Uvod do fyziky hvězd - řešené příklady Andrea Bobalíková 1 Kapitola 1 1.1 Vypočtěte délku světelného roku a parseku podle jejich definice. S jakou přesností jsou tyto jednotky stanoveny? 1AU = 1,495 978 706 6 • 1011 m, c = 2, 997 924 58 • 108 m s"1. Najděte její převodní faktor. • světelný rok: dráha, kterou urazí světlo ve vakuu za jeden juliánsky rok 1 sv. rok = 365, 25 • 24 • 60 • 60s • c = 9,460 730 473 • 1015 m • parsek: vzdálenost, ze které je vidět střední vzdálenost Země-Slunce (jedna AU) pod úhlem jedné obloukové vteřiny lpc=au-360-3600 = 3 085 677 6-10l6m 2ir • převodní faktor: 15AU ' r ' = 3,261 564 ' r 1 pc J 2tt ■ 365, 25 • c V1 ly / V1 ly 1.2 Mikuláš Koperník soudil, že všechny hvězdy jsou od nás vzdáleny asi 40 milionů průměrů Země. Vypočtěte: a) vzdálenost hvězd v AU a pc. b) jakou by měly tyto hvězdy paralaxu. Byla by měřitelná bez dalekohledu? a) d = 40 • \(ŤBZ = 40 • 106 • 12 742 km = 5, 0968 • 1014 m = 3407 AU = 0, 0165 pc b) ^ = 7[b = ^ = 60'5""ť to by bylo na hranici měřitelnosti 1.3 Tycho Brahe pak měl zato, že jasné hvězdy mají úhlové průměry 2'. Vypočtěte pro koperni-kovské vzdálenosti poloměr jasné hvězdy v poloměrech Slunce. Existují tak veliké hvězdy? RQ = 6,955 • 108 m, a = 1' roi R N tan a = ———-d |mj nebo a\,,}= R ^ R = a ■ d = 60 • 0,0165 = 0,991 AU = 1,4826 • 1011 m = 213 R0 d |pcj Ano, tak velké hvězdy jsou mezi obry a veleobry zcela běžné. 1.4 Vlastní pohyb hvězdy /i se zpravidla udává v úhlových vteřinách za rok. Znáte-li paralaxu hvězdy tt vypočítejte vzdálenost hvězdy ve světelných rocích r a tečnou složku rychlosti vt v km/s. tan ji kí /iírad] = —\ —>• vt = ji ■ d d Vf = i _2t-pc__^JL) = 4 740470 km/s (-^—] (- * 1 360 -3600 -365, 2442 • 86400 1"/rok pc J > ' u lu I \y> /rok J ^pc 2 Sun Object Radial velocity Space velocity Proper motion Transverse velocity Obrázek 1: vlastní pohyb 1.5 Barnardova hvězda je známa jako hvězda s nej větším známým vlastním pohybem, který činí 10,37"/rok. Objevil ji E. Barnard v roce 1916, když porovnával fotografické desky zachycující hvězdné pole v Hadonoši z let 1894 a 1916. Ze spektra hvězdy s vizuální hvězdnou velikostí V = 9,54 mag vyplývá mj., že jde o červeného trpaslíka typu M4 V, který se k nám blíží rychlostí vr = —106,8 km/s. Hvězda je v současnosti druhým nejbližším hvězdným objektem, hned po trojhvězdě zvané Toliman (a Centauri). V databázi SIMBAD najdeme její paralaxu: 7T = 0,5493(16)". Vypočtěte: a) její vzdálenost ve světelných letech, b) vypočtěte hodnotu tečné složky její prostorové rychlosti vztažené ke Slunci, c) velikost vektoru prostorové rychlosti, d) absolutní vizuální hvězdnou velikost hvězdy, e) zkontrolujte, zda má pravdu jistý Burnham, když tvrdí, že se tato hvězda přiblíží ke Slunci na pouhé 4 sv. roky, a to už za 10000 let, a pak se bude od něj opět vzdalovat. V době nej většího přiblížení prý vzroste vlastní pohyb hvězdy na 25 "/rok a hvězdná velikost hvězdy dosáhne 8,6 mag. a) b) c) d) e) ano d=- = —-— = 1, 82 pc = 5, 94 ly tt 0,5493 ' P y Vt = 4, 74047 km/s —f— — = 4, 740470 • 10, 37 • 1, 82 = 89, 5 km/s \ 1 /rok / VPC/ = \Jvl +vr= \/89,52 + 106, 82 = 139, 3 km/s m — M = 5 log r — 5 = —5 log tt — 5 M = m — 5 log r + 5 = 13, 24 mag 1.6 Vypočítejte vlnovou délku fotonu, jehož hmotnost odpovídá klidové hmotnosti elektronu. Hmotnost vyjádřete v kg a eV. 3 hmotnost elektronu: me = 9,11 • ÍCM1 kg, 1 eV = 1, 602 • 1CT19 J, Plaňek: h = 6, 626 • ÍCT^4 J.s Ee = me ■ mohli bychom ji spatřit, nejlépe pozorovatelná ale je v infračerveném oboru 1.17 Jistá kulová hvězdokupa o 250 000 členech se jeví jako objekt 4. velikosti. Jaká je průměrná hvězdná velikost člena hvězdokupy. Předpokládejte zde na okamžik, že hvězdná velikost všech hvězd hvězdokupy je stejná. Diskutujte, co se změní, není-li stejná. m = -2,51og — F = F0 ■ 10~°'4m, ,-8 kde F0 = 2, 553 • 10~8 W m mcelk = -2,5 log -f^ = -2, 5 log (N • 10 4 = -2,5 log (250 000 • 10-°'4m*) 10-o,4-4 = 000 • 10-°-4m* 10-0,4.4 = 10 -0,4m» nebo: 250 000 /1Q-0,4-4^ -2, 5 log - ) = 17, 5 mag ' 8 l 250 000,' ' 8 TOceik-™.* = -2,5 log ^^|r^ = -2,5 log pF*^j = -2, 51og]V = mcelk + 2, 5 log n = 4 + 2, 5 log 250 000 = 17, 5 mag 1.18 Dvojhvězda Castor sestává ze dvou složek s hvězdnými velikostmi 2,0 a 2,9 mag. Jaká je pak hvězdná velikost Castoru při pozorování pouhým okem, jímž jednotlivé složky dvojhvězdy nerozlišíme. mcastor = -2,51og(l0-°'4mi + lo~°'4m2) = 1,6 mag 1.19 Porovnejte jasnost Siria o vizuální hvězdné velikosti mv = —1,47 mag a nejslabších, okem viditelných hvězd. Kolik takových hvězd šesté velikosti (m* = 6 mag) by se muselo spojit, aby se co do jasnosti Siriovi vyrovnalo? m5 = -2,51og (N -IQ -0,4m» -in-OA-ms iri-0,4-(-l,47) N _ _ _ _ _ 1n0,4-l,47+0,4-6 _ Q7Q iV - 10-0,4m. - 10-0,4-6 - W - 9?d 5 nebo: mši, -2, 5 log -2, 5 log N-F, -2, 5 log N N = 10-0,4(msiriu.-m.) = 973 1.21 Rotační energie současného Slunce činí 2,4 • 1035 J. a) Na kolik let by tato energie dokázala krýt jeho zářivý výkon? b) Za předpokladu zachování momentu hybnosti vypočítejte jak by se změnila perioda rotace a rotační energie, kdyby se Slunce naráz zhroutilo na bílého trpaslíka s rozměry stokrát menšími než má dnes? c) Odkud se vzala energie rotace? a) doba, na kterou dokáže rotační energie pokrýt zářivý výkon = rotační energie, která je k dispozici energie, která se vyzáří za sekundu: t-gg- 2'4'1035 - 19 Slet L0 _ 3,844.1026 ~iy' 8 b) zákon zachování momentu hybnosti: moment setrvačnosti koule je: ItUJt = IfUJf 2 9 I = -MR potom: R%^i - 2 2tt 2 2tt R^Tf 2 2tt i 9 1 1 1002 — Ti T 1Í 10000 rotační energie Slunce před zhroucením: £roM = \H = ~MQR%ti (^) = 2,4 • 1035 ,1 Mm „ „ „„ _a II 1,99 • 1030 Ti = 27rEm.iW = 2^ • 6, 96 • 108W- 2 4 '1Q35 = 5, 63 • 106 s = 65,11 dne perioda rotace po zhroucení: Ti 5, 63 • 106 rotační energie po zhroucení: 1 9 12 9 /2tt\2 1 i?0í /2tt\2 ^./=2^=25M^./(l>) ^5m01(Í(ť>) = 2.4-10» J = 10000^ 6 c) z potenciální energie uvolněné kolapsem 1.23 Odvoďte vztah mezi vzdáleností r v pc, pozorovanou a absolutní hvězdnou velikostí m a M. Li F\ . 4lVr? m1 - m2 = -2, 5 log — = -2, 5 log ^2 47rr2 ^q2 -^g r m — M = —2, 5 log 47rfr = —2, 5 log —— = —5 log — = 5 log — = 5 log r — 5 log 10 = 5 log r — 5 4tt102 1.24. Najděte a vyčíslete vzájemné vztahy: a) mezi bolometrickou hvězdnou velikostí TOboi a hustotou toku F; b) absolutní bolometrickou hvězdnou velikostí Mboi, zářivým výkonem L v nominálních Sluncích, Lq = 3, 846 • 1026 W; c) mezi absolutní bolometrickou hvězdnou velikostí, poloměrem hvězdy R v poloměrech Slunce (i?Q = 6, 95508(26) • 108 m) a její efektivní teplotou Tt ef V kelvi- nech; d) najděte vztah mezi pozorovanou bolometrickou hvězdnou velikostí, úhlovým poloměrem a vyjádřeným v úhlových vteřinách a efektivní teplotou Tef v kelvinech. Z definice fotometrických veličin přitom plyne, že hvězda 0. bolometrické velikosti způsobuje na hranici zemské atmosféry hustotu zářivého toku F0 = 2,553 • 10~8 W m~2, hvězda s absolutní hvězdnou velikostí Mboi = 0 mag vysílá do prostoru zářivý výkon Lq = 3, 055 • 1028 W. Stefanova Boltzmannova konstanta a = 5, 670400 • 10~8 W m~2 Kr4. a) b) TOboi = -2, 5 log = 2,51ogF0 - 2,51ogF = —18, 9824 — 2, 5 log F Mi bol -2, 5 log -2, 5 log L L r. M, bol Lq L0 4, 745- 2, 5 log -2, 5 log 2, 5 log c) Mboi = -2, 5 log = -2, 5 log = -2, 5 log Mboi = -2, 5 log /47TCTÍ?! V L0 — 5 log _R R(7) -10 log Tef = 42,369 - 5 log L0 R Rq Rq -10 log Tef d) TOboi = -2, 5 log kam dosadíme F = L TOboi = -2, 5 log (^nR2T^ úhlový poloměr: \ 47rr2F0 360 ■ 3600 R 2tt r Att(7R2T^ -2, 5 log oR2^ dosadíme do předchozího: TObol -2, 5 log / 4^2a2řTTe4f V(360-3600)2F0 -2, 5 log 2iľra ~ 360 • 3600 47T2er (360 • 3600)2F0 5 log a - 10 log Tef mboi = 25, 706 - 5 log a - 10 log Tef 7 1.25 Pomocí výše uvedených vztahů vypočtěte (a) úhlový a (b) lineární poloměr Vegy, víte-li, že TOboi = —0, 40 mag, paralaxa podle Hipparca 0,1289(6)" a efektivní teplota ze spektra 9500 K. a) TOboi = 25, 706 - 5 log a - 10 log Tei 5 log a = 25, 706 - mboi - 10 log Tef 25,706+0,4-10 log 9500 a = 10-=- = o, 00184" b) např. pomocí vztahu z příkladu 1.22.: 360 -60 -60 R 2tt = 0,0046 I — |7T| r \Rq, R R = 0,0046ti- Rq — 3,08i?i ■o 1.26. Moderní měření hustoty zářivého toku přicházejícího od Slunce, vedou k závěru, že hodnota sluneční konstanty K (hustota toku ve vzdálenosti 1 AU) činí 1367(3) W/m2 , přičemž dlouhodobá měření poloměru slunečního kotouče se ustálila kolem hodnoty: a = 958, 966(36)". Za předpokladu, že Slunce izotropně vyzařuje, vypočtěte a) poloměr Slunce v m, b) hodnotu zářivého výkonu Slunce L ve W a nominálních Sluncích Lq , c) hodnotu pozorované sluneční bolometrické hvězdné velikosti a d) sluneční absolutní bolometrické hvězdné velikosti Mboi a e) efektivní teplotu Slunce v kelvinech. (Pozor, nezaměňujte skutečný a nominální zářivý výkon Slunce). a) poloměr Slunce: R0 = r sin(a) = 6, 955 • 108 m, kde r = 1 AU = 1, 49598 • 1011 m. b) zářivý výkon: K L ATľr2 c) pozorovaná hvězdná velikost: L = KAirr2 = 3, 844 • 1026 W = 0, 996 L r. TObol -2, 5 log ( ^ -2, 5 log ( |- -2, 5 log 1367 2,553 • 10-8 -26, 82 mag d) absolutní hvězdná velikost: Mbol = -2, 5 log e) efektivní teplota: Mbol = - L \ /3,844- 1026\ A ^ U =-2'51°n2^53-T(^ =4,75 mag 2'51og| T0 "bol -2, 5 log 47rRlaTe\ 47^1^ ef 10 -0,4Mbo 471-i?2, cr 1/4 5779 K případně pomocí vztahu z příkladu 1.24: mboi = 25, 706 - 5 log a - 10 log Teí 25,706-m.bol -5 log a Tei = 10" 5779 K 8 1.27 Je-li dosah dalekohledu 23 magnitudy, do jaké vzdálenosti jím lze zaznamenat: a) nejjasnější cefeidy s absolutní hvězdnou velikostí M = —5 mag, b) novy, dosahující v maximu svého lesku M = —8 mag, c) supernovy typu la M = — 19, 5 mag? a) cefeidy: m — M = 5 log r — 5 m-M + 5 23-(-5)+5 33 r = 10—=— = 10-5- = 10- = 4 Mpc b) novy: m-M + 5 23-(-8) + 5 r = 10—§— = 10-§- = 15, 8 Mpc c) supernovy la: m-M + 5 23-(-19,5) + 5 r = 10—§— = 10-§- = 3160 Mpc 1.28. Dokažte, že pro rozdíl absolutní a pozorované hvězdné velikosti (libovolného typu) Slunce platí m - M = -31,572126 mag. Modul vzdálenosti: m — M = 5 log(r) — 5 Vzdálenost Slunce je 1 AU = 1/206264, 8 pc m - M = 51og [ —-1—— ) - 5 = -31, 572126 mag 6 V 206264, 8 J 6 1.29. Jistá dvojhvězda, která nechce být jmenována, sestává ze dvou složek o absolutní hvězdné velikosti Mi = 1,267 mag a M2 = 1,875 mag. Vypočtěte a) jejich zářivé výkony v jednotkách slunečních, b) celkový zářivý výkon soustavy a c) její celkovou absolutní bolometrickou hvězdnou velikost. a) Vztah mezi absolutní hvězdnou velikostí a zářivým výkonem: M = -2, 5 log (±- kde Lq = 3, 055-1028 W. Pokud chceme zjistit zářivé výkony v jednotkách slunečních, můžeme také využít znalosti absolutní hvězdné velikosti Slunce: MQ = 4, 75 mag. Potom: M1-M0 = -2,51og(/^ M-l — Mq Li = 10--^^L0 = 24, 73 L0 M2 — Mq L2 = 10--^^L0 = 14,13 LQ b) celkový zářivý výkon soustavy ^celk = Li + L2 = 38, 86 LQ c) celková absolutní bolometrická hvězdná velikost Mcelk = -2, 5 log (^J^j + 4, 75 = 0, 776 mag 9 1.30. Představte si, že by nám někdo zaměnil Slunce za a) Vegu (mv = 0, 03 mag, ir = 0,1289"), b) Arkturus (mv = —0,04 mag,7r = 0,0889"), c) typickou hvězdu slunečního okolí (HD 155 876, mv = 9,35 mag, tt = 0,158"). Vypočtěte jejich vizuální hvězdnou velikost a úhlový průměr. Případné další potřebné údaje si můžete vyhledat v textu učebnice. a) Vega: Nejdřív zjistíme její absolutní hvězdnou velikost: m — M = 5 log(r) — 5 = —5 log(7r) — 5 M = 5 log(7r) + 5 + m = 0, 58 mag Pokud by se nacházela ve vzdálenosti Slunce (r = 1 AU = 1,496 • 1011 m = 2061265 pc), ze Země by měla pozorovanou hvězdnou velikost m^: raz — M = 5 log(r) — 5 mz = 5 log (^ěš) ~ 5 + °' 58 = ~30' " mag Její úhlový průměr by potom byl (poloměr Vegy: Ry = 1, 74 • 109 m): a = 2 arctan ( } = 80' b) Arcturus (RA = 25, 7 R&, R& = 6, 955 • 108 m): M = 5 log(7r) + 5 + m = -0, 295 mag mz = 51°g (206^65) _5_0' 295 = ~31' 87 mag a = 2 arctan (^~~~~~^J = ^2° c) HD 155 876: (R = 2/5 R0) M = 10, 34 mag, mz = -21, 23 mag, a = 12, 79' 1.31. Vypočtěte jakou hvězdnou velikost mv by sama o sobě měla sluneční skvrna o teplotě 4200 K pokrývající asi 0,1 % plochy slunečního disku. Uhlový průměr Arkturu s toutéž teplotou je 0,022", vizuální hvězdná velikost je 0,0 mag. Srovnejte s hvězdnou velikostí Měsíce v úplňku. Hvězdnou velikost skvrny určíme pomocí vztahu: ^skvrna = -2,51og - skvrna . ^0 kde F0 = 2, 553 • 10~8 W/m2. jp _ -^skvrna -^skvrna = ~^2~' kde r = 1 AU. Zářivý výkon skvrny je skvrna = Ss]íVTnlíc7T4 = 0, OOISqvT4 = 0, 001(47rE|)• Mboi = 1,45 mag e) zářivý výkon v jednotkách slunečních (LQ = 3, 846 • 1026 W): Mbol-M0 = -2,51og(-^ Mh , -4,75 L = 10--^—Lq = 21 LG f) poloměr hvězdy v poloměrech Slunce L = AttR2(7TÍ R = J-2- = 6, 3 • 109 m = 9,1 R& V 47rCrTef 1.33. Efektivní teplota Siria A je 9400 K, poloměr 1,8 R& (R© = 6,955 • 108 m) a hmotnost 2,2 MQ (MQ = 2 • 1030 kg). Určete: a) zářivý výkon hvězdy v jednotkách slunečních, b) její absolutní bolometrickou hvězdnou velikost, c) střední hustotu hvězdy. a) L = AttR2cfT^ = 8, 77 • 1027 W = 22, 7 L0 b) Mbol = -2, 5 log (J^j + M0 = 1, 36 mag c) MM 3M , . 3 P=V= |^ = 4^ = 533 kg/m =°'38P0 1.34. Jistý červený trpaslík spektrální třídy M5 V má hmotnost 0,2 MQ a poloměr 0,31 Rq, absolutní bolometrická velikost hvězd činí 9,8 mag. Vypočtěte: a) zářivý výkon v jednotkách slunečních, b) efektivní povrchovou teplotu, c) střední hustotu hvězdy. 11 a) Mbol-M0 = -2,51og(-^ L Mboi-M0 — = 10 ^— L = 0,0095 L0 ■^0 b) 1/4 řef / L \ 1 L = AiríťaT^ T =-- = 3245 K \AttcjR2 J c) P=V = S= 9480 kg/ni3 = 6,7p0 12 Kapitola 2 2.2 Představte si, že máte hvězdu složenou z ideálního plynu, který je ovšem zcela dokonale tepelně vodivý (izotermický). a) Jak by v nitru takové hvězdy závisel tlak na hustotě? b) Mohla by být taková hvězda stabilní? a) stavová rovnice ideálního plynu: pkT p = nkT fismH kde k = 1, 38 • 10 23 J/K je Boltzmannova konstanta, rriff = 1, 66 • 10 27 kg je hmotnost vodíku a /As je střední molekulová hmotnost. Odtud plyne P ~ P b) Obecně platí p = p7. Systém je stabilní, pokud je 7 > |. V našem případě 7 = 1 —> systém je nestabilní. 2.6 Dokažte, že při maximálním zploštění hvězdy způsobeném rotací je poměr polárního a rovníkového poloměru 2:3. Předpokládejte, že hmota hvězdy je v převážné míře koncentrovaná do jejího centra. Pro poměr rovníkovéhore a polárního poloměru rp platí vztah: r_e_ rluj2 1 / aod rp 2GM 2 V g člen v závorce je podíl absolutních velikostí odstředivého zrychlení a0(j a gravitačního zrychlení g na rovníku. Za předpokladu, že a0(j = g (nejvyšší možná rotace): ^ = l + i = ^ r p 2 2 2.8 Jaká je střední kinetická energie atomů vodíku, atomů helia a volných elektronů ve sluneční atmosféře o teplotě 5780 K. Jaké jsou jejich střední kvadratické rychlosti? Stačí k úniku ze sluneční atmosféry? kinetická energie: Ek = ^kT = 0,75 eV střední kvadratické rychlosti: 2 2 • atom vodíku (toh = 1, 66 • 10~27 kg) 3 1 2 l3kT Kl = -mu —> Vk = 3kT , vk = W- = 12 km/s mu atom helia (mne = 4 • 1, 66 • 10 kg) 3kT «1 / Vk = \ - = 6 km/s ™,He • elektron (me = 9,11 • 10 'n kg) 3kT =1,1 / Vk = \ -= 513 km/s 13 2.9 Odhadněte počet částic v 1 ni3 látky ve sluneční fotosféře, víte-li, že její teplota je 5780 K a tlak 0,1 atmosféry. Porovnejte s koncentrací molekul v zemské atmosféře. p = nkT ->• n = = 1,3 • 1023 castic/m3 kT Koncentrace ve fotosféře je 200krát menší než zemské atmosféře. 2.10 Za zjednodušujícího předpokladu, že Slunce je složeno ze 30 % z He a 70 % z H a jde o plně ionizovaný plyn, vypočtěte celkový počet a) volných elektronů, b) protonů, c) a částic ve hvězdě. počet protonů (= počet jader vodíku): • počet alfa částic (= počet jader helia): ^H=g^0 = ;-!;2;io;=8,39-io^ 1,66 • 10-27 _O,3-M0_ 0,3-2.1030 He ~ ~^T~ 4.1,66-10-" - 8'" ' 10 • počet volných elektronů: Ne=Nli + 2Nlie = í,02-í057 2.11 Diskutujte, jak by se měnila střední atomová hmotnost slunečního materiálu /i, pokud by byl tento složen pouze z vodíku a helia: X = 0,70, Y = 0,30 při cestě od povrchu hvězdy k centru. Rozlište postupně tyto případy: a) oba plyny jsou neutrální, b) vodík je zcela ionizován, helium je však takřka neutrální, c) vodík i helium jsou právě jedenkrát ionizovány a d) oba plyny jsou úplně ionizovány. Pro střední molekulovou hmotnost jis platí vztah Xi A kde Xi je hmotnostní zastoupení částic z-tého druhu a Ai = je jejich relativní atomová hmotnost. V případě ionizovaného plynu platí vztah: kde Zi označuje stupeň ionizace z-tého druhu atomu. a) oba plyny jsou neutrální: l_ _ 0/7 0^3 fis ~ 1 4 b) vodík je zcela ionizován, helium je neutrální: Hs = 1,29 - = (1 + 1)^ + ^ m* = 0,678 fis 1 4 c) vodík i helium jsou právě jedenkrát ionizovány: 1 0 7 0 3 - = (l + l)^ + (l + l)^f Ms = 0,645 Ms 1 4 14 d) oba plyny jsou úplně ionizovány: 1 D 7 0 3 -L = (l + l)M + (i + 2)M Mfl = 0,615 Ps 1 4 2.13 Předpokládejte, že v určitém objemu vodíku o hustotě p a teplotě T proběhly jaderné reakce, při nichž se všechna jádra vodíku spojila v jádra helia. Jak se musí změnit součin teploty T' a hustoty p', aby v temže objemu ionizovaného helia panoval týž tlak jako před započetím jaderných reakcí. Vysvětlete tím, proč během stadia hvězdy hlavní posloupnosti teplota a hustota v centru monotónně rostou. • stav na začátku: pkT Psinu ' kde í; = <1 + 1)t -"* = 5 (na začátku máme jen ionizovaný vodík) • stav na konci: p'kT Pf = —-> MsTOH kde 114 4 = (1 + 2)l -+ú = \ Ps 4 3 (na konci máme dvakrát ionizované helium) • Musí platit p f = Pí: p'kT' pkT PsmH Psinu Irpl pT P's rp = —pT Ps Irpl pT 8 T 2.14 Porovnejte tlak působící v nitru bílého trpaslíka o hmotnosti 1 MQ, poloměru 6000 km s tlakem ve slunečním nitru. Diskutujte s ohledem na chování látky, z níž jsou obě hvězdy tvořeny. Odhad centrálního tlaku: M2 P° = 3GW • Slunce: • bílý trpaslík: P^ = 3GŘf = 3G(6,96.10T=3'9-10 Pa M2 (2-1030)2 M2. 9„ PC(BT) = 3G n f = 6, 2 • 1023 Pa (6000 • 1000)4 tlak v centru BT je 2 • 108krát větší, látka je ve stavu elektronově degenerovaného plynu 2.16 Na půl cesty mezi středem a povrchem Slunce vládne teplota 3,4 • 106 K, tlak 106 Pa, hustota látky 1000 kg/m3. Vypočtěte a) kolik látkových částic (volných elektronů, protonů, alfa částic, jader těžších prvků) obsahuje 1 m3 látky látkových částic všeho druhu (předpokládejte standardní chemické složení a úplnou ionizaci všech atomů), b) Najděte střední vlnovou délku fotonů a stanovte o jaký typ záření tu jde, c) porovnejte se zářením vycházejícím z fotosféry. d) Jaká je koncentrace fotonů, porovnejte s počtem „látkových" částic. Srovnáme-li charakteristiky tohoto plynu s charakteristikami rovnovážného fotonového plynu téže teploty, musíme dojít k závěru, že 15 fotony jsou ve slunečním nitru dosti „vzácnými zvířaty", e) Vypočtěte hustotu energie fotonového plynu a porovnejte s hustotou kinetické energie plynu, f) Porovnejte tlak záření s tlakem ideálního plynu. Z toho okamžitě plyne, že příspěvek fotonového plynu na celkovém tlaku je zanedbatelný - činí 1/1340 tlaku ideálního plynu, g) Vysvětlete, jak je potom možné, že se zde energie přenáší právě zářením? a) počet látkových částic: Pro střední molekulovou hmotnost zcela ionizované látky můžeme napsat: — = 2X + -Y+-Z, fis 4 2 kde X je hmotnostní zastoupení vodíku, Y je hmotnostní zastoupení helia a Z je zastoupení těžších prvků. Pro Slunce: X = 0, 707, Y = 0, 274, Z = 1- X - Y = 0, 019. Potom: — = 2-0,707+70,274+^0,019 -> ns = 0,62 Hs 4 2 9, 88 • 1029 castic/m3 HsmH b) střední vlnová délka fotonů: střední energie připadající na jeden foton: es =2,7kT= 1,27- 10-16 J střední vlnová délka fotonů je potom: As = — = 1,6 nm —> měkké rentgenové záření c) fotosféra (T = 5780 K): ss = 2JkT = 2,15 ■ 10"19 J As = 924 nm -h> zhruba 600x delší vlnová délka d) koncentrace fotonů: rif = 2, 029 • 107 • T3 = 7, 95 • 1026 /m3 —>• zhruba na 1200 částic připadá jeden foton e) hustota energie fotonového plynu: wf = — T4 = 1 • 1011 J/m3 hustota kinetické energie plynu: w = -nkT = 6, 9 • 1013 J/m3 2 1 —> hustota energie fotonového plynu je asi 690krát menší f) tlak záření: Pf = \wf = fracicrScT4 = 3, 37 ■ 1010 Pa tlak ideálního plynu: p = nkT = 4, 63 ■ 1013 Pa 16 g) fotony se pohybují rychlosti světla a mají o několik řádů delší střední volnou dráhu než ostatní částice 2.17 Předpokládejte, že se ve hvězdě o poloměru R a hmotnosti M hustota látky 1) vůbec nemění, 2) mění se nepřímo úměrně kvadrátu vzdálenosti od centra r. Vypočítejte pro oba případy: a) závislost této hustoty p(r) vyjádřené pomocí střední hustoty hvězdy ps, b) závislost té části hmotnosti hvězdy, která je pod poloměrem r Mr, c) průběh závislosti gravitačního zrychlení g(r) vyjádřeného v povrchovém gravitačním zrychlení g(R) a d) velikost potenciální (konfigurační) energie této hvězdy a rozdíly diskutujte. 1. hustota látky se nemění a) p(r) = ps b) M(r)=ípdV=í í í p{r')r'2 ár'á0 áifi = Au ( p(r')r'2 dr' = -TTPsr3 J Jo Jo Jo Jo 3 4 3 M _ / r \3 M c) d) M = = -G^f = -GMi = ^R M = GMm En —-- r dEp _ ^ GM_ _^ í ^ _ _ f GM_ ^m ^m _ p dm r J J r Ep = / / -p(r)r2 dr d9díp = — 4tt / -p(r)r2 dr = — 4ttGM / p{r) r dr Jo Jo Jo r Jo r Jo Ep = -AttGMPs / r dr = -AttGM / r^-^- dr = -AttGMz / r^- dr lo Jo Jo 3GM2 fR , 3GM21 , 3^ M2 r dr =-----R =--G- R6 Jo i?6 5 5 i? 2. hustota se mění nepřímo úměrně kvadrátu vzdálenosti a) p(r) = po/r2 ľ ľR ľR po ľR M = dm = / 47rr2pdr = 4tt ~r'2 ^r = ^Po / dr = A-npoR J Jo Jo r Jo M Airp0R po 0p(r)r2 Ps ~ t t 4 _ tv? — % -no — % V |^i?3 "R2 "R2 P(r) = \ps (f) b) M(r) = Air I p(r')r'2 dr'= Airpo f dr' = Airpor = Att—psr = Airr—-r-- = M— Jo Jo 3 3 |7TÍ?3 R 17 d) ,-R ,-R t->2 f R i Ep = -AttGM\ p{r) r dr =-AttGM j *-\r dr = -AttGM— / ps-dr Jo Jo r 3 Jq r „ ^,,R2 ľRlMjj GM2 fR , GM2 =-AttGM— / --r—^-dr =--— / dr 3 J0 r§7íi?3"' R2 J0 i? 2.21 Podle standardního slunečního modelu slunečního nitra má látka v centru hustotu 1, 5 • 105 kg/m3 a teplotu 1,5 • 107 K, hmotnostní zastoupení vodíku X = 0,4 a obsah helia Y = 0, 6, příspěvek těžších prvků je možno v prvním přiblížení zanedbat. Vypočtěte tlak, který zde působí, za předpokladu, že vodík a helium jsou zde plně ionizovány a chovají se jako ideální plyn. Vypočtěte též tlak záření a oba tlaky porovnejte. • tlak ideálního plynu: pkT P„ = nkT = -, 9 IJ>smH kde k = 1,38 • 10~23 J/K je Boltzmannova konstanta, tuh = 1,66 • 10~27 kg je hmotnost vodíku a ps je střední molekulová hmotnost, pro kterou platí: přičemž Xi představuje zastoupení daného prvku, Ai = relativní hmotnost daného prvku vůči vodíku a Zi stupeň ionizace prvku. V našem případě: ^ = (l + l)^ + (l + 2)^=2^ + 3^ = l,25 ^ = °<8 r s mu mu Potom: • tlak záření: p pkJ_ = 2 3 _10i6 pa psmH Pr = ^-T4 = 1,3 • 1013 Pa, 3c kde a = 5, 67 • 10 8 W m 2 K 4 Stefanova-Boltzmannova konstanta a rychlost světla c = 3 • 108 m/s. 2.24. U hvězd hlavní posloupnosti je nej důležitější charakteristikou celková hmotnost hvězdy M. V intervalu spektrálních typů M5 až B0 platí, že poloměr R ~ M3/4, a zářivý výkon L ~ M112. Najděte, jak potom na hmotnosti závisí: a) efektivní teplota hvězdy Tef, b) střední hustota hvězdy ps, c) gravitační zrychlení na povrchu hvězdy g a d) centrální teplota hvězdy Tc, e) centrální tlak Pr- a) efektivní teplota L = 4.i?2.T4 - 2^-^ = 1^ = ^ - Ik-M1/* b) střední hustota MM MM 1/ |^i?3 Fs i?3 M9/4 M"5/4 c) gravitační zrychlení na povrchu hvězdy _ GM M _ M _ M-1/2 18 d) centrální teplota e) centrální tlak m m 1m tc--= —7777 = m1/4 c R m3/4 m2 m2 _ m2 _ m2 _ , 2.25. Za předpokladu, že zářivý výkon hvězdy L závisí na hmotnosti hvězdy M tímto způsobem: (L/Lq) = (M/Mq)'1'I2 vypočtěte, jak na hmotnosti hvězdy závisí poloměr dráhy r a perioda P hypotetické obyvatelné planety, na níž bychom naměřili touž hustotu zářivého toku, jakou nás oblažuje Slunce. Obě veličiny spočtěte pro případ hvězdy o hmotnosti a) 1,5 Slunce a b) 0,8 Slunce a c) 0,3 Slunce. • hustota zářivého toku dopadající na Zemi: Fz = kde r z = 1 au = 1,496 • 1011 m • za předpokladu, že na obyvatelné planetě by měla být stejná hustota zářivého toku, získáme vztah mezi hmotností hvězdy a poloměrem dráhy obyvatelné planety: F -F - L L& - L r" -Tobyv — r Z Airr2 47rr2 l0 (1 au)s IAU. ±) = 1 au • Pro získaní periódy obehu takovéto planéty použijeme 3. Kepleruv zákon: 4^2 gm1 9 4-7t2 , P2, Í2LÍr3 m pz2 ^(1 au)3 m (1 au)3 dosadíme vztah pro poloměr dráhy z přechozího bodu: ^obyv _m0 f m \21/4 (i au)3 _ ( m y7/4 „ ____( m y7/8 P2 M \MQ) (1au)3 V^0; ' P°byv lr°k'VMG Pro jednotlivé případy: a) Mi = 1,5 mq: í M \ 7/4 ri = 1 AU ■ - = 1,57/4 • 1 au = 2 au m N 17/8 b) m2 = 0,8 m0: c) m3=o,3m0: Pi = 1 rok ■ ( — ) = 1 rok • 1, 517/8 = 2, 4 roku r2 = 0,87/4 • 1 AU = 0,68 AU P2 = 0, 817/8 • 1 rok = 0, 62 roku r3 = 0,37/4 • 1 AU = 0,12 AU P3 = 0, 317/8 • 1 rok = 0, 077 roku 19 2.26. Na jak dlouho by Slunci vydržela zásoba vodíkového paliva, kdyby bylo možné ve Slunci spálit veškerý vodík na helium beze zbytku a zářivý výkon Slunce by celou dobu odpovídal výkonu dnešního Slunce. (Předpokládejte, že Slunce obsahuje 70% H a 30% He). • hmotnost vodíku: toh = 1, 00794 • mu • hmotnost helia: mne = 4, 002602 • mu, kde mu = 1, 66054 • 10~27 kg je atomová hmotnostní konstanta • při jedné reakci dojde k přeměně čtyř atomů vodíku na atom helia, uvolní se při tom energie: Elr = Amc2 = (4 • 1,00794 - 4, 002602) • 1,66054 • 10~27 • c2 = 4, 358 • 10~12 J • celkové množství vodíku ve Slunci: Mh = 0, 7 MQ = 1, 39 • 1030 kg • počet reakcí, které mohou proběhnout: N= Mh =2;0g 1q56 m4H • celkové množství energie, které se při nich uvolní: £celk = N ■ Elr = 9, 06 • 1044 J • toto množství energie by Slunci (LQ = 3, 846 • 1026 W) vydrželo: t = = 2,36 • 1018 s = 76, 9 • 109 let LQ 2.28. Určete o kolik kg se zmenšuje ročně hmotnost Slunce vyzařováním fotonů a jak dlouho by mohlo Slunce zářit svým současným výkonem, než by vyzářilo energii ekvivalentní své hmotnosti. • Slunce každou vteřinu vyzařuje energii E = 3, 846 • 1026 J • k získání takového množství energie musí každou vteřinu proběhnout N = = 8,8- 1037 reakcí • při jedné reakci ubyde Amireakce = 4 • m h — niHe = 4, 8418 • 10~29 kg • za rok se hmotnost Slunce zmenší o Am = Amlreakce • N ■ 3600 • 24 • 365, 25 = 1, 34 • 1017 kg • než by Slunce vyzářilo energii ekvivalentní své hmotnosti, mohlo by zářit svým současným výkonem t=M® =M8-1013 let Am 20 Kapitola 3 3.1 Vypočítejte: a) Jakou minimální kinetickou energii a rychlost musí mít elektron (hmotnost elektronu vůči hmotnosti protonu zanedbejte), aby při nepružné srážce s atomem vodíku v základním stavu dokázal tento atom ionizovat.Porovnejte potřebnou rychlost se střední kvadratickou rychlostí elektronů v ideálním plynu teplém b) 6000 K, c) 9000 K a d) 12 000 K. a) Et = 13, 6 eV, me = 9,11 • ÍO^1 kg hj = —mev 2 2E,, = 2187 km/s b) Vk — = 522 km/s, kde k = 1,38 • 10~23 J/K c) ^fe = 639, 5 km/s d) vk = 738, 5 km/s 3.2 Je možné, aby se sousední spektrální série vodíku vzájemně překrývaly? Frekvenci spektrální čáry lze spočítat pomocí vztahu: hv = AE = Ex [ 4 - 4 | , kde h = 6, 626 • 10~34 J.s je Planckova konstanta, v je frekvence, E\ = 13, 6 eV je energie základní hladiny vodíku, AE je energiový rozdíl mezi počátečním stavem (i), popsaným hlavním kvantový číslem rii a výsledným stavem (j) charakterizovaným číslem rij. Spektrální série se budou překrývat, pokud hrana následující série bude mít kratší vlnovou délku (větší frekvenci) než a čára dané série (viz obr. 2) Ly-a 100 nm Bii-n 1 I_I Viyil.)n; Pa-a Br-a Pf-a Hu-a 1 1 i 1000 nm 10 000 nm Obrázek 2: Spektrální série vodíku. Hrana série odpovídá přechodu z nekonečna, a čára dané série odpovídá přechodu z nejbližší vyšší hladiny. Potom můžeme zapsat: ^oo^n+l > fn+l^n „ oo2 (n+1)2 „ (n+1)2 n2 Ei--- > Ei--- h 1 > 1 1 (n+1)2 (n + 1)2 n2 21 n+í > V2 n Po dalších úpravách dojdeme ke vztahu: n > 1 + \[2 « 2, 4, tzn. že už Paschenova série (n=3) se překrývá s Brackettovou sérií. 3.3 Jak mnoho energie se uvolní při rekombinaci 1 kg ionizovaného vodíku na vodík neutrální? Porovnejte s energií zkapalnění 1 kg vodní páry na vodu téže teploty při tlaku 105 Pa. Ionizační energie: Ei = 13, 6 eV ... na 1 atom Počet atomů v 1 kg: N = = 6, 02 • 1026. Celková uvolněná energie: E = N ■ Ei = 1,3 ■ ÍO9 3 Měrné skupenské teplo varu vody: 2 256 kJ/kg —> při rekombinaci se uvolní zhruba 580x více energie. 3.4 Atom vodíku s elektronem v základním energiovém stavu pohltil foton o vlnové délce 88 nm, což vedlo k jeho ionizaci. Vypočtěte rychlost elektronu, s níž opustí atom za zjednodušujícího předpokladu, že se kinetická energie jádra přitom nezmění. Energie fotonu: Ef = ^= 2, 259 • 10~18 J = 14,1 eV K ionizaci vodíku se spotřebovala energie Ei = 13, 6 eV. Zbylá energie fotonu se přemění na kinetickou energii elektronu: Ek = AE = Ef - Ei = ^mev2 ->• v = 420 km/s 3.5 Při velmi pomalé, avšak nepružné srážce dvou neutrálních atomů vodíku, z nichž jeden je v základním stavu a druhý je excitován do druhé energiové hladiny, dojde k deexcitaci druhého atomu bez emise fotonu. Vypočtěte rychlost, s níž se po srážce začnou atomy vzájemně vzdalovat. (Řešte v soustavě spojené s těžištěm). E1 = -13, 6 eV, E2 = E1/22 = -3,4 eV Energie uvolněná při deexcitaci: AE = E2 — E\ = 10, 4 eV = 1, 634 • 10~18 J. Tato energie se přemění na kinetickou energii obou atomů: AE = 2Ek = 2 ■ ^mHv2, kde m h = 1, 66 • 10~27 kg je hmotnost vodíku. Rychlost každého z atomů bude tedy: AE -= 31,37 km/s mH To znamená, že od sebe se budou vzdalovat rychlostí 2v = 62, 7 km/s. 3.7 Dokažte, že pro atom vodíku je stupeň degenerace gn energetické hladiny, popsané hlavním kvantovým číslem n, dán vztahem: gn = 2n2. hlavní kvantové číslo: n = l,2,3,...,oo vedlejší kvantové číslo: l = 0,1, 2,..., n — 1 magnetické kvantové číslo: m = —l... 0 ... I 22 spinové kvantové číslo: s = ±1/2 Degenerace energetické hladiny: n-l ff„ = 2^(2Z + l) = 2n2 3.8 Zjistěte poměrné zastoupení atomů vodíku excitovaných do 2. a 3. energetické hladiny v termodynamické rovnováze při teplotě a) 6000 K, b) 12 000 K, c) 24 000 K, vztažené vůči koncentraci atomů vodíku v základním stavu. Koncentrace volných elektronů nechť činí3,14159265 • 1023/m3. Poměry počtů atomů ve stavu man, Nm a Nn , popsaných statistickými vahami gm a gn, vyjadřujícími kolikrát je ona energiová hladina degenerovaná (pro vodík: gn = 2n2), a odpovídajícími energiemi Em a En ve stavu termodynamické rovnováhy popisuje tzv. Boltzmannova excitační rovnice: Nm g„ a) _ em-en = —e kT Nn gn N2 2 • 22 (-3,4+13,6) 1,602 10 19 _o — = --e fc 6000 = 1,1-10 (3) Ni 2 • l2 9 . # , _________________ -e fc 6ooo = 6, 2 • 10 N-l 2 • 32 (-1,51 + 13,6) 1,602 1Q-19 . „ ° - ^--i.«nm- - « O 1ľ\ — ilJ Ni 2 • l2 b) N2/Ni = 2,1 • 10-4, N3/Ni = 7, 5 • 10~5 c) N2/Ni = 2, 9 • 10~2, N3/Ni = 2, 6 • 10~2 3.9 Může za předpokladu termodynamické rovnováhy nastat taková situace, že a) ve hvězdné atmosféře početně převládnou atomy nabuzené do druhé energetické hladiny nad atomy v základním stavu? No Q2 - e2-e-l — = —e kT Ni ffi kde En = -13, 6/n2 eV: Ex = -13, 6 eV, E2 = -13, 6/4 = -3, 4 eV. Po dosazení: JSI2 8 (-3,4+13,6) -1,602-10~ 19 — = —e kT Ni 2 V případě, že bude obsazení 1. a 2. hladiny stejné: N2 = Ni —>• ^ = 1: -10,2 1,602 10~19 1 = 4e kT 10, 2-1,602-IQ-19 ln(1/4) =--kŤ- -10, 2-1,602-IQ-19 T =- -= 85386 K Hn(l,4) Může, ale teplota by musela být vyšší než 85 000 K, což je vyšší teplota než v běžných hvězdných atmosférách. b) Jestliže ano, jaké budou mít relativní zastoupení atomy excitované do 3. hladiny? E3 = -13,6/9 = 1,51 Ni 18 (-1,51+13,6) 1,602 10~19 — = —e kť = i 74 Ni 2 23 c) Poroste-li teplota nade všechny meze, jaké bude obsazení i-té hladiny v poměru k obsazení základní hladiny? Může takové obsazení hladin reálně nastat? pro T —> oo: exp (— kT , gt _e,-ei — = —e kT Ni gi Ni ffi 2 3.12 Je vyšší ionizace a) atomů sodíku s ionizačním potenciálem Ei = 5,14 eV a Zi/Zq = 0, 5, b) atomů železa s Ei = 7,87 eV, Zi/Zq = 1,6 v atmosféře červeného obra, kde předpokládáme efektivní teplotu 4 500 K a koncentraci volných koncentrací Ne = 2, 5 • 1017 m~3 nebo v atmosféře hvězdy hlavní posloupnosti o teplotě 5 200 K s elektronovou koncentrací Ne = 4,4 • 1018 m~3 . Diskutujte. Ve stavu termodynamické rovnováhy lze stanovit poměr počtu (i + l)krát ionizovaných atomů Ni+i k počtu z-krát ionizovaných atomů Ni pomocí tzv. Sahovy ionizační rovnice: 2 Zi+i (2™ekT\3/2 & N< Ne Zt \ h2 J ' W kde Ne koncentrace volných elektronů, Zi je tzv. partiční funkce pro příslušný stupeň ionizace a Ei je energie příslušné ionizace. a) sodík: Et = 5,14 eV, Z1/Z0 = 0,5 N± 2 Zi (2iYmekT 3/2 N0 Ne Z0 V h2 obr: N-l/Nq = 5100, hvězda hl. posloupnosti: N-^/Nq = 2100 b) železo: Ez = 7, 87 eV, Zi/Z0 = 1,6 obr: Ni/Nq = 14, hvězda hl. posloupnosti: Ni/No = 16 3.15 Logaritmováním Boltzmannovy a Sahovy rovnice uveďte tyto vztahy do tvaru, v němž je astrofyzikové vidí nejraději, energie v eV, teploty v kelvinech: Boltzmannova rovnice: Nm _ gm Em-TErí N„ g„ 1 l'N™\ , / g m _ loglxhlogbr Em-En kT Sahova rovnice: log(tf)=logfe)+log(e"^ , (Nm\ (gm\ 5040 Ni+1 2 Zi+1 {27rmekT\3/2 _^ -'— =--'— - e fcT Ni Ne Zi \ h2 log ( = log 2 - log Ne + log í -gi + - log - ^ log e 24 Ni+1\ 3^^ 5040 íľj 1_Ar ,^_fZi+1\ n__0 3n /27rmefcv bg ( -W) = 2l0gT- -l0gNe + 1°g HfJ +1°g2+ 2 bg V 3.16 Obr spektrální třídy K má efektivní teplotu 4 300 K. Zjištěná hodnota mikroturbulentní rychlosti je 2 km/s. Stanovte šířku čáry Fe I o vlnové délce 553,93 nm. Lze mikroturbulenci zanedbat? Rozšíření spektrální čáry: AA =- c Teplotní rozšíření čar způsobené neuspořádanými mikroskopickými tepelnými pohyby atomů či iontů: AA = ^pí, c kde \2kT Vte-pl = V m Tuto rychlost získáme jako maximum Maxwellova rozdělení (= nejpravděpodobnější rychlost plynu): df(v) dv Potom = 0 ->• Wtepl 2A 2kT AA = —\ -= 0, 002nm. c V m Pokud připočítáme i mikroturbulenci: 2A / 2kT \ 1^2 AA = — -+ v2h = 0, 008 nm. c \ m ) —> mikroturbulenci nelze zanedbat 3.17 Hvězda CQ UMa je chemicky pekuliární hvězdou typu SrCrEu, spektrální třídy A2 V, na jejímž povrchu se nacházejí rozsáhlé skvrny s odlišným rozložením energie ve spektru. Hvězda v důsledku rotace vykazuje fotometrické změny, které v barvě v dosahují až 0,096 mag. Perioda světelných změn činí 2,45 dne, není ovšem vyloučena ani perioda dvojnásobná. K rozhodnutí mezi nimi nám může pomoci spektroskopie. Z pološířky spektrální čáry Mg II totiž lze odhadnout projekci ekvatoreální rotační rychlosti: Ve smi = 33 km/s. Hvězdy hlavní posloupnosti téže spektrální třídy mají poloměr R = 2, QRq . a) Odvoďte obecný vztah mezi velikost ekvatoreální rotační rychlosti Ve v km/s, poloměrem hvězdy v Rq a periodou rotace P ve dnech, b) Co nyní soudíte o obou navržených periodách? a) 2tt v odtud b) pro P = 2,45 dne: pro P2 = 2P: ve = 20, 64 km/s —> smi = 1, 6 —> P2 není správná perioda 33 siní = — = 0,796 25 3.18 Sestavte vztah pro tloušťku izotermické atmosféry H, v níž by vystupovaly základní charakteristiky hvězdy tj. její hmotnost M, poloměr R a zářivý výkon L, vše v jednotkách slunečních, případně efektivní teplota Tef. Předpokládejte, že i střední atomová hmotnost částic v atmosféře je stejná jako u Slunce. Aplikujte na některé známé případy hvězd. tloušťka atmosféry: kT kT R2 H gfismH fismH GM pro Slunce: T = 5780 K, fis = 1, 3: H = 135 km ' w ° RQJ \M J V5780K l \1/4/ i?\3/2/m, H^135km^0y V m 3.19 Vypočítejte a porovnejte a) únikovou rychlost atomu vodíku ve sluneční koróně se b) střední kvadratickou atomu, za předpokladu, že nás zajímá situace ve vzdálenosti 2 poloměrů hvězdy od středu, kde kinetická teplota koróny dosahuje 1,6- 106 K. Co z toho plyne? a) r y 2R. b) ■2GM /2GM0 = 436, 6 km/s 1 3 3kT Ek = -mv2 = -kT -> «kv=W-= 199km/s 2 2 V í^h 26 Kapitola 4 4.1. V okolí Slunce připadá jedna hvězda na 8 pc3. Je-li střední hmotnost hvězd M = 0, 35MQ, vypočtěte střední hustotu hmoty v okolí Slunce a porovnejte ji se střední hustotou mezihvězdné látky v rovině Galaxie (106 atomů/m3). • střední hustota hmoty v okolí Slunce: M 0,35 • 2 • 1030 „ „„ , ;3 A-n = y = M3;086.10l6)3 - 2, 98 • 10- kg/m3 • střední hustota mezihvězdné látky v rovině Galaxie (za zjednodušeného předpokladu, že je tvořena vodíkem): Prov.gai = 106 • mH = 106 • 1, 66 • 10~27 = 1, 66 • 10~21 kg/m3 P okol i i, Prov.gal 4.4. kolik by se ročně změnil poloměr Slunce, pokud ve Slunci neprobíhaly termonukleární reakce a výkon Slunce byl hrazen pouze z energie uvolňované pozvolným smršťováním. Využijte viriálový teorém. • Viriálový teorém: 2(Ek) + (Ep) = 0, kde (Ek) je střední hodnota celkové vnitřní energie tělesa, převážně pak kinetické energie neuspořádaného tepelného pohybu, a (Ep) střední hodnota potenciální energie. • V průběhu kolapsu klesá potenciální energie a roste vnitřní - kinetická energie. Současně se část energie dostává do prostoru v podobě záření - vyzářenou energii označíme -Brad- Ze zákona zachování energie pak plyne: (Ek) + (Ep) + £rad = 0 • Kombinací této rovnice s viriálovou větou dostaneme: Eiad = (Ek) = — — (Ep) • potenciální energie: 3 GM2 h/r, —--- p 5 i? • změna potenciální energie při smršťování: _3GM2 • Slunce za rok vyzáří množství energie odpovídající: -Erad = Lq ■ t, kde l& = 3, 86 • 1026, t = 1 rok = 365, 25 • 24 • 3600 s • tato energie musí být uvolněna postupným smršťováním: 1 3 GMq lq.t---AEp---^-AR0, kde M& = 2 • 1030 kg, R& = 6, 955 • 108 m, G = 6, 67 • 10~n m3 kg -1 s~2 27 • Slunce se tedy každý rok zmenší o: Afí _ÍOL0tRl_ 4.5. Jaká by byla na Zemi průměrná teplota na počátku vývoje sluneční soustavy za předpokladu, že by zemská atmosféra měla tytéž vlastnosti, jako v současnosti. a) Na počátku vývoje sluneční soustavy: • parametry Slunce v této době: TQi = 5586 K, i?©,i = 0, 9 Rq, přičemž RQ = 6, 955 • 108 m • zářivý výkon tehdejšího Slunce: L0jl = 47ri?25ílT(4)1cr = 2, 718 • 1026 W • zářivý tok dopadající na Zemi: *ťi = -:—j • nRz, kde Rz = 6371 km je poloměr Země a r = 1 AU = 1,495 • 1011 m • Země zpětně vyzáří: Lz,i = a ■ 47ri?|crT|a kde Tz,i je tehdejší teplota Země, koeficient a ~ 0, 7 souvisí s jevy v atmosféře, díky kterým Země nevyzáří stejné množství energie, které přijme od Slunce • s pomocí znalosti přijaté a vyzářené energie můžeme určit teplotu Země: — -TrRz = a- ^RzoTz^ ( R \ 1/2 Tz,i = T0>1 —2i = 267 K = -6°C \ 2 J ar J b) V současnosti: TQ = 5780 K / ř? \ 1/2 Tz,2 = T& = 291 K = 18°C \2y/ar J 4.6. Za předpokladu, že ve Slunci všude panuje jeho střední teplota, tedy 7 milionů kelvinů, vypočtěte počet fotonů v objemu Slunce a porovnejte s počtem nukleonů. • počet fotonů v 1 m3 Slunce: nf = 2, 029 • 107T3 = 6, 96 • 1027 • celkový počet fotonů ve Slunci: nf,ceik = n/-^i?| = 9,8-1054 • počet nukleonů: 2 • 1030 ^- 1766-TČF^^1'2-1057 ^ -> = 0, 008 nnukl 28 4.7. Jestliže by ve Slunci byl zdrojem opacity jen k rozptyl, při němž se náhodně změní směr fotonu, a střední volná dráha l byla 1 mm, vypočtěte střední dobu t, za níž by jeden takto trápený foton dokázal z centra doletět na povrch Slunce . • situaci můžete chápat jako Brownův pohyb, kde platí, že střední vzdálenost od místa počátku cesty takové částice je rovna ly/N, kde N je počet jednotlivých skoků: R2 Rq = iVŇ -> N = -j£ • celková dráha, kterou musí foton urazit, aby se dostal na povrch Slunce: í?2 í?2 D = N.l = ^l=^ • čas, který k této cestě potřebuje: D R2 t = — = —^ = 1,61 • 1012 s = 51100 let, c c • l ve skutečnosti je však doba „cesty jednoho kvanta" řádově delší, neboť hlavním zdrojem opacity je fotoionizace, která je procesem mnohem zdlouhavějším. 4.8. Při rychlé fázi hvězdné kontrakce na počátku jejich vývoje pozorujeme víceméně volný pád částic do centra tíže. a) Ukažte, že doba zhroucení kulového oblaku o hustotě p do bodu tff volným pádem, pokud by se síle gravitační nepostavila žádná jiná, je dána vztahem: í// = ^/37r/32Gp. • Dobu zhroucení oblaku můžeme odvodit pomocí 3. Keplerova zákona: 4^2a3 GM • Představme si, že hmota oblaku o poloměru R padá radiálně ke středu. Radiální dráhu můžeme brát jako příklad degenerované elipsy o excentricite 1 a hlavní poloose a = R/2. Potom čas potřebný ke zhroucení oblaku je roven polovině periody pohybu po kruhové dráze o poloměru R/2: Porbit /a3 R3 tíí = — =^GM=*ÍžGM • za hmotnost oblaku dosadíme M = p ■ V = pé^R3: 'R3 3 /3Ťř 8G4irR3p V 32Gp b) Za jakou dobu by se za těchto podmínek zhroutilo do bodu naše Slunce s hustotou pQ = 1400 kg m~3. / 3tt _ . t//'0 = V32G^ = 3Onim c) Za jak dlouho se zhroutí oblak s typickou koncentrací cca 104 molekul vodíku v cm 3. • hustota takového oblaku (n = 104/cm3 = 1010/m3): p = n ■ toh2 = 1010 • 2 • 1, 66 • 10~ 27 = 3, 32 • 10~17 kg/m3 • zhroutí se za dobu 37T tff = \l = 15 ' ÍQl3 s = 365000 let 29 d) Porovnejte tento čas s celkovou dobou aktivního života hvězdy (cca 10 let). tft 365000 1 d; = ^=3<65-10 ^W-- (6) 4.9. Během pomalé fáze hvězdné kontrakce je výkon hvězdy zhruba konstantní, zhruba takový, jaký hvězda má, „dosedne-li" na hlavní posloupnost: L ~ M3'5. Víte-li, že u hvězd hlavní posloupnosti závisí poloměr hvězdy R na hmotnosti takto: R ~ M3/4, vypočtěte jak závisí délka trvání pomalé fáze hvězdné kontrakce t na hmotnosti hvězdy. Vyjděte přitom z předpokladu, že t se u hvězd sluneční hmotnosti odhaduje na 30 milionů let. • Celkovou dobu, kterou hvězda stráví v průběhu této pomalé kontrakce zhruba vyjadřuje tzv. Kelvinova-Helmhotzova škála tkh- Ta je definována jako podíl celkového objemu energie vyzářené během kolapsu -Brad a středního zářivého výkonu hvězdy L: tkh = — • Energii vyzářenou během kolapsu získáme kombinací viriálového teorému 2(Ek) + (Ep) = 0, a zákona zachování energie Brad — (Ek) — —^{Ep) (Ek) + (Ep) + Brad = 0 1 • Potenciální energii lze určit pomocí vztahu: GM2 ep = ~a—r—' kde koeficient a závisí na rozložení hmoty (běžně lze brát a kí 1,7). • Pro celkovou vyzářenou energii během pomalé fáze smršťování potom dostaneme vztah: Brad = ~2^P^ = 2 R • Potom můžeme odhadnout Kelvinovu-Helmholtzovu škálu: Brad a GM2 TKB- — -2^uT • Za předpokladu, že platí L - M3-5, R - M3/4: a GM2 o* , q/4 „ ,nrfM\-9/4, tkh =--Tn-= -GM~9/4 « 3 • 107 - let 2 M3/4 • M3'5 2 \M0J 4.10. Jaká je minimální počáteční hmotnost hvězdy, která již prošla nebo právě prochází stadiem obra. • Dobu thp, kterou hvězda stráví na hlavní posloupnosti lze odhadnout jako poměr jejího celkového množství zásob jaderné energie E a střední hodnoty zářivého výkonu během stadia hvězdy na hlavní posloupnosti L: kde q(M) je poměrná část vodíku, která se ve stadiu hvězdy hlavní posloupnosti přemění na helium. 30 • Pokud vezmeme v úvahu stáří vesmíru 13, 7 • 109 let jako maximální možnou dobu, kterou mohla hvězda strávit na hlavní posloupnosti: 13, 7 • 109 = 1010 ' mm M0 Mmin = l,37-1/2'6M0 = O,89M0 4.11. Jak starý by musel být vesmír, aby se v něm objevil první heliový bílý trpaslík vzniklý jako výsledek vývoje osamělé hvězdy. í m ■ \ ~2'6 1 nlO I J"mm \ , THP = 10 \jď^) kt Aby se hvězda o hmotnosti M = 0, 5 M0 dostala do stadia heliového bílého trpaslíka, vesmír by musel být starý í = 1010 (0, 5)~2'6 « 60 • 109 let (7) 4.12. Za předpokladu, že stavová rovnice elektronově degenerované látky, z níž je složena hvězda nebo její část, váže tlak a hustotu takto: P ~ p5/3 a pro střední hodnotu tlaku ve hvězdě lze též psát P ~ M2i?~4, odvoďte závislost a) poloměru, b) střední hustoty degenerované hvězdy c) vazebné energie Ep a d) vnitřní teploty T na hmotnosti M. a) b) c) d) lF-p -{J^ R M ■;/ vyhození do povětří je možné 5.3 . Odvoďte vztah mezi únikovou rychlostí vu z povrchu bílého trpaslíka a pozorovanou hodnotou gravitačního rudého posuvu vyjádřeného a) v bezrozměrných jednotkách z nebo b) ve formě „nadbytečné rychlosti" Vn. c) Pro střední hodnotu Vn = 54 km/s vypočtěte hodnotu únikové rychlosti. a) v bezrozměrných jednotkách z: • gravitační rudý posuv: AA GM X c2R (8) • úniková rychlost: 2GM R • vztah mezi gravitačním rudým posuvem a únikovou rychlostí: Z = ^Clf = Y^ ^ vu = V2zr = V2~zc b) ve formě „nadbytečné rychlosti" Vn: Vn = z ■ c —> vu = \/2zc2 = y/2Vnc c) Vn = 54 km/s vu = V2Vnc = 5700 km/s 5.7 Jakou maximální rychlost může mít elektron po /3-rozpadu neutronu. Jaká může být maximální energie uvolněného neutrina? 32 • j3 rozpad neutronu: n°^p+ • maximální energie neutrina - za předpokladu, že veškerá uvolněná energie při reakci přešla do energie neutrina: E = Amc2 = [mno - (mp+ +me-)] • c2 = 1,251 • 10~13 J, kde top+ = 1, 6726 • 1CT27 kg, mno = 1, 6749 • 1CT27 kg, me- = 9,1094 • 10~31 kg • maximální rychlost elektronu - za předpokladu, že neutrino nevzniklo a veškerá uvolněná energie přešla do rychlosti elektronu: Ek = mec2 (Ek + mec2)\l 1 - = mec2 1 - — = m„c2 c2 E k + mec2 c2 \ Jífe + mec2 / r2 ^ 2 2 2 2 f = C — C íľfe + mec2 1/2 íľfe + mec2 0,919c 5.9 Neutronová hvězda je výsledkem kolapsu elektronově degenerovaného jádra hmotné hvězdy. Předpokládejte, že se při zhroucení poloměr objektu zmenší 400krát. Víte-li že neutronová hvězda se při vzniku otočí lOOkrát za sekundu a má magnetické pole o indukci 108 teslů, odhadněte minimální hodnoty těchto veličin v objektu, z něhož neutronová hvězda vznikla. • magnetický tok

• T2 = 1/100 s 2 2 -Mižjwi = -MR\lo2 5 5 2 9 /2tt\ 2 9 /2tt\ Ti = 4002T2 = 4002— = 1600 s = 26, 7 min 100 33