iay omis, s'ily a Hr pen. TEquation precedente, il faut mettre +- ~ p en chafcune de celles cy; & — \p> s'il y a en Tautre - p. & ais il faut
mettre H- r-en celleotlilya—y#;&— , encelle oCiil
y a H-jr   lorfqu'il y a -I- ^ en la premiere. Et au con-
traire s'llya —^,ilfaut mettre--~, en celle. oii il y a
q
-y xy 8c -+• ~*en celle oil il y a Hry x. En fuitc dequoy
ileftayfedeconnoiftretoutesles racines de i'Equation propofde, 8c par confequent de conftruire le problefme, dontellecontientlafolution, fans y employer que des cercles, &deslignes droites.
Par exemple a caufe que faifant
yb — l*y* Hr$iiyy- 400 :x> 0, pour x^ —17 xx — 20x— 6 30 0, on trouue que^y eft 163 on-doii au lieu de cete Equation
~H#4 # —17xx*»zox— tox — 6 30c?, efcrire ces deux
autres
3Ä<5 La^Geometrie.
autres-Htftf—4#—5 soo. Et-h##-h4#-F2zoo. cary eft 4,5^ eft 8,^ eft 17, & q eft 20, de fa£onque
" i/> - T}fait - 3> & + kxr - kP -hI/ait + * Et tirant les racines de ces deux Equations, on trouue tou-tesles mefmes , que íl on les tiroit de celie oú eft #4, a f§auoir on en trouue vne vraye, qui eft V 7 4- iA& trois faufles, qui font / 7—a, a -f- 2, &a - 2. Ainfiayanta?4 - 4 - 8 x-+- so<?,pourcequelaracine dcy«-8 4 --124jjy H- 64 a> 0, eft derechef 16, il faut efcrire
##—4* "f- J 00 0, &CXX4 #     7 30 0.
Caricy + ijy..^-^)fiut r , & -f- i yy i /, +-Í. fait 7. Et pourcequ'on ne trouue aucune racine, ny vraye,nyfauffe,en ces deux dernier.es Equations , on connoift de lä que les quatre de ľEquation dont elles precedent font imaginaires; & que le Problefme f pour lequelonľa trouuée, eft plan de fa nature s mais qďil ne f§auroit en aucune fa§oneffreconftruit3acaufeque lesquantités donneesne peuuent fe ioindre.
Tout de mefrae ayant
I cc fVi-accf*-±aacc    30^
pourcequ'on trouue aa -+- cc pouryy, il faut efcrire
35ft — Vaa-hcc ^r^aa — \a Yaa-\-cc y>o, Sc VL~*~ Yaa-hcc^-h^aa-i-^aY^aa-hccx>o.
Car y eft if aa -h cc, & -h | yy +• £j> eft^a*, & fj,
cft-^i   tftf-Wr. D'oii on connoift que la valeurde £
eft
LivRE Troisiesme.
eft I; IT aa-t-cc~h Y — \aa-\-^cc -4- ~a f/ aa H- cn
oubien - V aa cc — aa-{- ^ cc ~h \aY aa-hcc. Et pourceque nous auions fait cy deffus \a?ox, nous apprenons que laquantitev#, pourlaconnoifTance delaquelle nous auons fait routes ces operations, eft
-h \a^r Y^aa~h~cc~ ^±cc*<* \aa-\-\a f/ aa H-cc.
Maisaffiň quon puiíTe mieux connoiftre 1 vtilite de **\™£*c cete reigle il fautqueieTappliqueaquelq; ProbIefme.de ccsÄ-
Si le quarre AD, &Ia ligne B N eftant donne's, il faut dučHons* prolonger le cofte'A C iufques a E, en forte qu E F,tiree ďEversB, foit efgale a NB. On apprent de Pappus, quayahtpremierementprolonge'BD iufquesäG , en forte que D G foit efgale ä D N, & ayant defcrit vn cercle dont le diametre foit B G, fi on prolonge la ligne droite AC,ellerencontreralacirconference de ce cercle au point E, quondemandoit. Maispour ceux qui ne fgauroiet point cete cóftručlion eile feroit aífés dilíicile ä rencotrer,&enla cherchät par la met hode icy propo-fée, ils ne s'auiferoiet iamais de predre D G pour la quä-tité inconnuě, mais plutoft C F 3 ou F D, a caufe que ce
font
J88 La Geometrie*
font elles qui conduifent le plus ayfement a I'Equatio: & lors ils en trouueroiet vne qui ne feroit pas facile a deme-fler,fanslareigleque ie viens d'expliquer. Carpofant^ pourBDouCD,&£pour EF,6c-vpourD F, onaCF co a& come C F ou a — *,eft aF E ou r,ainfi F D ou x,
c x"
eft a B F, qui par confequent eft ~x. Puis acaufe du tri-
angle re&angle BDF, dont les coftes font l'vn x &lau~ tre a, leurs quarres, qui font x x -+- a a, font efgaux a ce-
CC XX
toy de la haze,- qui eft xx„zax^aa , de fa§on que multi-pliant le tout par xx— zax -4- a&y on troutie que PE-quation eft x4 — 2 a x5 H~ 2 aaxx — 2 a * x    #*3o r <r
oubien a:*— 2£#5 xx—x-ha 4 so 0. Et on connoiftparlesreiglesprecedentes,que fa racine, qui eft la iongeur de la ligne DF, eft \ a -I- V^aa-f^cc
V±cc~~ aa-\~\a V aa~\~ cc.
tj,
Que fi on pofoit BF,ouCE, ou B E pour la quantity mconnue, on viendroit derechefi vne Equation, en la*, quelle il y auroit 4 dimenfions, mais qui feroit plus ayfde a ddmefler, & on y viendroit afTes ayfement; au lieu que fi c eftoit D G qu'on fuppofaft, on viendroit beaucoup plus difficilementa PEquation, mais auffy elle feroit tres fimple. Ceque ie mets icy pour vous auertir, que Iorf-quele Problefinepropofe'n eft point folide, fi en lecher-chant par vn chemin on vient a vne Equation fort com. pofee.onpeut ordinairement venir a vne plus fimple, eu le cherchant par vn autre.
Ie pourrois encore aioufter diuerfes reigles pour d£-mefler les Equations, qui vont au Cube, ou au Quatre
de
Livre Troisiesme. 38p
dequarre', maisellesferoientfiiperflucs; carlorfque les Problefmcs font plans,on en pent toufiours trouuer la conftruftion par celles cy.
Ie pourrois auffy en adioufter d autres pour les Equa^ Regie tions qui montent iufques au furfblide, ou au Quarry de j^"*^ cube, ou au dela, mais i'ayme mieux les comprendre duireies routes en vne, & dire cn general, que /orfqu on a tafchcyqu^aaf-S de les reduire a mefme forme, que celles dautantdc di- «^J© menfions,quivienent dela multiplication de deux au- quaul tresquien ont moins, & qu'ayant ddnombr^tous les moyens, par lefquels cete multiplication eft poffible, la chofe n'a pu fucceder par aucun, on doit s'aflurer qu'el-lesnef$auroient eftre reduites ade plusfimples. En forte que fi la quantity inconnue a 3 on 4 dimenfions,le Pro-blefme pour lequel on la cherche eft foIide3- & fi elle en a 5,on tf,il eft d'vndegrd plus compofej & ainfi des autres*
Aurefte fay omis icy les demonftrations de la plus part de ce que iay dit a caufe quelles m'ont fembldfi fa-ciles,quepourvuquevous prenies la peine dexaminer methodiquemcnt fi iay failly,elles fe prefenteront a vous d'elles mefme: & il fera plus uile de les apprendre en cete fa§on, quen les lifant.
Or quand on eft aflfure, que le Problefme propofe eft ncrTic5^ folide, foit que PEquation parlaquelle on Ie cherche Pourcon-monteauquarredequarre, ioit quelle ne monte que tous jcs-iufques au cube, on peut toufiours en trouuer la racine ProbI^ par Tvne des trois fe&ions coniqnes, laquelle que ce foit des>re-ou mefme par quelque partiedel'vne d'elles, tant petite duity*~ qu elle puifle eftre^ en ne fe feruat au refte que de lignes quatiu droites,&decercles*   Mais ie me contenteray icy de
donner
39° La Geometrie.
donner vne reigle generalepourles trouuertoutes parle moyend'vne Parabole, a caufe qn'elle eft en quelque fa-§on la plus limple.
Premierement ilfaut öfter lefecond rerme de l'Equa-tion propofe'e, s'il n'eft defia nul, & ainfi la reduire ä teile forme, ^5 30*.apaaq,fiIaquantite'inconnue na que trois dimenfions; oubien ä teile, so * apfä. aaq%. ÄJ^fielieenaquatrejOubienenprenantÄ pour lYnitd, k teile, ^5 so#. p % q% & ä teile
tu
r r
-H
■i
-1
Li vre TroIsiesme. JPr
Aprescela fuppofant que la Parabole F AG eft defia deferite, &: que fon aiffieu eft A C D K L, & que fön cofte' droit eft a, out, dont AC eft la mortis, &enfin que le point C eft au dedans de cete Parabole, & que A en eft lefommetjll faut faire C Dso-^, & la prendre du mefme cofte, ijueft le point A au regard du point C, s'il y a -hp en TEquation. mais s'il y a—p il faut la prendre de Tautre cofte. Et du point D, oubien, fi la quantity
p eftoitnulle, du point Cil faut eflcuer vne ligne a angles droitsiufquesaE, en forte quelle foit efgale a^y. Et enfindu centre Eil faut defcrire le cercle FG, dont
le
La Geometrie.
ledemidiametre foic A E , il I'Equation neft quecubique, en forte que la quanti-te> foit nulle. Mais quand il y a -f- r il faut dans cete ligne A E prolongee, prendre ď vn cofte A 11 efgale á r, & de lautre AS efgale au cofte droit de la Parabole qui eft r, &ayantde-vn cercle dont le diametre foit R S, il faut faire A H
perpediculaire fur AE, laquelle A H rencontre ce cercle R H S au point H,qui eft celuy par ou l'autre cercle F H G doit paffer. Et quand ily a — r il faut aprés auoir ainfi trouue la ligne
A H, tnfcrire A I, qui luy foit efgale, dans vn autre cercle , dont A E foit le diametre, & lors ceftparle point I,
que
H
LivreTroisiesme. 593
que doit paffer FIG le premier cercle cherche. Or ce cercle F G peut coupper, ou toucher la Parabole en I, ou 2, ou 3, ou 4 poins, deiquels tirant des perpendiculai-res fur laiffieu, on a routes les racines de I'Equation tant vrayes, que faufles. A fgauoir li la quantite'^ eft marqucfe du figne 4-, les vrayes racines feront celles de ces per-pendiculaires, qui fe trouueront du mefme cofte' dela parabole, que E le centre du cercle, comme F L - & les autres, comme G K, feront faufles: Mais au contraire fi cete quantite' q eft marquďe du figne — les vrayes feront cellesdeTautrecofté; & les faufles, oumoindres que rien feront du cofte'ou eft Ele centre du cercle. Et en-fin fi ce cercle ne ccuppe,ny ne touche la Parabole en au-cun point, cela tefmoigne qu'il n'yaaucuneracineny vraye nyfaufle en I'Equation , & qu'elles fbnttoutes imaginaires. En forte que cete reigle eft la plus generále , & la plus accomplie qu'il foit poflible de fou-haiter.
Et lademonftration en eft fort ayfee. Car fi la ligne G K,trouuée par cete conftručlion, fenomme AK fera a caufe dela Parabole , en laquelle GK doit eftre moyene proportionelle,entre A K, & le cofte'droit qui eft i. puis fide A Ki'ofte A C, qui eft ~ , 8c C D qui eft ~py il refte DK,ou EM, qui eft ^ft--^ — done le quarrc' eft
£4"PVLmm Vi^iPPí ř ?• & acaufo 4ueDE, ou KMeft^,latouteGMeft^-+-^3 dont lequarréeft
VL? ^\ 11 > &c aflemblant ces deux quarrés, on a
pour
3?4 La Geometrie.
OA «
r-—
r»-1
pourlequarre'delaligneG E, acaufeqďelleeftla baze du triangle re&angle EMG.
Maisacaufe que cete melme ligne G E eft le demi-diametre du cercle F G, eile íe peuř encore expliquer en ďautrestermes^f^auoirE D eftant ^ y, & AD eftant
lp -h £,E A eft V ifq+:jPp+i P •+• i a caufedelan-gle droit A D E, puis H A eftant moyene proportioneile entre A S qui eft i & A R qui eft r,elle eft Vr. &k cau-fe de ľangle droit E A H, le quarre deHE, oaEG eft
Í11~t~kPP~*~íP     i~*~r: fibienque il y a Equation
entre
Livre Troisiesme. entre cete fbmme & la precedente. cequi eft le mefine que ^4 co *p3&— q r. & par confequent la ligne tröu-ii ee GK qui a eftd nomme'e ^eft la racine de cete Equation, ainfi qu'il falloit demonftrer. Et fi vous appliquds ce mefme calcul a totis les autres cas de cete reigle, en changeant les fignes -h & — felon Toccafion , vous y trouueres voftre conte en mefme forte,fans qu'il foit be-tfoinqueiem'y arefte.
Si on veut done fuiuant cete reigle trouuer deux mo-yennesproportionelles entre les lignes a & ^chafcun f§ait que pofant ^ pour IVne, comme/řeft ä % , ainfi
^ä^-, & 7 ä - ; de fa£on qu'il y a Equation entre j & L'inuen-c eft a dire, %J so * * a a q. Et la Parabole FAG eftant yencspro-
- portio-de- nelles.
J?* La Geometrie.
defcrite, auec la partie de fon aillieu A C, qui eft \a la moitiedu cofle'droit; il faut du point C efleuer laper-pendiculaire C E eígale á \q> & du centre E, par A, de-fcriuant lecercle A F, ontrouue FL, &L A, pour Ies deux moyennes cherchees.
Tout de mefme fi on veut diuifer Tande NOP, ou-dc diuifer bienlarc, ou portion decercle N QT P, en trois par-vn angle tjes efgales; faifant NO so i, pour le rayon du cercle, & _n trois. £j p ^ ^ pOUr ja fubtendue de Tare donne, & N Q oo ^,
pour la fubtendue du tiers de cet arc $ TEquation vient,
V 90 * 3 SL— Car ayant tird Ies lignes N Ql, O Q, OT;&faifant QJ5 parallele a T O, on voit que comme NOeftaN Q^ainfi N Qa Q R, & Q R a R S 5 en forte
que
Li v re Troisiesme. 397
que NO eftant j,&:N Qeftant %, QR eft % & R S eft ^: Et a caufe qu'il s'en faut feulement R S, ou ^ % que la ligne N P, qui eft q, ne foit triple de N Q^, qui eft ^ ou kqso* ^Joubien,
Puis la Parabole FAG eftant defcrite, & C A la moi-tie'de ion cofte'droit principal eftant    fion prent CD
|, & la perpendiculaire D E oo \q> & que du centre E, par A, on defcriue le cercle FAgG, il couppe cete Parabole aux trois poins F, g, 8c G, fans conter le point A qui en eft Ie fommet. Ce qui monftre qu'ily arrois raci-nesen cete Equation, ä f^auoir les deux G K, 8c g ^, qui iont vrayes; & la troiíieíme qui eft faufle, á f§auoir F L. Etdeces deux vrayes c'eft gJ( hrplus petite qu'il faut prendre pour la ligne N Q qui eftoitcherchee. CaiTau-treGK, efteígaleáNV, lafubtendue de la troiíieíme partie de Tare N V P, qui auec lautre arc N QJP acheue le cercle. Et la faufle F L eft efgale a ces deux enfemble Q^N & N V, ainfi qu'il eft ayfó a voir par le calcul.
Ilferoitfuperflusqueiem'areftafTeadonner icyd'au- Quetoua tres exemples- car tons les Problefmes qui ne font que biJmcl folides fe peuuent reduire a tel point.qu'on n'a aucun be- r°licIes fe loin de cete reigle pour les conftruire,iinon entant qu'el- reduire a le fert a trouuer deux moyennes proportionelles,oubien ^{J^ adiuifer vn angle en trois partiesefgales. Ainfi que vous dons, connoifrres en conliderant, que leurs difficultes peuuent toufiours eftre comprifes en des Equations, qui ne mon-tent que iuiqueau quarre de quarre, ouau cube : Et que toutes celles qui montent au quarré de quarré, fe redui-
fent au quarre, parle moyen de quelques autres, qui ne
montent
398 La Geometrie.
niontent que iufques au cube: Et enfinqu'dh peut öfter le fecond terme de celles cy. En forte qu'il n y en a point qui ne fe puifle reduire a quelqs vne de ces trois formes.
^30*~^-f- q.
Or fi on a \5 oo * -p ^-f- ^, Ia reigle dont Cardan at-tribue l'inuention a vn nommd'Scipio Ferreus, nous ap-prent que la racine eft,
Comme aufly lorfqu on a^^oo^H-^^.-i-j, & que le quarrd de lamoitie'du dernier terme eft plus grand que le cube du tiers de la qoantite'connue du penultiefme, vne pareille reigle nous apprent que la racine eft,
D'oü il paroift qu'on peut conftruire tous les Problef-ines, dont les di/Ecultesfereduifent al'vne de ces deux formes, fans auoir befoin des feäions coniques pour autre chofe, que pour tirer les racines cubiques de quelques quantity donnees, c'eft a dire, pour trouuer deux moyennes proportionelles entre ces quantites & l'vnite.
Puisfiona^ao *-H^H-j, & que le quarre7de la moitid du dernier terme neibit point plus grand que le cube du tiersdelaquantite'connuedu penultiefme, en fuppofant le cercle NQP V,dont le demidiametre NO
foit V jp, c'eftadire la moyenne proportioned entre le tiers de Ia quantity donne'e p & l'vnite'; & fuppofant
aufTy la ligne N P iufcrite dans ce cercle qui foit -j
c'eft
Livre Troisiesme.
c'eftadirequifoit &l'autre quantity donnde q comme lVnitc eft au tiers dep-y il ne faut que diuifer chafcun des deux arcs NQP&NVPen trois parties efgales, 5c on auraNQ, la fubtendue dutiers de lvn, &N Vlafub-tenduedu tiers del'autre, qui iointes enfemble compo-feront la racine cherchee.
Enfinfiona ^ ao*p %—q > en fuppofant derechef le
cercle N QJ? V, dont le rayon N O foit Vj/>,& 1'infcri-
te NPfoit - , NQjafubtendue du tiers de Tare NQP fe-
ralvnedesracinescherche'es, & NV la fubtendue du tiersderautrearcferal'autre. Aumoinsfi lequarre' de la moitie du dernier terme, n'eft point plus grand, que le cube du tiers de la quantite connue du penultiefme. car s'll eftoit plus grand,la ligne N P ne pourroit eftre inferi-te dans le cercle , a caufe quelle feroit plus longue que fon diametre: Ce qui feroit caufe que les deux vrayes ra-
cines
4°° La Geometrie.
eines de cete Equation neferoient qu'imaginaires , & qu'il nyenauroit de reelles que lafaufTe, quifuiuant Ia reigle de Cardan feroit,
d'expri^ Au refte il eft a remarquer que cete faejon d exprimer meriava- ja valeur des racines par le rapport qu'elles ont aux co-couccsCics ftds de certains cubes dont il n'y a'quele contenu qu on des*T connoi^e»neftenr*euP*LISintelligible, ny plus fimple, quauons que de les exprimer par le rapport qu'elles ont aux Äb-& entire tendues de certains arcs, ou portions de cercles , dont de tourcs le triple eft donne'. En forte que toutes Celles des Equa-"emoa"1 tions eubiques qui ne peuuent eftre exprimdes par les tent que rejgles de Cardan, le peuuent eftre autant ou plus claire-
iufquesau     ö        g   r        . r,
quarre de ment par Ia ra5on icy propoiee.
quarre. ^    exemple, on penfe connoiftre la racine de
cete Equation, *r — a cau^e qu on fijait
qu'elle eft corapofee de deux lignes. dont Fvne eft le coftdd'vn cube, duquclle contenu eft \ q, adiouftrfau cofte" d vn quarre , duquel derechef le contenu eft IW"" ivP,; Et Tautre eft le cofte'd'vn autre cube, dont le contenu eftla difference/qui eft entre If, &Iecofte de ce quarre'dont le contenu eft \ qq - £pJ, qui eft tout ce qu on enapprent par la reigle de Cardan.il ny apoint de doute qu'on ne connoifTe autant ou plus diftiu&e-mcnt la racine de celle cy, ^5 so * -f- q - p, en la confi-derant inferite dans vn cercle, dont le demidiametre eft
V f pl& f§achant quelle y eft la fubtendue dvn arc dont le triple a pour fafubtendue y. Mefine ces ter-
mes
Li vre Tröisiseme. 4oi
mes font beaucoup moins embaraffes que les autres, & ilsfetrouuerontbeaucouppluscoursfi on veut vier de quelque chiffre particulier pour exprimer ces fubten-dues, ainfiqu on fait du chiffre VC* pour exprimer le cofte'des cubes.
Et on peut auffy en fuite de cecy exprimer les racines de toutes les Equations qui montent iufques au quarre de quarre", par les reigles cy deffus explique'es. En forte queiene flache rien de plus a defirer en cete mauere. Car enfinla nature de ces racines ne permet pas qu'on les exprimeentermes plus fimples, ny quon les determine par ancune conftru&ion qui foit enfemble plus generale & plus facile.
11 eft vray que iexi'ay pas encore dit fur quelles raifons Pou^s ie me fonde, pour ofer ainfi aflurer, fi vne chofe eft poffi- probief-ble, ou ne i'eft pas. Mais fi on prent garde comment,par ™s nf°li-lamethode dont iemefers, tout ce qui tombe fbus lapCuucnc confideration des Geometres, fe reduift a vn mefme *ftrc cou" geure de Problefmes, qui eft de chercher la valeur des fans les fe-racines de quelque Equation - on iugera bien qu'iln eft ^°°*lcs> pasmalayfe de faire vn ddnombrement de toutes les vo- ny ceux yesparlefquelles on les peut trouuer, qui foit fuffifant ^"scom-pour demonftrer qu'on a choifi la plus generale, & la plus pofcsfans fimple. Et particulierementpour cequi eft des Problef - limes folides, que lay dit ne pouuoir eft re conftruis, fans gnes Plus qu'on y employe quelque ligne plus compose que ha^° circulaire, c'eft chofe quon peut affds trouuer, de ce qu'ilsfereduifenttous adeuxconftru<5tions ; en IVne defquelles il faut auoir tout enfemble les deux poins,qui determinent deux moyenes proportionelles entre deux
ligne s
4°* La Geometrie.
lignes donnees, & en 1 autre les deux pains, qui diuifent en trois parties eigales vn arc donnd: Car d'autant que la courbure du cercle ne depend, que d'vn iimple rapport de toutes fes parties, au point qui en eft le centre -y on ne peut aufly s'en feruir qn a determiner vn feul point entre deuxextremeSjCommeatrouuer vne moyenne proportioned entre deux lignes droitcs donnees, ou diuifer en deux vn arc donne: Au lieu que la courbure des fedtions coniques, dependant toufioursde deux diuerfes chofes, peut aufly feruir a determiner deux poins differens.
Mais pour cete mefme raifon il eft impoflible, qu'au-cundesProblefmesqui font d'vn degrdplus compofes que lesfblides, & qui prefuppofent Tinuention de quatre moyennesproportionelles,oula diuifion d'vn angle en cinq parties efgales, puiffenteftrecoftftruitsparaucune des fe&ions coniques. C'eft pourquoy iecroyray faireen cecy tout le mieux qui fc puifle,fi ie donne vne reigle generate pour les conftrnire, enyemployantla lignecour-be qui ie defcrit par linterfedtio d* vne Parabole & d'vne lignedroiteenlafa$oncy deffus expKqude. car i'ofe a£ furerqu'ilnyenapointdeplusfimpleenla nature, qui puifle feruir a cemefmeeffedfc^ & vous aue*vfi comme ellefuitimmediatementlesfecStionsconiques, en cete queftion tant cherchde par les anciens, dont la fbliftion enfeigne par ordre toutes les lignes courbes, qui doiuent racoa^ eftre receues en Geometrie.
ncraic Vousf<jaues defia comment, lorfqu'on cherche les ill u ire quantitds qui font requifes pour la conftru&ion de ces ^oblef Pr°klefmes,onlespeuttoufioursreduire a quelque E-mcs rc- quation,qui ne monte que iufques au quarre'de cube, ou
duics a
au
Livre Troisiesme. 4°3
aufurfblide. Puis vousf§au6aufly comment, enaug- vncEqua. mentant la valeur des racines de cete Equation, on peut l\on <}ui toufiours faire qu'eiles deuienent toutes vrayes- & auec plus dieC cela que la quätitd connue du troifiefme terme foit plus fl* ^ grande que ie quarre de la moitie de celle du fecond:Et enfin comment, fi eilenemontequeiufquesaufurfoli-de, on la peut hauffer iufques au quarre'de cube. & faire que la place d'aucun de fes termes ne manque deftre remplie.   Or affin que toutes les difficulty, dont il eft icy queftion, puiflent eftre refolues par vne mefme rei-gle, ie defire qu'onface toutes ces chofes, & par ce moyen quon les reduife toufiours a vne Equation de telle forme,
y6 —py     qy* — ry 5 •+- syy — tym+-vdo 0,
& en laquelle la quantity nominee q foit plus grande
quele quarre de la moitidde celle qui eft nommee p.
4°4
La Geometrie.
Puis ayant fait a ligne B K indefi-niement longue des deux codes $ & du point B ayant tird la per-pendiculaire A B, dontla longueur íoiť~p;il faut dans vn plan iepare de>
fcrire vnc Para-bole , comme C D F dont Ie cofté droit principalfoit
que ie nommeray n pour abreger. Aprés cela ii faut pofer le plan dans lequel eft cete Parabole fur celuy ou font les lignes AB & BK, en forte que fon aiiSeu D E ie rencontre iuftement au deflus dc la ligne droite B K: Et ayant pris la par-tie de cet aiffieu, qui eft entre les poins E & D, eigale ä
—faut appliquer fur ce point E vne longue reigle,
en telle fa$on qu'eftantaufly appliquče fur le point A du plan dedeíTous, elle demeure toufiours iointe a ces deux poins, pendant qu'onhauiTeraoubaiffera la Para-bole
Livre Troisiesme. 4°S bole tout le long de la ligne B K, fur laquelle ion aiffieu eft applique' au moyen dequoy Tinterfečtion de cete Parabole, & de cete reigle, qui fe fera au point C , defcrira la ligne courbe A C N, qui eft celle dont nous auons be-fbinde nous feruir pour la conftručtion du Problefme propofé. Car apre'squ'elle eft ainfi defcrite, ii on prent le point L en la ligne B K, du cofte' vers lequel eft tourné lefbmmet de la Parabole, & qu'on face B L efgale á D
E, c'eftadirea fn : Puis du point L , versB , qu'bn prene en la mefme ligne B K , la ligne L H, eígale &
& que du point H ainfi trouue', on tire k angles droits, du cofté'qu'eft la courbe ACNjlaligneHT, dont la longeur foit ^f- qui pour abreger
fera nommée ~: Etapíe's,ayantioint les poins L & I,
qu'on defcriue le cercle LPI, dont IJL fbit le diametre; &qu'on infčriueen cecercle la ligne LP dont la longeur foit ^í*^?. pujs engn fa centre   par ie point P
ainfi trouué, qu'on défcriue le cercle PCN. Ce cercle couppera ou touchera la ligne courbe A C N, en autant de poins qu^y aura deracines en TEquation : En forte que les perpendiculaires tirées de ces poins fur la ligne BK,commeCG,NR, QO, &femblables, ferontles racincscherchees. Sansquily ait aucune exceptionny aucundeffaut en cete reigle. Car fi la quantity cftoit fi grande, á proportion des autres jfr, q, r, ty &c v> que la ligne L P fe trouuaft plus grande que le diametre du cercle
4°6 La Geometrie.
cle I L, en forte qďelle ny puft eftre iufcrite, il ny auroit aucune racine enl'Equation propofee qui.ne fuft imagi-naire: Non plus que fi le cercle IP eftoit fi petit, qďil ne coupaft la courbe A C N en aucun point. Et il la peut couper en fix differens , ainfi qu'il peut y auoir fix diuerfes racines en ľEquation. Mais lorfqu'il la coupe enmoins , cela tefmoigne qu'il y a quelaues vnes de
ces racines qui font efgalesentre elles , oubienquine font qu'imaginaires.
Que
Livre Troisiesme. 407 Que fi la fagon de tracer la ligne A C N par le raouue-ment dVne Parabole vous femble incommode, il eft ay-fe'de trouuer plufieurs autres moyens pour la defcrire. Comme fiayant les lnefmesquantites que deuant pour AB & B L.&lamefme pour B K,qu onauoitpofee pour le coftedroit principal de la Parabolejon deferit le derai-cercle K S T dont le centre foit pris a difcretion dans la ligne B K, en forte qu il couppe quelq. partlaligne A B, comme au point S, & que du point T, du il finift,on pre-ne vers Kla ligne T V, efgale ä B L- puis ayant tird la ligne S V, qu'on en tire vne autre, qui luy foit parallele, par le point A, comme AQ& qu'on en tire aufly vne autre par S,qui foit parallele a B K, comme S C5 le point C,ou ces deux paralleles fe rencontrent,(era i'vn de ceux de la ligne courbe cherchde. Et on en peut trouuer, eu mefme forte,autant d autres quon en defire.
4°8 La Geometrie.
Or la demonftration de tout cecy eft afles facile, car appliquant lareigle A E auec la Parabole ED fur le point C; comme il eft certain qu'elles peuuent y eftre appli-que'es enfemble , puifque ce point C eft en la courbe
A C N>qui eft defcrite par leur interferon ; íi C G fe
yy
nomrae^,GDfera^ , ä cauieque le co&édroit, qui eft T^eft ä C G,comme C G a G D.& oftant D    qui eft
—, de G D, on ä j — —, pour G E. Puis ä cauíe que
A B eft a B E, comme CG eft a G E ; AB eftant \ p , B E eft
3T py_m Xľ
zn~~ ny*
Et tout de mefme
en fuppofant que le
point C de la courbe ä
eftďtrouué par ľinter-
fečtio des lignes droi-
tes, S C parallele ä B
K, & A C parallele a SV. SBquieftefgale
á CG, cüy ; & BK
eftant eígale au coítŕ
droit de la Parabole,
que iay nommé n, B
yy
T eft     car comme
KBeftaBS, ainfiBS eft a B T.  Et T V
eftant
Livre Troisiesme. eftant la mefme que B L , c'eft a dire ~- , B V eft -n -&commeSBeftaBV, ainfiA B eft k B E,qui
eft par conlequent      - comme deuant,d ou on voit
que c'eft vne raefmc ligne courbc qui fe defcrit en ces deuxfa§ons.
Aprds cela, pourceque B L & D E font efgales, D L & B E le font aufTy: de fa$on qu adiouftat L H, qui eft j-^j
ADL, quteft^ — ,j-f on k la toute DH , qui eft £- Ty + dT* 5  & en oftant G D , qui eft f
on^GH, qui eft{^ -^-H^; - Ceque i'efcris par ordre en cete forte G H so --y> -f-^£yy-H J-~
Et le quarre de G H eft,
nnyy
Et en quelque autre endfroitde cete ligne courbe quon veuille imaginer le point C, comme vers N, ou vers Q» ontrouueratoufiours que le quarry de Ik ligne droite, qui eft entre le point H & celuy ou tombe la perpendicu-laire du point C fur BH,peut eftreexprimeen ces met mestermesj&aneclesmefmesfignes -J- 8c—«
De plus IH cftant -, & L H eftant -yj, I L eft
^~ -H ~,a caufe dc l'angle droit IH L, 3c LPeftat
V
LA Geometrie.
•.....-    — -
droit IP L. Pais ayant fait C M perpendiculaire furl H, I M eflla difference qui eft entre I H, & H M ou CG,
e'efta dire entr^^, & y , en forte que fon quarre
n       r        mm      z my .
eft toufiours —, ~ — Hryy, qui eftant ofte du quarre
de
Li vre Troisiesme. 4lx
delC, ilreße —~ - -~ -f-T/~jy.
pour le quarr e'de C M,qui eft efgal au quarrende G H de-fia trouue' Oubien en taifant que cete foiume foit diui-fee comme l'autre par nnyy> on a
tt .
~ nnyA-\- imy 5 — pV v yy syy "+~ ^yy* * U1S
remettant      4 4- 37 4 - ~ #74 , pour nny 4 ; &
ry5    2      y } 5, pour z my 1 : & multipliant
fvne & lautre fömme par /zrcjy, on a
efgal ä
Yv\y*-i-zV      *     j-   t yy
~*~jPP J        lVx/ J
C'eftadirequ bna,
* 1- ^ * 4- q y 4 — fy 1 -+- j- yy — fy -f- f 30 tf.
D'oü üparoift*queles lignes C G, N R, QO, & fembla-bles font lesracines de cete Equation, qui eft ce quil fal-loit demonftrer.
Ainfidoncfion veut trouuer quatre moyennes pro-portionelles entre les lignes n 8c b, ayant pofe'^pour la premiere ? l'Equation eft ****** a^bzoo oubien ******ar+bx* 30 o, Et taifant^y =--«30*il vient
/- 6 af+tj aay* - 20 a*y*-l~ l^a+yy \\ 6fl" J 0.
C'eftpourquoyil faut prendre 50 pour la ligne AB, &
~——7^+ d 0 0 pour B K> Ott le cofte droit de laPa-
rabole
4** La Geometrie.
rabole queiay nomindw. 8c j* if**"+" pour DEoa B L. Et aprds auoir defcrit Ia ligne courbe A C N fur Ia mefure de ces trois, il taut taire LH,     — -
&HI 30--i--Y aa-)r ab->--=--& £ p ^
-——=*—^— Car le cercle qui ayant ion centre
au point I paflera par le point P ainfi trouue, couppera la courbe aux deux poins C & N ; defquels ayant tire les perdendiculairesNR& CG,fi la moindre, N R, eft oftee de la plus grande, C G, le refte fera, .v, la premiere des quatre moyennes proportionelles cherchees.
Il eft ayfe en mefme fa$on de diuifer vn angle en cinq parties efgales, &d'infcrire vne figure d'vnze ou treze cofte'scfgauxdans vn cercle, &de trouuer vne infinite' d'autres exemples de cete reigle.
Toutefoisilcft a remarquer, qu'en plufieurs de ces exemples, ilpeut arriuer que le cercle couppe fi obli-quementlaparaboledu fecond genre; que le point de leur interfedtion foit difficile a reconnoiftre: & ainfi que cete conftru&ion ne fbit pas commode pour la pratique. A quoy il feroit ayfc'de remedier en compofant d'autres regies, £ limitation de cellecy , comme on en peuc compofer de mille fortes.
Mais mondeffeinn'eft pas defaire vn gros liure, & ie tafche plutoft de comprendre beaucoup en peu de mots: comme oniugerapeuteftre que iayfait, fion con-fid ere, quayant rcduit k vne mefme conftru&ion tous
les
LlVRE Troisiesme, 413 les Problefmes ďvn mefme genre, iay tout enfemble donnélafa§ondeIesreduire ávne infinite ďautres di-uerfes; & ainfi de refoudre chafeun deux en vne infinite de fa§ons. Puis outre cela qu ayant conftruit tous ceux qui font plans, en coupant ďvn cercle vne ligne droite; & tous ceux qui font folides, en coupant au0y ďvn cercle vne Parabole- & enfintous ceux qui font ďvn degré plus compofe's, en coupant tout de mefme ďvn cercle vne ligne qui n'eft que ďvn degré plus compofee que la Parabole,- il ne faut que fuiure la mefine voye pour con-ftruire tous ceux qui font plus compofesalinfini. Car en matiere de progreffions Mathematiques >1orfqu on a Ie$ deuxoutrois premiers termes, il n'eft pas inalayfe'de trouuer les autres. Et řeípere que nos neueux me f§au-ront gré, non feulement des chofts que iay icy expli-quces • mais auíTy de celles que iay omiíés volontaire-rement, affin de leurlaiíTer leplaifirdelesinuenter.
FIN.
PAr grace & priuilege du Roy tres ehre-ftien il eft permis aľAutheur duliure in* titule DifcouYs dela Methode fýc. plus la Dio* ptriqueJe$MetcoreS)& la Geometrie &c. dele faire imprimer en telle part que bonluyfem. btara dedans & dehors le royaume de France, ÔC ce pendant le terme de dix annees coníe-quutiues, a corner du iour qďil fera parache-uéďimprimer, fans quaucun autre que le li-braire qďil aura choifi le ptiifle imprimer, ou faire imprimer,en tout ny en partie, fous quel-que pretexte ou deguiiement que ce puiííe eftrej ny en vendre ou debiter dautre impref-fion que de celie qui aura eile faite par fa per-miffion,a peine de mil liures ďamande, conization de tous les exemplaires &c. Ainfi quil eft plus amplement declare dans les let-tres donnees a Paris le 4 iour de May 1637. fi-gnees par le Roy en íbn coníeil Ceberet &C ieellees du grand feeau de cire iaune fur fimple queue,
1'Autheur a permis a Ian Maire marchand libraire a Leyde, d imprimer le dit liure &C de iotiir du dit priuilege pour le terns & aux conditions entreeux accordees,
A cheué ď imprimer le 8. iour de luin 16?7-