Investice do rozvoje vzdělávání
Daniel Schwarz
Jakub Jamárik
Lineární a adaptivní zpracování dat
1. ÚVOD: SIGNÁLY, ČASOVÉ ŘADY
a SYSTÉMY
E0440 © Masarykova univerzita
Osnova
• Úvodní informace o předmětu E0440
• Signály, časové řady – klasifikace, příklady, vlastnosti
• Vzorkovací věta jako dogma
• Kvantování
• Příklady:
• vliv vzorkovací periody na povahu signálu
• aliasing
• kvantovací šum
• Systémy
• Vlastnosti systémů
E0440 © Masarykova univerzita
Úvodní informace o předmětu E0440
??? proč LINEÁRNÍ A ADAPTIVNÍ ZPRACOVÁNÍ DAT ???
Cíl předmětu
Poskytnout informace o vědním oboru ZPRACOVÁNÍ DIGITÁLNÍCH SIGNÁLŮ
a v mezidruhové komunikaci ukázat některé jeho výhody pro matematické
biology.
Souvislost předmětu s jinými
• Časové řady
• Spektrální analýza časových řad
Klíčová slova
Časové řady, signály, systémy, spektrum, impulsní charakteristika, frekvenční
charakteristika, přenosová funkce, lineární filtrace, modely časových řad,
adaptivní filtrace, identifikace systémů, lineární predikce
E0440 © Masarykova univerzita
Úvodní informace o předmětu E0440
Organizace předmětu
• Přednášky
• Počítačové „procvičování“ (MATLAB)
• Úvod do MATLABu: Vít Vondrák, VŠB-TU Ostrava
• Skripta JSOU K DISPOZICI
1. Schwarz D (2012): Lineární a adaptivní zpracování dat.
2. Vyškovský R & Schwarz D (2017): Lineární a adaptivní zpracování dat: řešené úlohy v
MATLABu.
E0440 © Masarykova univerzita
Úvodní informace o předmětu E0440
Hodnocení
• Ústní zkouška
• Bonusy za aktivitu (zejména při počítačovém „procvičování“)
Konzultace
• po předchozí dohodě emailem kdykoli
E0440 © Masarykova univerzita
Úvodní informace o předmětu E0440
Plán přednášek – téma (1/4) SIGNÁLY A SYSTÉMY
P1. Úvod: SIGNÁLY, ČASOVÉ ŘADY a SYSTÉMY. Signály, časové řady, posloupnosti, data.
Vzorkovací věta, aliasing – zatím jako dogma. Kvantování. Definice, struktura systému.
Příklady systémů a jejich vlastnosti. Princip superpozice.
P2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně. LTI systémy. Popis LTI systému v časové
oblasti. Odvození konvoluce a impulsní charakteristiky. SYSTÉMY a jejich popis ve
frekvenční oblasti. Fourierovy řady v komplexním tvaru. Eulerovy vztahy. Odezva
systému na harmonický signál, frekvenční charakteristika.
E0440 © Masarykova univerzita
Úvodní informace o předmětu E0440
Plán přednášek – téma (2/4) LINEÁRNÍ FILTRACE
P3. LINEÁRNÍ FILTRACE I: Princip filtrování, idealizované filtry. Vzorkování, překrývání
spekter – aliasing nikoli jako dogma. Z transformace, přenosová funkce systému.
Vztah přenosové funkce a frekvenční charakteristiky. Nuly, póly. Odhad tvaru
frekvenční charakteristiky z rozložení nul a pólů přenosové funkce sytému. Stabilita
systému / filtru.
P4. LINEÁRNÍ FILTRACE II: IIR, FIR, AR, MA, ARMA. Skupinové zpoždění. Lineární fázová
charakteristika. Návrh FIR filtru vzorkováním frekvenční charakteristiky. Návrh IIR
filtru na základě podobnosti a analogovými filtry.
E0440 © Masarykova univerzita
Úvodní informace o předmětu E0440
Plán přednášek – téma (3/4) KUMULACE
P5. Kumulační zvýrazňování signálů v šumu I: Repetiční signál, podmínky vymizení šumu,
princip kumulačních technik, odvození zlepšení SNR pro kumulační techniky obecně,
vliv korelace mezi realizacemi šumu v jednotlivých repeticích. Kumulační technika s
pevným oknem.
P6. Kumulační zvýrazňování signálů v šumu II: Kumulace s klouzavým oknem,
exponenciální kumulace.
E0440 © Masarykova univerzita
Úvodní informace o předmětu E0440
Plán přednášek - téma (4/4) MODELY ČASOVÝCH ŘAD
P7. Náhodné procesy a modely časový řad I. Aditivní model vzniku časové řady.
Stacionarita, trend, sezónnost. Exponenciální vyhlazování a predikce.
P8. Náhodné procesy a modely časový řad II. Modely časových řad: AR, MA, ARMA,
ARIMA, bílý šum. Posouzení kvality předpovídání. Analýza residuí – validace modelu.
P9. ADAPTIVNÍ FILTRACE A PREDIKCE I. Identifikace systémů. Predikční filtr,
minimalizace střední kvadratické odchylky – optimální filtrace.
P10. ADAPTIVNÍ FILTRACE A PREDIKCE II. Řešení normálních rovnic metodou
nejstrmějšího sestupu, LMS algoritmus.
P11. ADAPTIVNÍ FILTRACE A PREDIKCE III. RLS algoritmus.
P12. ČASOVĚ-FREKVENČNÍ ANALÝZA signálů pro vyhlazování, extrakci příznaků apod.
E0440 © Masarykova univerzita
Signály
?
E0440 © Masarykova univerzita
Signály
Signál je nositelem informace.
E0440 © Masarykova univerzita
Signály
Signál je nositelem informace.
data / informace / znalosti
E0440 © Masarykova univerzita
Signály
Signál je nositelem informace.
…o procesech a jevech, které existují a probíhají v realitě.
data / informace / znalosti
E0440 © Masarykova univerzita
Signály
Signál je nositelem informace.
…o procesech a jevech, které existují a probíhají v realitě.
Signál je funkce v čase nebo v prostoru proměnných a měřitelných veličin.
data / informace / znalosti
E0440 © Masarykova univerzita
Signály
Signál je nositelem informace.
…o procesech a jevech, které existují a probíhají v realitě.
Signál je funkce v čase nebo v prostoru proměnných a měřitelných veličin,
která je nositelem informace.
data / informace / znalosti
E0440 © Masarykova univerzita
Signály - příklady
• Elektrické signály
• Akustické signály
• Video signály
• Biologické signály
E0440 © Masarykova univerzita
Signály – příklady, veličiny
• Elektrické signály (napětí, proud v obvodu)
• Akustické signály (intenzita mechanického vlnění)
• Video signály (intenzita/jas obrazu)
• Biologické signály (sekvence bází v genu,
membránová napětí a proudy buněk)
E0440 © Masarykova univerzita
Signály – příklady, veličiny
… a co je toto?
E0440 © Masarykova univerzita
Signály – klasifikace
Rozdělení signálů podle matematického popisu:
• Deterministické: periodické, harmonické, multifrekvenční, přechodné
• Stochastické: stacionární, nestacionární
Rozdělení signálů podle nezávislých veličin:
• Spojité
• Diskrétní
• 1-D, 2-D, 3-D, 4-D, N-D
E0440 © Masarykova univerzita
Signály – klasifikace, příklady
1-D 2-D
3-D 4-D
E0440 © Masarykova univerzita
Signály – klasifikace, příklady
Příklady přirozeně spojitých a přirozeně diskrétních veličin:
• Spojité (CT):
• Diskrétní (DT):
CT: x(t) DT: x[n], nN
E0440 © Masarykova univerzita
Signály – klasifikace, příklady
Příklady přirozeně spojitých a přirozeně diskrétních veličin:
• Spojité (CT): proud, napětí, tlak, teplota, rychlost, …
• Diskrétní (DT): sekvence DNA bází, populace n-té generace živ. druhu, …
CT: x(t) DT: x[n], nN
E0440 © Masarykova univerzita
Signály – klasifikace, příklady
Příklady nepřirozeně diskrétních signálů:
Týdenní Dow-Jones index
Digitální obraz
E0440 © Masarykova univerzita
Signály vs. časové řady
??? SIGNÁLY ≈ ČASOVÉ ŘADY
E0440 © Masarykova univerzita
Signály vs. časové řady
1-D DISKRÉTNÍ SIGNÁLY ≈ ČASOVÉ ŘADY
E0440 © Masarykova univerzita
A/D převod
A/D převod:
diskretizace signálu v čase
diskretizace signálu v amplitudě
E0440 © Masarykova univerzita
A/D převod: vzorkování
Násobení signálu periodickým sledem Diracových impulsů
Vzorkování: diskretizace spojitého signálu v čase
Ts vzorkovací perioda
Fs = 1/Ts vzorkovací frekvence
E0440 © Masarykova univerzita
A/D převod: vzorkování
Vzorkování: diskretizace spojitého signálu v čase
Ts vzorkovací perioda
Fs = 1/Ts vzorkovací frekvence
Fs > 2 fmax
Pokud spojitý signál x(t) neobsahuje složky s frekvencí nad fmax, pak je
veškerá informace o signálu x(t) obsažena v posloupnosti jeho vzorků
x(nT), je-li při vzorkování splněna podmínka:
Je-li tedy splněna tato podmínka, lze z posloupnosti vzorků signálu
x(nT) dokonale rekonstruovat původní analogový signál x(t).
Nyquist–Shannon
E0440 © Masarykova univerzita
A/D převod: vzorkování
Podvzorkování způsobuje artefakty (tzv. aliasy), aliasing:
E0440 © Masarykova univerzita
A/D převod: vzorkování
Podvzorkování způsobuje artefakty (tzv. aliasy), aliasing:
E0440 © Masarykova univerzita
A/D převod: vzorkování
Podvzorkování způsobuje artefakty (tzv. aliasy), aliasing:
E0440 © Masarykova univerzita
A/D převod: kvantování
3-bitový A/D převodník: 8 hladin
8-bitový A/D převodník: 256 hladin
16-bitový A/D převodník: 216 hladin
E0440 © Masarykova univerzita
A/D převod: kvantizační šum
E0440 © Masarykova univerzita
A/D převod: kvantizační šum
E0440 © Masarykova univerzita
A/D převod: kvantizační šum
E0440 © Masarykova univerzita
1. cvičení
1. Vyjádřete poměr signálu ke kvantizačnímu šumu v decibelech jako
funkci počtu bitů A/D převodníku.
2. Seznamka s Matlabem.
3. Vyzkoušejte vliv kvantizačního šumu na zvukový signál.
E0440 © Masarykova univerzita
 ffgf
37
Systémy
E0440 © Masarykova univerzita
Opakování: signály
• Definice signálu a jeho matematické vyjádření
• Klasifikace signálů – podle čeho dělíme a na co je dělíme
• A/D převod – z čeho se skládá
• Vzorkovací věta a aliasing
• Kvantování a kvantizační šum
E0440 © Masarykova univerzita
Systémy: definice
?
E0440 © Masarykova univerzita
Systémy: definice
Systém je množinou prvků,
které jsou spolu ve vzájemných vztazích
a které tvoří určitý celek.
E0440 © Masarykova univerzita
Systémy: definice
Systém
výstupní signálvstupní signál
Systém je množinou prvků,
které jsou spolu ve vzájemných vztazích
a které tvoří určitý celek.
E0440 © Masarykova univerzita
Systémy: definice
Systém je množinou prvků,
které jsou spolu ve vzájemných vztazích
a které tvoří určitý celek.
Systém
výstupní signálvstupní signál
Za systém považujeme jakoukoli sadu procesů,
které ovlivňují povahu signálu.
E0440 © Masarykova univerzita
Systémy: definice
Systém je množinou prvků,
které jsou spolu ve vzájemných vztazích
a které tvoří určitý celek.
Systém
výstupní signálvstupní signál
Za systém považujeme jakoukoli sadu procesů,
které ovlivňují povahu signálu.
E0440 © Masarykova univerzita
Systémy: definice
Systém je množinou prvků,
které jsou spolu ve vzájemných vztazích
a které tvoří určitý celek.
Systém
výstupní signálvstupní signál
Za systém považujeme jakoukoli sadu procesů,
které ovlivňují povahu signálu.
PRVKY+VAZBY = STRUKTURA SYSTÉMU
E0440 © Masarykova univerzita
Struktura systému
E0440 © Masarykova univerzita
Struktura systému
ELEMENTÁRNÍ PRVKY
+
PODSYSTÉMY
+
VAZBY
E0440 © Masarykova univerzita
Příklady systémů
Mechanický systém
x(t) aplikována síla
y(t) vychýlení
K pružnost (konst.)
D tlumivost (konst.)
M hmotnost (konst.)
E0440 © Masarykova univerzita
Příklady systémů
Elektrický systém
x(t) napětí zdroje
y(t) napětí na kapacitoru
R odpor (konst.)
L indukce (konst.)
C kapacita (konst.)
E0440 © Masarykova univerzita
Příklady systémů
Hranový detektor
„druhá diference“
E0440 © Masarykova univerzita
Poučení z příkladů
Fyzikálně velmi rozdílné systémy mohou být modelovány
matematicky velmi podobně.
E0440 © Masarykova univerzita
Poučení z příkladů
Fyzikálně velmi rozdílné systémy mohou být modelovány
matematicky velmi podobně.
Mnoho (ne všechny) systémy popisujeme diferenciálními nebo
diferenčními rovnicemi.
E0440 © Masarykova univerzita
Poučení z příkladů
Fyzikálně velmi rozdílné systémy mohou být modelovány
matematicky velmi podobně.
Mnoho (ne všechny) systémy popisujeme diferenciálními nebo
diferenčními rovnicemi.
Abychom popsali kompletně „vstupně-výstupní“ chování systému,
musíme znát kromě rovnic také
……………..
E0440 © Masarykova univerzita
Poučení z příkladů
Fyzikálně velmi rozdílné systémy mohou být modelovány
matematicky velmi podobně.
Mnoho (ne všechny) systémy popisujeme diferenciálními nebo
diferenčními rovnicemi.
Abychom popsali kompletně „vstupně-výstupní“ chování systému,
musíme znát kromě rovnic také
okrajové (počáteční) podmínky.
E0440 © Masarykova univerzita
Poučení z příkladů
Fyzikálně velmi rozdílné systémy mohou být modelovány
matematicky velmi podobně.
Mnoho (ne všechny) systémy popisujeme diferenciálními nebo
diferenčními rovnicemi.
Abychom popsali kompletně „vstupně-výstupní“ chování systému,
musíme znát kromě rovnic také
okrajové (počáteční) podmínky.
Čas bývá nezávislou proměnnou sledovaných systémů,
ovšem zdaleka ne ve všech případech.
E0440 © Masarykova univerzita
Vlastnosti systémů
kauzální - nekauzální
časově invariantní - časově proměnné
linearní - nelineární
Systém
výstupní signálvstupní signál
E0440 © Masarykova univerzita
Vlastnosti systémů: kauzalita
Systém je kauzální, pokud jeho výstup závisí pouze
na minulých a současných vstupních hodnotách.
• Všechny fyzikální systémy v reálném čase jsou kauzální, protože
…………………… .
E0440 © Masarykova univerzita
Vlastnosti systémů: kauzalita
Systém je kauzální, pokud jeho výstup závisí pouze
na minulých a současných vstupních hodnotách.
• Všechny fyzikální systémy v reálném čase jsou kauzální, protože
„čas běží pouze dopředu“.
E0440 © Masarykova univerzita
Vlastnosti systémů: kauzalita
Systém je kauzální, pokud jeho výstup závisí pouze
na minulých a současných vstupních hodnotách.
• Všechny fyzikální systémy v reálném čase jsou kauzální, protože
„čas běží pouze dopředu“.
• Kauzalita se netýká systémů s prostorově závislými proměnnými.
E0440 © Masarykova univerzita
Vlastnosti systémů: kauzalita
Systém je kauzální, pokud jeho výstup závisí pouze
na minulých a současných vstupních hodnotách.
• Všechny fyzikální systémy v reálném čase jsou kauzální, protože
„čas běží pouze dopředu“.
• Kauzalita se netýká systémů s prostorově závislými proměnnými.
• Kauzalita se netýká systémů zpracovávající nahrané signály.
E0440 © Masarykova univerzita
Vlastnosti systémů: kauzalita
Systém je kauzální, pokud jeho výstup závisí pouze
na minulých a současných vstupních hodnotách.
• Všechny fyzikální systémy v reálném čase jsou kauzální, protože
„čas běží pouze dopředu“.
• Kauzalita se netýká systémů s prostorově závislými proměnnými.
• Kauzalita se netýká systémů zpracovávající nahrané signály.
• Pozn.: derivace signálu v čase t je přirozeně nekauzálním výpočtem.
E0440 © Masarykova univerzita
Vlastnosti systémů: kauzalita
…………?
…………?
…………?
…………?
kauzální x nekauzální
E0440 © Masarykova univerzita
Vlastnosti systémů: kauzalita
kauzální
nekauzální
nekauzální
kauzální
kauzální x nekauzální
E0440 © Masarykova univerzita
Vlastnosti systémů: časová invariantnost
Neformálně:
Systém je časově invariantní (time invariant - TI),
pokud jeho chování nezávisí na tom, „kolik je zrovna hodin“.
Matematicky:
Systém x[n] -> y[n] je časově invariantní,
když pro jakýkoli vstupní signál x[n] a jakékoli časové posunutí n0 platí:
E0440 © Masarykova univerzita
Vlastnosti systémů: časová invariantnost
Neformálně:
Systém je časově invariantní (time invariant - TI),
pokud jeho chování nezávisí na tom, „kolik je zrovna hodin“.
Matematicky:
Systém x[n] -> y[n] je časově invariantní,
když pro jakýkoli vstupní signál x[n] a jakékoli časové posunutí n0 platí:
Pozn. 1: …o fyziologických/biologických systémech, adaptibilitě
a proměnlivých vlastnostech těchto systémů v čase.
Pozn. 2: …o stacionaritě a nestacionaritě signálů.
E0440 © Masarykova univerzita
Vlastnosti systémů: časová invariantnost
časově invariantní x časově proměnné systémy :
…………?
…………?
E0440 © Masarykova univerzita
Vlastnosti systémů: časová invariantnost
časově invariantní x časově proměnné systémy :
časově invariantní
časově proměnný
E0440 © Masarykova univerzita
Vlastnosti systémů: časová invariantnost
Je-li na vstupu časově invariantního systému periodický signál,
pak na jeho výstupu je ……………………..……………..……………...
E0440 © Masarykova univerzita
Vlastnosti systémů: časová invariantnost
Je-li na vstupu časově invariantního systému periodický signál,
pak na jeho výstupu je periodický signál se stejnou periodou.
(Za předpokladu, že systém neprovádí expanzi ani kompresi signálu v časové ose)
E0440 © Masarykova univerzita
Vlastnosti systémů: linearita
Lineární systém je takový systém,
v němž lze uplatnit princip superpozice.
?
E0440 © Masarykova univerzita
Vlastnosti systémů: linearita
Lineární systém je takový systém,
v němž lze uplatnit princip superpozice.
E0440 © Masarykova univerzita
vsuvka: princip superpozice
E0440 © Masarykova univerzita
Vlastnosti systémů
lineární x nelineární systémy
časově invariantní x časově proměnné systémy
kauzální x nekauzální systémy :
…………?
…………?
y[n] = x2[n]
y[n] = n.x[2n]
E0440 © Masarykova univerzita
Vlastnosti systémů
lineární x nelineární systémy
časově invariantní x časově proměnné systémy
kauzální x nekauzální systémy :
Nelinární, časově invariantní, kauzální
Lineární, časově proměnný, nekauzální
y[n] = x2[n]
y[n] = n.x[2n]
E0440 © Masarykova univerzita
 ffgf
74
Otázky ?
jakub.jamarik@med.
muni.cz