Obsah přednášky 1.Počátky kvantové mechaniky, vlny vs. částice 2. 2.Operátory a matematický aparát, reprezentace a vzájemné transformace 3. 3.Postuláty kvantové mechaniky 4. 4.Schrödingerova rovnice a její 1D řešení 5. 5.Moment hybnosti a atom vodíku 6. 6.Identické částice 7. 7.Elementarizace pro střední školy 8. Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 3 Shrňme důležité poznatky: -experimenty na konci 19. a začátku 20. století jasně ukázali, že klasická fyzika nedokáže přesvědčivě vysvětlit mikroskopickou povahu světa -stará kvantová teorie (1900-1925) ukázala směr, ovšem byla nekonzistentní a nevycházela z prvotních principů -dvouštěrbinový experiment odhalil stochastickou/pravděpodobnostní a tedy nedeterministickou povahu mikrosvěta a skrze interferenci elektronů navedl k popisu mikrosvěta pomocí vlnových funkcí -princip superpozice se tak stal klíčovým pro popis mikrosvěta -Heisenberg ukázal, že nemůžeme zároveň přesně určit polohu a hybnost/rychlost částice a tyto neurčitosti se řídí tzv. Heisenbergovým principem neurčitosti: - - -řešením popisu částic mikrosvěta byly částicové vlny popsané vlnovou funkcí ve tvaru vlnových klubek -vlnové funkce a jejich velikosti na druhou popisují kvantitativně pravděpodobnostní charakter mikrosvěta: -vlnové funkce pro popis pozice a hybnosti jsou vzájemně provázané skrze Fourierovu transformační relace: A pro vlnová klubka: -zajišťují přesnou kvantifikaci Heisenbergova principu neurčitosti -ztělesňují a propojují jak částicový tak i vlnový charakter mikroobjektů, tehdy tzv. de Broglieových částicových/hmotnostních vln -zajišťují propojení mezi intenzitami vln (třeba ve dvouštěrbinovém experimentu) a pravděpodobností detekce částice -a, velmi důležité, zároveň propojují klasickou fyziku z fyzikou kvantovou! A group of math equations Description automatically generated Opakování Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 4 Pro podrobnější popis kvantových jevů budeme potřebovat nový matematický aparát: Je třeba zdůraznit, že se zaměříme na spíše povrchní úvod do potřebné matematiky, prakticky použitelné pro základní porozumění fyzikálnímu popisu kvantových jevů. Určitě tedy nejde o čistou matematiku, jak by ji rádi slyšeli sami matematici. Schrödingerova rovnice je základní kámen kvantové mechaniky (ještě se na ni blíže podíváme později) a matematicky řečeno se jedná o rovnici lineární, přesněji lineární parciálně diferenciální rovnici, jde tedy o lineární polynom neznámé funkce a jejich derivací. Nevyskytují se v ní tedy násobky hledané funkce (v našem případě vlnové funkce) se sebou samou či se svými derivacemi: Formalismus kvantové mechaniky je dán tzv. lineárními operátory a vlnovými funkcemi, které náleží do matematického Hilbertova prostoru. Matematické vlastnosti a struktura Hilbertova prostoru jsou zásadní pro pochopení formalismu kvantové mechaniky. Osvojíme si pak také nové značení, tzv. Dirakovu symboliku vektorů. I když byla kvantová mechanika rozvíjena zároveň formou diskrétní (Heisenbergovým popisem maticemi) i formou spojitou (Schrödingerovou rovnicí a vlnovými funkcemi) – pro bázové systémy diskrétní a spojité, náš úvod se bude částečně týkat obou, ovšem nakonec zůstaneme u názornějšího popisu spojitého. A math equations with symbols Description automatically generated with medium confidence Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 5 Hilbertův prostor – lineární vektorový prostor (malá poznámka na začátek – všimněte si jak se nám tu často objevuje slovo lineární a vzpomeňte si na princip superpozice, vlastnost všech lineárních systémů) Lineární vektorový prostor popisujeme dvěma následujícími vlastnostmi: - je sestaven ze dvou sad: vektorů , … a skalárů - a dvou operací: vektorového součtu a skalárního součinu Sčítací operace má následující vlastnosti: -pokud jsou vektory a součástí daného prostoru, pak i jejich součet je prvkem toho stejného prostoru -komutativita -asociativita -existence nulového vektoru -existence symetrického/ inverzního vektoru - Operace násobení má následující vlastnosti: -pro dva vektory a a dva skaláry a a b, platí, že i jejich lineární kombinace je vektorem ze stejného prostoru jako samotné vektory -distributivita ve vztahu ke sčítání -asociativita ve vztahu k násobení skalárem -pro každý vektor existuje jednotkový a nulový skalár takový, že platí a A group of symbols on a white background Description automatically generated A group of black symbols Description automatically generated A black and white symbol Description automatically generated with medium confidence A black and white symbol Description automatically generated A black symbol on a white background Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 6 A black letter h on a white background Description automatically generated linearita vzhledem k druhému a antilinearita vzhl. k prvnímu členu výsledkem součinu vektoru se sebou samým je reálné číslo, nulový výsledek je pouze pro A mathematical equation with black letters Description automatically generated A black text with a plus and a plus Description automatically generated A mathematical equation with a number and symbols Description automatically generated with medium confidence má spočetně hustou podmnožinu nemá tzv. chybějící místa uvnitř A black letter h on a white background Description automatically generated A close-up of a number Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 6b Hilbertův prostor Pár příkladů pro pochopení: 1. Lineární závislost funkcí pro reálná x? Platí: platí pouze pro … lineárně nezávislé 2. Lineární závislost funkcí pro reálná x? Platí: platí pouze pro Pro sadu dostaneme rovnice: Které jsou řešitelné jen pro: … lineárně nezávislé 3. Lineární závislost funkcí pro reálná x? Jsou zjevně lineárně závislé, protože platí: A black letter h on a white background Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated A blue and black symbol Description automatically generated A black and white number Description automatically generated with medium confidence A black number and a black line Description automatically generated A black letter on a white background Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 7 Příklady lineárních vektorových prostorů 1. S konečnou, diskrétní, bází – typicky trojrozměrný Eukleidovský prostor: -Báze je dána a tedy jakýkoliv vektor v tomto prostoru může být zapsán jako a platí, že - -Je dobré si uvědomit, že skalární součin v Eukleidovském prostoru je reálné číslo. - -Normou v tomto prostoru je délka vektoru: - -A pro zopakování: kdykoliv platí tak platí také a že žádný z jednotkových vektorů nelze vyjádřit jako lineární kombinaci druhých dvou 2. Druhým příkladem je prostor komplexních funkcí který má nekonečnou dimenzi a má tak i nekonečný počet lineárně nezávislých bázových vektorů - a právě těmi se budeme zabývat, i když se znázorňují špatně. ;-) - A diagram of a graph Description automatically generated with medium confidence Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic A red stamp with text Description automatically generated A red stamp with text Description automatically generated 8 A group of symbols on a white background Description automatically generated A black symbols of a mathematical equation Description automatically generated with medium confidence Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic A red stamp with text Description automatically generated A red stamp with text Description automatically generated 8a Příklad ke kvadraticky integrabilním funkcím Zjistěme, zda následující funkce je kvadraticky integrabilní: Čili je třeba spočítat následující skalární součin: A tedy: Což je rovno: A group of symbols on a white background Description automatically generated A close-up of a signature Description automatically generated A close up of a math problem Description automatically generated A math equations on a white paper Description automatically generated A close up of a math problem Description automatically generated A close-up of a handwritten formula Description automatically generated A graph of a graph on a white paper Description automatically generated A close up of a note Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic A red stamp with text Description automatically generated 9 Diracovo značení Fyzikální stav systému v kvantové mechanice je reprezentován prvky Hilbertova prostoru, tyto prvky se nazývají stavové vektory. Stavové vektory jsou reprezentovány v různých bázích rozvojem do funkcí. Podobně jako v Eukleidovském 3D prostoru, vektor můžeme reprezentovat v různých bázích, aniž bychom narušili jeho smysl, čili: smysl tohoto vektoru je nezávislý od zvolené soustavy souřadnic k reprezentaci jeho komponent/složek. Podobně, stav mikrosystému má smysl nezávislý na zvolené bázi do které je rozložen. Aby se zápis stavových vektorů osvobodil od zavádějící představy o důležitosti souřadnicového systému, tak Dirac zavedl následující zápis: Stavový vektor je značen vektorem - ket vektor, který patří do . A v duálním prostoru pak . Skalární součin je pak definován jako A platí pro něj i stejná pravidla při násobení skalárem. Ve vlnové mechanice se zabýváme vlnovými funkcemi ovšem v obecnějším popisu kvantového světa se používá ket vektorů . Pokud známe ket, je známa vlnová funkce, a zápis je nezávislý od reprezentace – hybnostní, souřadnicové… Skalární součin pro souřadnicovou reprezentaci pak je: Pro bra-kets platí stejná pravidla, jako dříve pro funkce ve skalárním součinu (a, b jsou komplexní čísla, komplexní funkce): A group of symbols on a white background Description automatically generated A math equations with numbers Description automatically generated with medium confidence ortogonální stavy ortonormální stavy a jsou zakázány, patří do stejného prostoru Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 10 Fyzikální význam skalárního součinu Dvě indicie jsou k dispozici: Analogicky s Eukleidovským skalárním součinem, reprezentuje projekci na . je také projekce na . V případě normalizovaných stavů a dle Bornovy pravděpodobnostní interpretace pak reprezentuje amplitudu pravděpodobnosti, že systému ve stavu bude po měření nalezen ve stavu . A black text on a white background Description automatically generated A triangle with a point and a line Description automatically generated with medium confidence A black text with arrows Description automatically generated with medium confidence Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 11 Operátory Operátor je matematický objekt, který když aplikujeme, nebo jím působíme, na ket vektor tak jej transformujeme na jiný ket v tom stejném prostoru a když působí na vektor bra tak jej transformuje na jiný bra Podobná definice platí pro vlnové funkce: Příklady operátorů: -Operátor gradientu: -Operátor hybnosti: -Laplacův operátor: Součin/násobení operátorů: -Obecně není komutativní: -Je asociativní: -Na vektory působí postupně, jeden po druhém: , podobně pokud by šlo o působení operátoru , pak prvně bude působit , pak atd. -Pokud je operátor mezi bra a ket, pak: komplexní číslo, výsledek může být i čistě reálné či čistě komplexní číslo -Při řešení je jedno, zda prvně aplikujeme na bra či ket: - Lineární operátory: Operátor je lineární, pokud se řídí distributivitou a komutuje (je komutativní) s konstantou, čili platí: A také: Střední hodnota (anglicky mean value, ale i expectation value) operátoru ve vztahu ke stavu je definována jako: Hodnota: , čili násobení ket krát bra, je lineární operátor v Diracově zápisu, můžeme psát protože je komplexní číslo. Násobení typu a jsou zakázané. Nemají ani fyzikální ani matematický smysl. A black symbols on a white background Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic A red stamp with text Description automatically generated 12 Hermiteovská sdruženost Hermiteovsky sdružené komplexní číslo čísla je toto číslo komplexně sdružené: Hermiteovsky sdružený operátor je pak definován: Vlastnosti hermiteovské sdruženosti: Hermiteovské operátory: Operátor označujeme jako hermiteovský, pokud je sám roven svému hermiteovsky sdruženému: Střední hodnota hermiteovského operátoru je reálné číslo! Pro anti-hermiteovský operátor pak: Střední hodnota anti-hermiteovského operátoru je čistě imaginární číslo! A math equations and formulas Description automatically generated with medium confidence nebo A red stamp with text Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 13a Příklady operátorového počtu: 1. Diskutujte hermicitu operátoru: , označme . Pak zjevně: Je tedy hermiteovský. 2. Diskutujte hermicitu operátoru: . Je anti-hermiteovský, protože: 3. Najděte operátor hermiteovsky sdružený k operátoru Platí: pak můžeme psát: A group of symbols with a plus and a plus Description automatically generated with medium confidence A black and white image of a letter Description automatically generated with medium confidence A black and white image of symbols Description automatically generated A black and white cross and a black line Description automatically generated with medium confidence A group of black letters Description automatically generated A black and white image of a symbol Description automatically generated A math equation with a smiley face Description automatically generated with medium confidence Pozor, pořadí v čitateli dle A math equations and formulas Description automatically generated with medium confidence Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 13b Příklady operátorového počtu: Najděte výsledek působení operátoru = na funkci cos x … Důležité: -Operátory působí po jednom zleva! -Působení operátoru znamená přenásobení komponentou operátoru, případně aplikace operace, kterou operátor obsahuje (derivace na příklad) -A pozor, na pořadí vždy záleží, vždy se začne tím prvním elementem operátoru, který je od funkce, na kterou působí, nejblíže vlevo! A close-up of a math problem Description automatically generated A black and white math equation Description automatically generated Operátor na druhou se rozepíše jako součin Funkci, na kterou operátor působí napíšeme napravo Výsledek působení Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 14 Příklady operátorového počtu: Najděte operátor hermiteovsky sdružený s operátorem „násobení komplexní konstantou“: Důležité: -Opět dodržovat pořadí psaných proměnných, funkcí, operátorů -Dát pozor na značení hermiteovské sdruženosti -Dát pozor na značení komplexní sdruženosti A close-up of a paper with a signature Description automatically generated Nejdříve si uvědomíme, jak je hermiteovská sdruženost definována: Poté zapíšeme pro náš případ: A přepíšeme do integrálního tvaru, přitom si uvědomím definici skalárního součinu: A tedy: A blue pen writing on a white surface Description automatically generated A group of symbols on a white background Description automatically generated A close-up of math equations Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic A red stamp with text Description automatically generated 15 Komutátorová algebra Komutátor dvou operátorů a je operátor označený jako a definovaný vztahem: A anti-komutátor je dán: Operátory se označují jako komutující, pokud platí, že jejich komutátor je roven nule, tedy: Jakýkoliv operátor komutuje sám se sebou: Pokud jsou dva operátory hermiteovské a jejich součin také pak tyto komutují: , víme, že A protože platí , pak také platí Vlastnosti komutátorů: -Antisymetrie - -Linearita - -Hermiteovská sdruženost - -Distributivita - -Jacobiho identita - -Operátory komutují se skalárem - A math equations and formulas Description automatically generated with medium confidence A group of black letters Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 16 Relace neurčitosti mezi dvěma operátory Aplikací komutátorové algebry je například odvození Heisenbergovy relace neurčitosti, z obecných principů a pro jakékoliv operátory – ty v kvantové mechanice reprezentují proměnné a veličiny, viz později. Mějme operátory a , s definovanými středními hodnotami: a kde je normalizovaný stavový vektor. Zaveďme následující operátory: a víme, že Pak platí: kde a Nejistoty, nebo-li standardní odchylky, jsou dány: Působme operátory a na libovolný stavový vektor , tedy: A alespoň na chvíli si vzpomeňme na Schwarzovu nerovnost (než na ni zase navždy zapomeneme)… Protože jsou oba operátory a hermiteovské, tak a musí být také hermiteovské: Můžeme tedy psát: Protože platí: , můžeme psát: a tedy skrze Schwarzovu nerovnost: Pravou stranu předchozí nerovnosti můžeme napsat jako: Protože platí: A black symbols on a white background Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic A red stamp with text Description automatically generated 17 Relace neurčitosti mezi dvěma operátory… pokračování Protože platí: , můžeme psát: a tedy skrze Schwarzovu nerovnost: Pravou stranu předchozí nerovnosti můžeme napsat jako: Protože platí: A dál pro pravou stranu: Protože poslední člen je pozitivní reálné číslo, můžeme psát: Srovnáme-li s předchozím, pak: a dále můžeme psát: Jde o obecně definovaný princip neurčitosti, pokud dosadíme operátory souřadnice a hybnosti, tak dostaneme Heisenbergovu relaci neurčitosti tak, jak jsme si ji odvodili pro vlnové klubko. Platí totiž: a tedy A black symbols on a white background Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated A number and a mathematical equation Description automatically generated with medium confidence A number symbols and symbols Description automatically generated with medium confidence A number and equal to the same number Description automatically generated with medium confidence A black and white text Description automatically generated with medium confidence Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic A red stamp with text Description automatically generated 18 Vlastní hodnoty a vlastní vektory/funkce operátoru Stavový vektor je nazván vlastním vektorem (vlastním ketem či vlastním stavem, také daný vlastní vlnovou funkcí, vlastní funkcí) operátoru , pokud působením operátoru na vektor dostaneme Kde a je obecně komplexní číslo, které se nazývá vlastní hodnota operátoru . Vlastní hodnoty hermiteovského operátoru jsou reálná čísla a vlastní vektory náležící různým vlastním hodnotám jsou ortogonální! Tedy pro platí reálné číslo a Pak platí: Pokud výše uvedené rovnice od sebe odečteme, a uvážíme, že , tak dostáváme: A tedy jsou dvě možnosti, kdy tato rovnice platí: -Pro , protože obecně při , musíme mít a tedy vlastní hodnoty musí být reálné -Pro , protože obecně , pak musí platit , tedy, že vlastní vektory jsou ortogonální - Vlastní stavy hermiteovského operátoru definují kompletní sadu vzájemně ortogonálních vektorů, které tvoří bázi. Pokud má několik vlastních vektorů stejnou vlastní hodnotu, pak se jí říká degenerovaná. Stupeň degenerace je udáván počtem lineárně nezávislých vlastních vektorů, které mají tu stejnou vlastní hodnotu. Pro dva komutující hermiteovské operátory, které nemají degenerované vlastní hodnoty, pak vlastní vektory jednoho operátoru jsou také vl. vektory druhého operátoru. Lze to ukázat následovně: mějme nedegenerovaný a protože herm. operátory komutují, můžeme psát: a také ovšem můžeme psát i: A black text with a white background Description automatically generated with medium confidence A black letter on a white background Description automatically generated A black letter with a circle Description automatically generated A close-up of a number Description automatically generated A black symbol on a white background Description automatically generated A black symbols on a white background Description automatically generated A close-up of symbols Description automatically generated A black letter with a circle Description automatically generated A black and white symbol Description automatically generated with medium confidence A black and white symbol Description automatically generated A black symbol with a white background Description automatically generated A black and white math symbol Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 18a Vlastní hodnoty a vlastní vektory/funkce operátoru – standardní podmínky na vlnovou funkci Při konkrétním matematickém výpočtu je třeba vzít v úvahu tzv. standardní podmínky, které jsou kladené na vlnovou funkci a její derivaci aby měla vlnová funkce fyzikální význam, jsou to: -Konečnost/omezenost funkcí – tj. nemůže jít např. exponenciálně do nekonečna – nezapomeňme, počítáme z ní hustotu pravděpodobnosti! - -Funkce musí být spojité – podmínka pro možnost je derivovat a tedy počítat Schrödingerovu rovnici! - -Jednoznačnost – jedné pozici nemohou náležet různé pravděpodobnosti stavu. - -Pro vázané stavy musí být kvadraticky integrovatelné – jak již diskutováno dříve. Volná částice nemůže mít ostře definovanou hybnost či energii. Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 19 Příklad pro výpočet vlastních funkcí a vlastních hodnot hermiteovského operátoru Spočítejme pro následující operátor: Zapíšeme rovnici pro vlastní hodnoty hermiteovského operátoru: Dosadíme a řešíme: A ze standardních podmínek plyne: - A close-up of a math problem Description automatically generated A close-up of a handwritten text Description automatically generated A white paper with writing on it Description automatically generated A close-up of a letter Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 20 Diskrétní a spojité báze a jsme zpět u vektorových prostorů a jejich bází: Budeme se zabývat reprezentací stavových vektorů, bra vektorů a operátorů v diskrétních, ale hlavně spojitých bázích. Proč to děláme, je nyní již celkem zřetelné… stavy mikroobjektů/částic se popisují stavovým vektorem/vlnovou funkcí a ty mohou být superpozicí elementárních stavů/funkcí, dostaneme se k nim výpočtem vlastních hodnot (reálná čísla) a vlastních funkcí operátorů, výsledek měření nám zprostředkuje určení střední hodnoty operátoru, střední hodnoty z vážených příspěvků mnoha možných vlastních stavů. Uvažujme diskrétní, kompletní a ortonormální bázi, které je tvořena nekonečnou sadu ket vektorů: Tato sekvence vektorů je nekonečná, ale spočitatelná. Platí: kde Kroneckerovo delta je: Některé vlastnosti: A diagram of a graph Description automatically generated with medium confidence A black letter h on a white background Description automatically generated A close-up of a number Description automatically generated A number of letters and numbers Description automatically generated with medium confidence A close-up of a number Description automatically generated A cross-section of a graph Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 20b Diskrétní a spojité báze a jsme zpět u vektorových prostorů a jejich bází: Budeme se zabývat reprezentací stavových vektorů, bra vektorů a operátorů v diskrétních, ale hlavně spojitých bázích. Proč to děláme, je nyní již celkem zřetelné… stavy mikroobjektů/částic se popisují stavovým vektorem/vlnovou funkcí a ty mohou být superpozicí elementárních stavů/funkcí, dostaneme se k nim výpočtem vlastních hodnot (reálná čísla) a vlastních funkcí operátorů, výsledek měření nám zprostředkuje určení střední hodnoty operátoru, střední hodnoty z vážených příspěvků mnoha možných vlastních stavů. V případě kontinuální/spojité, kompletní a ortonormální báze máme nespočitatelné množství ket vektorů a místo Kroneckerova delta se používá tzv. Diracova delta funkce: ta je definována: A platí pro ni následující vlastnosti: pro - A diagram of a graph Description automatically generated with medium confidence A math symbols with numbers and symbols Description automatically generated A black math symbols Description automatically generated with medium confidence jinde pro A graph with a line and a dotted line Description automatically generated A math problem with a number Description automatically generated with medium confidence A black and white math equation Description automatically generated with medium confidence A graph of a function Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 21 Reprezentace stavových vektorů, bra vektorů a operátorů Rozložme vlnovou funkci do vlastních funkcí hermiteovského operátoru: Pak po přenásobení zleva: Integrace obou stran: Výsledek pro různá spektra: A letter on a piece of paper Description automatically generated Uvažujme operátor hybnosti A white paper with writing on it Description automatically generated Obecně jakákoliv hybnost (stejná či jiná než p) 2. 1. A red stamp with text Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 22 Reprezentace stavových vektorů, bra vektorů a operátorů A tedy: Pro koeficient C(p‘): Platí, že: Můžeme dále psát: Dle rovnice č.2: A pro C(p‘) stejně jako v rovnici 2. lze psát: A white paper with writing on it Description automatically generated Bázová funkce A close up of a text Description automatically generated A close up of a white board with writing on it Description automatically generated 3. 4. Podobně jako rovnice 1. A red stamp with text Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 23 Reprezentace stavových vektorů, bra vektorů a operátorů Porovnáme-li vztahy 3. a 4., tedy: a Pak je zjevné, že platí pro bázové funkce: a srovnáme-li s: Nyní vidíme, co jsou tyto funkce zač i ve vztahu k našim původním popisům pomocí vlnového klubka. Je zjevné, že obě reprezentace vlnové funkce musí být normalizovatelné: Pokud je vlnová funkce v souřadnicové reprezentaci normalizována (pozor, trochu jiný zápis): Pak bude i vlnová funkce v hybnostní reprezentaci: A platí tzv. Parsevalův teorém – matematický pojem, zde ovšem jasného fyzikálního významu pro pravděpodobnostní interpretaci: Při převodu operátorů mezi reprezentacemi je možno využít střední hodnotu, cokoliv měřitelného by nemělo být závislé na matematickém zápisu, reprezentaci: tedy prakticky pro normalizované funkce: A writing on a white surface Description automatically generated A writing on a wall Description automatically generated A white paper with writing on it Description automatically generated A group of math equations Description automatically generated A red stamp with text Description automatically generated A black and white math symbols Description automatically generated A black and white math equation Description automatically generated with medium confidence A close-up of a math problem Description automatically generated A black symbols on a white background Description automatically generated A writing on a piece of paper Description automatically generated A red stamp with text Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic Určení operátoru souřadnice v hybnostní/momentové reprezentaci: Vyjdeme z rovnosti pro střední hodnotu v různých reprezentacích: První integrál rozepíšeme pomocí známých vztahů: a Víme, že funkce reprezentují tentýž kvantový stav, jen v různých reprezentacích. jsou vlastní funkce operátoru v souřadnicové reprezentaci, které tvoří bázi. Můžeme tedy počítat: A math equation written on a white paper Description automatically generated 24 A close up of a note Description automatically generated A math equation written on a white surface Description automatically generated A close up of a letter Description automatically generated A white paper with math equations Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic A red stamp with text Description automatically generated 25 Souřadnicová a momentová reprezentace a jejich operátory: Báze je tvořena nekonečným počtem ket vektorů , vlastních vektorů operátoru pozice/souřadnice Platí ortonormalita: A pro stavový vektor ket pak: Kde značí komponenty stavového vektoru v bázi a tedy: Toto je tedy naše vlnová funkce a její místo v Diracově symbolice: a pro kterou platí Bornova interpretace jako pravděpodobnosti polohy mikroobjektu v objemu d3r. Skalární součin dvou stavových vektorů lze pak také psát, s pomocí jednotkového operátoru, jako: Podobně pro momentovou reprezentaci. Operátor hybnosti v souřadnicové reprezentaci: Lze odvodit aplikací operátoru gradientu na vlnovou funkci rovinné vlny Pak můžeme přepsat Hamiltonův operátor jako: A group of symbols with arrows Description automatically generated with medium confidence A black and white image of symbols Description automatically generated with medium confidence A group of symbols with a white background Description automatically generated A group of symbols with arrows Description automatically generated with medium confidence A black and white symbol Description automatically generated with medium confidence A group of symbols with a white background Description automatically generated A group of black letters Description automatically generated A close up of a smiley face Description automatically generated A white rectangular with black lines and numbers Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated A white rectangular sign with black text Description automatically generated A number with a black and white background Description automatically generated with medium confidence A math equations on a white background Description automatically generated A red stamp with text Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic A red stamp with text Description automatically generated 26 Operátor polohy v hybnostní reprezentaci: A některé důležité komutační relace: A close-up of a letter Description automatically generated A math equation with numbers Description automatically generated A black and white math symbols Description automatically generated with medium confidence Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic A red stamp with text Description automatically generated 27 Pokud se budeme tedy držet „spojitého“ Schrödingerova formalismu kvantové mechaniky (a ne Heisenbergova maticového – „diskrétního“), pak zápis pro řešení vlastních hodnot Hamiltonova operátoru v souřadnicové reprezentaci bude vypadat následovně: bázové vektory v souřadnicové reprezentaci Hamiltonův operátor stavový vektor vlastní hodnoty energie A black and white symbol Description automatically generated with medium confidence Již víme, že platí: Tedy, že vlnová funkce v souřadnicové reprezentaci je průmět (koeficient) stavového vektoru do bázových vektorů , které jsou vlastními vektory operátoru souřadnice , dle vztahu . Již víme, že take platí: Což je výraz pro Hamiltonián v souřadnicové reprezentaci, samozřejmě. A math equations on a white background Description automatically generated A black and white rectangular sign with black symbols Description automatically generated což je stacionární Schrödingerova rovnice. (o stacionárnosti si povíme později) … což je základ tzv. vlnové mechaniky Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 28 Shrnutí přednášky o operátorech a matematickém aparátu, reprezentacích a vzájemných transformacích: Vlastnosti a operace na Hilbertově prostoru, lineárním vektorovém prostoru. Definovali jsme skalární součin: kde platí Vlnová funkce jako lineární kombinace bázových vektorů: a a Pro srovnání, k čemu jsme dospěli v závěru této části: a a Operátory a jejich působení: . , operátor změní vektor/funkci v jinou ze stejného prostoru: Lineární hermiteovské/ hermiteovsky sdružené operátory: Komutátor: a jeho důležitost při kvantifikaci neurčitosti: Střední hodnota: Vlastní hodnoty a funkce lineárního hermiteovského operátoru: Tedy pro platí reálné číslo a a standardní podmínky pro vlnovou funkci! Rozklad vlnové funkce do vlastních funkcí lineárního hermiteovského operátoru, platí: Souřadnicová reprezentace: , hybnostní: vztah bázových funkcí: viz. Fourierova transformace A stacionární Schrödingerova rovnice je: A group of symbols on a white background Description automatically generated A mathematical equation with a number and symbols Description automatically generated with medium confidence A close up of a note Description automatically generated A writing on a piece of paper Description automatically generated A diagram of a graph Description automatically generated with medium confidence gradient hybnost v souřadnicové reprezentaci nebo A number and equal to the same number Description automatically generated with medium confidence A white paper with writing on it Description automatically generated A close up of a letter Description automatically generated A black and white math symbols Description automatically generated A black and white math equation Description automatically generated with medium confidence A black and white rectangular sign with black symbols Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic