λα ■ CRAMEROVO PRAVIDLO Cíl: odvodit platnost Cramerova pravidla pro hledání konkrétního řešení nehomogenní soustavy lineárních rovnic. Předpoklady: znalost řešení nehomogenních soustav lineárních rovnic, znalost výpočtu a definice determinantů matice, adjungované matice, inverzní matice, násobení matic. Definice: Soustava lineárních rovnic Nechť T je číslené těleso. Pak soustava rovnic: a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2 ... ak1x1 + ak2x2 + · · · + aknxn = bk kde aij ∈ T, bi ∈ T se nazývá (nehomogenní) soustava k lineárních rovnic o n neznámých (nad T). Poznámka: Pro lepší vyjadřování zaveďme ještě následující označení a názvy: číslo aij v soustavě budeme nazývat koeficient (v i-té rovnici u j-té neznámé), resp. číslo bi budeme nazývat absolutní člen (i-té rovnice). Dále matice: A =      a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... ... ... ak1 ak2 · · · akn      , resp. A =      a11 a12 · · · a1n b1 a21 a22 · · · a2n b2 ... ... ... ... ... ak1 ak2 · · · akn bk      se nazývá matice soustavy, resp. rozšířená matice soustavy. ČÁST I. Cramerovo pravidlo pro 2 lineární rovnice o 2 neznámých Mějme soustavu 2 rovnic o 2 neznámých, jejíž matice soustavy je regulární: a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2 Příklad 1 Libovolným způsobem vypočítej x1 a x2. Jestliže má tvůj postup nějaké dodatečné podmínky, vymysli, jak by situace dopadla, kdyby nebyly splněny. λα ■ Příklad 2 Vyšly ti lomené výrazy, kde čitatel a jmenovatel jsou determinanty jistých matic tvořených koeficienty u neznámých a absolutními členy v zadané soustavě. Najdi tyto matice a zapiš do výrazu: x1 = x2 = ČÁST II. Cramerovo pravidlo pro 3 lineární rovnice o 3 neznámých Mějme soustavu 3 rovnic o 3 neznámých, jejíž matice soustavy je regulární: a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3 Poznámka: Je důležité si uvědomit, že platí A · X = B, kde A =   a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33  , X =   x1 x2 x3   a B =   b1 b2 b3   Příklad 3 Vynásob následující matice:   a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33   ·   x1 0 0 x2 1 0 x3 0 1   =   a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33   ·   1 x1 0 0 x2 0 0 x3 1   =   a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33   ·   1 0 x1 0 1 x2 0 0 x3   = Příklad 4 Spočti determinant červené, zelené a modré matice z příkladu 3. λα ■ Příklad 5 Uvažujme následující rovnosti. Doplň do barevných polí zjištěné determinanty z příkladu 4. a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 · = b1 a12 a13 b2 a22 a23 b3 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 · = a11 b1 a13 a21 b2 a23 a31 b3 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 · = a11 a12 b1 a21 a22 b2 a31 a32 b3 Příklad 6 Vyjádři z rovnic z příkladu 5 tebou vypočítané determinanty z barevných polí, aby ti zůstaly na levé straně samostatně. (Determinanty zbývajících matic ponech v maticovém zápisu, nerozepisuj podle definice) = = = λα ■ ČÁST III. Cramerovo pravidlo pro n lineárních rovnic o n neznámých Mějme soustavu n lineárních rovnic o n neznámých, jejíž matice soustavy je regulární: a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2 ... an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = bn Poznámka: Soustavu lze zapsat maticově jako: A · X = B Příklad 7 Z výrazu A · X = B vyjádři X. Poznámka: Je důležité si uvědomit, že A, B v rovnici jsou matice, nikoliv čísla, tedy nebudeme maticí A dělit obě strany rovnice. Příklad 8 Inverzní matici, která ti vznikla v příkladu 7, nahraď vzorcem s adjungovanou maticí a celý výraz rozepiš tak, aby v maticích bylo vidět několik členů pro tvou lepší představu, jak matice vypadají. (Tzn. místo pouze označení matic písmeny napiš alespoň pár členů do sloupců a řádků). Příklad 9 Jak se změní celá rovnice, když vyjádříme pouze jedno x? Zvolme například x1. Následující úkoly tě provedou, jak se změní pravá strana, když na levé uvažujeme pouze x1. a) Které koeficienty v soustavě rovnic stojí u neznámé x1? Vypiš je. (Pomoct ti může definice soustavy uvedená na začátku tohoto pracovního listu) λα ■ b) Jaké jsou algebraické doplňky těchto prvků? Označ je v následující matici: A∗ =      A11 A21 · · · An1 A12 A22 · · · An2 ... ... ... ... A1n A2n · · · Ann      c) Napiš si doplňky z příkladu 9b) za sebou do jednořádkové matice. Tuto matici vynásob maticí B z příkladu 8, která obsahuje sloupec absolutních členů. (Opět vypiš několik prvních členů · · · a poslední člen) d) Napiš celou pravou stranu rovnice z příkladu 8, když bude vlevo x1. (Nápověda: násobení adjungované matice maticí absolutních členů nahradíš výrazem z předchozího bodu c) e) Kdyby výraz z bodu c vypadal takto: A11 · a11 + A21 · a21 + A31 · a31 + · · · + An1 · an1, pak podle Laplaceovy věty a jejího důsledku by výraz odpovídal determinantu matice:      a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... ... ... an1 an2 · · · ann      V našem případě, ale místo prvku a11 je prvek b1, místo prvku a21 prvek b2... Napiš, jak bude vypadat matice, jejíž determinant je roven výrazu z bodu c. λα ■ Příklad 10 Kdybychom nevybrali neznámou x1, ale neznámou xk, dokážeš stejnými kroky jako v předchozím příkladu 9 dojít k tomu, čemu se xk rovná? Princip, který bylo možné odvodit předchozími příklady, se nazývá Cramerovo pravidlo. Věta: Cramerovo pravidlo Nechť je dána soustava n lineárních rovnic o n neznámých, jejíž matice soustavy A je regulární. Pak soustava má jediné řešení (x1, ..., xn), přičemž platí: xj = |Aj| |A| pro j = 1, 2, ..., n, kde Aj je matice vzniklá z matice A nahrazením j-tého sloupce sloupcem absolutních členů.