VI.JADERNÁ FYZIKA
TEORIE
Typy radioaktivních přeměn:
a) přeměna (jádra hélia)α
HeYX 4
2
4A
2Z
A
Z +→ −
−
b) přeměna (elektrony)−
β
υ+β+→ −+
~YX 0
1
A
1Z
A
Z
υ++→ −
~epn 0
1
1
1
1
0
kde υ~ je antineutrino.
c ) přeměna (pozitrony)+
β
υ+β+→ +−
0
1
A
1Z
A
Z YX
υ++→ + enp 0
1
1
0
1
1
d) přeměna (fotony)γ
(změna energetického stavu jádra)γ+→ XX A
Z
*A
Z
[ pomocí uvedených vztahů se řeší v části VI. příklady 1.1. až 1.7. ]
Při pronikání gama záření a neutronů látkou klesá intenzita úzkého svazku záření exponenciálně
s tloušťkou x absorpčního materiálu podle vztahu:
,x
oeII .μ−
=
kde μ je koeficient absorpce daného prostředí. Pro jiná pole gama záření a neutronů je exponenciální
zeslabení jen odhadem.
Polotloušťka materiálu je tloušťka, která zeslabí intenzitu radioaktivního záření na polovinu:
μ
2ln
5,0 =d
[ pomocí uvedených vztahů se řeší v části VI. příklady 1.8. a 1.9. ]
Časový zákon radioaktivní přeměny:
( ) t
e.NtN λ−
= 0 ,
kde No je počet nepřeměněných jader v čase t = 0, N(t) je počet dosud nepřeměněných jader
v čase t a λ je konstanta přeměny (přeměnová konstanta), která udává pravděpodobnost přeměny
jádra za 1 s.
Poločas přeměny (rozpadu) – doba, během níž klesne počet radioaktivních jader dané látky
na polovinu:
λ
2ln
=T
Střední doba života – doba, za kterou klesne počet radioaktivních jader dané látky na hodno-
tu
oN
o
o
N
e
N
N 368,0≈=
78
Aktivita zářiče - počet jader, která se přemění za 1 s.
NeN
dt
dN
A t
o λλ λ
=== −
jednotka: Bq
Označíme-li aktivitu zářiče v čase t = 0 Ao, platí:
t
oeAA λ−
=
[ pomocí uvedených vztahů se řeší v části VI. příklady 1.10. až 1.23., 1.47. ]
Vazebná energie – energie potřebná k rozložení jádra na volné nukleony. Charakterizuje stabilitu
jádra.
Hmotnostní schodek: ( ) ojonopj mmZAZmB −−+= ,
kde Z je protonové číslo, A je nukleonové číslo, mop je klidová hmotnost protonu, mon je klidová
hmotnost neutronu, moj je klidová hmotnost jádra.
Vazebná energie: ,2
cBE jj =
kde c je rychlost světla ve vakuu.
Energetická bilance jaderné reakce
Q = ( inα – outα ).931,4; jednotka:
MeV,
αin - součet relativních atomových hmotností částic vstupujících do reakce,
αin - součet relativních atomových hmotností částic vystupujících z reakce.
[ pomocí uvedených vztahů se řeší v části VI. příklady 1.24. až 1.28.,1.31.,
1.36., 1.37., 1.40., 1.41. ]
PŘÍKLADY
VI.1.1 Doplňte zápisy jaderných reakcí:
a) nebo zkráceně13
27
0
1
2
4
Al X He+ → +n ( )XHe,Al 4
2
1
0
27
13 n
b) ( ) O,F 16
8
1
1
19
9 xp c) ( ) Fe,Mn 55
26
1
0
55
25 nx d) ( )X,Al 1
1
4
2
27
13 pα
e) ( ) C,N 14
6
1
0
14
7 xn f) ( ) Na,X 22
11
4
2
1
1 αp
[a) 11
24
Na , b) , c) 1 , d) 14 , e) , f) ]2
4
He 1
p 30
Si 1
1
p 12
25
Mg
VI.1.2 Doplňte rovnice jaderných reakcí:
a) n+Fe?+Mn 1
0
55
26
55
25 →
b) 92
235
0
1
0
1
U + n Ba + ? + 2 n→ 56
144
[a) p1
1 , b) ]Kr90
36
VI.1.3 Určete složení jádra izotopu prvku, který vznikne z uranu po čtyřech přeměnách α
a dvou přeměnách β
92
238
U
−
.
[ ]86
222
Rn
VI.1.4 Konečným produktem radioaktivních přeměn je izotop olova . Vypočítejte,
kolik částic α a kolik částic β
90
232
Th 82
208
Pb
−
se při této přeměně uvolní.
[6α + 4β−
]
VI.1.5 Který nuklid vznikne z izotopu uranu vyzářením pěti částic α a dvou částic β92
238
U
−
?
[ ]84
218
Po
79
VI.1.6 Radionuklid vysílá záření β35
82
Br
−
a γ. Určete složení dceřiného atomu.
[ ]Kr82
36
VI.1.7 Po ostřelování železa neutrony vzniká izotop manganu s nukleonovým číslem 56.
Ten je nestabilní a vykazuje β
26
56
Fe
rozpad.
Napište rovnice obou přeměn.
VI.1.8 Při výbuchu štěpné bomby vzniká γ záření o střední energii 2 MeV. Jak silná musí být
vrstva betonu, aby poskytovala stejnou ochranu jako ocelový pancíř tloušťky 10 cm? Lineární
součinitel zeslabení μ má pro energii 2 MeV hodnoty pro beton 11 m-1
a pro ocel
33 m-1
. Předpokládejte exponenciální průběh zeslabení.
[d = 30 cm]
VI.1.9 Vypočtěte zeslabení hustoty toku neutronů pancířem tloušťky 10 cm, víte-li, že pro neutrony
příslušné energie je polotloušťka 12 cm. Předpokládejte exponenciální průběh zesla-
bení.
[I = 0,56Io]
VI.1.10 Radioaktivní preparát obsahuje 106
jader nuklidu s poločasem přeměny 1 minuta. Kolik
jader se za 10 minut
a) přemění,
b) nepřemění?
[a) Np = 999023 b) Nnp = 977]
VI.1.11 Za jakou dobu klesne počet nepřeměněných jader nuklidu s poločasem přeměny T pod
jednu milióntinu původního počtu jader?
[t = 19,93T]
VI.1.12 Při radioaktivním rozpadu 4 kg polonia vzniklo během jedné hodiny množství helia,
které zaujímá za normálních podmínek objem V = 89,29 cm
84
210
Po
3
. Určete poločas rozpadu
polonia.
[T = 138 d]
VI.1.13 Najděte přeměnovou konstantu , je-li poločas přeměny radia 1 550 let. Vypočtěte
střední dobu života atomu radia.
Ra226
[λ = 1,42.10–11
s–1
, τ = 2 236 r]
VI.1.14 Kolik atomů radia se rozpadá za 1 sekundu v 1 g preparátu ? Přeměnová konstanta
radia je 1,42.10
Ra226
–11
s–1
.
[ΔN = 3,78.1010
]
VI.1.15 Kolik mililitrů hélia vznikne během jednoho roku při rozpadu 1 g ? Předpokládejte,
že hélium má teplotu 0
Ra226
o
C a tlak 1,013.105
Pa.
[V = 0,043 ml]
VI.1.16 Konstanta přeměny λ izotopu rubidia je 0,00077 sRb89 -1
. Určete poločas přeměny a
střední dobu života jádra.
[T = 892 s, 1287=τ s]
VI.1.17 Určete poločas rozpadu radioaktivní látky, jestliže víte, že za 120 s se zmenší její množství
o 20%.
[T = 373 s]
VI.1.18 Určete přeměnovou konstantu a poločas rozpadu radioaktivní látky, jestliže za 1 h klesla
aktivita látky o 15%.
[ s5
10.51,4 −
=λ -1
, T = 1,54.104
s]
80
VI.1.19 Zářič, který obsahuje 1 g izotopu vyzařuje 1,24.10U238
92
4
částic α za 1 s. Vypočítejte
poločas rozpadu tohoto izotopu a jeho aktivitu.
[T = 4,5.109
roků, A = 1,24.104
Bq]
VI.1.20 Aktivita 1 g uranu je 1,24.1092
238
U
4
Bq. Vypočtěte přeměnovou konstantu a poločas přeměny
uranu.
[λ = 4,9.10-18
s, T = 4,5.109
r]
VI.1.21 Aktivita nuklidu poklesne za 5 hodin o 9,7 %. Produktem jaderné přeměny je .
Rozhodněte, jaký druh radioaktivního záření emituje jádro při rozpadu. Vypočtěte poločas
přeměny a střední dobu života atomu .
35
82
Br Kr82
36
35
82
Br
[λ = 5,669.10-6
s-1
, T = 1,42 dne, 0422,=τ dne]
VI.1.22 Určete stáří dřevěných předmětů, jejichž hmotnostní aktivita (tj. aktivita 1 kg látky) radioaktivního
izotopu je rovna 60 % aktivity v čerstvě poražených stromech. Aktivita
je v obou případech způsobena rozpadem izotopu uhlíku , který se zabuduje do organických
molekul během růstu stromů. Poločas přeměny je 5 730 roků.
6
14
C 6
14
C
C14
6
6
14
C
[t = 4223 roků]
VI.1.23 Určete přeměnovou konstantu radioaktivní látky, víte-li, že za hodinu klesne aktivita jejího
záření β o 10 %. Produkt přeměn není radioaktivní.
[λ = 2,93.10-5
s-1
]
VI.1.24 Jaká energie odpovídá hmotnostnímu úbytku 1 mg?
[E = 90 GJ]
VI.1.25 Jaká klidová energie odpovídá 1 u (atomové hmotnostní konstantě)?
[E = 931,4 MeV]
VI.1.26 Jakou energii mají produkty jaderné reakce , když relativní atomová
hmotnost izotopu hliníku je 26,9899 a izotopu křemíku 29,9832?
13
27
2
4
14
30
1
1
Al He Si H+ → +
(u = 1,66056.10-27
kg, mp = 1,6726.10-27
kg)
[ΔE = 1,92 MeV]
VI.1.27 Jakou energii má 1 g heliových jader vytvořených z protonů a neutronů, jestliže
mn = 1,6741.10-27
kg, αHe = 4,002604 a NA = 6,022.1023
mol-1
.
[ΔE = 4.1030
eV]
VI.1.28 Jakou energii mají produkty reakce , jestliže relativní atomová hmotnost
izotopu je 10,016018, izotopu je 11,01284 a izotopu je 2,01472.
HBDB 1
1
11
5
2
1
10
5 +→+
B10
5 B11
5 D2
1
[E = 9,3 MeV]
VI.1.29 Jádro se štěpí pomalým neutronem na dvě středně těžká jádra a několik neutronů.
Produkty štěpení mají průměrně energii 200 MeV. Vypočítejte:
U235
92
a) Energii štěpných produktů vzniklých štěpením 1 kg .U235
92
b) Za jakou dobu se spotřebuje 1 kg v reaktoru elektrárny o elektrickém výkonu
1000 MW? Její elektrická účinnost je 33 % tepelného výkonu.
U235
92
[ E = 8,20. 1013
J, t = 7,5 h ]
81
VI.1.30 Vypočítejte vlnovou délku záření, které by mohlo vyvolat vytvoření elektronpozitronového
páru.
[λm = 1,213 pm]
VI.1.31 Ve druhém stadiu syntézy jader ve hvězdách dochází ke spojení tří jader do jednoho
jádra . Vypočítejte energii uhlíkových jader vytvořených syntézou. Relativní atomová
hmotnost hélia je 4,00260.
He4
2
C12
6
[E = 7,29 MeV]
VI.1.32 Elektrický výkon jaderné elektrárny je 1000 MW. Palivové články jejích reaktorů obsahují
82000 kg uranu obohaceného na 5 % . Tepelný výkon elektrárny je 3300 MW.U235
92
a) Jaká je účinnost výroby elektřiny v elektrárně ?
b) Jaká je denní spotřeba za předpokladu, že se tepelný výkon realizuje plně štěpením
a energie produktů jednoho štěpení je průměrně 200 MeV.
U235
92
U235
92
c) Jaká je teoretická doba fungování reaktoru z jedné vsázky paliva, spotřebuje-li se štěpitelný
na jednu pětinu původního obohacení ?U235
92
[ η = 33 %, m = 1,05 kg, t = 8,53 roků ]
VI.1.33 Pomocí zákona zachování mechanické energie a hybnosti dokažte, že při centrální
pružné srážce nalétávající částice o hmotnosti m a terčové částice o hmotnosti M (terčová
částice je před interakcí v klidu) předá nalétávající částice terčové relativní energii
2
4
)Mm(
mM
E
´EE
+
=
−
, kde E a E´jsou kinetické energie nalétávající a terčové částice.
Návod: vyjádřete pomocí kinetických energií nalétávající částice její relativní úbytek při
interakci, potřebné rychlosti vypočítejte z obou zákonů zachování.
VI.1.34 Pro jaký poměr hmotností nalétávající a terčové částice bude ztráta energie nalétávající
částice největší při centrálním pružném rozptylu ?
Návod: Využijte výsledku předchozí úlohy.
[ pro m = M 100 % ]
VI.1.35 Jakou část své kinetické energie ztratí neutron při centrálním pružném rozptylu na jádru
a) lehkého vodíku,
b) deuteria,
c) uhlíku,
d) na železu?
[ 100 %, 89 %, 28,4 %, 6,89 % ]
VI.1.36 Může dojít k samovolné emisi protonu z jádra za vzniku ?238
92 U Pa237
91
( ) ( ) ( )pU238
92α = 238,05079, Pa237
91α = 237,05121, α = 1,00783 .
[ Ne, jde o endotermický proces ]
VI.1.37 Může dojít k samovolné emisi ?HeThU 4
2
234
90
238
92 +→
( )( )Th234
90α = 234,04363, He4
2α = 4,00260 .
[ Ano, jde o exotermický proces ]
82
VI.1.38 Jakou kinetickou energii získá částice alfa v předchozím příkladě ? Předpokládejte, že
jádro uranu před emisí je v klidu.
Návod : Použijte zákonů zachování mechanické energie a hybnosti.
[ = 4,1758 MeV ]αkE
VI.1.39 Srovnejte hustotuv jádra  a protonu.U235
92
[ Uρ = 1.15. 1018
kgm-3
, pρ = 1.15. 1018
kgm-3
]
VI.1.40 Porovnejte vazební energii připadající na jeden nukleon v jádře a práci WHe4
2 He4
2 o,
kterou musíme vykonat na odstranění jednoho protonu z jádra.
[ Ev/A = 7,07 MeV/nukleon, Wo = 19,82 MeV ]
VI.1.41 Která z teoreticky možných jaderných přeměn může proběhnout samovolně ?
a) 235
U → 232
Th + 3
He,
b) 235
U → 231
Th + 4
He,
c) 235
U → 230
Th + 5
He
α(235
U) = 235,0429, α(232
Th) = 232,0381, α(231
Th) = 231,0363, α(230
Th) = 230,0331,
α(3
He) = 3,0160, α(4
He) = 4,0026, α(5
He) = 5,0122,
VI.1.42 Jaké zvýšení teploty lidského těla by způsobilo zvýšení vnitřní energie molekul o přírůstek
rovnající se letální (smrtelné) dávce záření 5 Gy?
[ ΔT = 0,0012 K ]
VI.1.43 Jakou dávku by obdržel při celotělovém ozáření člověk, vzrostla-li teplota jeho těla o
0,1 K?
Návod: Předpokládejte, že měrná tepelná kapacita těla je srovnatelná s měrnou tepelnou
kapacitou vody.
[ 420 Gy, což je s jistotou letální dávka ]
VI.1.44 Kolik protonů energie 5 MeV vytvoří v nádoru objemu 10-6
m3
dávku 40 Gy?
[ 5.1010
protonů ]
VI.1.45 Jakou celkovou kinetickou energii musí mít deuteron a triton, aby se k sobě přiblížily na
vzdálenost dosahu silných jsderných sil 10-15
m ? Při jaké teplotě takové kinetické energie
dosáhnou ? Jakým napětím musíte urychlit deuteron, aby získal potřebnou kinetickou ener-
gii?
Nápověda: Použijte zákon zachování mechanické energie a předpokládejte centrální pružný
rozptyl; dále předpokládejte, že kinetická energie deuteronu a tritonu se určí jako kinetická
energie molekuly ideálního plynu s pěti a šesti stupni volnosti.
[ Ek = 1,43 MeV, T = 3.109
K, U = 1,43 MV ]
VI.1.46 Z grafu závislosti vazební energie připadající na jeden nukleon zjistíme hodnoty této veličiny
pro několik jader.
a) ε(7
Li) = 5,60 MeV/nukleon
b) ε(84
Kr) = 8,72 MeV/nukleon
c) ε(239
Pu) = 7,56 MeV/nukleon
Jakou energii byste získali syntézou uvedených jader z protonů a neutronů, kdyby byla
technicky proveditelná?
[ ELi = 39,2 MeV, EKr = 732,5 MeV, EPu =1807 MeV ]
83
VI.1.47 Vypočítejte, kolikrát se zmenší aktivita zářiče po uplynutí deseti poločasů přeměny.
[ 1024 krát ]
84