MUNI SCI Fyzikální praktikum Zpracování měření Jana Jurmanová, Zdeněk Navrátil Ústav fyzikální elektroniky Přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity, Brno únor 2023 1 /65 Obsah Úvod Trochu statistiky Nejistota přímo měřené veličiny Nejistota nepřímo měřené veličiny Jak (ne)má vypadat graf Aproximace závislostí Lineární interpolace a extrapolace 2/65 Měření Úvod Měření proces experimentálního získávání jedné nebo více hodnot veličiny, které mohou být důvodně přiřazeny veličině ■ Žádné měření není přesné. Výsledek měření závisí na měřicím systému, metodě, dovednostech obsluhy, laboratorních podmínkách apod. ■ I při snaze zachovat všechny parametry měření dostáváme různé hodnoty. ■ Měřená hodnota je tedy pouze přiblížením či odhadem měřené veličiny a musí být doplněna o hodnocení kvality tohoto odhadu. 3/65 Kvalita měření Úvod ■ Pro porovnání výsledků měření (hodnot) používáme mezinárodní soustavu jednotek SI. ■ Pro porovnání kvality měření bychom se měli řídit ■ BIPM: JCGM 100:2008 „Evaluation of measurement data - Guide to the expression of uncertainty in measurement", GUM ■ CSN P ENV 13005 Směrnice pro vyjádření nejistoty měření ■ GUM je k dispozici na interativní osnově předmětu v ISu. 4/65 Úvod Koncept chyby měření a nejistoty měření chyba měření naměřená hodnota veličiny mínus pravá hodnota veličiny nejistota měření parametr přidružený k výsledku měření, který charakterizuje rozptýlení hodnot, jež by mohly být důvodně přisuzovány k měřené veličině 5/65 Úvod Pravá hodnota fyzikální veličiny (Konvenční) pravou hodnotu bychom změřili v ideálním měření, které však neexistuje. Pravá hodnota je tedy v principu nepoznatelná. ■ Př. Rydbergova konstanta Roo = 10 973 731,568160(21) m_1, r(fíoo) = 1,9 • 10"12 ■ Př. gravitační konstanta 6.669 6.670 6.671 6.672 6.673 6.674 6.675 6.676 Nisf-82(64ppm) ' TR&D-96(75ppm) LANL-97(100ppm) l W ;isli-ll()| Uppml BIPM-01(40ppm) UWup-02(150ppm) MSL-03(40ppm) HUST-05(130ppm) LZur-06(19ppm) HLST-09(27ppm) J1LA-I0(21ppm) BIPM-14(24ppm) LENS-14(150ppm) UCI-14(19ppm) CODATA-2014(47ppm) HUST-18_TOS(12ppm) HUST-18 AAF(12ppm) KM l-OH -1 KH K» 6.669 6.670 6.671 6.672 6.673 6.674 6.675 6.676 G(xl0"n m'kgV) k = 6,674 30(15) • 10~11 m3 kg~1 s-*, r(«) = 2,2 • 10_í5 (CODATA 2018) 6/65 Vlivy ovlivňující měření Úvod ■ hrubé chyby a omyly ■ systematické vlivy - ovlivňují měření deterministickým způsobem, za předpokladu dobré znalosti těchto jevů lze vlivy odstranit korekcemi. ■ náhodné vlivy - ovlivňující měření nepředvídatelným způsobem, nelze je vyloučit ani kompenzovat ->> musíme měřit vícekrát a data statisticky zpracovat. 7/65 Úvod Přesnost měření nepravdivé nepravdivé pravdivé pravdivé neprecizní precizní neprecizní precizní nepřesné nepřesné nepřesné přesné přesnost {accuracy) = pravdivost (správnost, trueness) + preciznost {precision) ♦ * * systematické vlivy náhodné vlivy popisuje chyba měření popisuje systematická chyba popisuje náhodná chyba ■ Preciznost měření lze posuzovat na základě relativní statistické nejistoty měření. ■ Přesnost měření na základě relativní chyby měření (pokud ji můžeme stanovit). ■ Opakování měření nezajistí správnost, tj. potlačení systematických vlivů, může je však odhalit. Terminologie od r. 2008, dříve jinak (přesnost byla správnost, preciznost byla přesnost). Trochu statistiky Simulovaný experiment 1 T-1-1-1-1-1-1-1-"-1-'-1-«-1-T 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Náhodná veličina 9/65 Trochu statistiky Simulovaný experiment 2 10/65 Trochu statistiky Normální (Gaussovo) rozdělení ■ spojité rozdělení je vyjádřeno pomocí hustoty pravděpodobnosti: ^gauss(^) — V2 exp 7T směrodatná odchylka standard deviation směrodatná odchylka aritmetického průměru = standard error Stříška O zdůrazňuje, že jde o odhad, nikoliv o přesný výpočet parametrů. 13/65 Nejistota přímo měřené veličiny Výsledek měření, nejistota typu A Výsledkem opakovaného měření fyzikální veličiny X je aritmetický průměr x z naměřených hodnot. Nejistota průměru je dána jeho statistikou. Jako statistická nejistota měření ua(x) se proto bere směrodatná odchylka aritmetického průměru \2 uA(x) = a(x) = Ň V A/-(A/-1) Směrodatná odchylka aritmetického průměru a{x) je menší než směrodatná odchylka a(x) a nelze je vzájemně zaměňovat. Nejistota určená statisticky se také označuje jako nejistota typu A. 14/65 Nejistota přímo měřené veličiny Proč jsou a(x) a a(x) odlišné? 100000 výběrů s N vzorky Výběrový průměr ■ N = 1: histogram měřených hodnot ■ N > 1: histogram stejného počtu průměrů postupně získaných vždy z N měřených hodnot Statistika měřených hodnot a průměrů se liší, protože průměrováním se rozptýlení hodnot snižuje. Se zvyšujícím se počtem hodnot pro výpočet průměru se průměr více blíží skutečné (střední) hodnotě. Protože směrodatná odchylka aritmetického průměru a(x) udává šířku histogramu pro průměr, je menší než směrodatná odchylka původního souboru měřených hodnot a(x). Platí a(x) = a(x)/^/~Ň. 15/65 Nejistota přímo měřené veličiny Kvalita odhadu Gaussova rozdělení i i i i 111 i i i i i i 111 i i i i i i 111 i i i i i i 111 i i i i i i i 11 101 102 103 104 105 Počet měření ■ Malý počet měření poskytuje špatné odhady střední hodnoty a nejistoty. ■ Kolik hodnot stačí změřit? ■ Jak zaokrouhlovat nejistotu? Nejistota přímo měřené veličiny Kvalita odhadu Gaussova rozdělení i i i i 111 i i i i i i 111 i i i i i i 111 i i i i i i 111 i i i i i i i 11 101 102 103 104 105 Počet měření ■ Malý počet měření poskytuje špatné odhady střední hodnoty a nejistoty. ■ Kolik hodnot stačí změřit? Aspoň 30-40 pro dobré odhady. Akceptované minimum 10. ■ Jak zaokrouhlovat nejistotu? Nejistota přímo měřené veličiny Kvalita odhadu Gaussova rozdělení i i i i i i 111-1-1—i iiiiij-1-1—i—i i i 111 i i—i—i i i i 11 i i 111 i-1 i i i i 111 i i i i i i 111-1-1—i—i i i 111-1-1—i—i i i i 11— 101 102 103 104 105 Počet měření ■ Malý počet měření poskytuje špatné odhady střední hodnoty a nejistoty. ■ Kolik hodnot stačí změřit? Aspoň 30-40 pro dobré odhady. Akceptované minimum 10. ■ Jak zaokrouhlovat nejistotu? Pro 10 měření má význam je první platná číslice. Nejistota přímo měřené veličiny Standardní a rozšířená nejistota ■ V řadě situací je potřeba zaručit přesnost výsledku (např. v energetice). ■ Přesnost měření lze zajistit kalibrací přístroje u výrobce či u ČMI. ■ Při měření nesmí nastávat neočekávané systematické vlivy. ■ Potom interval daný standardní nejistotou (x - L/(X),X+ u(X)) by při velkém počtu měření měl obsahovat pravou hodnotu veličiny s Gaussovým rozdělením s pravděpodobností 68,3%. Problémy ■ Nepraktická hladina 68,3%. Vynásobíme třemi? ■ Potřebujeme zohlednit kvalitu stanovení u. Při malém počtu měření není hladina zaručena. ->> rozšířená nejistota 17/65 Nejistota přímo měřené veličiny Rozšířená nejistota U(x) Umožňuje s určitou spolehlivostí určit interval, ve kterém pravá hodnota veličiny leží (intervalový odhad). Rozšířená nejistota je definována U(x) = tp,uu(x), kde řPjZ/ je Studentův koeficient pro hladinu p a stupňů volnosti v = N - 1. Do intervalu (x- řp>I/i/(x),x + tp^u(x)) pak pravá hodnota x spadne s pravděpodobností p. Ve fyzice obvykle pracujeme s p = 68,3% a 99,7%. Excel Studentův koeficient počítá funkce řPjZ/ = TINV(1 - p; v). 18/65 Nejistota přímo měřené veličiny Test konzistence - odstranění hrubých chyb Leží-li některá z naměřených hodnot mimo interval vymezený krajní odchylkou k(x), je pravděpodobnější vychýlení měřené hodnoty hrubou chybou než souhlasným působením mnoha náhodných vlivů (s pravděpodobností 1 - 0,9973). Hodnotu proto vyloučíme. Postup: 1. Určíme aritmetický průměr x a odhad krajní odchylky (nikoliv krajní nejistoty) Pokud je počet měření N malý, místo trojky můžeme vzít Studentův koeficient řo,9973,/v-i ■ S malým počtem měření bychom ale test konzistence dělat neměli. 2. Určíme hraniční body intervalu x - k(x) < X < x + k(x) a vyškrkáme ty naměřené hodnoty, které leží vně tohoto intervalu. 3. Tento postup opakujeme tak dlouho, dokud všechny hodnoty neleží uvnitř uvedeného intervalu. 19/65 Nejistota přímo měřené veličiny Nejistota typu B ■ Nejistotu měření můžeme získat i jiným postupem než statisticky, např. ze specifikace přístroje od výrobce. ■ Typicky nejistota přístrojů, konstant, hodnot etalonů apod. zahrnující systematické i náhodné vlivy. ■ Nejistota určená jinak než statisticky se označuje jako nejistota typu B a značí se ub. 20/65 Nejistota přímo měřené veličiny Kombinovaná nejistota (C) Mohou nastat dvě situace: 1. Čtená hodnota na přístroji se při opakovaném měření nemění, neboť náhodné fluktuace jsou menší než poslední zobrazené místo (obvykle měření elektrických veličin nebo vážení). V tomto případě měříme jen jedenkrát a nejistota měření je dána nejistotou i/B. 2. Čtená hodnota na přístroji se při opakovaném měření mění. Ukazuje-li přístroj při opakovaném měření různé hodnoty, statistickým zpracováním stanovíme nejistotu uA- Celkovou kombinovanou nejistotu vypočteme jako uc(x) = yj ul{x) + i%{x) 21 /65 Nejistota přímo měřené veličiny Zápis výsledku měření, zaokrouhlování ■ Nejistota se zaokrouhluje na jednu platnou číslici, aritmetický průměr pak na stejné desetinné místo, jako je řád nejistoty.1 ■ Správná forma zaokrouhlení výsledků zvyšuje čitelnost zápisu (a patří k základním požadavkům při zpracování měření). Rozšířená nejistota - zapisujeme jako interval x = (x± Uc(x))j (p= ...,i/= ...) Příklady / = (209,9 ± 0,1) m (p = 0,6827, v = 9) / = (2099 ± 1) dm (p = 0,6827, v = 9) / = (20990 ± 10) cm (p = 0,6827, v = 9) / = (20991 ± 14) cm1 (p = 0,6827, v = 9) / = (20991 ± 15) cm1 (p = 0,6827, v = 9) 1 Můžeme výjimečně použít dvou platných míst v zápisu nejistoty, zejména když by zaokrouhlením na jedno místo nejistota značně vzrostla/klesla. Potom průměr zaokrouhlujeme na stejné desetinné místo, jako je nižší platné místo nejistoty. Použití více míst vyžaduje mnohonásobné opakování měření a je spíše metrologickou záležitostí. 22/65 Nejistota přímo měřené veličiny Zápis výsledku měření, zaokrouhlování Standardní nejistota - nezapisujeme jako interval x = x(u(x)) j Příklady / = 209,9(0,1)m / = 209,9(1) m <- zkrácený zápis, nejistota je opět 0,1 m / = 2099(1) dm / = 20990(10) cm / = 20991 (14) cm k = 6,673 84(0,000 80) • 10~11 m3 kg~1 s~2 k = 6,673 84(80) • 10"11 m3 kg-1 s-2 <- zkrácený zápis floo = 10 973 731,568160(21) m~1 ^ zkrácený zápis ■ Zaokrouhlování se řídí stejnými pravidly jako u rozšířené nejistoty. ■ Výsledky přesných měření často udávají nejistotu zkráceně v řádu posledního platného místa hodnoty. Chybné zaokrouhlení výsledku v tomto případě změní řád nejistoty! 23/65 Nejistota přímo měřené veličiny Nalezení nejistoty typu B ■ Výrobce většinou udává krajní nejistotu „accuracy"jako ±a. ■ Standardní nejistotu spočteme podle vztahu uB(x) = a/k, k závisí na typu předpokládaného statistického rozdělení. Rozdělení k Příklad užití normální A 3 kalibrované přístroje (multimetry, váhy) uB=o H- a = k * x rovnoměrné f(x) VŠ odhad z nejmenšího dílku (měřítka délky) 1 bimodální Diracovo f(x) 1 třída přesnosti (analogová el. měřidla) x ■ U analogových přístrojů nejistotu můžeme odhadnout podle nejmenšího dílku, který je typicky 1 mm (a = 0,5 mm). ■ Počet stupňů volnosti u nejistoty specifikované výrobcem je « 30-50 — „dobře změřeno". 24/65 Nejistota přímo měřené veličiny Nejistota typu B digitálních vah Výrobce vah udává většinou dva údaje ■ citlivost, readout d - nejmenší hodnota čtená na displeji, může být shodná s reprodukovatelností, ■ ověřovací dílek, verification value e - nejvyšší dovolený rozdíl mezi údajem vah a etalony hmotnosti použitými při ověření vah. Za krajní nejistotu měření tedy vezmeme ověřovací dílek e. Standardní nejistota je tedy Ub e/3. V praktiku máme váhy, u kterých platí e = 10d. Nejdůležitějším údajem vah je ovšem váživost. 25/65 Nejistota přímo měřené veličiny Nejistota typu B digitálních měřidel elektrických veličin Přesnost měření (accuracy) závisí na měřené hodnotě i na zvoleném rozsahu. Krajní absolutní nejistota je udána způsobem UB = ±(x% of reading + count), kde reading je hodnota na displeji a count je příspěvek k nejistotě udaný v jednotkách nejnižšího zobrazeného místa (digit/resolution). Př. Keysight U3402A - stanovení nejistoty při čtení 5,0025 V DC V režimu automatické volby rozsahů a pomalého měření přístroj zvolí rozsah slow 12 V. Krajní nejistota tedy je Ub = 0,012 • 10-2 • 5,0025 V + 5 • 100 /i V = 1,1 mV. Výsledek zahrnuje náhodné chyby i systematické drifty během 1 roku od kalibrace. ŕ\V KEYSIGHT UMOa*^ s i n n n n .<§» , ,Dqqq (UUUU.„ ■i ijjjj . » « % 1 • DCV 1 tCV I fi 1 ' Fwq 1 If^É Min í Loni i li--'..i I Pinvn ■-«1LJ .^j U SI LJ lp t s 35 3BBÍ5ÍP I íl Keysight U3402A Rate Range Resolution Maximum reading Accuracy (One year; 23°C ± 5°C) Typical input impedance 120.000 mV 1 uV 119.999 ±0.012% + 8 I2' 10.0 MQ 1.20000 V 10. uV 1.19999 ±0.012% + 5 10.0 MQ Slow 12.0000 V 100 uV 11.9999 ±0.012% + 5 11.1 MÍ2 120.000 V 1 mV 119.999 ±0.012% + 5 10.1 MÍ2 1000.00 V 10mV 1000.00[3] ±0.012% + 5 10.0 MÍ2 400.00 mV 10 uV 399.99 ±0.012% + 5 10.0 MÍ2 4.0000 V 100 uV 3.9999 ±0.012% + 5 11.1 MQ, Medium 40.000 V 1 mV 39.999 ±0.012% + 5 10.1 MÍ2 400.00 V 10mV 399.99 ±0.012% + 5 10.0 MQ 1000.0 V 100 mV 1000.0 131 ±0.012% + 5 10.0 MÍ2 400.0 mV 100 uV 399.9 ±0.012%+ 2 10.0 MÍ2 4.000 V 1 mV 3.999 ±0.012%+ 2 11.1 MQ, Fast 40.00 V 10mV 39.99 ±0.012%+ 2 10.1 MÍ2 400.0 V 100 mV 399.9 ±0.012%+ 2 10.0 MQ 1000 V 1 V 1000131 ±0.012%+ 2 10.0 MÍ2 26/65 1 Input impedance is in paralleled with capacitance <120 pF. Nejistota přímo měřené veličiny Nejistota typu B ručkových měřidel elektrických veličin VIZ https://shop.normy.biz/detail/5 03169#náhled 27/65 Nejistota nepřímo měřené veličiny Zákon přenosu nejistoty (ZPN) Nechť nepřímo měřená veličina y závisí na nezávislých, přímo měřených veličinách y = f(x1,x2,...,xp). Nechť tyto veličiny mají standardní kombinované nejistoty i/c(xi), ^(^2), • • •, uc(xp). Pak nejistotu nepřímo měřené veličiny lze určit jako kde X1, X2,..., Xp jsou odhady přímo měřených veličin. Derivace funkce f podle zvolené proměnné xk jsou parciální, čili při tomto derivování považujeme ostatní proměnné x<\, x2,..., xk_\, xk+^,..., xp za konstanty. 28/65 Nejistota nepřímo měřené veličiny Pravidla pro počítání s nejistotami Nechť x1s x2 jsou přímo měřené veličiny se standardními kombinovanými nejistotami i/(xi), u(x2) a y je nepřímo měřená veličina z nich počítaná. Dále označme r(x,) = i/(x,)/|x7| relativní nejistoty veličin. >J u2{x^) + u2{x2) \A\-u(xA) Vr2(x1) + r2(x2) n\ • r(x) ■ Pravidla obdržíme aplikací ZPN. Platí tedy stejné předpoklady (nezávislost veličin). ■ Pravidla lze snadno zobecnit i na součet/rozdíl/součin/podíl více veličin. ■ V příhodných situacích pravidla velmi ulehčují výpočet nejistoty. y = x2±x^ u(y) = y = A - x-\ u(y) = y = x1-x2,y=| r(y) = y = xn r(y) = 29/65 Nejistota nepřímo měřené veličiny Rozšířená nejistota nepřímo měřené veličiny Teoretický postup podle GUM: 1. Do ZPN nebo pravidel pro počítání s nejistotami dosadíme standardní nejistoty Uc(xi) ... uc(xp) přímo měřených veličin .. .xp (kombinované nejistoty nerozšířené Studentovým koeficientem). 2. Při tomto výpočtu si všimneme příspěvků od jednotlivých přímých měření u,(y)\ / 2 2 3. Rozšířenou nejistotu nepřímo měřené veličiny y pak spočteme kde i/eff označuje efektivní počet stupňů volnosti daný Welchovou-Satterthwaiteovou formulí u4(y) Vctt f «£(/) /tí 30/65 Nejistota nepřímo měřené veličiny Rozšířená nejistota nepřímo měřené veličiny Předešlý postup je složitý a v našich podmínkách nemá význam. Možné alternativy, jak si ulehčit práci: ■ Všechna přímá měření provedeme se stejným počtem stupňů volnosti (resp. počtem měření, obvykle z/, = A/ - 1). Výsledek bude mít stejný počet stupňů volnosti. ■ Za efektivní počet stupňů volnosti vezmeme nejnižší hodnotu: z/eff = min(z/,). ■ Pokud není zapotřebí, na stanovení rozšířené nejistoty rezignujeme a pracujeme pouze se standardní kombinovanou nejistotu uc(y) výsledku. Výsledek ale musíme zapisovat jako standardní nejistotu (ne konfidenčním intervalem). 31 /65 Nejistota nepřímo měřené veličiny Struktura pojmů vztahujících se k nejistotě měření způsob vyjádření v jednotkách veličiny v procentech hodnoty označení příklady absolutní Ua, Uc relativní 0\ i Rc způsob stanovení statisticky jinak výsledek označení příklady nejistota typu A, ^a, ^a, fa, Ra nejistota typu B Ub, Ub, /b, Rb kombinovaná uc, Uc, /bi Rc hladina spolehlivosti neurčena určena označení příklady zápis standardní x(u(x)) rozšířená ^a, x ± U(x) způsob měření měření x y = y(x1,x2, ...) označení vyhodnocení přímé l/a, ub uc Uc nepřímé úd*) —> uc(y) -> Uc(y) zpn 32/65 Jak (ne)má vypadat graf Jak (ne)má vypadat graf 35 30 < 25 "O 20 o Q. 15 o -4—' 10 CD LU 5 0 - 1 1 - - - 1 1 1 1 - - 1 - - 1 1 - - - - 1 1 - T . • 0 10 15 20 Elektrické napětí (V) 25 30 Jak (ne)má vypadat graf Jak (ne)má vypadat graf 35 30 < 25 "O 20 o Q. 15 o -4—' 10 CD LU 5 0 I I ■ I ■ I ■ I ■ I ■ I ■ I ■ nestandardní pozadí 1 zbytečná mřížka, neslouží-li graf k odečtu - - - 1 1 - - 1 - - 1 1 - - - - 1 1 - T . • 0 10 15 20 Elektrické napětí (V) 25 30 34/65 Jak (ne)má vypadat graf Jak (ne)má vypadat graf 60 ,-,-,-,-,-,-r < E 50 \- 40 \- O 30 Q. £ 20 -4—' LU 10 \- 0 k 1 0 10 15 20 Elektrické napětí (V) 25 30 Jak (ne)má vypadat graf Jak (ne)má vypadat graf 60 50 \- < 40 E o u i-■-r "D 2 301- nevyužitý prostor v grafu ■g 20 -4—' LU 10 I- 1 0 10 15 20 Elektrické napětí (V) 25 30 36/65 Jak (ne)má vypadat graf Jak (ne)má vypadat graf < 25 E o o -4—' LU 0 \- 0 10 15 20 25 30 Elektrické napětí (V) Jak (ne)má vypadat graf Jak (ne)má vypadat graf < 25 E o o -4—' LU 0 L 0 10 15 20 Elektrické napětí (V) 25 30 38/65 Jak (ne)má vypadat graf Jak (ne)má vypadat graf 0.0325 \- 0.0260 \- "§ 0.0195 p 0.0130 o □ 0.0065 0.0000 \- 0 10 15 20 Elektrické napětí 25 30 Jak (ne)má vypadat graf Jak (ne)má vypadat graf 0.0325 - 0.0260 - "§ 0.0195 p ž* 0.0130 o "i_ □ 0.0065 0.0000 - nevhodná jednotka na svislé ose nevhodný krok číslování osy chybějící jednotka na vodorovné ose o 10 15 20 Elektrické napětí 25 30 40/65 Jak (ne)má vypadat graf Jak (ne)má vypadat graf 30 \- < É 20 o o 10 CD LU 0 \- 0 5.2 9.8 14.8 20.1 Elektrické napětí (V) 25.3 31 Jak (ne)má vypadat graf Jak (ne)má vypadat graf 35 \- 30 \- < 25 E, "§ 20 O ^ 15 0 1 10 LU 5 V- 0 k 0 10 15 20 25 30 Elektrické napětí (V) Jak (ne)má vypadat graf Jak (ne)má vypadat graf I-1-■-1-■-1-1-1-1-1-■-1-■-r nerozlíšené série měření Elektrické napětí (V) 43/65 Jak (ne)má vypadat graf Jak (ne)má vypadat graf 35 \- 30 \- < 25 E, "§ 20 O ^ 15 0 1 10 LU 5 V- 0 k 0 10 15 20 25 30 Elektrické napětí (V) Jak (ne)má vypadat graf Jak (ne)má vypadat graf I-1-■-1-■-1-1-1-1-1-■-1-■-r měřené hodnoty nevykreslujeme čarou ale body, Elektrické napětí (V) 45/65 Jak (ne)má vypadat graf Jak (ne)má vypadat graf Hustě měřené závislosti (spektra, osciloskopická měření) kreslíme čarami. 15 i-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1 8 "O lo o S -5 0) LU -15 I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 y. f 1 1 1 1 1 •N \ — x N 7 1 \ -\ f i V y i v, -► — \ r 1 \ \ ■ V _/ / \ \ - \ / / \ \ \ / / K v \ / / l\ \ — \ / / V \ \ / / \ N - \ / / \ \ \ / i \ \ — \ J i \ \ — \ f i \ \ \ / i \ v \ J i \ \ \ f i V \ \ \ a 1 \ \ — ■X \ I ' \ \ V \ A 1 \ \ \ \ f i V \ ■ \ \ 1 i \ v _ \ v i \ \ \ \ / v. \ i N. T ŕ t V"-J / 1 1 r- y 1 . 1 . 1 . 1 1 1 . 1 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Čas (|IS) Jak (ne)má vypadat graf Jak (ne)má vypadat graf Standardní nastavení programu nemusí být vždy to nejlepší 0.04 0.03 0.03 0.02 0.02 0.01 0.01 0.00 ♦ 0.00 + 31.00 25.30 X 19.90 14.80 10.20 5.30 ♦ 0.00 ■ 5.30 10.20 < 14.80 X 19.90 • 25.30 + 31.00 0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 Jak (ne)má vypadat graf Jak má vypadat graf Elektrické napětí (V) Jak (ne)má vypadat graf Jak má vypadat graf ■ Na vodorovnou osu vynášíme nezávisle proměnnou, na svislou závisle proměnnou. ■ Jednotky na osách, počátek os a další parametry grafu volíme tak, aby graf pokryl na šířku i výšku cca 80% plochy, graf by neměl být natěsnán v úzkém proužku. ■ Do grafů nezakreslujeme mřížky ani pozadí. ■ Stupnice popisujeme rovnoměrně, nevynášíme na ně naměřené hodnoty. Vhodné řady pro popis úseček jsou 0,1,2,3 ... 0,2,4,6 ... 0,5,10,15,20 ... 0,25,50,75,100 ... ■ U každé osy uvedeme měřenou veličinu a její vhodnou jednotku (1011 Pa, /xA). 49/65 Jak (ne)má vypadat graf Jak má vypadat graf ■ Body vyznačujeme křížky, kolečky, čtverečky atd. vhodné velikosti, ne tečkami, nikdy k nim nevypisujeme hodnoty. ■ Místo propojení jednotlivých bodů se snažíme body proložit předpokládanou závislostí. ■ Pokud pro stanovení výsledku měření bylo nutné body proložit křivku (regrese), proložená křivka musí být součástí grafu. ■ Je-li v grafu více křivek, odlišíme je barevně i typem čáry a přidáme legendu. ■ Do záhlaví grafu nebo do popisku obrázku zapíšeme název vystihující obsah grafu. Doporučený program Máme kampusovou licenci k programu QtiPlot (obdoba Originu). Ke Stažení na https://is.muni.cz/auth/el/sci/jaro2021/F2180/software/ ] 50/65 Aproximace Aproximace závislostí ■ Máme změřenou závislost y = f (x), tj. řadu dvojic [x,,/,]. Hledáme funkční průběh, který ji nejlépe aproximuje. ■ Nepožadujeme, aby průběh změřenými hodnotami procházel. ■ Jak zvolit prokládanou funkci y = f (x)? 6 5 < £ 4 "D O □z 3 2 2 4 6 8 10 12 Napětí (V) 51 /65 Aproximace Aproximace závislostí ■ Máme změřenou závislost y = f (x), tj. řadu dvojic [x,,/,]. Hledáme funkční průběh, který ji nejlépe aproximuje. ■ Nepožadujeme, aby průběh změřenými hodnotami procházel. ■ Jak zvolit prokládanou funkci y = f (x)? 6 5 < £ 4 "D O □z 3 2 2 4 6 8 10 12 Napětí (V) 51 /65 Aproximace Aproximace závislostí ■ Máme změřenou závislost y = f (x), tj. řadu dvojic [x,,/,]. Hledáme funkční průběh, který ji nejlépe aproximuje. ■ Nepožadujeme, aby průběh změřenými hodnotami procházel. ■ Jak zvolit prokládanou funkci y = f (x)? 6 5 < £ 4 "D O □z 3 2 2 4 6 8 10 12 Napětí (V) 51 /65 Aproximace Aproximace závislostí ■ Máme změřenou závislost y = f (x), tj. řadu dvojic [x,,/,]. Hledáme funkční průběh, který ji nejlépe aproximuje. ■ Nepožadujeme, aby průběh změřenými hodnotami procházel. ■ Jak zvolit prokládanou funkci y = f (x)? 6 5 < £ 4 "D O □z 3 2 2 4 6 8 10 12 Napětí (V) 51 /65 Aproximace Metoda nejmenších čtverců Typ a hodnoty parametrů funkce f(x; b0,b\,b2 ...) hledáme tak, aby tzv. suma čtverců S měla minimální hodnotu n y[Y] a s=J2 cm - y>)' /=1 y=fM x[X] Kdyby byl proklad přesný, bylo by S = 0, obvykle je S malé kladné číslo. 52/65 Aproximace Metoda nejmenších čtverců Hledání optimálních hodnot parametrů b, funkce f, při které suma S nabývá minima, se provádí derivováním S podle parametrů b, a položením derivací rovným nule. Řeší se tak systém m rovnic Je vhodné rozlišit dva případy: lineární regrese funkce f závisí lineárně na parametrech jď0, £>i ... Př: f(x; jbo,Ďi,b2) = b0 + bAx + b2x2 Obecné vztahy pro optimální hodnoty parametrů odvodit lze. nelineární regrese Př: f(x;b0,h) = b0-^x Obecné vztahy odvodit nelze, optimální hodnoty se hledají iteračně. Někdy je možnost, jak převést druhý případ na první - linearizace. Aproximace Lineární regrese lineární závislostí y - b0 \ b^x Měření poskytlo n dvojic [x;,y,], n > 3 Odhady optimálních hodnot parametrů (sčítáme přes všechna rí) °0 — -„v- .2 r^v.v-j ^1 - nYxf-(YxiY nYxf-(YxiY Odhady nejistot parametrů jsou u(b0) = s Yxf n-Yxf-(YxiY , u(h) = s n n-Yxf-(YxiY S = So n-2' S0 = ^(ibo + ibiX/-y/y Výsledkem je tedy intervalový odhad parametrů b0 a £>i b0 = b0± u(bo)tp,n-2 61 = ibi ± u(ibi )řp,n_2, kde řp?A7_2 jsou koeficienty Studentova rozdělení. Aproximace Lineární regrese v QtiPlotu f'J QtiPLot untitled File Edit View Scripting Graph Data Format Windows Help ci Li Li E3 Í í> i % i B ■ü: Table 1 EH 1[X] 2[V] 1 0 2 1 2,: 3 2 4 3 6.! 5 4 6 S 9,: 7 5 11.Í S 7 15.: 9 a is,; 11 9 17,: l: i: 1: 1' 1! 1( i: u| Translate Subtract Different] ate Integrate,,, Integrate Function,, Smooth FFT filter Interpolate . FFT.. Fit Exponential Decay Fit Exponential Growth ,,, Fit Boltzrnann [Sigmoids!) Fit Gaussian Fit Lorentzian Fit Multi-peak Fit Wizard.. Ctrl+Y k>lixi 4 6 Napětí (V) 10 Aproximace Lineární regrese v QtiPlotu fy QtiPlot untitled File Edit View Scripting Graph Data Analysis Format Windows Help DBB DUE g££]|^@eG§0@ niega*x+phi) Initial guesses Parameter Value Constant Error A 64.7726773458 C □ ± 2.3296763637860e-01 gamma 0.0002948270568398 ; □ ± 1.9221160775209e-06 omega 0.01266234173025 z □ ± 1.8058746511B69e-06 phi ID. 08617187434 □ ± 4.6893250708904S-03 xO ^1000 z 0 - yO 464.8709361801 0 ± 4.5720703018094e-02 □ Ssvs Q Reload HI Range Curve |popre5unu_B [1:729] Color H gree v| Fromx= |-36Q2 H Tbx = HO Weighting No weighting_v| Algorithm iScaled Levenberg-Marquardt v Iterations 1000 Tolerance 0.0001 I I Preview jj]f Delete Fit Curves Xylose q Fit Select Function [ t^] Fitting Session |^| Custom Output 57/65 Aproximace Platnost metody nejmenších čtverců ■ Mezi veličinami x a y opravdu existuje závislost. ■ K určení hledaných parametrů funkce f stačí teoreticky naměřit alespoň tolik různých dvojic [x,,y,], kolik je hledaných parametrů (např. na proklad přímkou y = b0 + b\x alespoň dvě dvojice). ■ Ve skutečnosti potřebujeme mnohem více hodnot. Např. 10-12 pro posouzeni linearity. ■ Předpokládáme, že hodnoty x nejsou zatíženy žádnou chybou. Pokud tento předpoklad neplatí, používáme tento postup vědomě se systematickou chybou. Přesnější je v takovémto případě použít ortogonální regresi. ■ Hodnoty y, jsou náhodné, nejsou však zatíženy hrubými nebo systematickými chybami. 58/65 Aproximace Linearizace exponenciální závislosti y = b0 • e Závislost převedeme na lineární tvar: y = lny = \n(b0'^x) lny = lnibo + ln (eĎlX) lny = Inibo +(Ďix) ozn. Y ozn. Bq Y = Bq + JĎ1X. /?ix Stačí tedy do grafu vynášet místo dvojic hodnot [x,y] dvojice hodnot [x, lny] = [x, Y], a pak těmito body proložit přímku. In y si předem spočítáme v tabulce. Prokladem stanovíme optimální hodnoty a nejistoty konstant B0 a b\. Optimální hodnoty a nejistoty původních konstant dopočítáváme ze ZPN. V tomto případě b0 = es°, u(b0) = \etí° \ • u(B0), tedy r(jb0) = i/(fíb) 59/65 Interpolace a extrapolace Interpolace Interpolace a extrapolace jsou metody nalezení odhadu hodnoty veličiny uvnitř a vně intervalu dvojic veličin [x,, y,-], / = 1,... ,/?,/?> 2 ■ Typické použití: přesný odečet hodnoty funkce dané tabulkou. ■ Hodnoty, ze kterých vycházíme, považujeme za přesné. Požadujeme tedy, aby závislost body procházela. ■ Interpolace přímkou, polynomem, splajnem ... 60/65 Interpolace Interpolace a extrapolace Pokud o závislosti nic nevíme, použijeme většinou lineární interpolaci. Předpokládáme, že hodnoty v tabulce jsou natolik blízké, aby funkční závislost mezi nimi byla přibližně lineární 61 /65 Interpolace Lineární interpolace a extrapolace y[Y] y2 h —- inter exte r Hledanou hodnotu y příslušnou k danému x vypočteme ze vztahu: y = yi + *2 -Xi (X-X!), 62/65 Interpolace X 1 inter x. -4- X exte r x[X] Hledanou hodnotu y příslušnou k danému x vypočteme ze vztahu: y = /i + x2-xA (x-xA), 62/65 Interpolace Lineární interpolace a extrapolace inter exte r Hledanou hodnotu y příslušnou k danému x vypočteme ze vztahu: y = /i + x2-xA 62/65 Interpolace Lineární interpolace a extrapolace inter exte r Hledanou hodnotu y příslušnou k danému x vypočteme ze vztahu: y = /i + x2-xA 62/65 Interpolace Interpolace v tabulce 4E. Hustota vzduchu v závislosti na tlaku a teplotě PvZ [kgm3] - hustota suchého vzduchu. 1 014,1 Pa 21,3 °C tlak [hPa] 993 1 000 1 007 1011 1 013 1 016 1 019 1 021 1 024 1 027 1 033 tlak [mmHg] 745 750 755 758 760 762 764 766 768 770 775 teplota [°C] Pvz Pvz pvz Pvz Pvt Pvz Pvz Pvz Pvz Pvz Pvz 15 1,201 1,210 1,218 1,223 1,226 1,229 1,232 1,236 1,239 1,242 1,250 16 1,197 1,205 1,213 1,218 -—- 1,221 1,224 1,228 1,231 1,235 1,238 1,246 17 1,193 1,201 1,209 1,214 1,217 1,220 1,223 1,227 1,230 1,233 1,241 1S 1,189 1,197 1,205 1,210 1,213 1,216 1,219 1,223 1,226 1,229 1,237 19 1,185 1,193 1,201 1,206 1,209 1,212 1,215 1,219 1,222 1,225 1,233 20 1,181 1,189 1,197 1,202 1.205 U08 1,211 1,215 1,218 1,221 1,229 21 1,177 1,185 1,193 1,198 1,201 1,204 1,207 1,210 1,213 1,216 1,224 22 1,173 1,181 1.189 1.194 1.197 1.200 1,203 1,206 1,209 1,212 1,220 23 1,169 1,177 1,185 1,190 1,193 1,196 1,199 1,202 1,205 1,208 1,216 24 1,165 1,173 1,181 1,186 1,189 1,192 1,195 1,198 1,201 1,204 1,212 25 1,161 1,169 1,177 1,182 1,185 1,188 1,191 1,194 1,197 1,200 1,208 26 1,157 1,165 1,173 1,178 1,181 1,184 1,187 1,190 1,193 1,196 1,204 27 1,153 1,161 1,169 1,174 1,177 1,180 1,183 1,186 1,189 1,192 1,200 28 1,150 1,157 1,165 1,170 1,173 1,176 1,179 1,182 1,185 1,188 1,196 29 1,146 1,153 1,161 1,166 1,169 1,172 1,175 1,178 1,181 1,184 1,192 30 1,142 1,150 1,158 1,163 1,165 1,168 1,171 1,174 1,177 1,180 1,188 63/65 Interpolace Extrapolace - odstrašující prípad 220,- 200 -180 -160 -O 140 - o 03 120 - _o 0.100 -CD 80 -60 -40 - 20 ± 0 teplota za 25 minut? 10 15 20 Čas (min) 25 30 Extrapolace je rizikový druh interpolace generující hodnoty vně oblasti naměřených hodnot. 64/65 Interpolace Extrapolace - odstrašující prípad 220,- 200 -180 -160 -O 140 - o 03 120 \-O Q-100L 0 teplota za 25 minut? 10 15 20 Čas (min) 25 30 Extrapolace je rizikový druh interpolace generující hodnoty vně oblasti naměřených hodnot. 64/65 Interpolace Extrapolace - odstrašující případ 220 200 180 160 O 140 o cg 120 o Q-100 80 60 40 20 0 teplota za 25 minut? 10 15 20 Čas (min) 25 30 Extrapolace je rizikový druh interpolace generující hodnoty vně oblasti naměřených hodnot. 64/65 Literatura Interpolace [1 ] BIPM: JCGM 100:2008 Evaluation of measurement data - Guide to the expression of uncertainty in measurement [2] Pánek Petr, Úvod do fyzikálních měření, Masarykova univerzita, Brno 2001 [3] Novák Miroslav, Úvod do praktické fyziky, výrobna skript rektorátu UJEP Brno, Brno 1989 [4] Anděl Jiří, Statistické metody, MATFYZPRESS, Praha 2003 [5] Humlíček Josef, Statistické zpracování výsledků měření, UJEP Brno 1984 [6] Meloun Milan, Militký Jiří, Statistické zpracování experimentálních dat, PLUS Praha 1994 65/65 MASARYKOVA UNIVERZITA