Základy zpracování geologických dat
 testování statistických hypotéz
neparametrické testy
§R. Čopjaková
§
§

Neparametrické testy
§Používají se, i pokud nejsou předpoklady normality dat splněné
§Tedy i pro jiné typy rozdělení pravděpodobností než normální
§V případě souboru dat s normálním rozdělením jsou vhodnější, když v souboru jsou některé hodnoty
výrazně odlehlé
§
§

Wilcoxonův test pro párované hodnoty
§Jedná se o neparametrickou obdobu t-testu na párové hodnoty
§Při ověřování, zda dva výběrové soubory lze považovat za výběry z jednoho základního souboru
§Pro dva závislé soubory dat, kde n1 = n2
§Jedná se o test pořadový - srovnává soubory dat pomocí seřazení souborů dat podle pořadí, nikoli
přes průměry
§Lze využít i pro soubory dat s jiným než normálním rozdělením pravděpodobností, zatímco t-test na
párové hodnoty lze využít pouze pro soubory dat s normálním rozdělením
§
§Nulová hypotéza versus alternativní hypotéza
§Ho: Není systematická diference uvnitř párů
§(medián rozdílů M je nulový).
§HA: Je systematická diference uvnitř párů (medián rozdílů M je různý od nuly).
§

Wilcoxonův test pro párované hodnoty
§Výpočet testovacího kritéria
§Počítá s rozdíly mezi naměřenými hodnotami, které tvoří pár. Testovací kritérium se počítá ze
součtu rozdílů v pořadí párovaných hodnot.
§
§Absolutní hodnoty rozdílů mezi páry se seřadí podle velikosti, jednotlivým členům se přiřadí
pořadové číslo (páry s rozdílem 0 vyloučím před přidělením pořadí). Přidělená pořadová čísla se
rozdělí do dvou sloupců, do sloupce +  (u rozdílu kladného) a do sloupce – (u rozdílu záporného).
Zvlášť se dělá součet kladných rozdílů v pořadí párovaných hodnot a zvlášť záporných. Výsledkem
jsou testovací statistiky T+ a T-
§Jako testovací kritérium se uvažuje hodnota menšího z těchto dvou součtů.
§
§Stanovení kritické hodnoty
§Kritické hodnoty získám z tabulek pro příslušnou hladinu významnosti a a  n (počet párů s
nenulovým rozdílem) – Tk(a;n)
§
§Rozhodnutí
§Je-li menší z obou T+ a T- menší nebo rovno Tk, tedy min (T+,T-) ≤ Tk, pak zamítáme Ho
§
§Existuje i obdoba tohoto testu pro jeden výběrový soubor a jeho srovnání s deklarovanou hodnotou
§

Wilcoxonův test pro párované hodnoty - příklad
§obsahy Th stanového s použitím dvou různých přístrojů, se statisticky významně liší
Porovnejme koncentrace Th (ppm) v horninách stanovené dvěma různými analytickými metodami pomocí
Wilcoxonova testu pro párované hodnoty na 5% a.
Ho: není rozdíl mezi obsahy Th stanového s použitím dvou různých přístrojů
HA: je rozdíl mezi obsahy Th stanového s použitím dvou různých přístrojů
Pro nové MS Office použiji funkci RANK.AVG
Pro starší verze MS Office použiji funkci RANK – nutná úprava pořadí pro hodnoty se stejným pořadím
Testovací kritérium T = 10,5
Kritická hodnota Tk = 21
T 10,5 < Tk 21   Ho zamítám
RANK.AVG
Th1
Th2
di
IdiI
vyloučení nul
pořadí IdiI
minus
plus
9.3
11.3
-2
2
2
13
13
0
11
11
0
0

0
0
10
10.2
-0.2
0.2
0.2
2
2
0
10.1
9.6
0.5
0.5
0.5
4.5
0
4.5
9.6
10.1
-0.5
0.5
0.5
4.5
4.5
0
7.8
9.7
-1.9
1.9
1.9
12
12
0
9.5
9.6
-0.1
0.1
0.1
1
1
0
7.9
8.8
-0.9
0.9
0.9
9
9
0
9.2
11.3
-2.1
2.1
2.1
14
14
0
9.7
10.5
-0.8
0.8
0.8
8
8
0
9.6
10.6
-1
1
1
10
10
0
8.7
10.3
-1.6
1.6
1.6
11
11
0
9.4
9.7
-0.3
0.3
0.3
3
3
0
11.1
10.5
0.6
0.6
0.6
6
0
6
9.3
10
-0.7
0.7
0.7
7
7
0
test krit (menší z hodnot)
94.5
10.5
krit hodnota (n=počet nenulových párů)
21

Vztah mezi histogramem a polygonem četností
§sloupcový graf
Kolmogorov-Smirnovův test shody - opakování
spojnicový graf
Histogram absolutních četností
Polygon absolutních četností
Histogram kumulovaných absolutních četností
Polygon kumulovaných absolutních četností
Histogram kumulovaných relativních četností
Polygon kumulovaných relativních četností

Kolmogorov-Smirnovův test shody
nejprve varianta pro jeden výběr
Pro testování shody rozdělení pravděpodobnosti náhodného výběru s teoretickým, očekávaným
rozdělením pravděpodobností.
Tedy ptáme-li se na otázku?
Má soubor dat normální rozdělení?
Má soubor dat logaritmicko-normální rozdělení?
Má soubor dat rovnoměrné rozdělení?
Obdobné využití jako chí-kvadrát test
Lze použít i v případech, kdy se nedoporučuje c2 test
Tedy i pokud více než 20% intervalových četností je menších než 5, či když přítomné intervaly s
nulovou četností
Ho : pe1 = po1,  . . . ,  pek = pok pro všechny intervaly
HA : pej ≠ poj alespoň pro některý interval

Provedeme n nezávislých opakování pokusu. Výsledky rozdělíme do tříd a utvoříme kumulované četnosti
nebo relativní kumulované četnosti pro experimentální data.
Namodelujeme kumulované četnosti nebo relativní kumulované četnosti pro teoretické rozdělení
pravděpodobnosti, podle něhož očekáváme, že se naměřený soubor dat má chovat.
Najdeme maximální rozdíl mezi hodnotami kumulovaných četností N1e, . . . , Nke (kde k představuje
označení třídy) empirického souboru dat a očekávaného, teoretického rozdělení N1o, . . . , Nko.
Nebo maximální rozdíl mezi hodnotami relativních kumulovaných četností F1e, . . . , Fke empirického
souboru dat a očekávaného, teoretického rozdělení F1o, . . . , Fko.
Tedy:     N1e - N1o nebo F1e - F1o
N2e – N2o F2e – F2o
Nke – Nko Fke – Fko
Testovací kritérium: D1 =     max|Nej - Noj|, čili   D1 = max|Fej - Foj|, kde
Nej (Fej) = experimentální kumulativní absolutní (relativní) četnost v j-tém řádku
Noj (Foj) = očekávaná kumulativní absolutní (relativní) četnost v j-tém řádku
Kolmogorov-Smirnovův test shody
nejprve varianta pro jeden výběr

Kolmogorov-Smirnovův test shody
nejprve varianta pro jeden výběr
grafické vyjádření stanovení testovacího kritéria
§
kolmogorov smirnov 1V

Kolmogorov-Smirnovův test shody
nejprve varianta pro jeden výběr
§ Stanovení kritické hodnoty Dk
§  pro n<=40 určíme ze statistických tabulek
§ pro n>40 dopočteme ze vztahu:
§ pro hladinu významnosti a 0,05 a 0,01
§
§
§
§
§ Pokud D1 ≤ Dk pak přijmu Ho
§ Pokud D1 > Dk pak zamítnu Ho

Kolmogorov-Smirnovův test shody
tentokrát pro dva výběry
Užívá se pro hodnocení shody rozdělení četností dvou srovnávaných výběrů.
Lze použít i tam, kde nelze použít dvouvýběrový t-test pro nepárová data – není-li splněna podmínka
normality obou výběrových souborů
Podmínky použití:
V případě malých výběrů (n1 a n2 < 40) je podmínkou jejich stejný rozsah n1 = n2 < 40
V případě velkých výběrů (n1 a n2 > 40) nemusí mít stejný rozsah
(n1 ≠ n2 > 40)
Ho: dva výběrové soubory mají shodné rozdělení četností
HA: dva výběrové soubory nemají shodné rozdělení četností

Kolmogorov-Smirnovův test shody
tentokrát pro dva výběry
§výsledky obou souborů měření rozdělíme do intervalů – stanovení experimentálních četností v
jednotlivých intervalech pro oba soubory dat (stejný počet intervalů a hranice u obou souborů dat)
§vypočítáme jednotlivé kumulované relativní četnosti pro oba soubory dat (nutnost pracovat s
relativními četnostmi protože soubory dat nemusí mít stejný rozsah – počet měření)
§stanovíme absolutní hodnoty rozdílů kumulovaných relativních četností v každém intervalu
§Jako testovací kritérium vezmu maximální hodnotu těchto rozdílů
§
§
– kde F1j, F2j  jsou relativní kumulované četnosti souborů 1 a 2
§Kritická hodnota se dopočte podle vzorců (pro oboustrannou variantu testu a hladinu významnosti a
0,05 a 0,01):
§
§
§je-li D1 ≤ Dk přijmeme H0

Kolmogorov-Smirnovův test shody
tentokrát pro dva výběry
grafické vyjádření stanovení testovacího kritéria
§
kolmogorov smirnov 2V

Princip konstrukce očekávaných četností pro normální rozdělení
§Stanovení hodnot distribuční funkce pro jednotlivé horní hranice;
§Např. v bodě H3: F(H3)
§
§v excelu - např. pro normální rozdělení - pomocí funkce NORM.DIST (nové MS Office) či NORMDIST
(starší MS Office) – stanovení hodnoty pravděpodobnosti distribuční funkce pro všechny hranice
intervalů
§
§
kolmogorov smirnov 1V
H3
při testování rozdělení pravděpodobností
Kolmogorov-Smirnovův test pro jeden výběr

při testování rozdělení pravděpodobností
Chí-kvadrát test
§ v excelu - např. pro normální rozdělení - funkce NORM.DIST (nové MS Office) či NORMDIST (starší
MS Office) – stanovení hodnoty pravděpodobnosti distribuční funkce pro všechny hranice intervalů a
odtud dopočtení pravděpodobnosti, že nastane hodnota z příslušného intervalu.
§ Úprava pravděpodobností pro všechny intervaly (j=1…k) na absolutní četnosti: noj=pjn
konstrukce ocekavanych cetnosti
Princip konstrukce očekávaných četností pro normální rozdělení
Vysvětlení na příkladu druhého intervalu

Testování statistických hypotéz - shrnutí
§
testovaci strom

Děkuji za pozornost