F7030 Rentgenová strukturní analýza - příklady do cvičení Verze 14. prosince 2023
1   Příklady do cvičení 1
1.1 Experimentální technika - Exkurze......................................... 1
1.2 Rozptylový faktor vodíku-podobného ls atomového orbitalu........................... 1
1.3 Rozptylový faktor atomu............................................... 1
1.4 Rozptylový faktor fulerenu.............................................. 2
1.5 Reciproké mříže.................................................... 2
1.6 Strukturní faktory kubických mříží......................................... 2
1.7 Strukturní faktor SnTe................................................ 2
1.8 Difrakce poly krystalu................................................. 2
1.9 Difrakční úhly..................................................... 2
1.10 Difrakční efekty spojené s konečnou velikostí krystalu .............................. 2
1.11 RTG difrakce na A^Ceo............................................... 3
1.12 Difrakce diamantu.................................................. 3
1.13 Tvarová funkce částice................................................ 3
1.14 Intenzita v anti-Braggově poloze.......................................... 3
1.15 Tenká pseudomorfní vrstva InAs na GaAs (001).................................. 3
1.16 Odrazivost a polarizace ............................................... 3
1.17 Odrazivost vrstvy................................................... 4
1.18 Simulace vrstev a multivrstev............................................ 4
1.19 Fitování vrstev a multivrstev............................................ 4
1.20 Dynamická teorie difrakce.............................................. 4
1.21 Semikinematická teorie................................................ 4
1.22 Semikinematická teorie................................................ 4
1.23 Monochromátory různé difrakce........................................... 4
1.24 Monochromátory různé vlnové délky........................................ 4
1.25 Monochromátory různé krystaly .......................................... 4
Ke stažení na www.physics.niuni.cz/~caha/vyuka.html.
1   Příklady do cvičení
1.1 Experimentální technika - Exkurze
První cvičení je exkurze do laboratoře s ukázkami experimentální techniky: zdroje, goniometry, optické prvky, detektory.
1.2 Rozptylový faktor vodíku-podobného ls atomového orbitalu
Vypočtěte rozptylový faktor vodíku-podobného ls orbitalu s vlnovou funkcí
Proveďte transformaci do přímého prostoru. Které členy vyjadřují hluboké a které valenční elektrony pro měď?
kde a =
Z — zs
1.3   Rozptylový faktor atomu
Standardní aproximace rozptylového faktoru je
4
/(Q/4tt) = Y. aie~b3 SÍU'2 9'X~ + c-
1
	ai        h (Ä2)       a2       b2 (Ä2)       a3       &3 (Ä2)       a4       h (Ä2) c
Cu	13.3380    3.5828    7.1676    0.2470    5.6158   11.3966   1.6735   64.8126 1.1910
Ověřte počet elektrone jako /o(0). Odhadněte poloměr koule, uvnitř které se nachází polovina elektronů. Porovnejte s atomovým poloměrem mědi 1.28 A.
1.4   Rozptylový faktor fulerenu
Spočtěte rozptylový faktor fulerenu. Elektronovou hustotu aproximujte tenkou kulovou slupkou
P(r) = ^(r-R).
Průměr fulerenu C@o je 2R = 7.1 Ä.
1.5   Reciproké mříže
Odvoďte reciproké mříže čtvercové a hexagonální mříže.
1.6   Strukturní faktory kubických mříží
Odvoďte vztahy pro vyhasínání difrakcí kubické prosté, prostorově centrovaná, plošně centrované a diamantové mříže.
1.7   Strukturní faktor SnTe
Spočte strukturní faktor lichého difrakčního řádu v krystalu odvozeném od struktury soli kamenné při posunu kationové mříže o ô. Mříže jsou posunuty ve směru [111].
1.8   Difrakce polykrystalu
Difrakční píky byly naměřeny pro rozptylové úhly 19.2°, 27.3°, 33.6°, 38.9°, 43.8°, 48.2°, 56.3° a 60.0°. Použita byla vlnová délka 1.0 A. Určete typ Bravaiho mřížky a mřížový parametr.
1.9   Difrakční úhly
Vypočtěte všechny možné difrakční úhly při difrakci záření o vlnové délce 0.1541nm (charakteristická čára CuKai) na krystalu Si (mřížkový parametr 0.54309 nm).
1.10   Difrakční efekty spojené s konečnou velikostí krystalu
Spočítejte Fourierovu transformaci nábojové hustoty malého krystalu s prostou kubickou mřížkou
iV* Ny Nz
pei(x,y,z)=   X]     X]     X]   Po{x - j\a,y - j2a,z - jza)
ji=-NxJ2 = -Ny js = -Nz
a srovnejte výsledek s výrazem pro obsahujícím geometrický faktor. Odpovídá elektronová hustota zadaná v tomto příkladu elektronové hustotě uvažované výše, nebo je zde nějaký rozdíl? Diskutujte o souvislosti konečné velikosti krystalu s divergencí rozptýleného rentgenového záření.
2
1.11   RTG difrakce na AxQjo
Experimentálně bylo zjištěno, že difrakční pík (200) fcc mřížky fulerenu C@o (mřížkový parametr a = 14.11 Á) je velmi slabý. Předpokládejte, že nábojová hustota fulerenu je reprezentována nábojem rovnoměrně rozloženým na povrchu koule s poloměrem 3.5 Á. Spočítejte strukturní faktor molekuly C@o v této aproximaci a s jeho pomocí ukažte, že difrakční pík (200) je mnohem slabší než pík (111).
1.12   Difrakce diamantu
Difrakční záznam diamantu. Proveďte Williamsonovu-Hallovu analýzu.
Counler poätion 26
ťigure 21  Neulron diffractiori putlsm for powdered diamond. (After G. Bacon.)
1.13 Tvarová funkce částice
Spočtěte Fourierovu transformaci krystalu tvaru kvádru, koule a rotačního elipsoidu.
1.14 Intenzita v anti-Braggově poloze
Polovina monovrstvy je náhodně rozložena na povrchu monokrystalu, stejného složení jako podložní monokrystal. Spočtěte intenzitu podél krystalového truncation rod a určete intenzitu v anti-Braggově poloze. Jak lze tohoto výsledku použít pro detekci depozice v režimu vrstva po vrstvě?
1.15 Tenká pseudomorfní vrstva In As na GaAs (001)
Spočtěte mřížový parametr ve směru kolmo na povrch vrstvy InAs vrstvy deponované na monokrystalické podložce GaAs, jestliže jde o tzv. pseudomorfní vrstvu. Krystalová mříž pseudomorfní vrstvy je stlačena v obou směrech v rovině povrchu tak, aby mřížový parametr v rovině povrchu odpovídal mřížovému parametru substrátu. Jaký tlak působí na InAs vrstvu v rovinách kolmých na povrch a jaká je hustota elastické energie v takové pseudomorfní vrstvě?
Elasticita kontinua: Mřížový parametr GaAs je etcaAs = 5.6533 Á, InAs ainAs = 6.0583 Á, elastické konstanty InAs Ch = 8,34 x 1010 N/m2, C12 = 4,54 x 1010 N/m2, C44 = 3,95 x 1010 N/m2.
1.16 Odrazivost a polarizace
Odvoďte a porovnejte vztahy pro rtg odraz v s- a p-polarizaci.
3
1.17 Odrazivost vrstvy
Odvoďte vztah pro rtg odraz na jedné vrstvě.
1.18 Simulace vrstev a multivrstev
Použijte software pro simulaci různých vrstev a multivrstev. Vhodný software je GenX: https://aglavic.github.io/genx/ A. Glavic and M. Bjôrck, GenX 3: the latest generation of an established tool, J. Appl. Cryst. 55, 1063-1071 (2022).
1.19 Fitování vrstev a multivrstev
1.20 Dynamická teorie difrakce
1.21 Semikinematická teorie
Najděte vztahy pro rozptyl na částicích na povrchu a uvnitř materiálu.
1.22 Semikinematická teorie
Ověřte konzistenci popisu na hladkém povrchu v semikinematická a dynamické teorii.
1.23 Monochromátory různé difrakce
Spočtěte šířku dynamické difrakční křivky na Si v symetrické Braggově difrakci 111, 220 a 400 pro Ka čáru mědi.
FWHM=2^XhX-h\/l sin2#s    y \b\
pro symetrickou Braggovu difrakci platí b = — 1.
tt = -^rľ J/'"'" ,  re = 2.82 x 10"15m
3
Hodnoty:
A = 1.54056 Á, E = 8048 eV a = 5.4309 Á /(lil) = 10.53   /(220) = 8.72   /(400) = 7.52
1.24 Monochromátory různé vlnové délky
Spočtěte šířku dynamické difrakční křivky na Si v symetrické Braggově difrakci 220 pro Ka čáru mědi, železa a molybdenu. Hodnoty:
Fe : A = 1.54056 Á, E = 8048 eV Cu : A = 1.936 A, E = 6398 eV Mo : A = 0.7093 Á, E = 17441 eV
1.25 Monochromátory různé krystaly
Spočtěte šířku dynamické difrakční křivky na Si, Ge a diamantu v symetrické Braggově difrakci 111 pro Ka čáru mědi.
Hodnoty:
A = 1.54056 Ä, E = 8048 eV C : a = 3.567Á /(lil) = 3.058 Si : a = 5.4309 Á /(lil) = 10.53 Ge:a = 5.658Á /(lil) = 27.50
4