F1030 Písemka 18.12.2024 - řešení
Homogenní válec o poloměru R = 10 cm a hmotnosti M = 10 kg se může bez tření
otáčet okolo pevné osy vedené geometrickou osou válce (osa symetrie). Do válce je vetknuta
a na něj navinuta nehmotná a ohebná nit neproměnné délky, na jejímž konci je upevněno
těleso o hmotnosti m = 5 kg, viz bokorys na obrázku. Hodnotu tíhového zrychlení
zaokrouhlíme na g =10 m/s-2
. Určete:
(a) Moment setrvačnosti válce na obrázku vzhledem k jeho ose otáčení.
(b) Úhlové zrychlení válce na obrázku.
(c) Zrychlení tělesa o hmotnosti m na obrázku.
Budeme pracovat ve složkách, nakonec přejdeme k velikostem
Druhý NZ pro kostku
(x-ové a z-ové složky všech vektorů vystupujících v druhém NZ pro kostku jsou nulové)
První impulsová věta pro kladku
0 ( ) (translační zrychlení kladky, tj. zrychlení jejího SH, je nulové)Mg T F   
0 (poslouží pouze pro případné určení velikosti síly )Mg T F F   
Druhá impulsová věta vzhledem k ose symetrie kladky (moment setrvačnosti 21
2
J MR )
( ) , přičemž 0, 0F Mg T Mg FJ M M M M M      (síly F a Mg mají působiště v SH),
( )TJ M 
Úhlové zrychlení i moment síly T mají směr záporně orientované osy z, ve složkách proto
( ) ( , )~ (0,0, ), ~ (0,0, ) (0,0, )z T T zM M TR      (TR je velikost momentu, ale jeho z-ová
složka je záporná, neboť moment má směr záporné osy z)
( , ) (2)zz T z JJ M RT    
g
, ,M J R
m
g
, ,M J R
m
T
Mg
mg
T
F
x
(dopředu)z
y
(1)ym mma Tg gm aT    
Přejdeme-li v rovnicích (1) a (2) k velikostem zrychlení a úhlového zrychlení, dostaneme při
zvolené soustavě souřadnic (!!)
, neboť ~ (0, ,0) (0, ,0), kde 0, | |
, neboť ~ (0,0, ) (0
)
,0, ), kde |
(1
0 |(2) ,
y y y
z y z
ma mg T
J T
a a a a a a a
J T aRR      
      
    


  
     
Rovnice (1) a (2) obsahují neznámé , ,y za T , potřebujeme vazební podmínku, tj. vztah mezi
zrychlením kostky a úhlovým zrychlením kladky. Vypadá to, že tyto dvě veličiny spolu
nesouvisejí, souvislost se objeví, pokud se lano odvíjí z kladky bez prokluzování.
Především: v každém okamžiku platí souvislost tečného zrychlení libovolného bodu na
obvodu kladky a jejího úhlového zrychlení vztah | |ta R (a to bez ohledu na to, zda lano
prokluzuje či nikoli – vztah se týká jen samotné kladky). Vazební podmínka přio neprokluzování pak
svazuje | |ta s velikostí zrychlení kostky | |a takto:
Při poklesu kostky o nějaký úsek s se body na obvodu kladky posunou právě o oblouk o
délce s , kladka se tedy pootočí o úhel | | | | ( ), přičemž 3tas R a a R       .
Řešíme tedy soustavu rovnic pro neznámé , ,a T
(1)ma mg T   
(2)J TR 
(3)a R