Investice do rozvoje vzdělávání Lineární a adaptivní zpracování dat 5. Kumulační zvýrazňování užitečné složky časových řad v šumu I. Daniel Schwarz Jakub Jamárik Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Opakování Co je to filtrace? Co je to filtr? A jak ho popisujeme? Co je to FIR? Co je to IIR? Co je to AR-MA? Jaký je rozdíl mezi FIR systémem a MA systémem? Může být FIR systém realizován rekurzivním algoritmem? Může být AR-MA systém realizován nerekurzivním algoritmem? MA systémy jsou vždy stabilní. Je to pravda? Proč? Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Osnova • Opakování: lineární filtrace • Kumulační zvýrazňování signálů v šumu I • Repetiční signál / repetiční časová řada • Princip kumulačních technik • Podmínky pro aplikaci kumulačních technik • Zlepšování výkonového poměru signálu k šumu • Cvičení: • ruční výpočty zlepšení SNR • grafické znázornění dynamických vlastností kumulačních technik Kumulační zvýrazňování signálu v šumu = vyhlazování repetičních časových řad Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Zvýrazňování užitečné složky dat skryté v šumu Techniky známé také pod označením: • zvyšování poměru signálu k šumu • metoda kumulačních součtů • kumulace či průměrování • signal averaging Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Motivační příklad ze života: vazospazmy Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Motivační příklad ze života: vazospazmy Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Motivační příklad ze života: vazospazmy Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Motivační příklad ze života: hmotnostní spektroskopie 85 90 95 100 0 20 40 60 80 100 m/z Relativníabundance[%] Zirconium: 1 měření 85 90 95 100 0 20 40 60 80 100 m/z Relativníabundance[%] Zirconium: průměr 30 měření 85 90 95 100 0 20 40 60 80 100 m/z Relativníabundance[%] Zirconium: průměr 500 měření 85 90 95 100 0 20 40 60 80 100 m/z Relativníabundance[%] Zirconium: průměr 100 měření Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Motivační příklad ze života: zrakové evokované potenciály -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -40 -20 0 20 40 60 80 čas [s] VEP[uV] průměr 30 měření Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Repetiční časové řady Posloupnost hodnot omezeného trvání se vícekrát v čase po nějaké nekonstantní době opakuje. Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Princip kumulačních technik • užitečná složka stejná v každém měření (v každé repetici) • šum má pokaždé jinou hodnotu Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Princip kumulačních technik • užitečná složka stejná v každém měření • šum má pokaždé jinou hodnotu šum bude mít tendenci vymizet při průměrování repetic. Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Princip kumulačních technik • signálová složka stejná v každém měření • šum má pokaždé jinou hodnotu šum bude mít tendenci vymizet při průměrování repetic. Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Princip kumulačních technik • užitečná složka stejná v každém měření • šum má pokaždé jinou hodnotu šum bude mít tendenci vymizet při průměrování repetic. Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Princip kumulačních technik Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Princip kumulačních technik Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Kumulační techniky Požadavky: • přesná koherence kumulovaných průběhů • nezávislost mezi korespondujícími vzorky šumu z různých repetic Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Kumulační techniky Požadavky: • repetiční povaha časových řad • přesná koherence kumulovaných průběhů • rušivá složka je je generována náhodným procesem s nulovou střední hodnotou • nezávislost mezi korespondujícími vzorky z různých repetic Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Kumulační techniky Příklad: stimulované signály při vyšetřeních EEG/EP Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Kumulační techniky Příklad: stimulované signály při vyšetřeních EEG/EP -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -40 -20 0 20 40 60 80 čas [s] VEP[uV] průměr 30 měření Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Kumulační techniky Jak váhovat jednotlivé repetice? Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Kumulační techniky y(kT) = y((l+mj)T)=[ai.(j-i)x(lT)]i=0 j ai , i=0,1,…,j j = 0,1,… Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Kumulační techniky y(kT) = y((l+mj)T)=[ai.(j-i)x(lT)]i=0 j Výstup v průběhu j-té repetice Váhy jednotlivých repetic a0 – poslední, nová repetice aj – nejstarší repetice ai , i=0,1,…,j j = 0,1,… Počátky jednotlivých repetic Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Kumulační techniky y(kT) = y((l+mj)T)=[ai.(j-i)x(lT)]i=0 j Výstup v průběhu j-té repetice Váhy jednotlivých repetic a0 – poslední, nová repetice aj – nejstarší repetice ai , i=0,1,…,j j = 0,1,… Počátky jednotlivých repetic Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Kumulační techniky y(kT) = y((l+mj)T)=[ai.(j-i)x(lT)]i=0 j ai , i=0,1,…,j j = 0,1,… y(kT) =ai.x( (k-(mj-mj-i) ) T) i=0 j k=mj+l Interpretace kumulace ve frekvenční oblasti Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Kumulační techniky y(kT) =ai.x( (k-iN) T) i=0 j Zjednodušení pro případ periodických signálů s délkou užitečných úseků NT ……………………..?.............................. Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Kumulační techniky y(kT) =ai.x( (k-iN) T) i=0 j Zjednodušení pro případ periodických signálů s délkou užitečných úseků NT FIR filtr {hk} – konečná, ale s každou další repeticí se prodlužuje. Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Kumulační techniky y(kT) =ai.x( (k-iN) T) i=0 j Zjednodušení pro případ periodických signálů s délkou užitečných úseků NT FIR filtr {hk} – konečná, ale s každou další repeticí se prodlužuje. Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Kumulační techniky: zlepšení SNR y(kT) =ai((j-i)s(lT)+(j-i)n(lT)) i=0 j Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Kumulační techniky: zlepšení SNR y(kT) =ai((j-i)s(lT)+(j-i)n(lT)) = = s(lT) ai + [ai .(j-i)n(lT)] i=0 j i=0 j i=0 j Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Kumulační techniky: zlepšení SNR Pn = lim -1n2(t)dt ->∞ 0  Pn = σn 2 Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Kumulační techniky: zlepšení SNR y(kT) =ai((j-i)s(lT)+(j-i)n(lT)) = = s(lT) ai + [ai .(j-i)n(lT)] i=0 j i=0 j i=0 j Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Kumulační techniky: zlepšení SNR D(aivi)= ai 2σi 2 +  aial σili l i i Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Kumulační techniky: zlepšení SNR D(aivi)= ai 2σi 2 +  aial σili lii Výstupní šum po kumulaci: σnc 2 = σn 2 ai 2 +  aial σill=0i=0i=0 j j j Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Kumulační techniky: zlepšení SNR σnc 2 = σn 2 ai 2 +  aial σill=0i=0i=0 j j j Výstupní šum po kumulaci: Případná závislost mezi šumovými příspěvky z různých repetic rozptyl zvyšuje a zhoršuje tak možnosti kumulačního zpracování. Kumulací se šumový výkon v případě nezávislosti šumových příspěvků z různých repeticí změní na ….?.... - násobek původního výkonu. Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Kumulační techniky: zlepšení SNR σnc 2 = σn 2 ai 2 +  aial σill=0i=0i=0 j j j Výstupní šum po kumulaci: Případná závislost mezi šumovými příspěvky z různých repetic rozptyl zvyšuje a zhoršuje tak možnosti kumulačního zpracování. Kumulací se šumový výkon v případě nezávislosti šumových příspěvků z různých repeticí změní na ai 2 - násobek původního výkonu. Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Kumulační techniky: zlepšení SNR σnc 2 = σn 2 ai 2 +  aial σill=0i=0i=0 j j j Výstupní šum po kumulaci: Nutné předpoklady pro úspěch kumulačních technik: • Žádná (slabá) korelace mezi realizacemi šumu v jednotlivých repeticích • Centrovaný proces Další, zbytečné předpoklady uváděné v literatuře: • normální rozdělení • bílý šum • tvar autokorelační funkce Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Kumulační techniky: zlepšení SNR σnc 2 = σn 2 ai 2 +  aial σill=0i=0i=0 j j j Výstupní šum po kumulaci: Nutné předpoklady pro úspěch kumulačních technik: • Žádná (slabá) korelace mezi realizacemi šumu v jednotlivých repeticích • Centrovaný proces Další, zbytečné předpoklady uváděné v literatuře: • normální rozdělení • bílý šum • tvar autokorelační funkce Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Kumulační techniky: zlepšení SNR Jak ověřit, že realizace šumu v jednotlivých repeticích nejsou korelovány? ………………….?....................... Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Kumulační techniky: zlepšení SNR Jak ověřit, že realizace šumu v jednotlivých repeticích nejsou korelovány? Autokorelační funkce šumu bez signálu konverguje k nule a její hodnoty jsou pro zpoždění odpovídající intervalům mezi repeticemi zanedbatelně malé. Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Kumulační techniky: zlepšení SNR Jak ověřit, že realizace šumu v jednotlivých repeticích nejsou korelovány? Autokorelační funkce šumu bez signálu konverguje k nule a její hodnoty jsou pro zpoždění odpovídající intervalům mezi repeticemi zanedbatelně malé. 0 50 100 150 200 250 300 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 autokorelaxcni funkce bileho sumu Rnn tau Jak vypadá teoretický průběh autokorelační funkce bílého šumu? Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Kumulační techniky: zlepšení SNR Jak ověřit, že realizace šumu v jednotlivých repeticích nejsou korelovány? Autokorelační funkce šumu bez signálu konverguje k nule a její hodnoty jsou pro zpoždění odpovídající intervalům mezi repeticemi zanedbatelně malé. Potlačí úspěšně tento šum kumulační technika, pokud užitečný signál má délku repetice 25 vzorků? 0 50 100 150 200 250 300 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 autokorelacni funkce barevneho sumu Rnn tau Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Kumulační techniky: zlepšení SNR y(kT) =ai((j-i)s(lT)+(j-i)n(lT)) = = s(lT) ai + [ai .(j-i)n(lT)] i=0 j i=0 j i=0 j Jak se kumulací změní výkon signálu ??? Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Kumulační techniky: zlepšení SNR Průměrný výkon signálu je úměrný průměru kvadrátů hodnot signálu. Výkon signálu po kumulaci se tedy změnil …..?.... - krát Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Kumulační techniky: zlepšení SNR Průměrný výkon signálu je úměrný průměru kvadrátů hodnot signálu. Výkon signálu po kumulaci se tedy změnil (ai)2 - krát. Zlepšení výkonového poměru signálu k šumu je: 2 0 2 0   = =       = j i i j i i P a a K Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Kumulační techniky: zlepšení SNR Průměrný výkon signálu je úměrný průměru kvadrátů hodnot signálu. Výkon signálu po kumulaci se tedy změnil (ai)2 - krát. Zlepšení výkonového poměru signálu k šumu je: 2 0 2 0   = =       = j i i j i i P a a K Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses Kumulační techniky Kumulace s rovnoměrnými vahami a pevným oknem Nevýhoda: = pevné okno neumožní zachycení vývoje repetic a) Rovnoměrné váhy, plovoucí okno b) Exponenciální váhy Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses 5. cvičení 1) Vypočtěte zlepšení výkonového poměru signálu k šumu pro kumulační techniku s rovnoměrnými vahami a s pevným oknem. Počet repetic M je znám předem. Využívá se vah vedoucích na zachování původní úrovně signálu. 2) Zakreslete (pomocí Matlabu) dynamické vlastnosti kumulace s pevným oknem (tj. závislost výkonového i hodnotového SNR na počtu repetic). 3) Načtěte testovací obraz „Lena“ (https://en.wikipedia.org/wiki/Lenna), vytvořte z něj 50 realizací zarušených šumem a pomocí kumulačního zvýrazňování užitečné složky obraz zpátky rekonstruujte. Výkon šumu volte jako parametr (proměnnou) ve vašem skriptu. Bi0440 © Institute of Biostatistics and Analyses  ffgf 49 Otázky ? jakub.jamarik@med. muni.cz