Cvičení z termodynamiky a statistické fyziky
1. Necht’ F(x, y) = x · ex2+y2
. Spočtěte (a) ∂F
∂x
, (b) ∂F
∂y
, (c) ∂2F
∂x2 , (d) ∂2F
∂x∂y
, (e) ∂2F
∂y∂x
, (f)
∂2F
∂y2 .
2. Bud’ dω = A(x, y)dx + B(x, y)dy libovolná diferenciální forma (Pfaffián). Ukažte,
že v případě, že dω je úplný diferenciál (existuje funkce F(x, y) tak, že dω = dF), musí
platit
a)
∂A
∂y
=
∂B
∂x
, b) dω = 0,
(b) pro každou uzavřenou integrační cestu.
3. Bud’ dω1 = (x2
− y) dx + x dy. Je to úplný diferenciál, je dω2 = dω1/x2
úplný
diferenciál? Vypočtěte integrál dω mezi body (1, 1) a (2, 2) podél přímek (1, 1) →
(1, 2) → (2, 2) a (1, 1) → (2, 1) → (2, 2).
4. Je dω = p dV + V dp úplný diferenciál? Pokud ano, určete funkci F jejímž úplným
diferenciálem je dω. Spočtěte integrál dω mezi body (V1, p1) a (V2, p2) podél přímek
(V1, p1) → (V1, p2) → (V2, p2) a (V1, p1) → (V2, p1) → (V2, p2).
5. Je dQ = c dT +RT
V
dV úplný diferenciál? Spočtěte integrál dω mezi body (V1, T1)
a (V2, T2) podél přímek (V1, T1) → (V1, T2) → (V2, T2) a (V1, T1) → (V2, T1) → (V2, T2).
Jakou funkcí f(V, T) musíme dQ vynásobit, aby součin f dQ byl úplným diferenciálem?
Určete funkci S pro níž dS = f dQ.c a R jsou konstanty.
6. Necht’ x, y a z jsou 3 stavové veličiny, spojené stavovou rovnicí f(x, y, z) = 0. Ukažte
platnost vztahů
∂x
∂y z
=
∂y
∂x
−1
z
,
∂x
∂y z
= −
∂x
∂z y
∂z
∂y x
a
∂x
∂y z
=
∂x
∂y w
+
∂x
∂w y
∂w
∂y z
přičemž dolní index označuje konstantní veličinu a w je další stavovou veličinou, w =
w(x, y, z).
7. Stavová rovnice pV = NkT váže proměnné p, V a T, přičemž N a k jsou konstanty.
Přímým výpočtem ověřte, že
∂p
∂V T
=
∂V
∂p
−1
T
∂p
∂T V
=
∂T
∂p
−1
V
1
∂p
∂V T
= −
∂p
∂T V
∂T
∂V p
∂T
∂V p
= −
∂T
∂p V
∂p
∂V T
8. Stavová rovnice ideálního plynu může být zapsána jako
• pV = NkT,
• pV = n1RT,
• p = ρkT
µ
,
• p = nkT,
kde p, V, T jsou tlak, objem a teplota, N je počet částic, n jejich koncentrace, k je
Boltzmannova konstanta (k = 1, 38 · 10−23
m2
kg s−2
K−1
), R je plynová konstanta
(R = 8, 31 J mol−1
K−1
), n1 je látkové množství, ρ je hustota plynu a µ molekulová
hmotnost. Ověřte rozměr k a R. Jaký rozměr má n? Ukažte, že jednotlivé rovnice jsou
ekvivalentní NA = 6.022 · 1023
mol−1
.
9. Při konstantní teplotě 20◦
C se ideální plyn kvazistaticky rozpíná ze stavu s tlakem
20 atm do stavu s tlakem 1 atm. Jakou práci vykoná 1 mol plynu?
10. Při kvazistatické adiabatické expanzi 6 litrů hélia o teplotě 350 K klesá tlak ze
40 atm na 1 atm . Vypočtěte výsledný objem a teplotu (předpokládejte platnost stavové
rovnice ideálního plynu). Získané výsledky srovnejte s hodnotami, které by vyšly pro
izotermickou expanzi (κ = 1, 63). Předpokládejte, že se jedná o ideální plyn.
11. Spočtěte práci vykonanou ideálním plynem při kvazistatické adiabatické expanzi
ze stavu charakterizovaného p1, V1 do stavu p2, V2. Určete práci, kterou plyn vykoná,
přechází-li z počátečního do koncového stavu nejdříve izochorickým dějem a poté izobarickým,
nebo nejdříve izobarickým dějem a poté izochorickým.
12. Při výměně vzduchu mezi spodními a horními vrstvami troposféry dochází k expanzi,
popř. kompresi vzduchu: stoupající vzduch se rozepíná v oblasti menšího tlaku.
Vzhledem k malé tepelné vodivosti vzduchu je možno pokládat procesy expanze a
komprese za adiabatické. Vypočtěte změnu teploty s výškou následkem těchto procesů.
(Vzduch považujte za ideální plyn.)
13. Předpokládejme, že atmosféra planety Venuše obsahuje k1 = 96.5% molekul CO2
a k2 = 3.5% molekul N2. Ostatní složky můžeme zanedbat. Teplota atmosféry je t =
464◦
C a atmosférický tlak na povrchu Venuše obsahuje p0 = 9.1MPa. Hmotnost planety
je M = 4.87 · 1024 kg
a poloměr R = 6052 km.
(a) Určete hustotu ρ0 atmosféry a gravitační zrychlení gv u povrchu Venuše.
(b) K výzkumu atmosféry planety použijeme otevřený „horkovzdušný balon"(plněný
ovšem atmosférou planety) o objemu V = 50 m3
. Hmotnost konstrukce je m = 100 kg.
Na jakou teplotu t1 musíme ohřát plyn v balonu, aby začal stoupat nad povrch planety?
Při které teplotě t2 uvnitř balonu dosáhneme výšky 1 km?
2
Rotaci Venuše a pokles gravitačního zrychlení při výstupu balonu zanedbejte. Teplotu
atmosféry do výšky 1 km považujte za konstantní. Molární hmotnosti obou hlavních
složek atmosféry Venuše jsou Mm (CO2) = 44.0 · 10−3
kg · mol−1
, Mm (N2) =
28.0 · 10−3
kg · mol−1
.
14. Plyn je popsán stavovou rovnicí p = p(V, T). Ukažte přímým výpočtem, že δQ není
úplným diferenciálem.
15. Energie částice uzavřené v nekonečně vysoké potenciálové jámě s rozměry Lx ×
Ly × Lz je dána vztahem
E =
2
2m
π2 n2
x
L2
x
+
n2
y
L2
y
+
n2
y
L2
y
Předpokládejte, že Lx = Ly = Lz = L. Předpokládejte, že systém jako celek je charakterizován
energií systému. Jak je určen mikrostav, jak makrostav? Spočtěte sílu, kterou
částice působí na stěny nádoby. Určete vztah energie systému a tlaku.
16. Odvod’te z existence stavové rovnice f(p, V, T) = 0 vztah
α = p · β · κ
mezi termickým koeficientem roztažnosti α := 1
V
∂V
∂T p
, koeficientem izochorické rozpínavosti
β := 1
p
∂p
∂T V
a koeficientem izotermické kompresibility κ := − 1
V
∂V
∂p
T
.
17. Stavová rovnice má tvar p = f(V ) · T. Dokažte:
(a) ∂E
∂V T
= 0
(b) pokud platí a), pak ∂E
∂p
T
= 0.
18. Pro ideální plyn spočtěte ∂p
∂V ad
, ∂p
∂V T
.
19. Ukažte, že pro plyn popsaný stavovou rovnicí f(p, V, T) = 0 platí
∂p
∂V ad
=
∂p
∂V T
cp
cV
20. Ukažte platnost relace cp − cV = R mezi izobarickým a izochorickým specifickým
teplem jednoho molu ideálního plynu. Vnitřní energie ideálního plynu nezávisí na jeho
objemu.
21. Vypočtěte entropii ideálního plynu při cp = konst., cV = konst. Ukažte, že δQ není
úplný diferenciál.
22. Ukažte platnost relace pV κ
= konst. ( κ = cp/cV je adiabatickým exponentem) v
kvazistatickém adiabatickém procesu ideálního plynu. Spočtěte κ za předpokladu, že
cV = 3
2
R.
23. Pro plyn bylo experimentálně zjištěno, že součin tlaku a objemu je funkcí pouze
teploty, pV = f(T) a že vnitřní energie závisí také pouze na teplotě. Jaký tvar má
f(T)?
3
24. U fotonového plynu je hustota energie pouze funkcí teploty a tlak je dán vztahem
p = 1
3
u(T), kde u(T) = E/V . Spočtěte
(a) Funkci u(T),
(b) entropii,
(c) rovnici izotermy a adiabaty.
25. Tyč je zkroucena momentem síly M o úhel ϕ. (a) Dokažte, že první věta termodynamická
je v tomto případě ve tvaru:
dE = δQ + M dϕ.
(b) Odvod’te z definice tepelné kapacity (a první věty termodynamické) vyjádření cM
a cϕ.
(c) Najděte vztah mezi ∂M
∂ϕ
adiab
a ∂M
∂ϕ
izoterm
.
26. (a) 1 kg vody s teplotou 0◦
C je přiveden do tepelného kontaktu s velkým rezervoárem
s teplotou 100◦
C. Spočtěte změnu entropie vody, rezervoáru a celé soustavy po
ustavení rovnováhy.
(b) Spočtěte změnu entropie celé soustavy, pakliže voda byla nejprve v kontaktu s rezervoárem
s teplotou 50◦
a poté s rezervoárem s teplotou 100◦
C.
(c) Jak zajistit, aby se při ohřevu vody entropie soustavy nezměnila?
27. Ukažte, že pro malé odchylky δρ, δp od rovnovážných hodnot hustoty ρ0 a tlaku p0
je možné šíření zvukových vln popsat vlnovou rovnicí
∂2
δp
∂t2
= c2 ∂2
δp
∂x2
,
kde rychlost zvuku je dána vztahem c = (∂p/∂ρ)ad předpokládáme-li, že děje jsou natolik
rychlé, že nedochází k výměně tepla mezi jednotlivými elementy vzduchu. Ukažte,
že rychlost zvuku může být spočtena také jako c = κad/ρ0, kde adiabatická kompresibilita
κad := −V ∂p
∂V ad
Spočtěte rychlost zvuku ve vzduchu za předpokladu, že vzduch
je tvořen pouze molekulami N2 a že κ = cp/cV = 7/5.
28. Ideální plyn se adiabaticky rozšiřuje z objemu V1 do vakua. Spočtěte růst entropie,
pokud plyn v konečném stavu má objem V2 a dokažte, že proces rozšiřování je nevratný.
29. Van der Waalsova stavová rovnice pro 1 mol plynu má tvar
p +
a
V 2
(V − b) = RT
kde a, b jsou konstanty. Pro dané T může mít křivka dva extrémy dané rovnicí
∂p
∂V T
= 0
V kritickém bodě určeném parametry Tc, pc a Vc navíc platí
∂2
p
∂V 2
T
= 0
4
Spočtěte hodnoty Tc, pc a Vc. Zapište stavovou rovnici pomocí proměnných T′
= T/Tc,
p′
= p/pc a V ′
= V/Vc.
30. Určete:
(a) vnitřní energii a entropii van der Waalsova plynu,
(b) práci van der Waalsova plynu při vratné izotermické expanzi,
(c) změnu teploty van der Waalsova plynu při adiabatické expanzi do vakua.
31. Jouleův-Thomsonův koeficient je definován pomocí parametru
λ = −
∂T
∂p H
(a) Ukažte, že
dH = T dS + V dp
a
λ =
V
Cp
(1 − Tαp)
αp := 1
V
∂V
∂T p
je koeficientem izobarické roztažnosti.
(b) Ukažte, že
λ =
T ∂p
∂T V
+ V ∂p
∂V T
Cp · ∂p
∂V T
(c) Ověřte, že λ = 0 pro klasický ideální plyn.
(d) Ukažte, že pro van der Waalsův plyn platí
λ =
bp + 3ab
V 2 − 2a
V
p − a
V 2 + 2ab
V 3 · Cp
(e) Vyjádřete rovnici inverzní křivky, která v p−V diagramu představuje rozhraní mezi
oblastí λ > 0 a λ < 0 pro prípad van der Waalsova plynu.
32. Ukažte, že termický koeficient roztažnosti
α :=
1
V
∂V
∂T p
splňuje relaci
∂S
∂p T
= −
∂V
∂T p
= −V α
33. Ukažte, že specifické teplo při konstantním tlaku, cp, a při konstantním objemu,
cV , splňují vztah
cp − cV = T
∂p
∂T V
∂V
∂T p
= −T
∂S
∂V T
∂S
∂p T
.
34. Volná energie systému F(V, T) = −1
3
· const ·V T4
. Určete jeho tlak, vnitřní energii,
entropii, entalpii a Gibbsův potenciál.
5
35. Spočítejte účinnost Carnota cyklu (1. izotermická expanze, T2 = konst, 2. adiabatická
expanze, S = konst, 3. izotermická komprese, T1 = konst, 4. adiabatická komprese,
S = konst) pro ideální plyn pomocí jeho stavové rovnice.
36. Vypočtěte účinnost následujícího cyklu ideálního plynu. Může tento proces být
vedený vratně?
1. izotermická expanze T2 = konst
2. izochorické ochlazení V2 = konst
3. izotermická komprese T1 = konst
4. izochorické ohřívání V1 = konst.
37. Určete účinkový koeficient (idealizovaného) Ottova motoru, který pracuje s ideálním
plynem o specifickém teple cV = 5
2
R/mol při kompresním poměru 10:1.
1. adiabatická komprese,
2. izochorické ohřívání (=spálení paliva),
3. adiabatická expanze (vykonání práce),
4. ochlazení (=výfuk horkého plynu, nový, studený plyn je nasátý).
38. Dieselův cykl se skládá z těchto částí:
1. adiabatické komprese atmosférického vzduchu,
2. spálení vstříknuté směsi a izobarické expanze,
3. adiabatické expanze
4. a izochorického ochlazení.
Určete účinnost cyklu v závislosti na kompresním poměru pro ideální plyn.
39. Jaká je celková změna entropie, když smícháme 2 kg vody o teplotě 363 K adiabaticky
a při konstantním tlaku s 3 kg vody o teplotě 283 K? (cp = 4184 J/Kkg)
40. Chladnička může za hodinu přeměnit 10 litrů vody o 0◦
C v led o téže teplotě. K
tomu se musí odevzdat skupenské teplo Q = 800kcal(= 800 × 1, 163Wh) do vzduchu
(27, 3◦
C). Jaký nejmenší příkon musí chladnička mít?
41. Dokažte, že pro T → 0 neexistuje systém popsatelný pV = const ·T.
42. Uzavřený systém se skládá ze dvou jednoduchých podsystémů, které jsou oddělené
pohyblivou stěnou, která umožňuje
(a) jen výměnu tepla,
(b) jak výměnu tepla, tak výměnu hmoty,
(c) ani výměnu tepla, ani výměnu hmoty.
Jaké jsou odpovídající podmínky rovnováhy?
43. Dvě stejná množství ideálního plynu se stejnou teplotou T a různými tlaky p1, p2
jsou od sebe oddělena přepážkou. Určete změnu entropie následkem smíšení obou plynů.
44. Určete maximální práci, kterou lze získat při sloučení stejných množství téhož
ideálního plynu se stejnou teplotou T0 (a různými objemy popř. tlaky).
45. Molární objem vody v(2)
= 18 cm3
/mol, molární objem ledu je o 9.1% větší
(pří tlaku 105
Pa ), molární hmotnost vody je 18 g/mol. Latentní teplo tání ledu je
330 kJ/kg. Spočtěte změnu bodu tání při změně tlaku.
6
46. Při změně magnetizace M o dM vykoná systém práci dW = −H dM, kde H je
intenzita magnetického pole. (Jde o práci vykonanou jednotkovým objemem; objem
V = konst. = 1.) Určete rozdíl tepelných kapacit cH − cM při konstantním poli H a
při konstantní magnetizaci.
47. Určete rovnici adiabaty izotropního magnetika.
48. Ukažte, že platí
cH
cM
=
χT
χS
,
kde
χT =
∂M
∂H T
a
χS =
∂M
∂H S
49. Gama funkce je definována integrálem
Γ(n) :=
∞
0
dt exp(−t)tn−1
.
1. Dokažte vztah
Γ(n + 1) = nΓ(n),
2. spočítejte Γ(n), n ∈ N,
3. spočítejte
Γ n +
1
2
, n ∈ N.
50. S pomocí Gama funkce spočítejte přibližné vyjádření ln(n!) pro velké hodnoty n
(Stirlingův vzorec).
51. Atom vodíku se nachází v hladině n = 3. Za předpokladu, že obsazení energiových
hladin je dáno mikrokanonickým rozdělením, spočtěte pravděpodobnost toho, že se
atom nachází ve stavech se stejným vedlejším kvantovým číslem l.
52. Entropie pro izolovanou soustavu je dána vztahem S = kB ln Γ, kde Γ je počet
mikrostavů. Pro uzavřenou soustavu S = −kB n wn ln wn. Ukažte, že oba vztahy
nejsou v rozporu.
53. Ukažte, že tepelná kapacita cV je dána fluktuací energie, tj.
cV =
1
kBT2
∆E2
.
54. Spočtěte termodynamické vlastnosti systému N rozlišitelných klasických harmonických
oscilátorů s frekvencí ω.
7
55. Uvažme plyn s dvouatomovými molekulami. Spočítejte molární tepelnou kapacitu
daného plynu. Počítejte pouze s vibračním pohybem molekul, kdy je energie dána
vztahem
En = ω n +
1
2
. (1)
Spočítejte nejprve statistickou sumu, ze které určíte volnou energii a z volné energie
již lze určit hledanou tepelnou kapacitu. Výslednou tepelnou kapacitu můžete napsat
v aproximaci nízkých a vysokých teplot.
56. Odvod’te tvar Maxwellova-Boltzmannova rozdělení rychlostí molekul plynu. Vycházejte
pouze z předpokladu, že prostor je izotropní a že pohyb molekul plynu v
jednotlivých směrech je nezávislý.
57. Odvoďte Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení hybností atomů pomocí kanonického
rozdělení.
58. Za předpokladu platnosti Maxwellova-Boltzmannova rozdělení rychlostí molekul
plynu spočtěte (a) px , (e)
√
∆E2, (b) p , (c) p2
, (f) nejpravděpodobnější velikost
hybnosti, (d) v2
, (g) pravděpodobnost toho, že pz > 0.
59. Spočtěte rozložení hustoty ve sloupci plynu o základně A pod vlivem homogenního
gravitačního pole (v atmosféře). Předpokládejte, že plyn je tvořen nerozlišitelnými
částicemi, každá s hmotností m.
60. Ukažte, že tlak a hustota energie mají stejnou jednotku.
61. Spočtěte hustotu stavů pro relativistické částice a najděte limitní vztahy pro klasické
a ultra relativistické částice.
62. Ukažte, že v klasickém případě je možné z grandkanonického rozdělení jedné částice
odvodit Maxwellův-Boltzmanův zákon rozložení rychlostí.
63. Definujme funkce
Bn(y) =
1
Γ(n)
∞
0
dx
xn−1
exp(x − y) − 1
, (2)
a
Fn(y) =
1
Γ(n)
∞
0
dx
xn−1
exp(x − y) + 1
. (3)
Pro tyto funkce dokažte
dBn+1(y)
dy
= Bn(y),
a
dFn+1(y)
dy
= Fn(y).
64. Ze vztahu
Ω = −kBT
gV
(2π )3
(2πmkBT)
3
2 B5
2
µ
kBT
, (4)
8
platného pro nerelativistický ideální bosonový plyn spočtěte počet částic N a odvoďte
vztah pro chemický potenciál v rámci klasické limity.
65. Spočtěte cV nerelativistického fermionového plynu a ověřte platnost klasické limity
pro cV /N.
9