##############################################################
#                                                            #   
#  Závěrečný test E3101: podzim 2024, varianta I, Σ 90 bodů  #
#                                                            #
##############################################################

########################
#                      #   
#  Úloha č. 1: 8 bodů  #
#                      #
########################

# Klasifikujte matematické modely podle jejich vztahu k času a uveďte příklady.





#########################
#                       #   
#  Úloha č. 2: 7 bodů   #
#                       #
#########################

# Jaké druhy řešení modelu znáte, čím jsou tato řešení specifická?





#########################
#                       #   
#  Úloha č. 3:  5 bodů  #
#                       #
#########################

# K čemu slouží v R příkaz diag()? Ilustrujte na nějakém příkladu.





#########################
#                       #   
#  Úloha č. 5: 20 bodů  #
#                       #
#########################

# Zavedením kvadratického členu do modelu exponenciálního růstu jsme získali model s úživností K, ve kterém 
# je tempo růstu nepřímo úměrné blízkosti populace k úživnosti prostředí (zpomaluje se při přibližování ke K).
# V praxi se ovšem často používá komplikovanější varianta modelu s tzv. Alleeho efektem, který má kubickou formu:
# dN(t)/d(t) = r ⋅ N(t) ⋅ (N(t)/A–1) ⋅ (1–N(t)/K)
# Vyřešte obecně, na jaké hodnotě velikosti populace se daný model ustálí a okomentujte, proč. 





#########################
#                       #   
#  Úloha č. 6: 10 bodů  #
#                       #
#########################

# Která z předchozích řešení jsou stabilní vůči malé výchylce populace z rovnovážného stavu a proč?
# Jak se to podepíše na chování modelem popsané populace v reálném prostředí?





#########################
#                       #   
#  Úloha č. 7: 15 bodů  #
#                       #
#########################

# Využijte model z předchozího příkladu a sestrojte grafy pro hodnoty r=0.5, K=1000, A=300.
# Vykreslete řešení pro počáteční hodnoty populace N(0) ∈ {0,100,200,300,400,500}.
# Alleho kritický bod A lze interpretovat jako hodnotu velikosti populace, pod níž je v populaci
# příliš málo jedinců na to, aby se efektivně rozmnožovali. Jak se to projeví na našem řešení?





##########################
#                        #   
#  Úloha č. 8: 10 bodů   #
#                        #
##########################

# Využijte model z předchozího příkladu a vyšetřete citlivost parametrů r, K a A pomocí Monte Carlo
# simulace. Generujte 10000 hodnot tak, že střední hodnota každého parametru bude odpovídat hodnotě
# z předchozího příkladu, směrodatná odchylka bude činit 10 % této hodnoty a půjde o nromální rozdělení.
# Spočtěte pro každý parametr normalizovaný lokální koeficient citlivosti.





##########################
#                        #   
#  Úloha č. 9: 15 bodů   #
#                        #
##########################

# Zapište libovolný model tří populací tak, aby se v něm vyskytovaly všechny následující vztahy:
# symbióza, parazitizmus a neutrální vztah dvou populací.
# Vykreslete výsledky modelu do grafu a popište, které populace mají který vztah.





#####################
#                   #   
#  Bonus za 5 bodů  #
#                   #
#####################

# Váš komentář k předmětu E3101. Co byste chtěl(a), aby se změnilo, a co by mělo zůstat, jak bylo?
# Jaký je Váš názor na styl výuky, R a Metacentrum?
# Máte pocit, že Vám může být probraná látka v něčem užitečná? 




