Obsah přednášky 1.Počátky kvantové mechaniky, vlny vs. částice 2. 2.Operátory a matematický aparát, reprezentace a vzájemné transformace 3. 3.Postuláty kvantové mechaniky 4. 4.Schrödingerova rovnice a její 1D řešení 5. 5.Moment hybnosti a atom vodíku 6. 6.Identické částice 7. 7.Elementarizace pro střední školy 8. Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 2 Shrnutí přednášky o operátorech a matematickém aparátu, reprezentacích a vzájemných transformacích: Vlastnosti a operace na Hilbertově prostoru, lineárním vektorovém prostoru. Definovali jsme skalární součin: kde platí Vlnová funkce jako lineární kombinace bázových vektorů: a a Pro srovnání, k čemu jsme dospěli v závěru této části: a a Operátory a jejich působení: . , operátor změní vektor/funkci v jinou ze stejného prostoru: Lineární hermiteovské/ hermiteovsky sdružené operátory: Komutátor: a jeho důležitost při kvantifikaci neurčitosti: Střední hodnota: Vlastní hodnoty a funkce lineárního hermiteovského operátoru: Tedy pro platí reálné číslo a a standardní podmínky pro vlnovou funkci! Rozklad vlnové funkce do vlastních funkcí lineárního hermiteovského operátoru, platí: Souřadnicová reprezentace: , hybnostní: vztah bázových funkcí: viz. Fourierova transformace A stacionární Schrödingerova rovnice je: A group of symbols on a white background Description automatically generated A mathematical equation with a number and symbols Description automatically generated with medium confidence A close up of a note Description automatically generated A writing on a piece of paper Description automatically generated A diagram of a graph Description automatically generated with medium confidence gradient hybnost v souřadnicové reprezentaci nebo A number and equal to the same number Description automatically generated with medium confidence A white paper with writing on it Description automatically generated A close up of a letter Description automatically generated A black and white math symbols Description automatically generated A black and white math equation Description automatically generated with medium confidence A black and white rectangular sign with black symbols Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 3 Povaha postulátů pro kvantový svět Formalismus kvantové mechaniky je založen na postulátech této teorie. Postuláty nebyly odvozeny, zakládají se na výsledcích experimentů (tak jak jsme je mimo jiné prošli v první kapitole) a jsou zapsány pomocí matematického aparátu, který jsme si připravili v druhé kapitole. Důležitým důsledkem použití těchto postulátů je právě možnost kvantitativního popsání kvantového světa skrze teorii a experiment, a jejich shoda. Postuláty reprezentují minimální počet předpokladů, které jsou potřeba k vytvoření teorie kvantové mechaniky. Problém je, že tyto postuláty nelze přímo ověřit. Lze pouze usuzovat s vyvíjejících se měření a teorie, zda případně nepřímo neukazují na nějakou nesrovnalost – to se zatím za posledních 100 let nestalo. Člověk se tedy vztahuje k výsledkům teorie, která je postavena na těchto postulátech: pokud teorie funguje, postuláty jsou správné, pokud ne, pak je třeba změna - ostatně jako v jakékoli jiné fyzikální teorii! Kvantová teorie ovšem funguje, a to velice dobře, dává přesné předpovědi o vývoji kvantových fyzikálních systémů a je opakovaně v souladu s experimenty! A tedy: přesnost předpovědí kvantové teorie nám dává nepochybnou evidenci o platnosti postulátů, na kterých je tato teorie postavena! Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 4 Základní postuláty kvantové mechaniky Klasická teoretická mechanika nám říká, že stav jakékoliv částice v jakémkoliv čase t je dán dvěma fundamentálními proměnnými: pozicí a hybností této částice. Jakékoliv další fyzikální veličiny relevantní pro studovaný systém jsou odvoditelné z těchto dvou. Navíc, pakliže známe tyto proměnné pro daný čas t, tak například pomocí Newtonova druhého zákona či Hamiltonových rovnic můžeme předpovědět, jak se systém bude vyvíjet v čase v budoucnu, jaký bude jeho stav např. v čase t‘. Kvantově-mechanické protějšky k těmto fundamentálním úvahám, či postulátům, jsou postuláty kvantové mechaniky, které nám umožňují pochopit: -Jak je kvantový stav popsán matematicky pro daný čas t -Jak spočítat různé fyzikální veličiny dané tímto kvantovým vztahem, a -Pokud tak známe stav systému v čase t, jak najít stav systému v jakémkoliv pozdějším čase t‘, a tedy jak popsat časový vývoj systému - Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic A red stamp with text Description automatically generated 5 Základní postuláty kvantové mechaniky 1.Stav systému Stav jakéhokoliv fyzikálního systému je specifikován v každém čase t pomocí stavového vektoru ket (tedy vlnové funkce, pokud promítneme stavový vektor na nějakou bázi), stavový vektor obsahuje (a slouží i jako prvek k dalšímu odvození) všechny potřebné informace o systému. Jakákoliv superpozice stavových vektorů je také stavový vektor. 2.Pozorovatelné a operátory Každá fyzikální měřitelná veličina A, zvaná v kv. mechanice pozorovatelná, či dynamická proměnná, je reprezentována lineárním hermiteovským operátorem jehož vlastní vektory jsou kompletní bází. 3.Měření a vlastní hodnoty operátorů Měření pozorovatelné A může být formálně reprezentováno působením operátoru na stavový vektor . Jediným možným výsledkem takovéhoto působení je získání jedné z vlastních hodnot (tyto jsou reálné) daného operátoru . Pokud je výsledkem měření pozorovatelné A na stavu vlastní hodnota , pak se stav systému po měření okamžitě změní na kde . Poznámka: je složka vektoru při jeho projekci na vlastní vektor . 4.Pravděpodobnostní povaha měření Pro diskrétní spektrum: pokud měříme A ve stavu , pak pravděpodobnost získání nedegenerované vlastní hodnoty je: pokud je systém před měřením již ve stavu pak měření A dává stoprocentně : Pro spojité spektrum: předchozí výraz pro pravděpodobnost lze převést na hustotu pravděpodobnosti měření A, dá hodnotu mezi a, a+da systému původně ve stavu : např. hustota pravděpodobnosti nalezení částice v intervalu x, x+dx je dána výrazem: 5.Časový vývoj systému Časový vývoj stavového vektoru (stavu, tedy vlnové funkce) je popsán časově závislou Schrödingerovou rovnicí: kde je Hamiltonův operátor reprezentující celkovou energii systému: 6. A black symbols on a white background Description automatically generated A mathematical equation with black lines Description automatically generated with medium confidence A black symbols on a white background Description automatically generated A black and white image of symbols Description automatically generated with medium confidence A black and white symbol Description automatically generated with medium confidence Vzpomeňme: Vzpomeňme: Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic A red stamp with text Description automatically generated 6 Základní postuláty kvantové mechaniky 1.Stav systému Stav jakéhokoliv fyzikálního systému je specifikován v každém čase t pomocí stavového vektoru ket (tedy vlnové funkce, pokud promítneme stavový vektor na nějakou bázi), stavový vektor obsahuje (a slouží i jako prvek k dalšímu odvození) všechny potřebné informace o systému. Jakákoliv superpozice stavových vektorů je také stavový vektor. 2.Pozorovatelné a operátory Každá fyzikální měřitelná veličina A, zvaná v kv. mechanice pozorovatelná, či dynamická proměnná, je reprezentována lineárním hermiteovským operátorem jehož vlastní vektory jsou kompletní bází. 3.Měření a vlastní hodnoty operátorů Měření pozorovatelné A může být formálně reprezentováno působením operátoru na stavový vektor . Jediným možným výsledkem takovéhoto působení je získání jedné z vlastních hodnot (tyto jsou reálné) daného operátoru . Pokud je výsledkem měření pozorovatelné A na stavu vlastní hodnota , pak se stav systému po měření okamžitě změní na kde . Poznámka: je složka vektoru při jeho projekci na vlastní vektor . 4.Pravděpodobnostní povaha měření Pro diskrétní spektrum: pokud měříme A ve stavu , pak pravděpodobnost získání nedegenerované vlastní hodnoty je: pokud je systém před měřením již ve stavu pak měření A dává stoprocentně : Pro spojité spektrum: předchozí výraz pro pravděpodobnost lze převést na hustotu pravděpodobnosti měření A, dá hodnotu mezi a, a+da systému původně ve stavu : např. hustota pravděpodobnosti nalezení částice v intervalu x, x+dx je dána výrazem: 5.Časový vývoj systému Časový vývoj stavového vektoru (stavu, tedy vlnové funkce) je popsán časově závislou Schrödingerovou rovnicí: kde je Hamiltonův operátor reprezentující celkovou energii systému: 6. A black symbols on a white background Description automatically generated A mathematical equation with black lines Description automatically generated with medium confidence A black symbols on a white background Description automatically generated A black and white image of symbols Description automatically generated with medium confidence A black and white symbol Description automatically generated with medium confidence Vzpomeňme: Vzpomeňme: Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 6 1. Stav systému K matematickému popsání kvantového systému používáme tedy komplexní funkci, která patří do Hilbertova prostoru, tzv. ket vektor , který obsahuje veškeré informace o studovaném systému a ze kterého můžeme spočítat veškeré fyzikální veličiny, které nás zajímají. Jak jsme již ukázali, tento vektor můžeme reprezentovat dvěma způsoby: -Jako vlnovou funkci v souřadnicové reprezentaci: - -Jako vlnovou funkci v hybnostní/momentové reprezentaci: - Čili abychom například popsali v kvantové mechanice 1D částici, použijeme vlnovou funkci namísto dvou reálných čísel (souřadnice x a hybnost p) jako to děláme v klasické mechanice. Takováto matematická funkce (stavový vektor) ovšem musí reprezentovat fyzikální systém, musí mít fyzikální smysl. Jaké jsou tedy matematické nároky na to, abychom z obecné vlnové funkce získali takovou, která popisuje fyzikální realitu? Už jsme si to říkali, jedná se o tzv. standardní podmínky, pro vlnovou funkci i její první derivaci podle souřadnice: -Konečnost/omezenost funkcí – tj. nemůže jít např. exponenciálně do nekonečna – nezapomeňme, počítáme z ní hustotu pravděpodobnosti! - -Funkce musí být spojité (včetně prvních derivací) – podmínka pro možnost je derivovat a tedy počítat Schrödingerovu rovnici! - -Jednoznačnost – jedné pozici nemohou náležet různé pravděpodobnosti stavu. - -Pro vázané stavy musí být kvadraticky integrovatelné – jak již diskutováno dříve. Volná částice nemůže mít ostře definovanou hybnost či energii > vlnová klubka. - A group of math equations Description automatically generated Vzpomeňme: Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 7 1.Stav systému Hustota pravděpodobnosti: O smyslu vlnové funkce jsme také hovořili ve spojitosti s Bornem, pouze druhá mocnina její amplitudy má fyzikální význam a to jako hustota pravděpodobnosti. Pak vyjadřuje pravděpodobnost nalezení částice v čase t v objemu lokalizovaném v intervalu Pro zopakování: celková pravděpodobnost nalezení částice kdekoliv v prostoru je rovna jedné… Vlnová funkce, která splňuje výšeuvedenou relaci se nazývá normalizovanou. Jednotkově pak platí pro , že má rozměr , kde L je délka. Dále: Je dobré si uvědomit, že a , kde je reálné číslo, reprezentují stejný stav. Proč? … Význam pro hustotu pravděpodobnosti? Pro pochopení, která z následujících funkcí reprezentuje fyzikálně akceptovatelnou vlnovou funkci? Proč? A group of black symbols Description automatically generated A group of black symbols Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated a A group of black symbols Description automatically generated A black square root of a square Description automatically generated A black number and equal sign Description automatically generated A black and white image of a smiley face and arrow Description automatically generated A black symbols on a white background Description automatically generated , Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 7b 1.Stav systému Hustota pravděpodobnosti: O smyslu vlnové funkce jsme také hovořili ve spojitosti s Bornem, pouze druhá mocnina její amplitudy má fyzikální význam a to jako hustota pravděpodobnosti. Pak vyjadřuje pravděpodobnost nalezení částice v čase t v objemu lokalizovaném v intervalu Pro zopakování: celková pravděpodobnost nalezení částice kdekoliv v prostoru je rovna jedné… Vlnová funkce, která splňuje výšeuvedenou relaci se nazývá normalizovanou. Jednotkově pak platí pro , že má rozměr , kde L je délka. Dále: Je dobré si uvědomit, že a , kde je reálné číslo, reprezentují stejný stav. Proč? … Význam pro hustotu pravděpodobnosti? Pro pochopení, která z následujících funkcí reprezentuje fyzikálně akceptovatelnou vlnovou funkci? Proč? A group of black symbols Description automatically generated A group of black symbols Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated a A group of black symbols Description automatically generated A black square root of a square Description automatically generated A black number and equal sign Description automatically generated A black and white image of a smiley face and arrow Description automatically generated A black symbols on a white background Description automatically generated , A graph with lines and dots Description automatically generated A graph of a line Description automatically generated A graph with a line going up Description automatically generated A graph of function on a graph Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 8 1.Stav systému Princip superpozice: Stav kvantového fyzikálního systému nemusí být reprezentován jen jednou vlnovou funkcí, může být reprezentován superpozicí dvou a více vlnových funkcí. Pokud vlnové funkce a odděleně vyhovují/jsou řešením Schrödingerovy rovnice, pak vlnová funkce Schrödingerově rovnici vyhovuje také, kdy alfy jsou komplexní čísla. Schrödingerova rovnice je lineární rovnice, čili z principu superpozice plyne, že lineární superpozice mnoha vlnových funkcí (které popisují různé povolené fyzikální stavy systému) dává novou vlnovou funkci, která reprezentuje možný stav systému také: kde alfy jsou opět komplexní čísla a veličina je pravděpodobnost pro tento superponovaný stav. Pokud budou jednotlivé složky vzájemně ortonormální, pak bude tato pravděpodobnost rovna součtu dílčích pravděpodobností pro jednotlivé složky (stavy): kde je pravděpodobnost nalezení systému ve stavu Příklad pro vlnovou funkci: Je normalizovaná? Jaká je pravděpodobnost nalezení systému ve stavu ? Pro další stavy? celkem tedy: A group of black symbols Description automatically generated A group of black symbols Description automatically generated A black and white symbol Description automatically generated A black and white symbol Description automatically generated A black and white math symbol Description automatically generated A black and white math symbol Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated A math equation with numbers and symbols Description automatically generated A math equation with numbers and symbols Description automatically generated A number and square with numbers Description automatically generated with medium confidence A mathematical equation with numbers and symbols Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 9 2. Pozorovatelné a operátory: Pozorovatelnou nazýváme dynamickou proměnnou, kterou můžeme měřit. My se setkáme s těmito proměnnými jako souřadnice, hybnost, moment hybnosti a energie. Jak reprezentujeme tyto proměnné v kvantové mechanice? Dle druhého postulátu je každá měřitelná fyzikální veličina, tedy pozorovatelná (měřitelná), reprezentována hermiteovským operátorem. Jako například hybnost je v 1D souřadnicové reprezentaci reprezentována operátorem: Obecně, jakákoliv funkce , která závisí na veličinách souřadnice/polohy a hybnosti, může být vyjádřena v kvantově mechanickém zápisu jako funkce operátorů polohy a hybnosti: Například operátor pro Hamiltonián (proměnná, která je součtem kinetické a potenciální energie): můžeme psát: kde je Laplaceův operátor daný: A protože je operátor hybnosti hermiteovský a potenciální energie je reálná funkce, pak i operátor Hamiltoniánu je hermiteovský. Víme, že vlastní hodnoty hermiteovského operátoru jsou reálné a tedy spektrum hermiteovského operátoru, které je tvořeno sadů vlastních hodnot, je také reálné. Spektrum vlastních hodnot může být spojité i diskrétní (i směs obou): -V případě vázaných stavů má Hamiltonián diskrétní spektrum -V případě volných stavů má Hamiltonián spojité spektrum -V případě periodických vázaných stavů má Hamiltonián pásové spektrum - Obecně, Hamiltonián bude mít vázané či spojité spektrum, ve stejném smyslu jako klasické proměnné budou mít vázané či volné hodnoty. Operátory a mají spojitá spektra, protože p a r mohou nabývat kontinuálních hodnot. Energie je složitější, její spektrum může být smíšené. A math equations with numbers and symbols Description automatically generated with medium confidence A math equations with black text Description automatically generated with medium confidence A diagram of an electrical diagram Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 9b 2. Pozorovatelné a operátory: A diagram of an electrical diagram Description automatically generated A diagram of a graph Description automatically generated A number of symbols on a white background Description automatically generated A group of symbols on a white background Description automatically generated A black text with a white background Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated Pokud funkce není kvadraticky integrovatelná? >>> volná částice (~ de Broglieova vlna, ~ bázový vektor) s ostře definovanou hybnost či energii – což není fyzikální Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic A red stamp with text Description automatically generated 10 2. Pozorovatelné a operátory Podle pátého postulátu, kde je uvedena Schrödingerova časově závislá rovnice: můžeme říci, že celková energie systému je dána skrze operátor: Lze to ukázat ještě následovně: volná částice s hybností a energií E je dána vlnovou funkcí , pokud ji derivujeme podle času, tak dostáváme Podobně, podívejme se na vlastní funkce a hodnoty operátoru hybnosti: , řešením této rovnice je funkce: A protože je vlastní hodnota operátoru tak vlastní funkce je redukována na: A rovnice pro vlastní hodnoty a vlastní funkce operátoru hybnosti bude vypadat: Z výše uvedeného je tedy zřejmé, že operátory reprezentují jedna ku jedné měřitelné veličiny, pozorovatelné. - Některé pozorovatelné a jejich operátory (zde v souřadnicové reprezentaci): A math equations and formulas Description automatically generated with medium confidence A math equations with black text Description automatically generated with medium confidence A black symbols on a white background Description automatically generated A mathematical equation with black text Description automatically generated A mathematical equation with a few symbols Description automatically generated with medium confidence Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic A red stamp with text Description automatically generated 11 2. Pozorovatelné a operátory Jako příklad najdeme operátor pro moment hybnosti (v souřadnicové reprezentaci)… Klasicky zapíšeme moment hybnosti ve třech dimenzích následovně: , kde Abychom našli operátor momentu hybnosti, potřebujeme nahradit jim odpovídajícími operátory A tedy: Což vede na následující vztahy: Je třeba si také uvědomit, že operátory souřadnice a hybnosti nekomutují, záleží tedy na pořadí! Některé pozorovatelné a jejich operátory (zde v souřadnicové reprezentaci): A math equations and formulas Description automatically generated with medium confidence A math equations with black text Description automatically generated with medium confidence a a A mathematical equations with numbers Description automatically generated with medium confidence Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 12 3. Měření a vlastní hodnoty operátorů Kvantová teorie popisuje výsledky měření, bez spekulací o neměřitelném. V klasické fyzice měřením zkoumaný systém ovlivníme jen málo (např. měření vzdálenosti laserem) a můžeme tento vliv zanedbat, v mikrosvětě měření ovlivní studovaný systém zásadním způsobem (např. laserem indukovaná fluorescence atomů plynu při měření hustoty metastabilních částic) a vliv měření zanedbat nemůžeme. Uvažujme následující příklad: měříme pozici elektronů v atomu vodíku pomocí rozptylu světla/fotonů přímo na těch elektronech. -Abychom určili pozici co nejpřesněji, použijeme co nejkratší vlnové délky světelného záření, fotonů -Rozměry elektronových drah jsou v řádu 10-10 m a tedy potřebujeme záření o menší vlnové délce a tedy energii: - - -Pokud takový foton bude interagovat s elektronem v elektronovém obalu vodíku, který má ionizační energii 13.6 eV, tak samozřejmě tento elektron nejen ovlivní, ale kompletně jej vyhodí z orbity – vodík tedy bude ionizovaný - Měření změní stav kvantového systému: měření tedy v teorii reprezentujeme působením operátoru, kdy po jeho provedení, po jeho působení, bude systém v jednom z vlastních stavů tohoto operátoru (v jedné z vlastních hodnot – reálných hodnot veličiny reprezentované operátorem). Pokud máme systém ve stavu , může být reprezentován superpozicí stavů: Akt měření A tedy změní stav systému z na jeden z jeho vlastních stavů operátoru a výsledkem měření je vlastní hodnota Jedinou vyjímkou je, když se systém již v jednom z vlastních stavů měřené veličiny nachází, když tedy bude před měřením v pak výsledkem měření bude se stoprocentní pravděpodobností hodnota Bez toho aby se změnil stav, systém zůstane tedy v . A black numbers and a line Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic A red stamp with text Description automatically generated 13 3. Měření a vlastní hodnoty operátorů a 4. Pravděpodobnostní povaha měření Před každým měřením v kvantové fyzice, my samozřejmě nevíme, ve kterém z jeho vlastních stavů systém po měření skončí, známe pouze pravděpodobnosti. Jak jsme si již řekli, tyto jsou dány jako , pravděpodobnost nalezení ve stavu Postulát číslo 4 nám říká, že pravděpodobnost nalezení systému v jednom z jeho vlastních stavů je dána: Nezapomeňme, že vlnová funkce nepředpovídá výsledek jednotlivých měření, místo toho, určuje pravděpodobnostní rozdělovací funkci přes mnohá měření identických stavů najednou. Střední hodnota: Střední hodnota pozorovatelné na stavu je definována: Je to reálné číslo a tedy pro energii: Střední hodnota reprezentuje průměrný výsledek měření na stavu . Pro lepší porozumění můžeme psát: Kde jsme použili A protože dává pravděpodobnost nalezení vlastní hodnoty , pak můžeme střední hodnotu opravdu označit za průměr několika měření: Pro kontinuální rozdělení pravděpodobností (spojitá spektra), můžeme psát: Střední hodnota pozorovatelné se získá experimentem následovně: připraví se velké množství identických systémů ve stejném stavu, výsledky měření jsou odpovídající pravděpodobnosti jsou A průměrná hodnota ze všech těchto měření je pak ta střední hodnota A black and white math symbol Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated A black text with a line between it Description automatically generated with medium confidence A wooden box with many sticks Description automatically generated with medium confidence A diagram of a diagram of a diagram of a diagram Description automatically generated with medium confidence A mathematical equation with symbols Description automatically generated with medium confidence A black symbols on a white background Description automatically generated A red stamp with text Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated Vzpomeňme: Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 14 3. Měření a vlastní hodnoty operátorů a 4. Pravděpodobnostní povaha měření Příklad: uvažujme systém v následujícím stavu: Kde jsou vlastní stavy Hamiltoniánu studovaného systému kde a má rozměr energie. Pokud provedeme mnoho měření na uvedeném systému, jaké budou výsledky měření a s jakou pravděpodobností? Nejdříve si můžeme ověřit, zda je normalizovaný: Přitom a Protože platí: (čili rovnice pro vlastní hodnoty a funkce operátoru), pak A tedy vlastní hodnoty budou mít následující velikosti: S pravděpodobnostmi danými: Střední hodnota energie systému bude: Což můžeme získat i ze střední hodnoty Hamiltoniánu: Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 15 3./4. Měření v kvantové mechanice – současná měřitelnost O dvou pozorovatelných A a B řekneme, že jsou kompatibilní, když jejich operátory komutují: Víme, že měření v kvantové mechanice ovlivní měřený fyzikální systém. Pokud nejdříve budeme měřit A, tak změníme stav systému, ne kterém bychom pak měřili B. Pokud bychom měřili nejdříve B, pak systém pro měření A bude také v jiném stavu. Podle toho, kterou pozorovatelnou budeme měřit nejdříve, skončí systém v rozdílných stavech. Pokud operátory pro A a B nekomutují a systém bude ve vlastním stavu , pak budeme-li znovu měřit A, pak: A to se stoprocentní pravděpodobností. Pokud poté budeme měřit B, tak systém přejde do vlastního stavu operátoru B. A pokud znovu změříme A, pak získáme jiný stav než O tom, jaká bude nová hodnota A nemůžeme s jistotou nic říci, jen vyčíslit pravděpodobnost. Pokud chceme tedy měřit A, pak rozložíme vlastní stavy B do vlastních stavů A - a tedy získáme jejich pravděpodobnost. >>> Pokud tedy operátory A a B nekomutují, jejich pozorovatelné nemohou být měřeny zároveň, záleží na pořadí, kterým měřením začneme! Pokud operátory A a B komutují, pak na pořadí měření nezáleží! Protože, pokud operátory komutují, pak mají společné (sdílené) vlastní vektory. (Platí jak pro degenerované tak nedegenerované stavy.) Pro nedegenerované: Protože komutují, tak platí: … výpočet zkuste na cvičení Proto také musí být nulové, pokud zrovna neplatí: a tedy: To znamená, že jsou sdílené (simultánní) vlastní vektory operátorů A a B. Pokud pro kompatibilní operátory budeme měřit střídavě A a B, tak budeme získávat vždy stejné vlastní hodnoty an a bn s jistotou. Říkáme, že kompatibilní pozorovatelné jsou současně měřitelné s libovolnou přesností, nekompatibilní nejsou. A black and white text Description automatically generated with medium confidence A black and white image of a symbol Description automatically generated A black and white image of a number Description automatically generated with medium confidence A black and white logo Description automatically generated with medium confidence Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 16 3./4. Měření a relace neurčitosti Dříve jsme si řekli, že relace neurčitosti, která se vztahuje ke dvěma pozorovatelným A a B je dána: Kde Ukažme si konkrétně, jak se to týká pozorovatelných polohy a hybnosti. Složitým výpočtem přes vlnová klubka jste to již spočítali na prvním cvičení. Protože tyto pozorovatelné nejsou kompatibilní, pak je nemůžeme změřit zároveň s nekonečnou přesností. Protože platí Tak neexistuje žádný stav, který je vlastním stavem jak tak i pro Relace neurčitosti je: A tedy měření polohy a hybnosti interferují, nejsou současně měřitelné. A number and number symbols Description automatically generated with medium confidence A black and white rectangular object with letters and numbers Description automatically generated A black and white text Description automatically generated A black and white text Description automatically generated with medium confidence Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic A red stamp with text Description automatically generated Časový vývoj systému V souřadnicové reprezentaci lze časově závislou Schrödingerovu rovnici zapsat pro částici o hmotnosti m a časově závislý potenciál V(r,t) následovně: Uvažujme pro zjednodušení, že V = V(r) a je tedy časově nezávislý. To nám umožní separovat proměnné pro řešení rovnice na časovou a prostorovou složku: Dosadíme-li toto předpokládané řešení zpět do SR pak po vydělení tímto řešením dostaneme: Aby tato rovnost byla splněna, pak jediná možnost je, že se obě strany budou rovnat číslu, konstantě, kterou si označíme E. Rozdělíme rovnici na pouze časově závislou: A prostorově závislou: Kterou označujeme jako stacionární Schrödingerovu rovnici – SSR – pro částici s hmotností m a v časově neproměnném potenciálu V. Řešením časové rovnice je: a tedy stavová vlnová funkce bude: Toto řešení Schrödingerovy rovnice pro časově nezávislý potenciál se nazývá stacionární řešení. Protože hustota pravděpodobnosti nezávisí na čase: Je třeba si také uvědomit, že takový stav má přesně danou hodnotu energie: Sada hodnot energie, která je řešením této rovnice se nazývá energiové spektrum systému. Stavy odpovídající diskrétním a kontinuálním spektrům se nazývají vázané a volné. 17 A white rectangular sign with black symbols Description automatically generated A black and white symbol Description automatically generated with medium confidence A math equations and symbols Description automatically generated with medium confidence A black and white image of a mathematical equation Description automatically generated A black and white image of a square and square equation Description automatically generated with medium confidence A black and orange lines Description automatically generated A math symbols with a white background Description automatically generated with medium confidence A group of math equations Description automatically generated Vzpomeňme: Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 17b 2. Pozorovatelné a operátory: A diagram of an electrical diagram Description automatically generated A diagram of a graph Description automatically generated A number of symbols on a white background Description automatically generated A group of symbols on a white background Description automatically generated A black text with a white background Description automatically generated A black text on a white background Description automatically generated Pokud funkce není kvadraticky integrovatelná? >>> volná částice (~ de Broglieova vlna, ~ bázový vektor) - fyzikálně nemůže mít ostře definovanou hybnost či energii Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 18 Časový vývoj systému - pokračování Obecné řešením časově závislé SR lze zapsat jako rozvoj do stacionárních stavů . Tedy: kde Toto řešení samotné není nutně stacionárním stavem, protože lineární kombinace stacionárních stavů není nutně stacionární stav. V jednorozměrném vyjádření jsou časově závislá SR a SSR dány: - A black and white text Description automatically generated A black text with a white background Description automatically generated A math equations on a white background Description automatically generated A red stamp with text Description automatically generated A red stamp with text Description automatically generated Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 19 Schrödingerova rovnice a vlnové klubko Je možné odvodit Schrödingerovu rovnici z fundamentálních principů? Bohužel ne, můžeme ji pouze postulovat a neustále ověřovat její platnost. Můžeme se ale také pokusit o tzv. rozumný odhad kroků pro její sepsání, založený na naší předchozí zkušenosti s vlnovými klubky. Dříve jsme si popsali vlnové klubko částice o energii E a hybnosti p pohybující se v potenciálu V jako: Nezapomeňme, že platí: Parciální derivace dle času dá: Protože platí: a pokud V je konstantní, pak můžeme vytknout před integrál a psát: Čili pro prostorově závislý potenciál máme Schrödingerovu rovnici: A group of mathematical equations Description automatically generated A number of numbers and symbols Description automatically generated with medium confidence Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic A red stamp with text Description automatically generated 20 Zachování pravděpodobnosti Ukažme, že norma je nezávislá na čase. Tedy, pokud je normalizovaný, pak takovým zůstane i pro další časové okamžiky. To je přímým důsledkem hermicity Hamiltonova operátoru. Abychom ukázali, že norma zůstává konstantní v čase, stačí potvrdit, že derivace dle času bude nulová, tedy: Kde (časová SR) Po doplnění do výše uvedené rovnice pak dostaneme: Spočítejme hustotu pravděpodobnosti v souřadnicové reprezentaci. Začneme časově závislou SR a komplexně sdruženou č.z.SR: Po vynásobení první rovnice a druhé a vzájemném odečtení získáme: Kterou můžeme přepsat jako: Kde: Hustota pravděpodobnosti je značena a proudová hustota pravděpodobnosti (hustota toku pravděpodobnosti) . Výše uvedené rovnice nám tedy popisují zachování pravděpodobnosti, je to rovnice kontinuity. A black and white math symbol Description automatically generated with medium confidence A group of black letters Description automatically generated A black text with a white background Description automatically generated A black and white image of a equal sign Description automatically generated A black and white text Description automatically generated with medium confidence A close-up of a smiley face Description automatically generated A group of symbols on a white background Description automatically generated A group of symbols with arrows Description automatically generated A black and white image of a smiley face Description automatically generated A white rectangular sign with black symbols Description automatically generated A group of symbols with arrows Description automatically generated A group of symbols with arrows Description automatically generated A number of numbers and symbols Description automatically generated with medium confidence časově závislá SR Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 21 Časový vývoj středních hodnot Pokud je vlnový vektor normalizovaný pak můžeme psát pro jeho střední hodnotu: Použitím časové SR pak lze psát derivaci střední hodnoty jako: Nebo také: Z tohoto výrazu plynou dva důsledky: - pokud pozorovatelná A nezávisí explicitně na čase pak její parciální časová derivace bude nulová a její změna dána prvním členem. - pokud bude navíc operátor pozorovatelné A komutovat s Hamiltoniánem, pak se střední hodnota nebude měnit s časem, derivace dle času bude nulová Pokud obojí zmíněné nastává pak je pozorovatelná neměnící se s časem: Příkladem může být energie, hybnost či moment hybnosti v izolovaném systému – platí pro ně zákon zachování: Z klasické mechaniky víte, že zákony zachování energie, hybnosti a momentu hybnosti jsou dány homogenitou času, homogenitou prostoru a isotropií prostoru. Příklad pro hybnost viz např. kniha Zettili. A group of black letters Description automatically generated A white rectangular sign with black text Description automatically generated A black and white text Description automatically generated with medium confidence A black text on a white background Description automatically generated A number of numbers and symbols Description automatically generated with medium confidence časově závislá SR Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 22 Propojení kvantové a klasické mechaniky Pokud má být kvantová teorie obecnější teorií než klasická mechanika, pak ji musí obsahovat jako limitní případ. Pro ilustraci vezměme časový vývoj středních hodnot operátorů polohy a hybnosti pro částici pohybující se v potenciálu V(r) a srovnejme je s výsledky klasické fyziky. V rámci vlnové mechaniky nezávisí operátory hybnosti a polohy explicitně na čase: a jsou tedy nulové. Vložíme-li do a využijeme-li faktu, že operátor polohy komutuje s operátorem potenciálu V, pak: A protože platí: tak dostaneme: Dále použijeme-li: můžeme psát: Výše uvedené rovnice pro časový vývoj středních hodnot polohy a hybnosti jsou tzv. Ehrenfestovy rovnice, Ehrenfestův theorém. Tyto se redukují v klasické mechanice skrze Hamilton-Jacobiho rovnice na Newtonův druhý pohybový zákon: Centrum vlnového klubka tedy můžeme opravdu vnímat jako polohu částice pohybující se v potenciálu V(r). A close-up of a symbol Description automatically generated A close-up of a number Description automatically generated A number and symbols on a white background Description automatically generated A black text with a white background Description automatically generated A number one and two equal signs Description automatically generated A math equation with black text Description automatically generated with medium confidence A black and blue lines Description automatically generated with medium confidence A black and white rectangular sign with black text Description automatically generated A black text with black lines Description automatically generated with medium confidence Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic 23 Kvantová a klasická mechanika Bohrův princip korespondence: Kvantová mechanika má v limitním případě přejít do klasické. Pokud se vlnová délka De Broglieovy vlny blíží k nule pak přecházíme od kvantové ke klasické mechanice. - Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic A red stamp with text Description automatically generated 24 SHRNUTÍ - Základní postuláty kvantové mechaniky 1.Stav systému Stav jakéhokoliv fyzikálního systému je specifikován v každém čase t pomocí stavového vektoru ket (tedy vlnové funkce, pokud promítneme stavový vektor na nějakou bázi), stavový vektor obsahuje (a slouží i jako prvek k dalšímu odvození) všechny potřebné informace o systému. Jakákoliv superpozice stavových vektorů je také stavový vektor. 2.Pozorovatelné a operátory Každá fyzikální měřitelná veličina A, zvaná v kv. mechanice pozorovatelná, či dynamická proměnná, je reprezentována lineárním hermiteovským operátorem jehož vlastní vektory jsou kompletní bází. 3.Měření a vlastní hodnoty operátorů Měření pozorovatelné A může být formálně reprezentováno působením operátoru na stavový vektor . Jediným možným výsledkem takovéhoto působení je získání jedné z vlastních hodnot (tyto jsou reálné) daného operátoru . Pokud je výsledkem měření pozorovatelné A na stavu vlastní hodnota , pak se stav systému po měření okamžitě změní na kde . Poznámka: je složka vektoru při jeho projekci na vlastní vektor . 4.Pravděpodobnostní povaha měření Pro diskrétní spektrum: pokud měříme A ve stavu , pak pravděpodobnost získání nedegenerované vlastní hodnoty je: pokud je systém před měřením již ve stavu pak měření A dává stoprocentně : Pro spojité spektrum: předchozí výraz pro pravděpodobnost lze převést na hustotu pravděpodobnosti měření A, dá hodnotu mezi a, a+da systému původně ve stavu : např. hustota nalezení částice v intervalu x, x+dx je dána výrazem: 5.Časový vývoj systému Časový vývoj stavového vektoru (stavu, tedy vlnové funkce) je popsán časově závislou Schrödingerovou rovnicí: kde je Hamiltonův operátor reprezentující celkovou energii systému: 6. A black symbols on a white background Description automatically generated A mathematical equation with black lines Description automatically generated with medium confidence A black symbols on a white background Description automatically generated A black and white image of symbols Description automatically generated with medium confidence A black and white symbol Description automatically generated with medium confidence Vzpomeňme: Vzpomeňme: Pozor je to pro verejnost … jednoduseji, schemata nazorna, ne moc analyz, jen par rovnic