Daniel Schwarz Jakub Jamárik evropský sociální_ ^^^^^^^m M|N|STERstvo Školství, opv»»iivén[ fond V ČR EVROPSKÁ UNIE MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY pro konkurenceschopnost MNA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Investice do rozvoje vzdělávání Osnova 1 n Opakování: signály a systémy Vlastnosti systémů Systémy a jejich popis v časové doméně: • Konvoluce • Impulsní charakteristika Systémy a jejich popis ve frekvenční doméně: • Fourierovy řady • Odezva systému na harmonický signál, frekvenční charakteristika Příklady: systém pro hledání bodů zlomu v signálu výpočet frekvenční charakteristiky systému z jeho diferenční rovnice E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA Opakování: signály Definice signálu a jeho matematické vyjádření Klasifikace signálů - podle čeho dělíme a na co je dělíme A/D převod - z čeho se skládá Vzorkovací věta a aliasing Kvantování a kvantizační šum Systém - definice, struktura systému Systém - tři základní vlastnosti E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA Vlastnosti systémů lineární x nelineární systémy časově invariantní x časově proměnné systémy kauzální x nekauzální systémy: y[n] = x2[n] y[n] = n.x[2n] E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA Vlastnosti systémů lineární x nelineární systémy časově invariantní x časově proměnné systémy kauzální x nekauzální systémy: — X^[/7] Nelinární, časově invariantní, kauzální y[/7] = /7.X[2r?] Lineární, časově proměnný, nekauzální E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA LTI systémy Lineární časově invariantní systémy (LTI): • disponují elegantní matematické vztahy mezi jeho vstupy a výstupy. • lze určit výstupní odezvu systému na jakýkoli vstup • lze také určit vstup systému při pozorování jeho výstupu Selský rozum: „Znám-li odezvu LTI systému na velmi krátký vstupní signál, mohu pomocí těchto velmi krátkých signálů seskládat libovolný vstupní signál a odezvu LTI systému na něj pak seskládat ze známé odezvy na velmi krátký signál/' E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA LTI systémy XN = ^ak%k[n] lmeornisystem) y[n] = ^afcyfc[n] k k Hledáme „základní" tj. bázové signály tak, aby: bylo možné reprezentovat libovolné signály jako lineární kombinaci těchto bázových signálů ^ odezva LTI systémů na tyto bázové signály byla jednoduchá a zároveň aby umožňovala dostatečně hluboký vhled E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA Jednotkový di impulz E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA Jednotkový diskrétní impulz Jednotkový diskrétní impulz je elementární posloupnost ve tvaru osamělého vzorku jednotkové velikosti I 9 ô(n) 1 pro n=k 5(n-k)= ' " 0 pro n¥k -10 12 3 n Pozn.: Neplést s Diracovým impulsem ! E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA Reprezentace DT signálů jednotkovými impulsy x[-l) »[2] x[0] 1 0 2 3 x[n] E0440 x[0] 0 + x[l] + -1 + X [2] a[0]<5[n] Ti x[l] y[n] = z[fc]/ifc[ra] fc=- oo k=- oo E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA Odezva systému na jednotkový impuls x[n] Vín] Lineární a časově invariantní systém s odezvou h[n] na jednotkový impuls: 5[n] —> h[n] ó[n — k] —*■ h[n — k] I g oo oo x[n] = x[/c]5[n — k] —> y[n] = x[fe]/i[n k= — oo h= — oo - k E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA Odezva systému na jednotkový impuls x[n] Vín] Lineární a časově invariantní systém s odezvou h[n] na jednotkový impuls: ô[n] —> h[n] ó[n — k] —*■ h[n — k] oo oo x[n] = x[fc]<5[ra — k] —> y[n] = x[fe]/i[n — k k = — OG k= — oo J E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses -1- konvoluční suma MU LTI systemy: konvoluce x[n] V[n] 5[n] —> h[n] oo y[n\ = x[n] * h[n] = — k] k — — co E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA (Ml LTI systémy: konvoluce x[n] Vín] ö[n] —> h[n] IMPULSNÍ CHARAKTERISTIKA SYSTÉMU oo y[n\ = x[n] * h[n] = — k] k = —oo E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA LTI systémy: konvoluce x[n] Vín] 6[n] h[n] 0 n o n x\k\8[n — k] 1- #[/c]ft[n — fe] n k n t Sečti odezvy přes všechny /c E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA LTI systemy: konvoluce x[n] Yin] http://www.jhu.edu/~signals/discreteconv2/index.html E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA (Ml LTI systemy: konvoluce x[n] 5.0 h[n] 5.0 -5.0 Select: -5.0" M.|t„ ...|t„ M.Tttt ...tn. I I T Select: .nit,, ...|t„ M.Tttt 1 1 U 1 T x[n-k] and h[k] 5.0_ [III ' 1 It. - n = -16 -5.0" k x[n-k]h[k] 10.0 -10.0 10.0. >[«]= J^k[k]?{n-k] A--00 -10.0" n E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA (Ml LTI systemy: konvoluce ■j i 5.0 h[n] 5.0 -5.0 -5.0 Select: ,..|tm ■..fTt. ,,,!,,, 1 1 11 1 T x[n-k] and h[k] Select: ...ft.. ,,, f 111 ■■■fttt 1 111 1 T x[n-k]h[k] 10 0 -10.0 k 10.0 -10.0 n LTI systemy: konvoluce x[n] Select: x[n-k] and h[k] x[n-k]h[k] 5.0 -5.0 h[n] ...ft... ...+T., ...ttt. 1 1 « 1 T E0440 Select: 5.0 1 \......... -5.0 n + 5.0 1 1 n = 2 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA M LTI systemy: konvoluce x[n] 5.0 h[n] 5.0 E0440 -5.0 Select: x[n-k] and h[k] x[n-k]h[k] -5.0 m,|T„ ...ft,, ...tttt m.t.m 1 1» T Select: ...tt., ...K, ,,.tTtt m.t.m 1 111 1 T 5.0 -5.0 10.0 1 1 1 1 ■ _ n = 8 -10.0 10.0" -10.0 Q © Institute of Biostatistics and Analyses IBA (Ml LTI systemy: konvoluce x[n] 5.0" h[n] 5.0 E0440 -5.0 Select: x[n-k] and h[k] x[n-k]h[k] £--00 -5.0 ...K, m.tttt 1 1" 1 T Select: m.|t,. ...ft,, ...tttt ,,,t,,, 1 1 u 1 T 5.0 -5.0 10.0 X** -10.0 10.0 -10.0 ® ■ V n= 21 k h3>- © Institute of Biostatistics and Analyses IBA (Ml LTI systémy: konvoluce Stabilní systém - kritérium v časové oblasti 00 < oc E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA LTI systémy: konvoluce Komutativní vlastnost konvoluce s. j E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA LTI systémy: konvoluce Distributivní vlastnost konvoluce vO) = [*(«)* hxn)] + [*(»)* A2»)] = *(»)* [Aj (») + h2 («)] X(n) y(n) x(n) h(n)=h1(n)+h2(n) y(n) E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA LTI systémy: konvoluce Distributivní vlastnost konvoluce vO) = [*(«)* Ajii)] + [*(»)* A2»)] = *(»)* [Aj (») + /;2 («)] x(n) y(n) Každý netriviální LTI systém může být rozložen na paralelní spojení jednodušších dílčích LTI systémů. E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA LTI systemy: konvoluce Prumerovaci vlastnost konvoluce x(n) s ( x(n-4) x(n-3) x(n-2) x(n-1) x(n) x(n+1) x(n+2) x(n+3) < h(n) 1/N 1/N 1/N 1/N s C y(n) y(n) = x(n)*h(ri) = — \x(r? -2) + x(r? - 1) + x(ti) + x(n + 1) + x{n + 2)1 N E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA (Ml 2. cvičení 1. Realizujte vlastní funkci pro výpočet konvoluce pomocí cyklu, násobení a sčítání. Porovnejte výsledky z Vaší implementace s výsledky z matlabovské funkce conv(). Otestujte, zda je operátor konvoluce komutativní. 2. Realizujte systém představující hranový detektor pro detekce bodů zlomu v signálu. Hranový detektor představuje druhou diferenci. Realizujte systém popsaný touto diferenční rovnicí: y[n] = (-0.2426x[n]+0.73152x[n-l]+6.0635x[n-2]+16.912x[n-3]+ +26.536x[n-4]+26.536x[n-5]+16.912x[n-6]+6.0635x[n-7]+ +0.73152x[n-8]+-0.2426x[n-9]) / 100. a prozkoumejte jeho odezvu na předložený signál. w E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA SYSTÉMY a jejich popis ve frekvenční oblast LTI systémy XN = ^ak%k[n] lmeornisystem) y[n] = ^afcyfc[n] k k Hledáme „základní", tj. bázové signály tak, aby: bylo možné reprezentovat libovolné signály jako lineární kombinaci těchto bázových signálů ^ odezva LTI systémů na tyto bázové signály byla jednoduchá a zároveň aby umožňovala dostatečně hluboký vhled E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA LTI systémy XN = ^ak%k[n] lmeornisystem) y[n] = ^afcyfc[n] k k Hledáme „základní" tj. bázové signály tak, aby: bylo možné reprezentovat libovolné signály jako lineární kombinaci těchto bázových signálů ^ odezva LTI systémů na tyto bázové signály byla jednoduchá a zároveň aby umožňovala dostatečně hluboký vhled MINULE: NYNÍ: jednotkové impulsy sinusové signály - komplexní exponenciály (harmonické časové řady) E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA Eulerovy vztahy CO SX = 2 smx = E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA (Ml Harmonická časová f (n) = A • sm(cofn + (p\ f(n)=A-ej{o)fn+g)\ E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA Harmonická časová řada 0.5 (of 1 1.5 2.5 3 n 0) E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA Fourierovy řady E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA (Ml Fourierovy řady Fourierova řada slouží k vyjádření rozvoje funkce prostřednictvím harmonických složek vyjádřených goniometrickými funkcemi nebo komplexními exponenciálami. E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA Fourierovy řady Fourierova řada slouží k vyjádření rozvoje funkce prostřednictvím harmonických složek vyjádřených goniometrickými funkcemi nebo komplexními exponenciálami. Fourierovy řady slouží jako teoretický základ pro analýzu signálů a systémů ve frekvenční oblasti. E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA Fourierovy řady x jka>0n k=(N) FR diskrétni posloupnosti x{n) co0 N základní úhlová frekvence 2n//V počet vzorku v jednéperiodě ak ... koeficienty FŘ E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA Fourierovy řady x[n] Vín] X (»)=Z ake jkco0n k=(N) FŘ diskrétni posloupnosti x(n) y(n)= ^H(e k=(N) jka>0 jkco0n k{ Cú0 N základní úhlová frekvence 2n//V počet vzorku v jednéperiodě ak ... koeficienty FŘ E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA Fourierovy řady Vlastnosti FŘ: LINEARITA: x(t) <-> ofc, y(t) ax{t) + f3y(t) <-> aak + (3bk KOMPLEXNÍ SDRUŽENÍ: x(t) je reálná => a_fc = a£ Re{ak} je sudá, pak Jm{afe} je ajb| je sudá, pak /afc je E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA Fourierovy řady Vlastnosti FŘ: LINEARITA: x(t) <-> akyy(t) bk =^ ax{ť) + j3y(t) aak + (3bk KOMPLEXNÍ SDRUŽENÍ: x(ť) je reálná a-k = &k Re{ak} je sudá, pak Im{ak} je lichá. ajt| je sudá, pak /afc je lichá. E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA Fourierovy řady Vlastnosti FŘ: LINEARITA: x(ť) <-> ak,y{t) <-> bk ax(t) + /3y(t) <-> aak + /?6fc KOMPLEXNÍ SDRUŽENI: je reálná a-k = afc POSUNUTI V CASE: Re{ak} je sudá, pak Im{dk} je lichá. a*| je sudá, pak /ajfc je lichá. a;(í) z(r - t0) ake-jku,ot° = ake-jk2*to'T fázový posun úměrný f0 E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA Fourierovy řady Vlastnosti FŘ: linearita: x(t) <-> ak,y(t) <-> bk =^ ax(t) + /3y(t) aak + /?&fe komplexní sdruženi x(č) je reálná a-k = «fc #e{afc} je sudá, pak Im{ak} je lichá. a*| je sudá, pak /ajfc je lichá. posunutí V čase: z(í) afc x(r -10) ake~jku;oto = ake-jh27rto/T fázový posun úměrný f0 Příklad: posun o půl periody. x(t) <-> ak y(t) = x(t - T/2) E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA Fourierovy řady Vlastnosti FŘ: linearita: x(t) <-> ak,y(t) <-> bk =^ ax(t) + /3y(t) aak + /?&fe komplexní sdruženi x(č) je reálná a-k = «fc #e{afc} je sudá, pak Im{ak} je lichá. ajbl je sudá, pak /aA; je lichá. POSUNUTÍ V ČASE: z(í) afc fázový posun úměrný f0 Příklad: posun o půl periody. x(t) <-> y(í) = a:(i - T/2) «-> a^e"^ = {-lfak E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA Fourierovy řady Vlastnosti FR: oo 1 f PARCEVALŮV TEORÉM: ^ J |s(í)|2d* = ^2 ak mm T _ j k= — oo Fourierovy řady Vlastnosti FŘ: PARCEVALŮV TEORÉM: 1 ľ 00 - J \X(t)\2dt = y, au k= — 00 Průměrný výkon signálu Výkon k-té harmonické složky Fourierovy řady Vlastnosti FR: PARCEVALŮV TEORÉM 1 ľ 00 - J \x(t)\*dt = ]T k=—00 Průměrný výkon signálu Výkon k-té harmonické složky Energie, ať měřená v časové nebo frekvenční oblasti, zůstává stejná. E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA Fourierovy řady Vlastnosti FR: PARCEVALŮV TEORÉM 1 ľ 00 - J \x(t)\*dt = ]T k=—00 Průměrný výkon signálu Výkon k-té harmonické složky Energie, ať měřená v časové nebo frekvenční oblasti, zůstává stejná. NÁSOBENI: x{t) <-> ak,y(t) <-> bk x(t) i y(t) jsou periodické signály s periodou T. 00 l=—00 důkaz: e ■ e = e a'6meí(,+m)Ľ(ií e i -m s-v-' í.rn eaí&fc y(0 E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA Fourierovy řady Vlastnosti FR: PERIODICKÁ KONVOLUCE: *(*)= j x{r)y{t - r)dr = x(t) ® y{ť) x(t), y(t) jsou periodické signály s periodou T. ............i z(t) je periodický signál s periodou T. Nezáleží na tom, nad kterou periodou se integruje. E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA Fourierovy řady Vlastnosti FŘ: I PERIODICKÁ KONVOLUCE: z(t) = / x(r)y(t - r)dr = x(t) 0 y(t) Ir x(t), y(f) jsou periodické signály s periodou T. ............i z(t) je periodický signál s periodou T. Nezáleží na tom, nad kterou periodou se integruje. x(t) <-> ak,y(t) periodické s a>0 = 0c/T=co- diskrétní posloupnost koeficientů pro E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA Fourierovy řady Poznámka o Fourierově řadě a Fourierově transformaci: • periodické signály..................Fourierova řada • aperiodické signály................ Fourierova transformace ~ > periodickésa>0 = 0aT=oo. diskrétní posloupnost koeficientů pro Integrace přes nekonečno a výsledkem bude spojitý obraz spojité funkce x(t): OC X(a) = F{x (t)} = \x{t)e-J""át —co E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA Fourierovy řady Fourierova reprezentace diskrétních signálu X n + TV] = x n a. 2tt x[n] - periodický signál se základní periodou N. E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA Fourierovy řady Fourierova reprezentace diskrétních signálu X n + TV] = x n a. 2tt x[n] - periodický signál se základní periodou N. '2 71 ti J{k+N)v0n _ jkwon jNu?oTl _ jk^n I ^ řada E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA Fourierovy řady Fourierova reprezentace diskrétních signálu X n + TV] = x n a. 2tt x[n] - periodický signál se základní periodou N. '2 71 ti J{k+N)v0n _ jkwon jNu?oTi = pjku>on i ^> konečná řada E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA Fourierovy řady Fourierova reprezentace diskrétních signálu X n + TV] = x n a. 2tt x[n] - periodický signál se základní periodou N. '2 71 ti J{k+N)v0n _ jkwon jNu?oTi = pjku>on i ^> konečná řada .T 77 53 afceiM2ViV)n k= £= E0440 suma přes N kterýchkoliv po sobě jdoucích hodnot k. MU © Institute of Biostatistics and Analyses Fourierovy řady Fourierova reprezentace diskrétních signálu X n + TV] = x n a. 2tt x[n] - periodický signál se základní periodou N. '2 71 li J{k+N)v0n _ jkwon jNu?oTi = pjku>on i ^> konečná řada 77 53 afceiM2ViV)n k= £= E0440 suma přes N kterýchkoliv po sobě jdoucích hodnot k. MU © Institute of Biostatistics and Analyses Fourierovy řady ar n x[0] v X[l] = x{2] = Y akejkiJon k= k= Y akejkuJu k= Y akej2k"° k= X [N-l] = Y j{N-l)hu>o k= N rovnic o N neznámých... E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA Fourierovy řady iV-1 Konečné geometrické řady: n=0 N 1 — a 1 — a a = 1 a/ 1 a = ejkuo E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA Fourierovy řady iV-l Konečné geometrické řady: n=0 N 1 — a 1 — a a = 1 a/ 1 a = ejkuo E0440 x[n]= ^2 ake k= jkujQTl n= ak+N ak spec. vlastnost u diskrétních signálů MU Sil © Institute of Biostatistics and Analyses Fourierovy řady Poznámka o Fourierově řadě diskrétního signálu a DTFT (discrete-time Fourier transform): E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA IMJ Fourierovy řady Poznámka o Fourierově řadě diskrétního signálu a DTFT (discrete-time Fourier transform): DTFT nějaké posloupnosti se počítá úplně stejně jako se počítají koeficienty Fourierovy řady této posloupnosti E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA Periodické signály a LTI systémy x n J2 akejku;Qn k= fc= E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA Periodické signály a LTI systémy x n J2 akejku;Qn k= k= zesílení" H{ejhoJ°) = H(ejkW0)\ejlH(eÍk"°) amplituda fáze E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA Periodické signály a LTI systémy x [n] = Y, akejk"on k= k= n ak^H{eJk^)ak zesílení" amplituda fáze LTI systém nevytváří nové frekvenční složky, ale pouze zesiluje nebo potlačuje frekvenční komponenty existující ve vstupním signálu. E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA (Ml Periodické signály a LTI systémy (z - e**) Frekvenční charakteristika istika: G{a>) = H(eju}) = h[n]e~jun n—— oo E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA Periodické signály a LTI systémy ,2 um (z - e**) Frekvenční charakteristika istika: G{a>) = H(e?™)= h[n]e~jun n—— oo je periodická funkce, jejíž výpočet odpovídá výpočtu koeficientů Fourierovy řady impulsní charakteristiky h. E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA Frekvenční charakteristika PŘÍKLAD: vyhlazovací systém V [n] i {x[n — 1] + x n + x[n+ 1]} h n E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA Frekvenční charakteristika PŘÍKLAD: vyhlazovací systém y H h n - {x[n — l] + x[n] + x[n + 1]} 3 i - {5[n- 1] +6[n] +S[n + 1]} -i o i E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses /BA Frekvenční charakteristika PŘÍKLAD: vyhlazovací systém y H h n - {x[n — l] + x[n] + x[n + 1]} 3 i - {5[n- 1] +6[n] +S[n + 1]} -i o i oo H(é>u) = Y, h\n\e —]um tí=—oo E0440 © Institute of Biostatistics and Analyses IBA PŘÍKLAD: vyhlazovací systém ^ {x[n — 1] + x + x[n+ 1]} h n 3 " 1 <5[n] + ô[n + 1]} -i o i oo ff(e»w)= /»[n]e — JfjOU 1 1 2 tí=—oo + jej = _ + _ J 3 3 3. cvičení 1. Vypočtěte frekvenční charakteristiku jednoduchého systému, který aproximuje derivaci signálu: y[n] = ^{x[n} - x[n - 1]} 2. Vypočtěte frekvenční charakteristiku jednoduchého systému, který provádí dvouvzorkové vyhlazování: y[n] = \ (x[n] + x[n - 1]) 3. Aplikujte vyhlazovací a derivovací systém na učitelem dodané 1-D a 2-D signály a sledujte jak frekvenční charakteristika systémů ovlivňuje povahu výstupních signálů. evropský sociální fond v ČR EVROPSKÁ UNIE MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost JMI INVESTICE DO ROZVOJE VZDELÁVANÍ