Zajímavá fyzika Tomáš Tyc, 2020 Rotace Pokusy s kolem, káčou a jinými setrvačníky • Roztočené kolo se chová jinak než neroztočené – lze je pověsit jen na jedné straně osy na provázek, kolo „stojí na vodorovné ose, přitom koná precesi (otáčí se kolem svislé osy) • Toto lze vysvětlit pomocí úvah o momentu hybnosti a momentech vnějších sil • Lze to ale vysvětlit i mnohem triviálněji, pomocí úvahy o tom, že se snažíme změnit směr osy rotace kola a přemýšlíme, jakou silou musíme působit, abychom toho dosáhli • Při změně směru osy dojde ke změně rotace samotné. Např. směřuje-li osa původně vodorovně před námi (směr X) a na konci procesu dopředu od nás (směr Y), lze říci, že kolo se na začátku vůbec netočí kolem osy Y, ale na konci se kolem ní točí. Je tedy třeba kolo roztočit kolem osy Y a současně zbrzdit rotaci kolem osy X, která tam původně je, ale na konci už není. Na kolo mohu působit jen prostřednictvím jeho osy, takže pro roztočení kolem Y musím tlačit levou stranu osy nahoru a pravou stranu dolů! Sice to pak vypadá, jako bych chtěl osu kola natočit do směru Z a ne Y, ale skutečně toto musím dělat! • Pokud kolo zavěsím na provázek na jednu stranu vodorovné osy, gravitace dělá to, co já předtím, takže osa kola se otáčí ve vodorovné rovině a nedostává se tedy do svislé polohy. A stejně to funguje s vlčkem nebo káčou, které se nepřevrátí. • Pokud se kolo točí rychle, je třeba značné síly, abychom změnili jeho osu, protože musíme jednu rotaci zastavit a jinou vytvořit. Setrvačníky proto mají silný stabilizační efekt, toho se využívá třeba při stabilizaci lodí nebo i při jízdě na kole (není to ale efekt, díky němuž udržíme na kole rovnováhu). • Další využití – v gyrokompasech a navigaci, setrvačník se ale musí doplnit důmyslným mechanismem, aby se odstranily efekty tření apod. Lze dosáhnout úžasné přesnosti • Kolo v Cardanově závěsu – nejjednodušší gyroskop, ale velmi nepřesný • Existuje i podivný setrvačník, jehož osa se pohybuje po drátěné spirále. Zde se uplatňuje třecí síla a další efekty, vysvětlení je velmi netriviální Coriolisova síla • Pokus: necháme vytékat vodu z PET láhve, kterou přitom otáčíme kolem její osy. Přitom se proud zřetelně stáčí na stranu. Jak si lze toto vysvětlit? V neinerciální soustavě spojené s nádobou působí setrvačné síly – známá odstředivá a méně známá Coriolisova. Právě ta způsobuje zatáčení proudu. • Odvození Coriolisovy síly pro speciální případ radiálního pohybu: 1 v v' u u' � � Změna rychlosti má dvojí původ, barvy rovnic odpovídají barvám na obrázku ∆v = |v − v| = vφ = vω∆t ⇒ a = ∆v ∆t = ωv ∆u = |u − u| = ω(r − r) = ωv∆t ⇒ a = ∆u ∆t = ωv Zrychlení (Coriolisovo) směřuje doleva a má velikost 2ωv • Coriolisova síla směřuje doprava a je rovna Fc = −mac = 2mv × ω • Pokus s rotující židlí: točím se a přitáhnu ruce se závažími k tělu – točím se pak rychleji • To lze v inerciální soustavě vysvětlit zákonem zachování momentu hybnosti – zmenšil jsem moment setrvačnosti, tím musela vzrůst úhlová rychlost • Lze to vysvětlit i v soustavě, která je spojena se mnou, dříve než začnu ruce přitahovat, a otáčí se stálou úhlovou rychlostí? Vzhledem k této soustavě jsem původně v klidu, ale jak přitahuji ruce, roztáčím se. • Vysvětlení dá Coriolisova síla. Ta začne působit na závaží v rukou a působí kolmo na jejich pohyb (který je radiální), takže působí tečně a roztáčí mě. • Pokud budu chtít dělat závažím kroužky, zjistím, že to jde na jednu stranu mnohem snáze než na druhou. To proto, že u kroužků v opačném směru, než v jakém se na židli točím, působí Coriolisova síla směrem do středu kroužku, což je přesně to, co velice vítám – pro kruhový pohyb závaží potřebuji dostředivou sílu, která bude pohyb zakřivovat. Naopak u kroužků ve stejném směru, v jakém se na židli točím, působí Coriolisova síla směrem směrem od středu kroužku ven a tedy mi práci velmi ztěžuje. • Coriolisova síla má stejný charakter jako Lorentzova síla v homogenním magnetickém poli B – ta je dána vztahem F = qv × B • Obecná úvaha – uhnutí do boku: přibližně platí ∆ = 1 2 at2 = ωvt2 = ωts = ϕs, kde ϕ je úhel otočení za dobu letu a s je vzdálenost, na kterou se vrhá. • Přestřelka na točně nebo ve vlaku jedoucím do zatáčky – C. síla závisí lineárně na rychlosti, takže je pro kulku větší než odstředivá a může způsobit minutí cíle 2 • C. síla působí i na světlo; chceme-li trefit světelným paprskem geostacionární družici, musíme mířit trošku jinam, než kde ji vidíme, protože C. síla paprsky odchyluje. Na jednu dráhu světla odchylka činí asi 400 metrů, proto musíme mířit o 800 metrů vedle. Při pohledu z inerciální soustavy je vysvětlení takovéto: musíme mířit do bodu, kde družice bude, až k ní paprsek doletí, ne tam, kde je teď. A už vůbec ne tam, kde ji vidíme, protože tam byla před chvílí, když z ní světlo vyletělo. • Hlavní projevy C. síly při rotaci Země – na velkých škálách, tj. počasí, cyklóny atd. C. síla od rotace Země se neprojevuje např. u víru v umyvadle. • Každý si může zkusit účinku C. síly např. na malém kolotoči na dětském hřišti – zkusit boxovat (ruka bude odchylována do strany) a dělat rukou kroužky v jednom nebo druhém směru. Rotující tuhý kvádr • Volnou rotaci zde na Zemi můžeme nejlépe zkoumat tak, že těleso roztočíme a vyhodíme do vzduchu, protože pak rotaci téměř nic neovlivňuje (snad jen zanedbatelně odpor vzduchu) • Při volné rotaci se zachovávají dvě veličiny: rotační kinetická energie E a moment hybnosti L • Nesymetrické těleso má tři tzv. hlavní hodnoty momentu setrvačnosti, které můžeme označit jako J1, J2, J3 a uspořádat takto: J1 ≤ J2 ≤ J3 • V soustavě pevně spojené s tělesem, v níž kartézské souřadnicové osy x1, x2, x3 splývají s hlavními osami momentu setrvačnosti, lze kinetickou energii vyjádřit pomocí složek momentu hybnosti jako E = L2 1 2J2 1 + L2 2 2J2 2 + L2 3 2J2 3 (1) a druhou mocninu momentu hybnosti jako L2 = L2 1 + L2 2 + L2 3 3 Tyto veličiny se obě zachovávají. První rovnice je rovnicí elipsoidu (přesněji řečeno povrchu elipsoidu), druhá rovnicí sféry (povrchu koule). Koncový bod vektoru momentu hybnosti pak musí ležet na průniku obou ploch. Na obrázku je elipsoid odpovídající nějaké hodnotě E a jeho průniky se sférami odpovídajícími různým hodnotám L2 – viz obrázek • Pokud těleso roztočíme kolem osy blízké ose s nejmenším nebo největším momentem setrvačnosti (x1 nebo x3), bude vhledem k tělesu koncový bod vektoru L stále zůstávat v blízkosti své původní polohy. Pokud ale roztočíme těleso kolem osy s prostředním momentem setrvačnosti (osa x2), dostane se koncový bod vektoru L daleko od své původní polohy – na druhou stranu elipsoidu. Na tělese proto pozorujeme, že se jakoby převrací. Rotující krabice mléka • Na rozdíl od kvádru, v krabici mléka se může disipovat energie, tedy rotační energie se může měnit na teplo díky proudění v mléce • Proto ze nezachovává energie E, ale jen moment hybnosti L • Lze ukázat, že jediná stabilní rotace je taková, kdy energie dosáhla minimální možné hodnoty pro daný moment hybnosti • Tomu odpovídá podle vzorce (1) největší moment setrvačnosti • Těleso se tady po nějaké době bude točit kolem osy s největším momentem setrvačnosti • Tato úvaha lze aplikovat i na jiná tělesa, která nejsou tuhá a mohou disipovat energii, např. na svazek klíčů, které také skončí v takovéto rotaci Seznam pomůcek • nejrůznější setrvačníky a káče • kolo z kola, provázek • sada setrvačníků, roztáčedlo • kolo ze sbírek fyziky • Rotující židle, závaží (mosazná nebo i plné PET lahve) • Podivný setrvačník, který běží po spirále • Setrvačník, který se staví na osičku • Na Coriolisovu sílu – PET láhev s dírou u dna, při vytékání vody s ní otáčím, vidím, že voda neteče rovně – lze zviditelnit kamerou připevněnou k lahvi • Vajíčko a fixu na ně • Krabice mléka, balzovou krabičku od čaje, obrázek elipsoidu dle Landaua na fólii, lahvička s korekční kapalinou 4