Investice do rozvoje vzdělávání Lineární a adaptivní zpracovní dat 4. Lineární filtrace II: FIR, IIR Daniel Schwarz Jakub Jamárik Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Opakování Co je to filtrace? Co je to filtr? A jak ho popisujeme? Jaký je vztah Z transformace a Fourierovy transformace? Jak je definována přenosová funkce diskrétního systému? Jaký je vztah mezi přenosovou funkcí systému a jeho frekvenční charakteristikou? Co jsou to nulové body a póly přenosové funkce a jak je vypočítáme? Popište, co je to stabilita systému. Jaká pravidla platí pro impulsní charakteristiku a přenosovou funkci stabilního diskrétního systému? 2 Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Popis diskrétní soustavy s Z-transformací Mějme LTI systém s přenosovou funkcí ve tvaru racionálně lomené funkce: kde A = b0/a0, ni jsou ......?....... a pi jsou ........?......... . 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 1 1 0 0     = =− = − = − − − =   == L i i M i i ML L i i i M i i i pz nz zA za zb zX zY zH Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Popis diskrétní soustavy s Z-transformací Mějme LTI systém s přenosovou funkcí ve tvaru racionálně lomené funkce: kde A = b0/a0, ni jsou nuly a pi jsou póly racionálně lomené funkce. zpětná Z-transformace, věta o linearitě a posunu, a0=1. bi .z-iai .z-i  = − = − −= L i ini M i inin yaxby 10 .. 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 1 1 0 0     = =− = − = − − − =   == L i i M i i ML L i i i M i i i pz nz zA za zb zX zY zH Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Popis diskrétní soustavy s Z-transformací Interpretace rovnice: diskrétní soustava / systém uchovává v paměti starší vzorky vstupního i výstupního signálu.  = − = − −= L i ini M i inin yaxby 10 .. 5 Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Popis diskrétní soustavy s Z-transformací ? ? Interpretace rovnice: diskrétní soustava / systém uchovává v paměti starší vzorky vstupního i výstupního signálu.  = − = − −= L i ini M i inin yaxby 10 .. 6 Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Popis diskrétní soustavy s Z-transformací Interpretace rovnice: diskrétní soustava / systém uchovává v paměti starší vzorky vstupního i výstupního signálu.  = − = − −= L i ini M i inin yaxby 10 .. Klouzavý průměr MA Autoregresní člen AR 7 Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Popis diskrétní soustavy s Z-transformací Interpretace rovnice: diskrétní soustava / systém uchovává v paměti starší vzorky vstupního i výstupního signálu.  = − = − −= L i ini M i inin yaxby 10 .. Klouzavý průměr MA Autoregresní člen AR Ovlivňuje rychlost odezvy, charakter jejího zanikání, stabilitu soustavy. 8 Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Popis diskrétní soustavy s Z-transformací Realizace soustavy / filtru / programu přímou formou:  = − = − −= L i ini M i inin yaxby 10 .. b0 b1 b2 bM-1 bM -aL -aL-1 -a1 9 Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Popis diskrétní soustavy s Z-transformací Realizace soustavy / filtru / programu přímou formou:  = − = − −= L i ini M i inin yaxby 10 .. b0 b1 b2 bM-1 bM -aL -aL-1 -a1 Zpoždění o jeden vzorek 10 Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Popis diskrétní soustavy s Z-transformací Další formy realizace filtru / soustavy/ programu: Kaskádní: 11 Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Popis diskrétní soustavy s Z-transformací Další formy realizace filtru / soustavy/ programu: Paralelní: 12 Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses  = − = − −= L i ini M i inin yaxby 10 .. Systémy s konečnou impulsní charakteristikou FIR – finite impulse response nerekurzivní realizace (většinou, ale nemusí vždy) pouze člen MA (moving average) 13 Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Systémy s konečnou impulsní charakteristikou FIR PŘÍKLAD: hranový detektor FIR PŘÍKLAD: „vyhlazovací“ systém         121 ++−−= nnnnh  n-1 0 1 14 Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Systémy s konečnou impulsní charakteristikou FIR – finite impulse response bi .z-k 15 M M M-1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).:subst. ....2.1.. 0 1210 nxnhnhbknxb Mnxbnxbnxbnxbny k M k k M ===−= =−++−+−+= = − Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Systémy s konečnou impulsní charakteristikou FIR – finite impulse response bi .z-k Počet pólů přenosové funkce:...............?............, kde? ..................?.................. Počet nulových bodů přenosové funkce:...............?............, kde? ..................?.................. 16 M ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).:subst. ....2.1.. 0 1210 nxnhnhbknxb Mnxbnxbnxbnxbny k M k k M ===−= =−++−+−+= = − Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Systémy s konečnou impulsní charakteristikou FIR – finite impulse response bi .z-k Počet pólů přenosové funkce:.M, kde? ..................?.................. Počet nulových bodů přenosové funkce:M, kde? ..................?.................. 17 M ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).:subst. ....2.1.. 0 1210 nxnhnhbknxb Mnxbnxbnxbnxbny k M k k M ===−= =−++−+−+= = − Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Systémy s konečnou impulsní charakteristikou FIR – finite impulse response bi .z-k Počet pólů přenosové funkce:.M, kde? V bodě z=0 (násobný pól v počátku, který vyjadřuje jen fázový posun – nutno vyjádřit H(z) v kladných mocninách z). Počet nulových bodů přenosové funkce:M, kde? Kdekoli v rovině z. 18 M ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).:subst. ....2.1.. 0 1210 nxnhnhbknxb Mnxbnxbnxbnxbny k M k k M ===−= =−++−+−+= = − Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Filtry s konečnou impulsní charakteristikou FIR filtry mohou mít přesně lineární fázi, a to platí-li: - osová nebo bodová souměrnost impulsní charakteristiky - tj. impulsní charakteristika je symetrická nebo antisymetrická. Filtry s lineární fází mají speciální konfiguraci nulových bodů obrazového přenosu: Je-li H(ni) = 0, je také H(1/ni) = 0. Pokud má systém reálné koeficienty, platí také: H(ni*)=H(1/ni). Nulové body se vyskytují ve čtveřicích. 19 ( ) ( ) .,...,2,1,0, MnnMhnh =−= Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Filtry s konečnou impulsní charakteristikou FIR filtry mohou mít přesně lineární fázi, a to platí-li: - osová nebo bodová souměrnost impulsní charakteristiky - tj. impulsní charakteristika je symetrická nebo antisymetrická. 20 ( ) ( ) .,...,2,1,0, MnnMhnh =−= Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses ( ) ( ) .,...,2,1,0, MnnMhnh =−= Filtry s konečnou impulsní charakteristikou FIR filtry mohou mít přesně lineární fázi, a to platí-li: - osová nebo bodová souměrnost impulsní charakteristiky - tj. impulsní charakteristika je symetrická nebo antisymetrická. 21 Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Filtry s konečnou impulsní charakteristikou FIR filtry – vlastnosti: - jsou vždy stabilní, neboť všechny póly leží v nule (pokud nejsou záměrně realizovány rekurzivním systémem se zpětnou vazbou) - většinou nerekurzivní realizace - možnost lineární fázové charakteristiky - relativně snadná programová (hardwarová) realizace - pro dosažení strmých charakteristik je třeba použít vyšší stupeň filtru než u IIR filtrů - s rostoucím řádem roste zpoždění - návrh FIR filtru: - vzorkování frekvenční charakteristiky - váhování impulsní charakteristiky 22 Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Filtry s konečnou impulsní charakteristikou Návrh FIR filtru vzorkováním frekvenční charakteristiky 23 1. Zadávají se jednotlivé body (vzorky) amplitudové frekvenční charakteristiky. 2. Mimo vzorkovací body se předpokládá chování libovolné (zakmitávání). 3. Impulsní charakteristika se vypočítá pomocí inverzní DFT. 4. Fázová charakteristika se zadává nulová, výsledná impulsní odezva se kauzalizuje pomocí přerovnání vzorků (ifftshift). Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Filtry s konečnou impulsní charakteristikou Návrh FIR filtru vzorkováním frekvenční charakteristiky 24 1. Zadávají se jednotlivé body (vzorky) amplitudové frekvenční charakteristiky. 2. Mimo vzorkovací body se předpokládá chování libovolné (zakmitávání). 3. Impulsní charakteristika se vypočítá pomocí inverzní DFT. 4. Fázová charakteristika se zadává nulová, výsledná impulsní odezva se kauzalizuje pomocí přerovnání vzorků (ifftshift).  |G()| 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Systémy s nekonečnou impulsní charakteristikou IIR – infinite impulse response vždy rekurzivní realizace Klouzavý průměr MA Autoregresní člen AR  = − = − −= L i ini M i inin yaxby 10 .. 25 Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Systémy s nekonečnou impulsní charakteristikou z-1 H(z) = az/(z-a). Pro a>1 je filtr nestabilní. IIR PŘÍKLAD: „vyhlazovací“ systém 26 Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Systémy s nekonečnou impulsní charakteristikou z-1 H(z) = az/(z-a). Pro a>1 je filtr nestabilní. IIR PŘÍKLAD: „vyhlazovací“ systém Tip: co lze získat tzv. dlouhým dělením polynomů ? 27 Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Systémy s nekonečnou impulsní charakteristikou IIR : - vyžadují alespoň jednu zpětnovazební smyčku, jsou vždy rekurzivní - přenosová funkce = podíl polynomů 28 Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Filtry s nekonečnou impulsní charakteristikou IIR filtry – vlastnosti: - s filtry IIR lze dosáhnout velmi strmé přechody mezi propustným a nepropustným pásmem, a to i při malém řádu filtru. - filtr je vždy rekurzivní (se zpětnými vazbami), může být nestabilní (pro amplitudově omezený vstupní signál by generoval signál s neustále rostoucími amplitudami). - Filtr IIR bude stabilní, pokud všechny jeho póly leží uvnitř jednotkové kružnice. - Filtry IIR nemají lineární průběh fázové charakteristiky. - poměrně složitý a méně intuitivní návrh: - rozmisťování nulových bodů a pólů - optimalizační návrhy podle frekvenční charakteristiky (vedou na řešení soustavy nelineárních rovnic) - přístupy založené na podobnosti s analogovými systémy 29 Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Filtry s nekonečnou impulsní charakteristikou IIR filtry – příklad: 30 Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Terminologie: IIR, FIR, MA, AR FIR filtry: ai=0, pro všechna i. Označovány také jako „moving average“ nebo „all-zero“ filtry. IIR filtry: ai<>0, pro alespoň jedno i. Zahrnují: • autoregresivní (AR) filtry • moving-average, autoregresivní (ARMA) filtry  = − = − −= L i ini M i inin yaxby 10 .. 31 Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Terminologie: IIR, FIR, MA, AR FIR filtry: ai=0, pro všechna i. Označovány také jako „moving average“ nebo „all-zero“ filtry. IIR filtry: ai<>0, pro alespoň jedno i. Zahrnují: • autoregresivní (AR) filtry • moving-average, autoregresivní (ARMA) filtry AR filtry: bi=0, kromě b0 . Výstup závisí pouze na ...............................?...................  = − = − −= L i ini M i inin yaxby 10 .. 32 Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Terminologie: IIR, FIR, MA, AR FIR filtry: ai=0, pro všechna i. Označovány také jako „moving average“ nebo „all-zero“ filtry. IIR filtry: ai<>0, pro alespoň jedno i. Zahrnují: • autoregresivní (AR) filtry • moving-average, autoregresivní (ARMA) filtry AR filtry: bi=0, kromě b0 . Výstup závisí pouze na aktuální hodnotě na vstupu a na konečném počtu starších vzorků výstupního signálu. Označovány také jako: „all-pole“, „purely recursive“, „autoregressive“  = − = − −= L i ini M i inin yaxby 10 .. 33 Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Terminologie: IIR, FIR, MA, AR FIR filtry: ai=0, pro všechna i. Označovány také jako „moving average“ nebo „all-zero“ filtry. IIR filtry: ai<>0, pro alespoň jedno i. Zahrnují: • autoregresivní (AR) filtry • moving-average, autoregresivní (ARMA) filtry ARMA filtry: ai , bi nenulové Označovány také jako: „pole-zero“, „autoregressive, moving-average “  = − = − −= L i ini M i inin yaxby 10 .. 34 Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Terminologie: IIR, FIR, MA, AR DOPORUČENÍ: • pro filtry a lineární systémy používat označení FIR, IIR • označení AR, MA, ARMA používat pro popis či modely stochastických procesů, které generují data náhodné povahy  = − = − −= L i ini M i inin yaxby 10 .. 35 Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses 4. cvičení 1. Je dán systém s přenosovou funkcí Nakreslete rozložení nulových bodů a pólů. Odhadněte modulovou frekvenční charakteristiku. Zjistěte diferenční rovnici systému. Zjistěte impulsní charakteristiku systému. Na závěr vše ověřte v MATLABu (fvtool, freqz). O jaký filtr jde (FIR, IIR) ? O jaký filtr jde (HP, DP, PP) ? 36 Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses 4. cvičení 2. Diskrétní soustava má přenosovou funkci H(z): 1/(1-0.5z-1). Určete diferenční rovnici systému. 37 Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses 4. cvičení 3. Navrhněte FIR filtr pro odstranění rušivých složek v časové řadě reprezentující sběr údajů o koncentraci toxické látky v říčním toku. Sběr dat probíhá s hodinovou vzorkovací periodou. Změny v koncentracích jsou pozvolné, odehrávají se v týdenním rytmu (provoz chemické fabriky). Rušivé složky, které je potřeba potlačit, souvisejí se stochastickým procesem (počasí, tj. zejména srážky, ale i teplota), který generuje signálové komponenty s nejvyšší periodou okolo 6 h. Zkontrolujte správnost vzorkování v experimentu a pro návrh filtru volte metodu vzorkování frekvenční charakteristiky. • Volte filtr s 19 vzorky impulsní charakteristiky. • Metodou analogie navrhněte Butterworthův filtr (IIR) se stejným řádem filtru a porovnejte strmost přechodu mezi propustnýma nepropustným pásmem. 38 Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses  ffgf 39 Otázky ? jakub.jamarik@med. muni.cz