Uvod do fyziky hvězd - řešené příklady Andrea Bobalíková 1 Kapitola 1 1.1 Vypočtěte délku světelného roku a parseku podle jejich definice. S jakou přesností jsou tyto jednotky stanoveny? 1AU = 1,495 978 706 6 • 1011 m, c = 2,997 924 58 • 108 m s"1. Najděte její převodní faktor. • světelný rok: dráha, kterou urazí světlo ve vakuu za jeden juliánsky rok 1 sv. rok = 365, 25 • 24 • 60 • 60s • c = 9, 460 730 473 • 1015 m parsek: vzdálenost, ze které je vidět střední vzdálenost Země-Slunce (jedna AU) pod úhlem jedné obloukové vteřiny lpc=AU-360-3600 = 3 085 677 6-lol6m 2tt převodní faktor: 15 AU / r ' = 3,261 564 / r ípcj 2tt • 365,25 • c VI ly/ ' V1 ly 1.2 Mikuláš Koperník soudil, že všechny hvězdy jsou od nás vzdáleny asi 40 milionů průměrů Země. Vypočtěte: a) vzdálenost hvězd v AU a pc. b) jakou by měly tyto hvězdy paralaxu. Byla by měřitelná bez dalekohledu? a) d = 40 • Í06DZ = 40 • 106 • 12 742 km = 5, 0968 • 1014 m = 3407 AU = 0, 0165 pc b) 7tí"1 = —- = —-— = 60,5" ~ ľ 1 1 r [pc] 0,0165 to by bylo na hranici měřitelnosti 1.3 Tycho Brahe pak měl zato, že jasné hvězdy mají úhlové průměry 2'. Vypočtěte pro koperni-kovské vzdálenosti poloměr jasné hvězdy v poloměrech Slunce. Existují tak veliké hvězdy? RQ = 6, 955 • 108 m, a = 1' rol R [m] tan a = ———-d |m| nebo a p,i = R [AU] _^ R = a ■ d = 60 ■ 0, 0165 = 0,991 AU = 1,4826 • 1011 m = 213 RQ d |pcj Ano, tak velké hvězdy jsou mezi obry a veleobry zcela běžné. 1.4 Vlastní pohyb hvězdy /i se zpravidla udává v úhlových vteřinách za rok. Znáte-li paralaxu hvězdy tt vypočítejte vzdálenost hvězdy ve světelných rocích r a tečnou složku rychlosti vt v km/s. tan ji kí /x[rad] = ~j ~~^ vt = ji ■ d * 130 tli T* \ / tli \ i T* v* = ( ^ ,«nn oaao 0^nni;,Li - = 4'740470 km/s ' 360 • 3600 • 365, 2442 • 86400 l"/rok pc J 1 \1" /rok J \pc 2 Object Radial velocity Sun V-'' % Proper motion Space velocity Transverse velocity Obrázek 1: vlastní pohyb 1.5 Barnardova hvězda je známa jako hvězda s nej větším známým vlastním pohybem, který činí 10,37"/rok. Objevil ji E. Barnard v roce 1916, když porovnával fotografické desky zachycující hvězdné pole v Hadonoši z let 1894 a 1916. Ze spektra hvězdy s vizuální hvězdnou velikostí V = 9,54 mag vyplývá mj., že jde o červeného trpaslíka typu M4 V, který se k nám blíží rychlostí v r = —106,8 km/s. Hvězda je v současnosti druhým nejbližším hvězdným objektem, hned po trojhvězdě zvané Toliman (a Centauri). V databázi SIMBAD najdeme její paralaxu: ir = 0,5493(16)". Vypočtěte: a) její vzdálenost ve světelných letech, b) vypočtěte hodnotu tečné složky její prostorové rychlosti vztažené ke Slunci, c) velikost vektoru prostorové rychlosti, d) absolutní vizuální hvězdnou velikost hvězdy, e) zkontrolujte, zda má pravdu jistý Burnham, když tvrdí, že se tato hvězda přiblíží ke Slunci na pouhé 4 sv. roky, a to už za 10000 let, a pak se bude od něj opět vzdalovat. V době nej většího přiblížení prý vzroste vlastní pohyb hvězdy na 25 "/rok a hvězdná velikost hvězdy dosáhne 8,6 mag. a) b) c) d) e) ano d=- = —-— = 1, 82 pc = 5, 94 ly tt 0,5493 ' P y vt = 4, 74047 km/s [ ) ( ^- ) = 4, 740470 • 10, 37 • 1, 82 = 89, 5 km/s /rok J \pc v\ = ^Jvf +v2R = ^89,52 + 106, 82 = 139, 3 km/s m — M = 5 log r — 5 = —5 log tt — 5 M = m — 5 log r + 5 = 13, 24 mag 1.6 Vypočítejte vlnovou délku fotonu, jehož hmotnost odpovídá klidové hmotnosti elektronu. Hmotnost vyjádřete v kg a eV. 3 hmotnost elektronu: me = 9,11 • 10"31 kg, 1 eV = 1, 602 • 1CT19 J, Plaňek: h = 6, 626 • 10"34 J.s Ee = me ■ c2 = 8,19 • 1CT14 J = 0, 511 MeV „ , hc E = hv= — A A = —= 2,43-10-12m E 1.7 O kolik kg své hmotnosti přichází denně Slunce vyzařováním fotonů? Lm = 3, 844 • 1026 W E = mc E Lr. ~2 86400 = 3, 7 • 1014kg 1.8 Pomocí Planckova zákona odvoďte Stefanův zákon. Při odvození použijte vztahu: x3 ir4 -dx = — o ex - 1 15 Planckův vyzařovací zákon: L = S Bv(v,ť) = 2ir j™BÁt) ^ = S2~fl hi c2 exp(hv/kT) - 1 ,,3 o exp(hu jkT) — 1 dv = hv h x = -, dx = -dv kT' kT 2irh f AT Y x \ h J J q ex — 1 Stefanova-Boltzmannova konstanta: _ 27t5fc4 ° ~ 15c2h3 dx = S- 2nh íkT\A 7t4 2T75k4 15 ~ S15ČWT4 = SaTA 5,67- 10"8 W m"2 K" (1) 1.11 Kolikrát vyšší zářivý výkon má hvězda o teplotě T± = 20000 K, než stejně rozměrná hvězda o efektivní povrchové teplotě T2 = 5000 K? Za předpokladu, že obě září jako absolutně černá tělesa, zjistěte, kde leží maximum vyzařované energie v jejich spektru? • rozdíl zářivých výkonů: L2 - SoT4 ~ T4 ~ • maximum vyzařované energie - Wienův posunovací zákon: Amaxí1 = 2, 8977685 • 10~3 K • m 2, 8977685 • 10-3 Amax.i =--^-= 145 nm (UV) Ji 2,8977685-IQ-3 Amax,2 = -~- = 580 nm (oranžova) 1.12 Sluneční záření o vlnových délkách mezi A a (A + 1 nm) nese maximální energii pro A = 480 nm. Pomocí Wienova posunovacího zákona odhadněte teplotu Slunce. Srovnejte s efektivní teplotou a rozdíl diskutujte. b 2, 8977685 ■ IQ'3 = = 480-10- = 6037 K 4 Tef = 5779 K - Slunce nezáří přesně jako absolutně černé těleso 1.13 Obří hvězda o výkonu L = 1000 LQ je obklopena neprůhledným mrakem okolohvězdné látky o poloměru cca 10 AU. Za předpokladu, že tento stav trvá již poměrně dlouho a oblak září jako absolutně černé těleso, vypočtěte efektivní teplotu zámotku. Diskutujte, zda byste tuto hvězdu mohli spatřit pouhýma očima, jak byste ji pozorovali nejlépe? a = 5, 67 • 10"8 W m"2 K"4, LQ = 3, 844 • 1026 W, 1AU = 1,495 978 706 6 • 1011 m / 1 ^ 1/4 L = ScjT* = AttR cjT T = t „. ) = 700 K —> mohli bychom ji spatřit, nejlépe pozorovatelná ale je v infračerveném oboru 1.17 Jistá kulová hvězdokupa o 250 000 členech se jeví jako objekt 4. velikosti. Jaká je průměrná hvězdná velikost člena hvězdokupy. Předpokládejte zde na okamžik, že hvězdná velikost všech hvězd hvězdokupy je stejná. Diskutujte, co se změní, není-li stejná. m = -2, 5 log £ -í- F = F0 • 10-°<4m, kde F0 = 2, 553 • 10~8 W uT2 mcelk = -2, 5 log %^ = -2, 5 log (N ■ ÍO"0'4™*) ■TO 4 = -2,5 log (250 000 • ÍO"0'4™* ] ),4-4 = 25 10-0,4.4 10-o,4-4 = 250 000 • 10-°'4m* 250 000 10 -0,4m, /10"0'4 m* = -2<510gu^^) = 17'5mag nebo: mcelk-m, = -2,51og(^) =-2,5log(^^^j =-2,51ogiV m* = mcelk + 2, 5 log n = 4 + 2, 5 log 250 000 = 17, 5 mag 1.18 Dvojhvězda Castor sestává ze dvou složek s hvězdnými velikostmi 2,0 a 2,9 mag. Jaká je pak hvězdná velikost Castoru při pozorování pouhým okem, jímž jednotlivé složky dvojhvězdy nerozlišíme. mcastor = -2, 5 log (10"0'4™1 + l0-°'4m^) = 1, 6 mag 1.19 Porovnejte jasnost Siria o vizuální hvězdné velikosti mv = —1,47 mag a nejslabších, okem viditelných hvězd. Kolik takových hvězd šesté velikosti (m* = 6 mag) by se muselo spojit, aby se co do jasnosti Siriovi vyrovnalo? ms = -2, 5 log (N- ÍO"0'4™*) -^Q-0,4-ms _ jy _ -^g-0,4m» ir)-0,4-ms ir)-0,4-(-l,47) N _ ^_ _ ^_ _ 1n0,4-l,47+0,4-6 _ Q7Q 5 nebo: rasirius - m* = -2, 5 log ^Fs^rms^ = _2, 5 log ^NpF* ) =-2,5 log N N = 10-0,4(msiriu3-m») = 1.21 Rotační energie současného Slunce činí 2, 4 • 1035 J. a) Na kolik let by tato energie dokázala krýt jeho zářivý výkon? b) Za předpokladu zachování momentu hybnosti vypočítejte jak by se změnila perioda rotace a rotační energie, kdyby se Slunce naráz zhroutilo na bílého trpaslíka s rozměry stokrát menšími než má dnes? c) Odkud se vzala energie rotace? a) doba, na kterou dokáže rotační energie pokrýt zářivý výkon = rotační energie, která je k dispozici energie, která se vyzáří za sekundu: t=^L= 2'4-1Q352 = 19,8 let lq 3, 844 • 1026 b) zákon zachování momentu hybnosti: moment setrvačnosti koule je: IiLúi = IfLúf 2 9 I = -MR2 5 potom: p2 27r 2 2tt 2 27r = R^ŤS 9 1 1 1002 — Ti T T f 10000 rotační energie Slunce před zhroucením: £roM = \H = \\^eRl, (|V = 2,4 - 1035 'O' perioda rotace po zhroucení; Tt =27rRQ,iJ-^- = 2^-6,96-108W- 2 4 1Q35 = 5 , 63 ■ 10b s = 65,11 dne Tť 5,63-IQ6 . T/ = 1ÔÔÔ5 = "1ÔÔÔÔ- = 563 s = 9'38 mm rotační energie po zhroucení: 1 o 1 2 9 /2tt\2 1 i?ní /2tt\2 ,q Ernt t = -luň = --MfíRl f — = -Mm-^£ — = 2,4 • 1039 J = 10000K 6 c) z potenciální energie uvolněné kolapsem 1.23 Odvoďte vztah mezi vzdáleností r v pc, pozorovanou a absolutní hvězdnou velikostí m a M. Fi mi ~ m2 = —2, 5 log — = —2, 5 log F-2 Li 4Ťrr? m - M -2, 5 log iirr'2 L iirltí2 -2, 5 log 102 -5 log 10 5 log 10 5 log r — 5 log 10 = 5 log r — 5 1.24. Najděte a vyčíslete vzájemné vztahy: a) mezi bolometrickou hvězdnou velikostí mboi a hustotou toku F; b) absolutní bolometrickou hvězdnou velikostí Mboi, zářivým výkonem L v nominálních Sluncích, lq = 3, 846 • 1026 W; c) mezi absolutní bolometrickou hvězdnou velikostí, poloměrem hvězdy R v poloměrech Slunce (i?Q = 6, 95508(26) • 108 m) a její efektivní teplotou Tef v kelvi-nech; d) najděte vztah mezi pozorovanou bolometrickou hvězdnou velikostí, úhlovým poloměrem a vyjádřeným v úhlových vteřinách a efektivní teplotou Tef v kelvinech. Z definice fotometrických veličin přitom plyne, že hvězda 0. bolometrické velikosti způsobuje na hranici zemské atmosféry hustotu zářivého toku F0 = 2,553 • 10~8 W m-2, hvězda s absolutní hvězdnou velikostí Mbol = 0 mag vysílá do prostoru zářivý výkon Lq = 3, 055 • 1028 W. Stefanova Boltzmannova konstanta a = 5, 670400 • 10~8 W m~2 Kr4. a) b) mbol = -2,51og( ) = 2,51ogF0-2,51ogF = -18,9824- 2,51ogF Mbol = -2, 5log [ A) = -2, 5 log = -2, 5 log 0£) -2, 5 log (J- bol 4, 745-2, 5 log L c) bol -2, 5 log [ — ,'4™i?2T4 -2, 5 log' -2, 5 log (Att lq = 24, 73 LQ M'2 — Mq L2 = 10--~-> lq = 14,13 LQ b) celkový zářivý výkon soustavy ^ceik = Li + L2 = 38, 86 lq c) celková absolutní bolometrická hvězdná velikost Mcelk = -2, 5 log ( ^ ) + 4, 75 = 0, 776 mag 9 1.30. Představte si, že by nám někdo zaměnil Slunce za a) Vegu (mv = 0, 03 mag, ir = 0,1289"), b) Arkturus (mv = —0,04 mag,7r = 0,0889"), c) typickou hvězdu slunečního okolí (HD 155 876, mv = 9,35 mag, tt = 0,158"). Vypočtěte jejich vizuální hvězdnou velikost a úhlový průměr. Případné další potřebné údaje si můžete vyhledat v textu učebnice. a) Vega: Nejdřív zjistíme její absolutní hvězdnou velikost: m — M = 51og(r) — 5 = —51og(7r) — 5 M = 5 log(7r) + 5 + m = 0, 58 mag Pokud by se nacházela ve vzdálenosti Slunce (r = 1 AU = 1,496 • 1011 m = 2o6265 Pc)' ze Země by měla pozorovanou hvězdnou velikost mz'. raz — M = 51og(r) — 5 mz = 5 l0g ( 206^265 ) - 5 + °> 58 = -30' 99 maS Její úhlový průměr by potom byl (poloměr Vegy: Ry = 1, 74 • 109 m): a = 2 arctan ' V b) Arcturus (RA = 25, 7 i?Q, i?Q = 6, 955 • 108 m): M = 5 log(7r) + 5 + m = -0, 295 mag mz =51°g(^y - 5 - 0,295 = -31,87 mag a = 2 arctan I — ) = 13,62° c) HD 155 876: (R = 2/5 i?Q) M = 10, 34 mag, mz = -21, 23 mag, a = 12, 79' 1.31. Vypočtěte jakou hvězdnou velikost mv by sama o sobě měla sluneční skvrna o teplotě 4200 K pokrývající asi 0,1 % plochy slunečního disku. Uhlový průměr Arkturu s toutéž teplotou je 0,022", vizuální hvězdná velikost je 0,0 mag. Srovnejte s hvězdnou velikostí Měsíce v úplňku. Hvězdnou velikost skvrny určíme pomocí vztahu: ^skvrna = -2, 51og ^ Fsí^Tna ^ ; kde F0 = 2, 553 • 10"8 W/m2. 7-, _ -^skvrna -Pskvrna = ^2 , kde r = 1 AU. Zářivý výkon skvrny je skvrna = Sskviasíc7t4 = 0, OOISqvT4 = 0, 001(47ri^))<7T4 = 1, 072 • ÍO23^, kde a = 5, 67 • 10"8 Wm^K"4. Potom skvrna =^g^= 0,381 W/m2, Hvězdná velikost skvrny je tedy: í^skvrna = ~2, 51og ^ FsV™'A ^ = _17; 9 mag 10 Pro porovnání - hvězdná velikost Měsíce v úplňku je -12,7 mag. 1.32 Hvězda Pollux je zřejmě Slunci nejbližším obrem. Vizuální hvězdná velikost Polluxu činí 1,15 mag, paralaxa podle družice Hipparcos 0,0967", efektivní teplota 4100 K a bolometrická korekce se odhaduje na +0,37 mag. Vypočtěte: a) vzdálenost Polluxu, b) jeho absolutní vizuální hvězdnou velikost, c) bolometrickou hvězdnou velikost, d) absolutní bolometrickou hvězdnou velikost hvězdy, e) zářivý výkon v jednotkách slunečních, f) poloměr hvězdy v poloměrech Slunce. a) vzdálenost: r = - = 10, 34 pc 7t b) absolutní vizuální hvězdná velikost mv — Mv = 5 log r — 5 = —5 log tt — 5 Mv = 5 log ir + 5 + mv = 1, 08 mag c) bolometrická hvězdná velikost - k vizuální hvězdné velikosti připočteme bolometrickou korekci (BC): "iboi = mv + BC = 1,15 + 0, 37 = 1, 52 mag d) absolutní bolometrická hvězdná velikost: TOboi - Mboi = -51og7r - 5 ->• Mboi = 1, 45 mag e) zářivý výkon v jednotkách slunečních (LQ = 3, 846 • 1026 W): M-boi — Mq = —2, 5 log (-f— Mh ,-4,75 L = 10--—LQ = 21 L(. f) poloměr hvězdy v poloměrech Slunce L = 47ri?2crTe4f R = \j Aiľ(jTi = 6, 3 • 109 m = 9,1 RQ 1.33. Efektivní teplota Siria A je 9400 K, poloměr 1,8 RQ (RQ = 6,955 • 108 m) a hmotnost 2,2 Mq (Mq = 2 • 1030 kg). Určete: a) zářivý výkon hvězdy v jednotkách slunečních, b) její absolutní bolometrickou hvězdnou velikost, c) střední hustotu hvězdy. a) t _ a _ D2 _<-t L = AttR2(7TÍ = 8, 77 • 1027 W = 22, 7 Lc. b) Mbol = -2, 5 log (J^j +Me = 1, 36 mag c) MM 3M , . 3 P=y = p^ = i^ = 533 kg/m =0'38/?Q 1.34. Jistý červený trpaslík spektrální třídy M5 V má hmotnost 0,2 Mq a poloměr 0,31 Rq, absolutní bolometrická velikost hvězd činí 9,8 mag. Vypočtěte: a) zářivý výkon v jednotkách slunečních, b) efektivní povrchovou teplotu, c) střední hustotu hvězdy. 11 M-bol — Mq = —2, 5 log ( t— Mbol-M0 = 10--— L = 0,0095 L = ŕ-UV4 = f = S = 9480 kg/ni3 = 6,7pQ 12 Kapitola 2 2.2 Představte si, že máte hvězdu složenou z ideálního plynu, který je ovšem zcela dokonale tepelně vodivý (izotermický). a) Jak by v nitru takové hvězdy závisel tlak na hustotě? b) Mohla by být taková hvězda stabilní? a) stavová rovnice ideálního plynu: pkT p = nkT fismH kde k = 1,38-10 23 J/K je Boltzmannova konstanta, mg = 1,66 • 10 27 kg je hmotnost vodíku a ps je střední molekulová hmotnost. Odtud plyne V ~ P b) Obecně platí p = p1. Systém je stabilní, pokud je 7 > |. V našem případě 7 = 1 —> systém je nestabilní. 2.6 Dokažte, že při maximálním zploštění hvězdy způsobeném rotací je poměr polárního a rovníkového poloměru 2:3. Předpokládejte, že hmota hvězdy je v převážné míře koncentrovaná do jejího centra. Pro poměr rovníkovéhore a polárního poloměru rp platí vztah: rJL = i 1 recj2 = 1 , 1 (a°d rp 2GM 2 \ g člen v závorce je podíl absolutních velikostí odstředivého zrychlení aoc\ a gravitačního zrychlení g na rovníku. Za předpokladu, že aoc\ = g (nejvyšší možná rotace): li - 1 1-3 rp ~ + 2 ~ 2 2.8 Jaká je střední kinetická energie atomů vodíku, atomů helia a volných elektronů ve sluneční atmosféře o teplotě 5780 K. Jaké jsou jejich střední kvadratické rychlosti? Stačí k úniku ze sluneční atmosféry? kinetická energie: Ek = ^kT = 0, 75 eV střední kvadratické rychlosti: 3 1 2 l3kT — Ki = -míi —> v k = 2 2 atom vodíku (toh = 1, 66 • 10 27 kg): 3kT , Vk = \ - = 12 km/s m h atom helia (mne = 4 • 1, 66 • 10 kg) Vk = \ - = 6 km/s elektron (me = 9,11 • 10 3 kg) 3kT =1,1 / Vk = \ - = 513 km/s 13 2.9 Odhadněte počet částic v 1 ni3 látky ve sluneční fotosféře, víte-li, že její teplota je 5780 K a tlak 0,1 atmosféry. Porovnejte s koncentrací molekul v zemské atmosféře. p = nkT ->• n = = 1, 3 • 1023 castic/m3 kT Koncentrace ve fotosféře je 200krát menší než zemské atmosféře. 2.10 Za zjednodušujícího předpokladu, že Slunce je složeno ze 30 % z He a 70 % z H a jde o plně ionizovaný plyn, vypočtěte celkový počet a) volných elektronů, b) protonů, c) a částic ve hvězdě. • počet protonů (= počet jader vodíku): toh 1, 66 • 10 11 • počet alfa částic (= počet jader helia): ° ° ^ _ 0,3-2-1030 _c nn in55 NHe =--- = —■-— = 8, 99 • 10a He TOHe 4-l,66-10"27 • počet volných elektronů: Ne = NH + 2NHe = í,02-í057 2.11 Diskutujte, jak by se měnila střední atomová hmotnost slunečního materiálu /i, pokud by byl tento složen pouze z vodíku a helia: X = 0,70, Y = 0,30 při cestě od povrchu hvězdy k centru. Rozlište postupně tyto případy: a) oba plyny jsou neutrální, b) vodík je zcela ionizován, helium je však takřka neutrální, c) vodík i helium jsou právě jedenkrát ionizovány a d) oba plyny jsou úplně ionizovány. Pro střední molekulovou hmotnost /is platí vztah 1 _ \ ^ Xj kde Xi je hmotnostní zastoupení částic z-tého druhu a Ai = je jejich relativní atomová hmotnost. V případě ionizovaného plynu platí vztah: kde Zi označuje stupeň ionizace z-tého druhu atomu. a) oba plyny jsou neutrální: J_ _ 0/7 0^3 Hs ~ 1 4 b) vodík je zcela ionizován, helium je neutrální: Hs = 1,29 - = (1 + 1)^ + ^ M.=0,678 Hs 14 c) vodík i helium jsou právě jedenkrát ionizovány: 1 0 7 0 3 _ = (l + l)M + (i + i)M Ms =0,645 •Us 1 4 14 d) oba plyny jsou úplně ionizovány: 1 D 7 0 3 -L = (l + l)M + (i + 2)^ Ms =0,615 Hs 1 4 2.13 Předpokládejte, že v určitém objemu vodíku o hustotě p a teplotě T proběhly jaderné reakce, při nichž se všechna jádra vodíku spojila v jádra helia. Jak se musí změnit součin teploty T' a hustoty p', aby v temže objemu ionizovaného helia panoval týž tlak jako před započetím jaderných reakcí. Vysvětlete tím, proč během stadia hvězdy hlavní posloupnosti teplota a hustota v centru monotónně rostou. • stav na začátku: pkT Pí =-, psmu kde - = (1 + 1)7 ^^ = \ p.s 1 2 (na začátku máme jen ionizovaný vodík) • stav na konci: p'kT' Pí = —-> p/smH kde 114 - = (1 + 2)7 ->MÍ = " fis 4 3 (na konci máme dvakrát ionizované helium) • Musí platit p f = pi: p'kT pkT p'smH psmH PT = ľ's rp = —pT Ps pT 8 T = 3PT 2.14 Porovnejte tlak působící v nitru bílého trpaslíka o hmotnosti 1 MQ, poloměru 6000 km s tlakem ve slunečním nitru. Diskutujte s ohledem na chování látky, z níž jsou obě hvězdy tvořeny. Odhad centrálního tlaku: M2 Slunce: bílý trpaslík: M2 (2 • 1030)2 ^0) = 3GŘÍ -3G(6T^W^3'9'10ibpa M2 PC(BT) = 3G " ^ = 6,2- 1023 Pa (6000 • 1000)4 tlak v centru BT je 2 • 108krát větší, látka je ve stavu elektronově degenerovaného plynu 2.16 Na půl cesty mezi středem a povrchem Slunce vládne teplota 3,4 • 106 K, tlak 106 Pa, hustota látky 1000 kg/m3. Vypočtěte a) kolik látkových částic (volných elektronů, protonů, alfa částic, jader těžších prvků) obsahuje 1 m3 látky látkových částic všeho druhu (předpokládejte standardní chemické složení a úplnou ionizaci všech atomů), b) Najděte střední vlnovou délku fotonů a stanovte o jaký typ záření tu jde, c) porovnejte se zářením vycházejícím z fotosféry. d) Jaká je koncentrace fotonů, porovnejte s počtem „látkových" částic. Srovnáme-li charakteristiky tohoto plynu s charakteristikami rovnovážného fotonového plynu téže teploty, musíme dojít k závěru, že 15 fotony jsou ve slunečním nitru dosti „vzácnými zvířaty", e) Vypočtěte hustotu energie fotonového plynu a porovnejte s hustotou kinetické energie plynu, f) Porovnejte tlak záření s tlakem ideálního plynu. Z toho okamžitě plyne, že příspěvek fotonového plynu na celkovém tlaku je zanedbatelný - činí 1/1340 tlaku ideálního plynu, g) Vysvětlete, jak je potom možné, že se zde energie přenáší právě zářením? a) počet látkových částic: Pro střední molekulovou hmotnost zcela ionizované látky můžeme napsat: kde X je hmotnostní zastoupení vodíku, Y je hmotnostní zastoupení helia a Z je zastoupení těžších prvků. Pro Slunce: X = 0, 707, Y = 0, 274, Z =Í-X-Y = 0, 019. Potom: — = 2 • 0,707+ -0,274+ -0,019 ns = 0,62 Hs 4 2 - - 9 - 9, 88 • 1029 castic/m3 HsmH b) střední vlnová délka fotonů: střední energie připadající na jeden foton: ss = 2,7kT= 1,27- 10"16 J střední vlnová délka fotonů je potom: Xs = — = 1,6 nm —> měkké rentgenové záření c) fotosféra (T = 5780 K): es = 2JkT = 2,15 • 10"19 J \s = 924 nm —>• zhruba 600x delší vlnová délka d) koncentrace fotonů: nf = 2, 029 • 107 • T3 = 7, 95 • 1026 /m3 —> zhruba na 1200 částic připadá jeden foton e) hustota energie fotonového plynu: wf = ^-T4 = 1 • 1011 J/m3 hustota kinetické energie plynu: w = -nkT = 6,9 • 1013 J/m3 2 ' 1 —> hustota energie fotonového plynu je asi 690krát menší f) tlak záření: pf = -wf = fracicrScT4 = 3, 37 • 1010 Pa 3 tlak ideálního plynu: p = nkT = 4,63 • 1013 Pa 16 g) fotony se pohybují rychlosti světla a mají o několik řádů delší střední volnou dráhu než ostatní částice 2.17 Předpokládejte, že se ve hvězdě o poloměru R a hmotnosti M hustota látky 1) vůbec nemění, 2) mění se nepřímo úměrně kvadrátu vzdálenosti od centra r. Vypočítejte pro oba případy: a) závislost této hustoty p(r) vyjádřené pomocí střední hustoty hvězdy ps, b) závislost té části hmotnosti hvězdy, která je pod poloměrem r Mr, c) průběh závislosti gravitačního zrychlení g(r) vyjádřeného v povrchovém gravitačním zrychlení g(R) a d) velikost potenciální (konfigurační) energie této hvězdy a rozdíly diskutujte. 1. hustota látky se nemění a) p(r) = ps b) pdV= / / p(r')r'2 dr'd6 d

L L« > L 47rr2 4Trr2 LQ (1 AU)2 ^ ,.=1AU.^y/2=1AU.(M^ \Le) \Me, • Pro získaní periódy obehu takovéto planéty použijeme 3. Kepleruv zákon: P = -r3 GM P\ Í2LÍr3 ií „3 ^obyv _ GMr _ M& T PI ^(1 AU)3 M (1 AU)3 dosadíme vztah pro poloměr dráhy z přechozího bodu: ^obyv _ MQ í M \21/4 (1 AU)3 _ / M \17/4 _ {m__\1v* P2 M \MQ j (1AU)3 \Mqj obyv U Pro jednotlivé případy: a) Mi = 1,5 MQ: / M \ 7/4 n = 1 AU ■ - =1, 57/4 • 1 AU = 2 AU b) M2 = 0,8 MQ: c) M3 = 0,3MQ: M \ 17/8 Pi = 1 rok ■ í- = 1 rok • 1, 517/8 = 2, 4 roku r2 = 0,87/4 • 1 AU = 0, 68 AU P2 = 0, 817/8 • 1 rok = 0, 62 roku r3 = 0,37/4 • 1 AU = 0,12 AU P3 = 0, 317/8 • 1 rok = 0, 077 roku 19 2.26. Na jak dlouho by Slunci vydržela zásoba vodíkového paliva, kdyby bylo možné ve Slunci spálit veškerý vodík na helium beze zbytku a zářivý výkon Slunce by celou dobu odpovídal výkonu dnešního Slunce. (Předpokládejte, že Slunce obsahuje 70% H a 30% He). • hmotnost vodíku: to h = 1, 00794 • mu • hmotnost helia: mne = 4, 002602 • mu, kde mu = 1, 66054 • 10~27 kg je atomová hmotnostní konstanta • při jedné reakci dojde k přeměně čtyř atomů vodíku na atom helia, uvolní se při tom energie: Elr = Atoc2 = (4 • 1, 00794 - 4,002602) • 1, 66054 • 10"27 • c2 = 4, 358 • 10"12 J • celkové množství vodíku ve Slunci: Mh = 0, 7 MQ = 1, 39 • 1030 kg • počet reakcí, které mohou proběhnout: N= MH =2;0g 1q56 to4h • celkové množství energie, které se při nich uvolní: Ecelk = N ■ Elr = 9, 06 • 1044 J • toto množství energie by Slunci (LQ = 3, 846 • 1026 W) vydrželo: t = = 2, 36 • 1018 s = 76,9 • 109 let LQ 2.28. Určete o kolik kg se zmenšuje ročně hmotnost Slunce vyzařováním fotonů a jak dlouho by mohlo Slunce zářit svým současným výkonem, než by vyzářilo energii ekvivalentní své hmotnosti. • Slunce každou vteřinu vyzařuje energii E = 3, 846 • 1026 J • k získání takového množství energie musí každou vteřinu proběhnout N = -gP- = 8, 8 • 1037 reakcí • při jedné reakci ubyde Amlleakce = 4 • mu — niHe = 4, 8418 • 10~29 kg • za rok se hmotnost Slunce zmenší o Am = Amlreakce • N ■ 3600 • 24 • 365, 25 = 1, 34 • 1017 kg • než by Slunce vyzářilo energii ekvivalentní své hmotnosti, mohlo by zářit svým současným výkonem í=^® =1,48- 1013 let Am 20