Obsazujte liché řady lavic Úvod do fyzikálních měření Zdeněk Bochníček Literatura: PÁNEK, Petr. Úvod do fyzikálních měření. Brno: skripta PřF MU, 2001 HORÁK, Zdeněk. Praktická fysika. SNTL Praha, 1958 BROŽ, Jaromír a kol. Základy fysikálních měření. SPN Praha, 1967 Zpracování měření - stručná prezentace Podmínky zápočtu: • 80% účast • minimálně 60% úspěšnost na závěrečné písemce • vypracování tří odpovědníků s 60% úspěšností během semestru Styl práce ve cvičení Úloha experimentu ve fyzice Chyba měření: naměříme jinou hodnotu, než je hodnota správná. Chyby dělíme na systematické a náhodné (a hrubé). Každé měření je zatížené chybou a z toho plyne nejistota výsledku Při měření byly získány tyto hodnoty. Měření 1: Měření 2: Které měření je zatíženo velkou náhodnou a které velkou systematickou chybou? 1 Vyznačte na ose možné výsledky dvou měření: s malou a s velkou systematickou chybou. Náhodná chyba obou měření je přibližně stejná. malá systematická chyba velká systematická chyba 2 Vyznačte na ose možné výsledky dvou měření: s malou a s velkou náhodnou chybou. Systematická chyba obou měření je přibližně stejná. malá náhodná chyba velká náhodná chyba 3 Vyznačte na ose možné výsledky těchto měření: • s malou systematickou a velkou náhodnou chybou. • s velkou systematickou a malou náhodnou chybou. • s velkou systematickou a velkou náhodnou chybou. • s malou systematickou a malou náhodnou chybou. 4 chyba x nejistota Oficiální terminologie: systematické chyba určuje pravdivost (správnost, trueness) náhodná chyba určuje preciznost (precision) přesnost = pravdivost + preciznost V loňském roce jste měli na spořícím účtu uloženo 20 000Kč. Na konci roku Vám byl připsán celkový roční úrok v hodnotě 300Kč. Jaká byla úroková míra spořícího vkladu? 5 Napíšeme-li výraz: je uvedená nejistota tzv. nejistotou absolutní – má stejné jednotky jako hodnota. Vedle absolutní nejistoty se používá také nejistota relativní, která je bezrozměrná a udává, jakou poměrnou část z hodnoty nejistota tvoří. Relativní nejistota se často udává v procentech. Jak je relativní nejistota definována? 6 Posuvným měřítkem jsme naměřili tloušťku skleněné destičky: Jaká je absolutní a jaká relativní nejistota měřené veličiny? 7 Svinovacím metrem měříme šířku knihy a šířku stolu. Které měření má větší absolutní a které větší relativní nejistotu? 8 Naměřený proud 425mA byl změřen s relativní nejistotou 2·10-3. Jaká byla absolutní nejistota ? 9 Chceme změřit šířku kovového nosníku (přibližná hodnota 12cm) s relativní nejistotou 1‰. S jakou absolutní nejistotou musíme měřit? 10 Jak dlouho musíme měřit periodu kmitů kyvadla (počítat kmity a měřit čas), abychom ji určili s nejistotou 10-4? Čas měříme ručními stopkami. Návod: Nejprve odhadněte, s jakou absolutní nejistotou jste schopni ručními stopkami měřit časový interval. 11 Níže jsou uvedeny dva výsledky měření: Které měření je přesnější a které citlivější? 12 Neoficiální terminologie: Vyberte pravdivé výroky A: Přesnost měření souvisí s relativní nejistotou. B: Přesnost měření souvisí s absolutní nejistotou. C: Citlivost měření souvisí s relativní nejistotou. D: Citlivost měření souvisí s absolutní nejistotou. 13 Klasická definice pravděpodobnosti: Jakých hodnot může pravděpodobnost daného jevu nabývat? 14 Klasická definice pravděpodobnosti: Jaká je pravděpodobnost, že na hrací kostce padne číslo „3“? 15 Jaká je pravděpodobnost, že na minci padne „orel“? 16 Jaká je pravděpodobnost, že na hrací kostce padne sudé číslo? 17 Jaká je pravděpodobnost, že na hrací kostce padne číslo dělitelné třemí? 18 Jaká je pravděpodobnost, že se narodí děvče? 19 Statistická definice pravděpodobnosti n krát opakujeme daný experiment m krát je výsledek „úspěch“ (příznivý případ). 20 V roce 1999 se v ČR narodilo 43 642 děvčat a 45 829 chlapců. Z těchto dat určete odhad pravděpodobnosti narození děvčete či chlapce. 21 Měříme opakovaně n krát za shodných podmínek stejnou veličinu. Danou hodnotu x naměříme m krát. Číslu m říkáme „četnost“ měřené hodnoty x. Jaké hodnoty může četnost nabývat, pokud jsme provedli n měření? 28 Tento graf nazýváme histogram Při měření intenzity pozadí ionizujícího záření byly naměřeny následující hodnoty: číslo měření intenzita (imp/10s) 1 3 2 4 3 3 4 3 5 4 6 2 7 4 8 3 9 3 10 2 Nakreslete histogram: graf četnosti intenzity jako funkce měřené hodnoty 29 Měříme opakovaně n krát za shodných podmínek stejnou veličinu. Danou hodnotu x naměříme m krát. Číslu m/n říkáme „relativní četnost“ měřené hodnoty x. Jaké hodnoty může relativní četnost nabývat, pokud jsme provedli n měření? 30 Při měření intenzity pozadí ionizujícího záření byly naměřeny následující hodnoty: číslo měření intenzita (imp/10s) 1 3 2 4 3 3 4 3 5 4 6 2 7 4 8 3 9 3 10 2 Nakreslete histogram: graf relativní četnosti intenzity jako funkce měřené hodnoty 31 Relativní četnost je definována jako Za jakých podmínek bude relativní četnost rovna pravděpodobnosti naměření dané hodnoty? Pravděpodobnost je definována jako 32 Graf závislosti pravděpodobnosti na naměřené hodnotě nazýváme rozdělení diskrétní náhodné proměnné. Pravděpodobnost naměření hodnoty xi budeme značit Jaká je hodnota výrazu: 33 Devatabéé Nakreslete pravděpodobnost, že padne dané číslo při hodu kostkou 34 Nakreslete pravděpodobnost, že padne daná strana při hodu mincí 35 Z údajů roku 1999 nakreslete odhad pravděpodobnosti narození daného pohlaví. (V roce 1999 se v ČR narodilo 43 642 děvčat a 45 829 chlapců). 36 Doposud jsme se věnovali diskrétní náhodné proměnné. To je taková proměnná, která nabývá jen určitých hodnot. (Př.: výsledek hodu kostkou, posloupnost čísel při tahu sportky apod.) Fyzikální veličiny však obvykle mohou nabývat libovolné hodnoty. Náhodná proměnná spojená s takovou fyzikální veličinou bude tzv. spojitá. Toto je však pouze teorie Ve skutečnosti je každá měřená hodnota diskrétní – diskretizaci provádí měřící přístroj. http://www.e-voltcraft.cz/shadowm11000_1999/1200/1260/1265/126506_BB_00_FB Tento digitální voltmetr naměří hodnoty 1,295, 1,296 nebo 1,297 ale nic mezi tím. Přesto, že ve skutečnosti se se spojitými náhodnými proměnnými při měření v praxi nesetkáme, používají se spojitá rozdělení častěji – lépe se s nimi počítá s využitím aparátu matematické analýzy. Formalismus popisu náhodných proměnných je odlišný. Jaká je pravděpodobnost, že naměříme hodnotu frekvence elektromagnetického záření 2,128574443445098853567899653GHz? Přesně! 37 Pravděpodobnost naměření určité konkrétní hodnoty spojité náhodné proměnné nemá smysl, Je vždy rovna nule. Smysl má pouze pravděpodobnost naměření hodnoty v určitém intervalu Definujeme tzv. hustotu pravděpodobnosti Analogie hustota (hmotnosti) průměrná hustota „kusu“ látky o hmotnosti m a objemu V Pokud se hustota tělesa mění místo od místa, má smysl definovat „lokální“ hustotu: Hustota v bodě, hmotnost nekonečně malého kousku děleno objemem tohoto kousku. Známe-li střední hustotu, můžeme hmotnost tělesa spočítat takto: Známe-li lokální hustotu, hmotnost tělesa se spočítá takto: Napište vztah pro výpočet pravděpodobnosti naměření hodnoty x z intervalu (x1, x2) ze známé hustoty pravděpodobnosti p(x). 38 Pravděpodobnosti naměření hodnoty x z intervalu (x1, x2) se spočítá jako: Čemu je roven výraz: 39 Seřaďte podle velikosti od nejmenšího po největší 1)pravděpodobnost naměření hodnoty v intervalu (50,100) 2)pravděpodobnost naměření hodnoty v intervalu (100,150) 3)pravděpodobnost naměření hodnoty v intervalu (250,300) 40 Základními parametry rozdělení jsou: střední hodnota n – počet všech možností D – definiční obor diskrétní rozdělení spojité rozdělení rozptyl (disperze) Které rozdělení má větší střední hodnotu (černé nebo červené)? 41 Které rozdělení má větší disperzi (černé nebo červené)? 42 Proč je červené rozdělení nižší než černé? 43 Střední hodnota určuje polohu rozdělení na ose x a disperze jeho šířku. Disperze však nemůže být přímo jakkoliv definovanou šířkou – nemá vhodnou jednotku. Proto definujeme tzv. směrodatnou odchylku σ vztahem: Nakreslete dvě rozdělení spojité náhodné proměnné: Rozdělení A má větší střední hodnotu a menší směrodatnou odchylku než rozdělení B. 44 Normální (Gaussovo) rozdělení Teoreticky odvozeno za těchto předpokladů: •Na výslednou hodnotu náhodné proměnné má vliv velmi velký počet náhodných jevů •Každý jev dá vniknout tzv. elementární chybě ±ε •Pravděpodobnosti vzniku chyb +ε a -ε jsou shodné [USEMAP] Galtonův experiment Normální (Gaussovo) rozdělení střední hodnota: µ disperze: D=σ2 veličina σ je směrodatná odchylka Značíme N(µ, σ) µ = 500 σ = 100 µ = 300 σ = 100 µ = 500 σ = 200 N(500,100) N(300,100) N(500,200) Nakreslete přibližně Gaussovo rozdělení se střední hodnotou 54 a směrodatnou odchylkou 10. 45 µ = 500 σ = 100 Každá veličina x s normálním rozdělením N(µ, σ) lze převést na tzv. standardní normální rozdělení N(0,1) transformací Měříme-li veličinu, která se řídí normálním rozdělením se střední hodnotou µ a směrodatnou odchylkou σ, je pravděpodobnost toho, že při dalším měření naměříme hodnotu z intervalu (µ - σ, µ + σ) rovna 68%. Jaká je pravděpodobnost, že při dalším měření naměříme hodnotu z intervalu (µ, µ + σ)? 46 Odhadněte, jaké je pravděpodobnost naměření hodnoty z intervalu (µ - 3σ, µ + 3σ). 47 Definujeme tzv. krajní odchylku vztahem: Pravděpodobnost naměření hodnoty v intervalu (µ - 3σ, µ + 3σ) je rovna krajní odchylka = „jistota“ Odhad parametrů normálního rozdělení Opakujeme n – krát měření za stejných podmínek, odhad střední hodnoty získáme jako: aritmetický průměr a odhad směrodatné odchylky (nejistoty) jako Při měření intenzity pozadí ionizujícího záření byly naměřeny následující hodnoty: číslo měření intenzita (imp/10s) 1 3 2 4 3 3 4 3 5 4 Vypočtěte odhad střední hodnoty a směrodatné odchylky. 48 Další modelová rozdělení Nechť při jednom pokusu (měření) má daný jev (úspěch) pravděpodobnost p. Pak pravděpodobnost toho, že při n pokusech nastane r krát úspěch je dána binomickým rozdělením: Binomické rozdělení střední hodnota disperze Soubor:Binomial distribution pmf.svg Pro velká n se binomické rozdělení blíží normálnímu (Gaussovu) Nechť jistá náhodná událost nastává v časovém intervalu Δt se střední hodnotou μ. Pak pravděpodobnost, že v tomto časovém intervalu dojde k r událostem je dána Poissonovým rozdělením Poissonovo rozdělení střední hodnota disperze Soubor:Poisson distribution PMF.png Pro velká n se Poissonovo rozdělení blíží normálnímu (Gaussovu)