Elektronová optika a mikroskopie - Přednáška 01

Základní informace o předmětu

Náplň předmětu

• Metody pro popis elektronově optických systémů
• Záladní elementy elektnově optických systémů
• Vlnově optický popis elektronově optických systémů
• Rozlišení
• Korektory vad

Podmínky absolvování předmětu

• Vypracování zápočtových příkladů
• Absolvování zkoušky

Základní oblasti optiky nabitých částic

Elektronová mikroskopie

• Rastrovací elektronová mikroskopie (SEM)
• Prozařovací elektronová mikroskopie (TEM)

Elektronová spektroskopie

• Energiové filtry pro analýzu signálních či prošlých elektronů
  • Spektroskopie energiových ztrát - Electron Energy Lost Spectroscopy (EELS)
  • Energiové filtry SE a BSE

qe=1.602e-19; # elementar charge
me = 9.109e-31; # electron mass 
c = 299792458; #Speed of light [m/s]
η2=qe/(2*me)
η = sqrt(η2)

Zobrazovaci vlastnosti magnetickeho pole

Homogenní magnetické - parametrizce pomoci času

\(\renewcommand{\vec}[1]{{\mathsf{\boldsymbol{{#1}}}}}\) \(\newcommand{\im}{\mathop{\mathrm{i}}}\) \(\newcommand\dd{{\mathrm{d}}}\)

• Homogenní magnetické pole ve směru osy z: \(\vec B = (0,0,B)\).

• Pohybová rovnice pak má tvar \[\begin{align} \vec{\ddot r} = -\frac em\vec v\times \vec B=-\frac {eB}m\begin{pmatrix}v_y\\-v_x\\0\end{pmatrix} \end{align}\]

V případě magnetického pole je vhodné hledat řešení pomocí komplexních souřadnic \(w = x+\im y\) \[\begin{align} \ddot w-\frac{eB}m\im\dot w=0 \end{align}\] Využitím transformace \(w=e^{\im\Theta}\) \[\begin{align} \ddot u+\im\dot u(2\dot\Theta-\frac{eB}m) + u(\im\ddot\Theta-\dot\Theta^2+\frac{eB}m\dot\Theta)=0 \end{align}\] Pokud volím pokud zvolíme \(\dot\Theta=eB/2m\) dostaneme rovnici harmonického oscilátoru \[\begin{align} \ddot u+\frac{e^2B^2}{4m^2}u=0 \end{align}\] S řešením ve tvaru \[\begin{align} u = u_0\cos(\frac{eB}{2m}t)+\frac{2m}{eB}\dot u_0\sin(\frac{eB}{2m}t) \end{align}\]

Bz=0.02
Phi = 1000 #Urychlovaci napeti
v=sqrt(2*qe*Phi/me) # Rychlost castice (nerelativisticky)
α = (-1:0.1:1)*10e-3 #Smernice v objektu
vx = α*v #vx v objektu
vz = sqrt.(v^2 .- vx.^2) #vz v objektu
tᵢ = 2*me/(qe*Bz)*pi
tp = (0:0.01:1.01)*tᵢ
up = (cos.(qe*Bz/(2*me)*tp)*zeros(length(vx))' .+ 2*me/(qe*Bz)*sin.(qe*Bz/(2*me)*tp)*vx')
Θₚ = qe*Bz/(2*me)*tp
wp = cos.(Θₚ).*up+1im*sin.(Θₚ).*up

sys:1: UserWarning: No data for colormapping provided via 'c'. Parameters 'vmin', 'vmax' will be ignored
sys:1: UserWarning: No data for colormapping provided via 'c'. Parameters 'vmin', 'vmax' will be ignored
sys:1: UserWarning: No data for colormapping provided via 'c'. Parameters 'vmin', 'vmax' will be ignored
sys:1: UserWarning: No data for colormapping provided via 'c'. Parameters 'vmin', 'vmax' will be ignored

Homogenní magnetické pole - přechod do parametrizace pomocí \(z\)

• Elektrony se stejnou energií vycházející z jednoho budu \([x_o,y_o]\) v rovině \(z=z_o\) mají v čase \(t = 2\pi m_e/(eB_z)\) opět stejné souřadnice \(x,\, y\)
• Mají ale rozdílnou souřadnici z, protože mají odlišné \(v_z=v\sqrt{1-x_o^{\prime 2}-y_o^{\prime\,2}}\).
• V případě osového bodu protnou částice s vyšší počáteční směrnicí osu dříve. Tomuto chování se říká sférická aberace, reparametrizací řešení pohybové rovnice můžeme dostat koeficient sférické aberace.

\[\begin{align} z &= v_zt,\, v_z=v\sqrt{1-x_o^{\prime\,2}-y_o^{\prime\,2}} = v\sqrt{1-u_o^{\prime}\bar u_o^{\prime}} \Rightarrow\\ &\Rightarrow t=\frac{z}{v\sqrt{1-u_o^{\prime}\bar u_o^{\prime}}} \end{align}\] pak \[u(z) = u_0\cos\left(\frac{eB}{2m}\frac{z}{v\sqrt{1-u_o^{\prime}\bar u_o^{\prime}}}\right)+\frac{2m}{eB}\dot u_0\sin\left(\frac{eB}{2m}\frac{z}{v\sqrt{1-u_o^{\prime}\bar u_o^{\prime}}}\right)\] což po rozvinutí do polynomu v \(u_o\) a \(u^{\prime}_o\) můžeme psát ve tvaru \[\begin{align} u(z) = &\cos\left(\frac{eB}{2m}\frac zv\right)u_o - \frac{eB}{2m}\frac z{2v}\sin\left(\frac{eB}{2m}\frac zv\right)u_ou_o^{\prime}\bar u_o^{\prime}\\ &+\sin\left(\frac{eB}{2m}\frac zv\right)u_o^{\prime} + \frac{eB}{2m}\frac z{2v}\cos\left(\frac{eB}{2m}\frac zv\right)u_o^{\prime\,2}\bar u_o^{\prime} + \cdots \end{align}\] k fokusu dochází, když koeficient \(u^{\prime}_o\) v rozvoji vymizí, tj. \[\sin\left(\frac{eB}{2m}\frac zv\right) = 0 \Rightarrow \frac{eB}{2m}\frac zv = \pi\Rightarrow z_i = \frac{2\pi mv}{eB}\] ve fokusu jsou tedy pozice jednotlivých paprsků popsané \[u(z_i) = -u_o - \frac 12z_iu_o^{\prime\,2}\bar u_o^{\prime} +\cdots\] kde výraz \(- \frac 12z_iu_o^{\prime\,2}\bar u_o^{\prime}\) popisuje sférickou aberaci.

V případě, že svazek není monochromatický, tak se projeví tzv. chromatická aberace, která je způsobena tím, že na trajektorii elektronu s vyšší energií má magnetiské pole nižší efekt.

Červenna 999 eV, černá 1000 eV, modrá 1001 eV

Homogenní magnetické poel - výpočet řešením pohybové rovnice

• Silové působení elektrostického a magnetického pole je dano Lorentzovou sílou \[ \mathbf{F} = -e(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})\]

• Pohybová rovnice pak má tvar \[\ddot{\mathbf{r}}+ \frac{e}{m}(\mathbf{E}(\mathbf{r})+\dot{\mathbf{r}}\times \mathbf{B}(\mathbf{r}))=0\]

• Pro numerické výpočty se používá soustava diferenciálních rovnic 1. řádu.

• Zavedeme vektor \(\mathbf{R} = (x,y,z,\dot{x},\dot{y},\dot{z})\) a pohybová rovnice pak přejde na \[\begin{align} \dot{R}[1] &= R[4]\\ \dot{R}[2] &= R[5]\\ \dot{R}[3] &= R[6]\\ \dot{R}[4] &= -\frac{e}{m_e}(E[1] + R[5]*B[3]-R[6]*B[2])\\ \dot{R}[5] &= -\frac{e}{m_e}(E[2] + R[6]*B[1]-R[4]*B[3])\\ \dot{R}[6] &= -\frac{e}{m_e}(E[3] + R[4]*B[2]-R[5]*B[1]) \end{align}\]

function rhs(x,p,t)
    E = p[1](x[1:3])
    B = p[2](x[1:3])
    dx = zeros(6)
    dx[1] = x[4]
    dx[2] = x[5]
    dx[3] = x[6]
    dx[4] = -qe/me*(E[1]+x[5]*B[3]-x[6]*B[2])
    dx[5] = -qe/me*(E[3]+x[6]*B[1]-x[4]*B[3])
    dx[6] = -qe/me*(E[3]+x[4]*B[2]-x[5]*B[1])
    return dx
end

Bz = 0.02 #Konstatntni magneticka indukce ve smeru z
E = x::Vector{Float64}->[0,0,0] # Intenzita elektrostatickeho pole - nulova
B = x::Vector{Float64}->[0,0,Bz] # Magneticka indukce [0,0,Bz] 
Phi = 1000 #Urychlovaci napeti
v=sqrt(2*qe*Phi/me) # Rychlost castice (nerelativisticky)
α = (-1:0.1:1)*10e-3 #Smernice v objektu
vx = α*v #vx v objektu
vz = sqrt.(v^2 .- vx.^2) #vz v objektu

sol = Any[]
zᵢ = 2*pi*me*v/(qe*Bz) # Pozice image pane (z analytickeho vypoctu)
for i=1:length(vx)
    prob = ODEProblem(rhs,[0,0,0,vx[i],0,vz[i]],(0.0,(zᵢ+1e-5)/vz[i]),[E,B])
    push!(sol,solve(prob,dtmax=1e-3/vz[i]))
end
    

sys:1: UserWarning: No data for colormapping provided via 'c'. Parameters 'vmin', 'vmax' will be ignored
sys:1: UserWarning: No data for colormapping provided via 'c'. Parameters 'vmin', 'vmax' will be ignored
sys:1: UserWarning: No data for colormapping provided via 'c'. Parameters 'vmin', 'vmax' will be ignored
sys:1: UserWarning: No data for colormapping provided via 'c'. Parameters 'vmin', 'vmax' will be ignored

Plot trajektorii v rotacnich souradnicich

Magnetická čocka - výpočet řešením pohybové rovnice

Pole stadarni magneticke čočky je lokalizované do oblasti mezi pólovými nástavci. Počítá se pomoci numerického výpočtu, v této chvíli je reprezentujeme pomoci magnetické indukce na ose jednoduchou Gausovou křivkou \[ B_z(0,0,z) = B_0\exp(-z^2/\Delta z)\]

B₀=0.02
Δz = 2e-3
Bz = z->B₀*exp(-z^2/(2Δz^2))
dBz =Function[]
push!(dBz,Bz)
for i=1:5
    push!(dBz,x->ForwardDiff.derivative(dBz[i],x))
end
z=(-1:0.01:1)*1e-2
plot(z,dBz[1].(z),xlabel="z [m]",ylabel=L"B_z" *"[m]")  
        

function Blens(x::Vector{Float64},dBz)
    dBz1 = [dBz[i](x[3]) for i in 1:6]
    r2=x[1]^2+x[2]^2
    Bx = -x[1]/2*dBz1[2]+x[1]/16*r2*dBz1[4]
    By = -x[2]/2*dBz1[2]+x[2]/16*r2*dBz1[4]
    Bz = dBz1[1]-r2/4*dBz1[3]
    return [Bx,By,Bz]
end
    

E = x::Vector{Float64}->[0,0,0] # Intenzita elektrostatickeho pole - nulova
Phi = 1000 #Urychlovaci napeti
v=sqrt(2*qe*Phi/me) # Rychlost castice (nerelativisticky)
α = (-1:0.1:1)*10e-3 #Smernice v objektu
vx = α*v #vx v objektu
vz = sqrt.(v^2 .- vx.^2) #vz v objektu

sol = Any[]
for i=1:length(vx)
    prob = ODEProblem(rhs,[0,0,-0.1,vx[i],0,vz[i]],(0.0,0.15/vz[i]),[E,x->Blens(x,dBz)])
    push!(sol,solve(prob,dtmax=1e-3/vz[i]))
end
    

Rovnice trajektorie

Relativistická pohybová rovnice

V elektronové optice se pracuje s vysokými energiemi elektronů a je nutné používat relativistickou dynamiku. Zrekapitulujeme pouze několi základních vztahů a definic.

• Hmotnost částice \(m\gamma\) kde \(\gamma = (1-v^2/c^2)^{-1/2}\) a \(m\) je klidová hmotnost
• Kinematický impulz částice \(g = m\gamma v\)
• Energie částice \(E=m\gamma c^2\)
• Velikost kinematického impulzu je svázaná s energií částice \(\frac{E^2}{c^2}-\vec g^2=m^2c^2\)

Relativistická pohybová rovnice pak má tvar \[\begin{align} \frac{\dd \vec g}{\dd t} = -e(\vec E(\vec r,t) + \vec v\times\vec B(\vec r,t)) \end{align}\]

Volba aditivní konstanty elektrostatické potenciálu

\(\varphi=0\) v místě v němž mají částice nulovou rychlost \(\Rightarrow\) \(-q\varphi = E_k\), \[\begin{align} E_k &= -q\varphi\\ E&=mc^2-q\varphi\\ \gamma&=1-\frac{q\varphi}{mc^2}\\ \mid \vec g\mid &= \sqrt{\frac{E^2}{c^2}-m^2c^2}=\sqrt{-2mq\varphi\left(1-\frac{q\varphi}{2mc^2}\right)}= \sqrt{-2mq\varphi^*} \end{align}\] kde jsme zavedli relativisticky korigovaný elektrostatický potenciál \[\varphi^*=\varphi\left(1-\frac{q\varphi}{2mc^2}\right)\]

Dále budeme předpokládat, že popisujeme trajektorie elektronů, tj částici s nábojem \(q = -e\)

Rovnice trajektorie pomoci reparametrizace pohybové rovnice

Přejdeme na parametrizaci delkou oblouku trajektorie \(\vec r(s) = (x(s),y(s),z(s))\), \(\dd s = |\dd\vec r|=\vec v\dd t\), \(\frac{\dd}{\dd t}=v\frac{\dd}{\dd s}\) \[\begin{align} \frac{\dd \vec g}{\dd s}=-\frac ev \vec E(\vec r,s) - e\frac{\dd\vec r}{\dd s}\times\vec B \end{align}\] dále použijeme \[\begin{align} \nabla \varphi^* &= \nabla(\varphi(1+e\varphi/2mc^2))=\nabla\varphi(1+e\varphi/mc^2)=\gamma\nabla\varphi=-\gamma \vec E\\ \nabla g &= \sqrt{2em}\,\nabla \varphi^{*\,\frac 12} = \frac 12\sqrt{2em}\,\frac{\nabla \varphi^*}{\varphi^{*\,\frac 12}}=me\frac{\nabla \varphi^*}{g}=\frac{e}{\gamma v}\nabla \varphi^* = -\frac ev\vec E \end{align}\] Čímž dostaneme: \[\begin{align} \frac{\dd}{\dd s}(g\frac{\dd\vec r}{\dd s})=\nabla g-e\frac{\dd\vec r}{\dd s}\times \vec B \end{align}\]

Přejdeme na parametrizaci polohou podel opticke osy \(\vec r(z) = (x(z),y(z),z)\), \(\rho = |\vec r|=\sqrt{1+x^{\prime\,2}+y^{\prime\,2}}\), \(\frac{\dd}{\dd s}=\frac1{\rho} \frac{\dd}{\dd z}\) \[\begin{align} \frac 1{\rho}\frac{\dd}{\dd z}\left(\frac g{\rho}\frac{\dd\vec r}{\dd z}\right)=\nabla g-\frac e{\rho}\vec r^{\prime}\times \vec B \end{align}\] třetí rovnice : \[\begin{align} \frac{1}{\rho}\frac{\dd}{\dd z}\left(\frac g{\rho}\right)=\frac{\partial g}{\partial z}-\frac{e}{\rho} \vec e_z (\vec r^{\prime}\times \vec B) \end{align}\] je závislá na prvních dvou rovnicích, ale lze ji použít pro zjednodušení rovnice trajektorie \[\begin{align} \frac{g}{\rho^2}\vec r^{\prime\prime} = \nabla g-\vec r^{\prime}\frac{\partial g}{\partial z}-\frac e{\rho}(\vec r^{\prime}\times\vec B-(\vec e_z(\vec r^{\prime}\times \vec B))\vec r^{\prime}) \end{align}\] po několika triviálních úpravách dostaneme: \[\begin{align} x^{\prime\prime}&=\frac{\rho^2}g\left(\frac{\partial g}{\partial x}-x^{\prime}\frac{\partial g}{\partial z}\right)-\frac{e\rho^2}g(y^{\prime} B_t-\rho B_y)\\ y^{\prime\prime}&=\frac{\rho^2}g\left(\frac{\partial g}{\partial y}-y^{\prime}\frac{\partial g}{\partial z}\right)-\frac{e\rho^2}g(-x^{\prime} B_t+\rho B_x) \end{align}\] kde \(B_t = (B_z+x^\prime B_x+y^{\prime}B_y)/\rho\)

Nebo pomoci relativisticky korigovaného potenciálu \[\begin{align} x^{\prime\prime} &= \frac{\rho^2}{2\varphi^*}\left(\frac{\partial \varphi^*}{\partial x}-x\frac{\partial\varphi^*}{\partial z}\right)+\frac{\eta\rho^2}{\sqrt{\varphi^*}}(\rho B_y-y^{\prime}B_t)\\ y^{\prime\prime} &= \frac{\rho^2}{2\varphi^*}\left(\frac{\partial \varphi^*}{\partial y}-y\frac{\partial\varphi^*}{\partial z}\right)+\frac{\eta\rho^2}{\sqrt{\varphi^*}}(-\rho B_x+x^{\prime}B_t) \end{align}\] kde jsem definovali \(\eta = \sqrt{e/2m}\)

function rhs_te(x,p,t)
    r = [x[1:2];t]
    E = p[1](r)
    B = p[2](r)
    #@show B[3]
    φ = p[3](r)
    γ = 1+qe*φ/(me*c^2)
    φᵣ = φ*(1+qe*φ/(2*me*c^2))
    ρ = √(1+x[3]^2+x[4]^2)
    Bₜ = (B[3]+x[3]*B[1]+x[4]*B[2])/ρ
    dx = zeros(4)
    dx[1] = x[3]
    dx[2] = x[4]
    dx[3] = ρ^2*γ/(2*φᵣ)*(-E[1]+x[1]*E[3]) + η*ρ^2/√φᵣ*(ρ*B[2]-x[4]*Bₜ)
    dx[4] = ρ^2*γ/(2*φᵣ)*(-E[2]+x[2]*E[3]) + η*ρ^2/√φᵣ*(-ρ*B[1]+x[3]*Bₜ)
    return dx
end

rhs_te (generic function with 1 method)

p1=plot(legend=false,xlabel="z[m]",ylabel="x[m]",zlabel="y[m]")
for i=1:length(sol)
    plot!(p1,sol[i],idxs=(0,1,2))
end
p2=plot(legend=false,xlabel="x[m]",ylabel="y[m]",aspect_ratio=:equal)
for i=1:length(vx)
    plot!(p2,sol[i],idxs=(1,2))
end
plot(p1,p2,size=(1024,512),xlabel="x[m]",ylabel="y[m]",layout=@layout [a{0.7w} b])

Hamiltonovská optika pro systémy nabitých částic

Nabitá částice v elektromagnetickém poli

Použijeme Lagrangeovskou formulaci mechaniky - pohyb je hledán jako extremála funkcionálu \[\begin{align} S = \int_{t_1}^{t_2}L(\vec{r}(t),\dot{\vec{r}}(t),t)\dd t\,, \qquad \delta S=0 \end{align}\] Lagrangeovy rovnice: \[\begin{align} \frac{\dd}{\dd t} \frac{\partial L}{\partial \dot{\vec r}}-\frac{\partial L}{\partial \vec r} =0 \end{align}\]

Lagrangean částice o klidové hmotnosti \(m\) s nábojem \(-e\) ve statickém elektromagnetickém poli ( \(\varphi(\vec{r})\) a \(\vec A(\vec{r})\)). \[\begin{align} L = -mc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} - e\vec v\vec A + e\varphi \end{align}\] kde \(c\) je rychlost světla, \(v\) rychlost nabité částice.

Kanonický impulz \[\begin{align} \vec p = \frac{\partial L}{\partial \vec v}=\vec g -e\vec A\,. \end{align}\]

Hamiltonián dostaneme pomoci Legendrovy transformace\ \[\begin{align} H(\vec r,\vec p) = \vec p\vec v - L\,,\qquad \dot{\vec{p}} = -\frac{\partial H}{\partial\vec r}\,, \qquad \dot{\vec{r}} = \frac{\partial H}{\partial\vec p} \end{align}\]

Užitím vztahu \(E = \gamma mc^2\) a (\(\ref{kvim}\)) dostaneme pro relativistický faktor \(\gamma\) \[\begin{align} \gamma = \sqrt{1+\frac{\vec g^2}{m^2c^2}} \end{align}\] a pro rychlost \[\begin{align} \vec v = c\frac{\vec p - q\vec A}{\sqrt{m^2c^2+(\vec p-q\vec A)^2}} \end{align}\] Dosazením těchto vztahů do vírazu pro Hamiltonián \[\begin{align} H = c\sqrt{(\vec p + e\vec A(\vec r))^2+m^2c^2} -e\varphi(\vec r)=mc^2 \end{align}\]

Fázový prostor, pohybové rovnice a Liouvillův teorém

Pohyb nabité částice v poli je pak dán Hamiltonovými pohybovými rovnicemi \[\begin{align} \frac{\dd }{\dd t}\vec r = \frac{\partial H}{\partial \vec p}\,,\qquad \frac{\dd }{\dd t}\vec p = -\frac{\partial H}{\partial \vec r} \end{align}\] Trajektorie nabité částice ve fázové prostoru je pak jednoznačně určená počáteční polohou a impulzem (bodem ve fázovém prostoru, kterým prochází). Trajektorie se ve fázové prostoru neprotínají! Pro hustotu náboje ve fázovém prostoru platí rovnice kontinuity: \[\begin{align} \nabla \vec j + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0 \end{align}\] jde \(\vec j = \rho\vec v\) je proud ve fázové prostoru (\(\vec v = (\dot{\vec r},\dot{\vec p})\) je šestirozměrná rychlost ve fázovém prostoru). Pro divergenci toku pravděpodobnosti dostaneme \[\begin{align} \nabla \vec j &= \frac{\partial}{\partial \vec r}(\rho\dot{\vec r})+\frac{\partial}{\partial \vec p}(\rho\dot{\vec p})=\rho\left(\frac{\partial\dot{\vec r}}{\partial\vec r} +\frac{\partial\dot{\vec p}}{\partial\vec p}\right)+ \frac{\partial\rho}{\partial\vec r}\dot{\vec r} + \frac{\partial\rho}{\partial\vec p}\dot{\vec p}\\ &=\rho\left(\frac{\partial^2H}{\partial\vec r\partial\vec p}-\frac{\partial^2H}{\partial\vec p\partial\vec r} \right) + \frac{\partial\rho}{\partial\vec r}\dot{\vec r} + \frac{\partial\rho}{\partial\vec p}\dot{\vec p} = \frac{\partial\rho}{\partial\vec r}\dot{\vec r} + \frac{\partial\rho}{\partial\vec p}\dot{\vec p}\nonumber \end{align}\] Po dosazení do rovnice kontinuity dostaneme Liouvillův teorém (hustota náboje je konstantní podél trajektorie ve fázovém prostoru): \[\frac{\partial\rho}{\partial\vec r}\dot{\vec r} + \frac{\partial\rho}{\partial\vec p}\dot{\vec p}+\frac{\partial \rho}{\partial t} = \frac{\dd \rho}{\dd t} =0\]

Brightness

Proudová směrová hustota - Brightness \[\begin{align} B = \frac{\dd I}{\dd S\dd \Omega} \end{align}\] \[\begin{align} \dd I = \frac{\dd Q}{\dd t} = \frac{\rho\dd^3\vec r\dd^3\vec p}{\dd t} = \rho\dd Svg^2\dd g\dd \Omega =\rho g^2\dd S\dd\Omega \dd E \end{align}\] kde jsem použili \(v\dd g = \dd E\). Pokud uvažujeme monoenergetický zdroj dostaneme: \[\begin{align} \dd I = \rho\dd S\dd\Omega \end{align}\] a po dosazení do vztahu pro brightness dostaneme \[\begin{align} B = \rho g^2 \Rightarrow \frac B{g^2}=\mathrm{konst.} \end{align}\] Také se zavádí tzv. redukovaná brightness \[\begin{align} B_r = \frac B{\varphi^*}=\frac{\dd I}{\dd S\dd \Omega\varphi^*} = \mathrm{konst.} \end{align}\]

To nám umožǔje spočítat minimální velikost obrazu (\(dS = 1/4\pi d^2\), \(\dd\Omega = \pi\alpha^2\)) \[\begin{align*} d = \frac 2{\pi}\sqrt{\frac{I}{B_r\varphi^*}}\frac 1{\alpha} \end{align*}\]

Charakteristická funkce a eikonál

Charakteristická funkce - stacionární hodnota akce \[\begin{align} W = W(\vec r_0,t_0;\vec r,t)=\mathop{Ex} \int\limits_{t_0}^tL(\vec r,\dot{\vec{r}})\dd t \end{align}\] podél skutečné trajektorie se zachovává hodnota energie \[\begin{align} W(\vec r_0,t_0;\vec r,t)=\mathop{Ex} \int\limits_{t_0}^t\left(\vec p\vec v -H(\vec r,\vec{p})\right)\dd t=\mathop{Ex}\int\limits_{\vec r_0}^{\vec r}\vec p\dd\vec r - E(t-t_0) \end{align}\] kde poslední integrál je přes reálnou trajektorii spojující body \(\vec r_0\), \(\vec r\) a definuje eikonál: \[\begin{align} S(\vec r_0,\vec r,E) = \mathop{Ex}\int\limits_{\vec r_0}^{\vec r}\vec p\dd\vec r. \end{align}\] Trajektorie v systému pak lze najít jako extremály funcionálu \(\int\limits_{\vec r_0}^{\vec r}\vec p\dd\vec r\).

Při změně \(\vec r \rightarrow \vec r +\delta \vec r\) \[\begin{align} \delta_{\vec r} S(\vec r_0,\vec r)=\frac{\partial S}{\partial\vec r}\delta\vec r \end{align}\] nebo ekvivalentně \[\begin{align} \delta S = \int\limits_{\vec r_0}^{\vec r+\delta r}\vec p\dd\vec r-\int\limits_{\vec r_0}^{\vec r}\vec p\dd\vec r=\vec p\delta \vec r \end{align}\] srovnáním par dostaneme \[\begin{align} \nabla_{\vec r} S(\vec r_0,\vec r,E) +e\vec A= \vec g \end{align}\] z tohoto vztahu plyne, že trajektorie částic jsou v případě absence magnetického pole kolmé na plochy konstantního eikonálu \(S(\vec r_0,\vec r,R)\). Kvadrátem obou stran (\(\ref{eik1}\)) dostaneme Hamilton-Jacobiho rovnici, \[\begin{align} (\nabla S+e\vec A)^2 = \vec g^2=2me\varphi^*(\vec r) \end{align}\]

Index lomu

\[\begin{align} \delta\int_{\vec r_0}^{\vec r}\vec p\dd\vec r&=\delta\int_{s_0}^s\left(m\gamma v\frac{\vec t}{\mid\vec t\mid}+e\vec A\right)\vec t\dd s=\sqrt{2me\varphi^*_0}\quad\delta\int\limits_{s_0}^s n(\vec r,\vec t) \dd s \end{align}\] kde \(\vec t\) je tečný vektor trajektorie \(\vec t = \frac{\dd \vec r(s)}{\dd s}\) a \[\begin{align} n(\vec r,\vec t)=\left(\frac{\varphi^*}{\varphi^*_0}\right)^{\frac 12}\mid \vec t\mid - \sqrt{\frac e{2m\varphi^*_0}}\vec A\vec t \end{align}\] je index lomu.

Parametrizace délkou oblouku centrální trajektorie

Souřadnicový systém: (a) nezávislá proměnná - délka oblouku centrální trajektorie (osa z) (b) osy x a y jsou kolmé na centrální trajektorii (Frenet-Serret trihedral)

• systémy s přímou osou: \(s=z\), \(\vec t = x^{\prime}\vec e_x+y^{\prime} \vec e_y+\vec e_z\)

• systémy s mid-section symmetry (rovina \(y=0\)): \(s=z\), \[\dd l^2 = \dd x^2+ \dd y^2 + \dd z^2 \left(\frac{\rho-x}{\rho}\right)^2=\dd x+ \dd y + \dd z (1-x\Gamma)^2\] kde \(\rho\) je poloměr křivosti a \(\Gamma\) je křivost trajektorie. Tečný vektor trajektorie pak vychází \(\vec t = x^{\prime}\vec e_x+y^{\prime}\vec e_y+\vec e_zg_3\) a jeho velikost \(\mid\vec t\mid = \sqrt{g_3^2+x^{\prime\,2}+y^{\prime\,2}}\), kde jsme označily \(g_3 = 1-x\Gamma\)

Pro index lomu pak můžeme psát \[\begin{align} n = \left(\frac{\varphi^*}{\varphi_0*}\right)^{\frac 12}\sqrt{g_3^2+x^{\prime\,2}+y^{\prime\,2}} - \sqrt{\frac e{2m\varphi_0^*}}\left(g_3A_z+A_xx^{\prime}+A_yy^{\prime}\right) \end{align}\]