Úkoly z Teoretické mechaniky Podzim ’24
Harmonický oscilátor Vyjděte z Principu nejmenší akce a nalezněte funkci popisující časovou závislost
polohy harmonického oscilátoru. Použití Euler-Lagrangeovy rovnice je zapovězeno. (Pondělní
skupina do 7., páteční do 11. října.)
Skluz po pohyblivé rampě Tělísko o hmotnosti m se pohybuje bez tření po nakloněné rovinně s neměnným
vrcholovým úhlem α o hmotnosti M, která se také může bez tření pohybovat po
vodorovné podložce. Nalezněte všechny pohybové rovnice a zachovávající se veličiny. (Pondělní
skupina do 14., páteční do 18. října.)
M
m
α
g
Dvojitý kladkostroj Na obrázku je zobrazen dvojitý kladkostroj sestávající se ze tří kladek u nichž
neuvažujeme příspěvek k energii spojený s otáčivým pohybem. Centrální kladka se může volně
pohybovat vertikálně, a má hmotu M. Hmoty m1 a m2 jsou na konci vlákna, a jsou vedené
přes pevně umístěné krajní kladky. Vlákno spojující tyto tři tělesa je nehmotné a neprokluzuje.
Gravitační zrychlení nechť je g. Tření je zanedbatelné.
Sestavte pohybovou rovnici tohoto systému a zjistěte za jakých podmínek bude soustava v klidu,
bude-li. (Pondělní skupina do 21., páteční do 25. října.)
m1
m2
M
g
Sférické kyvadlo Vypočtěte Euler-Lagrange rovnici(-e) pro sférické kyvadlo, tj. pro hmotný bod m na
niti konstantní délky l, který se může bez odporu kývat vertikálně, a zároveň opisovat horizontální
elipsu. Dále určete, které fyzikální veličiny se zachovávají, vypočtěte je, a přímým výpočtem
dokažte, že tomu tak skutečně je. Lze tento problém převést na 1-D integraci? Jak by vypadal
efektivní potenciál pro kyvadlo v posluchárně F2 a rozumné cvrnknutí? (Pondělní skupina do
18., páteční do 15. listopadu.)
m
l
φ
θ
1
Druhý zákon Mějměž izolovanou soustavu dvou hmotných bodů se vzájemnou interakcí úměrnou
pouze jejich vzdálenosti V (r). Z lagrangiánu odpovídajícímu pouze vzájemnému pohybu určete
jistou cyklickou souřadnici, a k ní odpovídající zákon zachování. Z tohoto zákona pak odvoďte
druhý Keplerův zákon (zákon ploch). (Pondělní skupina do 18., páteční do 22. listopadu.)
Hamiltonián tajemného systému Mějmež Lagrangián
L =
1
2
mq2
+
1
2
kq2
.
Spočtěte Hamiltonián, vypočtete Hamiltonovy rovnice. Tyto rovnice vyřešte a pro jistotu, užijte
oba možné způsoby. Nakreslete fázový portrét. O jaký se jedná systém? (Pondělní skupina do 25.,
páteční do 29. listopadu.)
Tenzor deformace a napětí Posunutí bodů rovinného tělesa při deformaci je dáno vektorem u =
(ux, uy, uz)T = −Ax + By, Bz, Cy
T
. Určete:
(a) tenzor deformace včetně členů vyšších řádů,
(b) načrtněte, nebo vykreslete na počítači, vektorové pole u(x, y, z) v jednotlivých rovinnách,
(c) popište deformaci slovně,
(d) rozdělte tenzor deformace na objemovou a smykovou část,
(e) vypočtěte relativní změnu objemu,
(f) dochází-li ke smyku, určete smykový úhel,
(g) sestavte tenzor napětí,
(h) vyčíslete veličiny z (e)—(g), pro A = 1/1000, B = 2/1000, C = 3/1000, a hodnoty elastických
koeficientů: K = 107 Pa, µ = 106 Pa.
(Pondělní skupina do 2., páteční do 6. prosince.)
Kosmická trubice Kosmická stanice je tvořena dlouhou trubkou o vnitřním poloměru R1 a vnějším
R2, jež byly změřeny před startem. Určete o kolik se změní vnější poloměr trubky po vynesení na
oběžnou dráhu Země. Předpokládejte, že stěny trubice jsou tvořeny homogenním materiálem
popsaným konstantami E a σ. (Pondělní skupina do 9., páteční do 13. prosince.)
Izotermický model atmosféry Vypočtete jak se mění tlak p, a hustota ϱ, s výškou pro jednoduchý
model atmosféry Země, jenž předpokládá vrstvu ideálního plynu podléhající stavové rovnici:
p
ϱ
= konst.
Zdůvodněte, proč jej nazýváme izotermickým modelem. (Pondělní skupina do 16., páteční do 20.
prosince.)
2