logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Hřebíček, J. Kalina
Modely dvou interagujících populací
8. Interagující populace
E3101 Úvod do matematického modelování

logo-IBA logomuni
Vzájemné ovlivnění populací přes prostředí


logo-IBA logomuni
—Nalezněte vhodný předpis pro funkce κ1(N2) a κ2(N1) splňující následující podmínky:
¡Funkce κi nechť jsou spojité a hladké na oboru <0; ∞).
¡Funkce κi nechť jsou neklesající na oboru <0; ∞).
¡Je-li velikost (té druhé) populace Nj=0, zůstává κi(0)= Ki.
¡Naopak pro Nj→∞ se hodnota ustálí na nějaké konstantě κi(∞)= Ci.
¡Ki ≠ Ci.
—
—Ve specifických případech může být komensalizmus neomezený (tj. Ci = ∞).
¡
—
Příklad

logo-IBA logomuni
—Varianty vzájemného ovlivnění dvou populací přes prostředí (ekologická klasifikace):
¡Ki = Ci neutrální vztah (žádný vliv),
¡Ki > Ci populace soupeří (amensály),
¡Ki < Ci populace spolupracují (jsou na sobě závislé) (komensály), přičemž:
÷pokud Ki = 0, je j-tá populace obligátním komensálem i-té populace (i-tá populace nemůže přežít v
nepřítomnosti j-té),
÷pokud Ki > 0, je j-tá populace fakultativním komensálem i-té populace (i-tá populace může přežít i
bez j-té).
—Amensalizmus je populační vztah, při němž jedna populace uvolňuje do prostředí odpadní produkt
nebo speciální látku, která populaci jiného druhu ovlivňuje negativně (potlačuje růst a vývoj, může
způsobit i zánik).
—Komensalizmus je populační vztah, při němž jedna populace využívá jinou bez jejího poškozování
(jedna populace má ze vztahu prospěch, druhá není ovlivněna)
Vzájemné ovlivnění populací přes prostředí

logo-IBA logomuni Obsah obrázku řada/pruh, diagram, Vykreslený graf, origami Popis byl vytvořen
automaticky
—Pro vyšetření dynamiky systému může být užitečným nástrojem tzv. směrové pole soustavy dvou
diferenciálních rovnic.
—Na osách jsou velikosti
populací N1 a N2.
—Časová složka není z
grafu patrná.
—Šipky naznačují směr,
kterým se systém
bude měnit.
—Zelené čáry jsou traje-
ktorie z vybraných bodů
(rohy a středy stran).
Směrové pole

logo-IBA logomuni
—Využijte předpis funkcí κ1(N2) a κ2(N1) z předchozího příkladu, navrhněte jejich vhodné parametry
a nahraďte jimi koeficienty úživnosti K1 a K2 z původní rovnice.
—Řešte takto získanou soustavu dvou rovnic pro spojitý případ s nastavením parametrů tak, aby šlo
o:
1.konkurenční vztah dvou populací (oboustranně negativní ovlivnění)
2.symbiózu obou populací (oboustranně výhodné ovlivnění),
3.predaci (navzájem pozitivní a negativní ovlivnění populací).
—Zjistěte, jaký vztah se nazývá „orgie vzájemné dobročinnosti“, navrhněte a řešte jemu odpovídající
model.
¡
—
Příklad

logo-IBA logomuni
Mezidruhové vztahy
Vliv první populace na druhou
Druhá populace je vůči první
záporný
neutrální
kladný
Vliv druhé populace na první
záporný
konkurent
(kompetice)
amensál
predátor
parazit
neutrální
neutrál
kladný
kořist
hostitel
komensál
mutuál (symbióza)

logo-IBA logomuni
Vzájemné ovlivnění populací přes přírůstek


logo-IBA logomuni
—Navrhněte soustavu Lotkových-Volterrových rovnic tří populací.
—Řešte takto získanou soustavu pro spojitý případ s nastavením parametrů tak, aby šlo o:
1.konkurenční vztah všech tří populací (oboustranně negativní ovlivnění)
2.predaci jedné populace vůči dvěma symbiotickým populacím (navzájem pozitivní a negativní
ovlivnění populací).
—
Domácí úkol č. 4 (do 3. 12. 2024)