λα ■ HLEDÁNÍ INVERZNÍ MATICE Cíl: pochopit vzorec pro hledání inverzní matice pomocí adjungované matice. Objevit algoritmus pro hledání inverzní matice za pomoci elementárních řádkových úprav. Předpoklady: znalost Laplaceovy věty a pojmů algebraický doplněk prvku, regulární matice, schopnost násobení matic a provádění elementárních řádkových úprav. Definice: Inverzní matice Nechť A je čtvercová matice řádu n. Matice X s vlastností: A · X = En ∧ X · A = En se nazývá inverzní matice k matici A a označuje se symbolem A−1 . Poznámka: Pro n = 3, tedy hledáme matici:   a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33   ·   ?   =   1 0 0 0 1 0 0 0 1   ČÁST I. Vzorec pro hledání inverzní matice s adjungovanou maticí Příklad 1 Při hledání inverzní matice si pomůžeme maticí, kde namísto prvku aij stojí jeho algebraický doplněk Aij. Rozepiš jednotlivé algebraické doplňky na příslušná místa do matice.   A11 A12 A13 A21 A22 A23 A31 A32 A33   =                 Příklad 2 Když vynásobíme libovolný prvek jeho algebraickým doplňkem, dostaneme člen determinantu (plyne z Laplaceovy věty). Když vynásobíme celý řádek prvků s jejich příslušnými algebraickými doplňky, dostaneme determinant celé matice (důsledek Laplaceovy věty). (Můžeš si představit, jako bychom násobili dva vektory středoškolským skalárním součinem.) |A| = a11 · A11 + a12 · A12 + a13 · A13 λα ■ Schématicky:   a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33   ·   A11 A12 A13 A21 A22 A23 A31 A32 A33   = |A| Co se stane, když vynásobíš řádek prvků s algebraickými doplňky jiných prvků? Například:   a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33   ·   A11 A12 A13 A21 A22 A23 A31 A32 A33   = a11 · A21 + a12 · A22 + a13 · A23 Rozepiš algebraické doplňky z předchozí situace a roznásob členy. Zamysli se nad tím, jestli to platí i obecně, kdybychom zvolili například druhý řádek první matice a algebraické doplňky ze třetího řádku druhé matice. Proč by tomu tak mohlo být? Při násobení matic, ale nedochází k násobení řádků jedné matice s řádky druhé matice. Definice: Součin matic Nechť A = (aij) je matice typu m/n, B = (bij) je matice typu n/p (obě nad týmž tělesem T). Pak matice A · B = C = (cij), typu m/p, kde: cij = n k=1 aik · bkj, pro i = 1, ..., m, j = 1, ..., p, se nazývá součin matic A, B (v tomto pořadí). λα ■ Příklad 3 Přeházej prvky matice tvořené algebraickými doplňky tak, aby platilo:   a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33   ·             =   |A| 0 0 0 |A| 0 0 0 |A|   Nápověda: Využij znalost z příkladu 2 a důsledek Laplaceovy věty Matice tvořená algebraickými doplňky splňující předchozí rovnost se nazývá adjungovaná matice a značí se A∗. Příklad 4 Najdi způsob, jak vytvořit z následující matice matici jednotkovou. ? ·   |A| 0 0 0 |A| 0 0 0 |A|   =   1 0 0 0 1 0 0 0 1   Příklad 5 Zkus najít vzorec pro hledání inverzní matice na základě její definice a předchozích výpočtů. Za jakých podmínek vzorec platí? Řešení najdeš na další straně. λα ■ Vzorec pro hledání inverzní matice Nechť A je regulární matice. Pak A−1 = 1 |A| · A∗ Doplň: Čtvercová matice je regulární právě tehdy, když její determinant je . Čtvercová matice je singulární právě tehdy, když její determinant je . ČÁST II. Algoritmus pro hledání inverzní matice pomocí elementárních řádkových úprav Definice: Elementární řádkové úpravy Nechť A je matice typu m/n nad tělesem T. Pak každá z následujících úprav matice A se nazývá elementární řádková úprava matice A: 1. libovolná záměna pořadí řádků, 2. vynásobení libovolného řádku nenulovým číslem z T, 3. k jednomu řádku přičtení jiného řádku vynásobeného libovolným číslem z T, 4. k jednomu řádku přičtení lineární kombinace ostatních řádků. Věta: Elementární řádkové úpravy regulární matice Nechť A je regulární matice řádu n nad tělesem T. Pak platí: 1. matici A lze konečným počtem elementárních řádkových úprav převést na jednotkovou matici En 2. provedení jedné řádkové elementární úpravy matice A je ekvivalentní vynásobení matice A zleva jistou regulární maticí řádu n. Cílem následujících příkladů je uvědomění si vztahu mezi násobením regulárních matic a provádění elementárních řádkových úprav a následné pochopení algoritmu pro hledání inverzní matice. Pro jednoduchost budeme hledat inverzní matici k matici 1 1 2 3 . Principy následujících příkladů jsou ale uplatnitelné na libovolnou regulární matici jakéhokoliv řádu. Příklad 6 Jaká matice vznikne následující elementární řádkovou úpravou? (První řádek vynásobíme (-2) a přičteme k druhému řádku) ·(−2) 1 1 2 3 =     λα ■ Příklad 7 Najdi jistou regulární matici řádu 2, která odpovídá elementární řádkové úpravě z předchozího příkladu. Sem přepiš výsledek předchozího příkladu    · 1 1 2 3 =     Příklad 8 Najdi jisotu regulární matici řádu 2, kterou vynásobíš matici, která byla výsledkem příkladu 6, tak aby vznikla matice jednotková. Které elementární řádkové úpravě odpovídá? Sem přepiš výsledek 6. příkladu     ·     = 1 0 0 1 λα ■ Příklad 9 Za pomoci předchozích příkladů a definice inverzní matice najdi inverzní matici k matici 1 1 2 3 ? Nevíš si rady? Nápovědu najdeš vespodu stránky. Příklad 10 Stejnými regulárními maticemi, které jsi hledal/a v příkladech 8 a 7 (v tomto pořadí), vynásob jednotkovou matici. Co vyjde? Proč? Obecné vysvětlení najdeš na další straně.    ·    · 1 0 0 1 = Nápověda k př. 9: Napiš si za sebou regulární matice, kterými jsme násobili a za ně dopiš původní matici, ke které hledáme inverzi. Následně vyjdi z definice inverzní matice. λα ■ Obecné vysvětlení: R1, ..., Rs jsou regulární matice (např. ty, kterými jsme násobili v předchozích příkladech). (Rs · Rs−1 · · · · · R2 · R1) A−1 ·A = En (Rs · Rs−1 · · · · · R2 · R1) · En = A−1, protože jednotková matice je neutrální prvek. Prakticky tedy provádíme elementární řádkové úpravy současně na matici A i En tak, abychom matici A převedli na matici jednotkovou a matici jednotkovou převedli na hledanou inverzní matici.   A En   ⇒   En A−1   Příklad 11 Pomocí algoritmu (schéma z obecného vysvětlení) najdi inverzní matici k matici 1 1 2 3 . Příklad 12 Doplň vynechaná pole: Připomeň si, že hodnost matice je počet nenulových řádků v matici po jejím převedení elementárními úpravami na . Abychom tedy mohli čtvercovou matici A řádu n převést elementárními úpravami na jednotkovou, je nutné a stačí, že její hodnot h(A) = Důsledek: Matice A řádu n je regulární, právě tehdy, když h(A) = . λα ■ Příklad 13* a) Najdi inverzní matici k matici 1 1 2 3 pomocí sloupcových úprav. Vyšla stejně? Zdůvodni. b) Dokážeš celý proces hledání inverzní matice přeformulovat na sloupcové úpravy a násobení elementárními maticemi zprava?