Základy zpracování geologických dat
 testování statistických hypotéz
§R. Čopjaková
§
§

Testování odlehlých hodnot
§Je některá hodnota souboru odlehlá? (Mám ji ze souboru vyřadit a nepracovat s ní při výpočtu
dalších parametrů).
§
§Např. přítomnost náhodné chyby v analýzách, nebo přítomnost prvku ve výběrovém souboru, který
nepochází ze studovaného základního souboru.
§
§Pro použití v analytické praxi k vyloučení odlehlých výsledků za předpokladu normality výběru je
nejvhodnější Grubbsův test (parametrický)
§
§Dále se používá Dean-Dixonův test (neparametrický) - univerzální, nejen pro výběry s normálním
rozdělením pravděpodobností, nebo neznám-li charakter rozdělení

Grubbsův test
§Při tomto testu se výsledky seřadí podle velikosti tak,
§ že  x1 < x2 ... < xn, testujeme nejmenší i nevětší hodnotu
§
§Stanovení nulové hypotézy – Ho: hodnota x1 není odlehlá
§           Ho: hodnota xn není odlehlá
§
§Výpočet testovacího kritéria:
§ pro dolní odlehlou hodnotu pro horní odlehlou hodnotu
§
§
§
§
§ kde Sn je definováno
§
§ n je počet měření (do četnosti 100)

Grubbsův test
§
§Stanovení kritické hodnoty
§ Grubbsova rozdělení ze
§ statistických tabulek Tk (a;n)
§
§Hodnota Tn a T1 se porovná
§ s kritickou hodnotou Grubbsova
§ rozdělení Tk (a;n)
§
§Je-li T1 nebo Tn ≤ Tk, přijmeme nulovou hypotézu Ho, hodnota není odlehlá
§Je-li T1 nebo Tn >Tk, zamítneme nulovou hypotézu Ho, testovanou hodnotu považujeme za odlehlou  a
hodnotu vyloučíme ze souboru dat.
§

Dean-Dixonův test
§Při tomto testu se výsledky seřadí podle velikosti tak,
§ že  x1 < x2 ... < xn, testujeme nejmenší i nevětší hodnotu
§
§Stanovení nulové hypotézy – Ho: hodnota x1 není odlehlá
§                        Ho: hodnota xn není odlehlá
§
§Výpočet testovacího kritéria:
§ pro dolní odlehlou hodnotu pro horní odlehlou hodnotu
§
§
§
§
§
§ kde R je variační rozpětí souboru dat
§
§Použití testu do četnosti souboru n ≤ 30
§

§
§Stanovení kritické hodnoty
Dean-Dixonova rozdělení ze
statistických tabulek Qk (a;n)
§Hodnota Qn a Q1 se porovná
s kritickou hodnotou Dean-Dixonova
rozdělení Qk (a;n)
§Je-li Q1 nebo Qn ≤ Qk, přijmeme nulovou hypotézu Ho, hodnota není odlehlá
§Je-li Q1 nebo Qn > Qk, zamítneme nulovou hypotézu Ho, testovanou hodnotu považujeme za odlehlou  a
hodnotu vyloučíme ze souboru dat.
§
Dean-Dixonův test

Příklad testování odlehlých hodnot; Dean-Dixonův test
§Máme soubor 10 měření. Ověřte, zda je některá hodnota odlehlá:
§ 2,1  2,9  3,1  3,3  3,3  3,4  3,5  3,5  3,6  3,9
§Ho – hodnota 2,1 není odlehlá
§Spočtení testovacího kritéria
§
§Q1 = (2,9-2,1)/(3,9-2,1) = 0,8/1,8 = 0,444
§Qk (a;n) = Qk (0,05;10) = 0,412
§0,444 >  0,412 tedy Q1 > Qk, nulovou hypotézu zamítáme, hodnotu považujeme za odlehlou a ze
souboru ji vyloučíme
§
§testujeme dále pro nový soubor dat po odstranění odlehlé hodnoty
§2,9  3,1  3,3  3,3  3,4  3,5  3,5  3,6  3,9
§Ho – hodnota 2,9 není odlehlá
§Spočtení testovacího kritéria
§
§Q1 = (3,1-2,9)/(3,9-2,9) = 0,2/1 = 0,2
§Qk (a;n) = Qk (0,05;9) = 0,437
§0,2 ≤  0,437 tedy Q1 ≤ Qk, nulovou hypotézu přijmeme, hodnotu nepovažujeme za odlehlou

§testujeme dále zda je v souboru dat horní odlehlá hodnota
§2,9  3,1  3,3  3,3  3,4  3,5  3,5  3,6  3,9
§Ho – hodnota 3,9 není odlehlá
§Spočtení testovacího kritéria
§
§Qn = (3,9-3,6)/(3,9-2,9) = 0,3/1 = 0,3
§Qk (a;n) = Qk (0,05;9) = 0,437
§0,3 ≤  0,437 tedy Qn ≤ Qk, nulovou hypotézu přijmeme, hodnotu nepovažujeme za odlehlou
§

Studentův t-test
§Předpoklad normality výběrových souborů
§Studentův t-test - často používaná metoda testování statistických hypotéz. V závislosti na
situaci, kdy se používá, rozlišujeme 4 typy Studentova t-testu:
§jednovýběrový t-test, který slouží k porovnání střední hodnoty výběrového souboru s konstantou
(H0: x = μ0)
§ jednovýběrový t-test o střední hodnotě
§dvouvýběrový t-test, který slouží k porovnání středních hodnot dvou výběrových souborů (H0: μ1 −
μ2 = konstanta; nejčastěji 0);
–dvouvýběrový t-test párový – rozsahy obou výběrů jsou stejné N1=N2; Opakované přeměřování stejných
vzorků; Závislost mezi náhodnou veličinou X a Y
– párový t-test shodnosti výsledků
–dvouvýběrový t-test nepárový – rozsah výběrů nemusí být stejný N1 nemusí být rovno N2; Proměřování
dvou sad různých vzorků; Nezávislost mezi náhodnou veličinou X a Y
§ a) t-test shodnosti výsledků při rovnosti rozptylů   s12 = s22
§ b) t-test shodnosti výsledků při nerovnosti rozptylů   s12 ¹ s22
–
–
–
§

Jednovýběrový Studentův t-test o střední hodnotě
§Testování přítomnosti soustavné (systematické) chyby - Test správnosti výsledků
§slouží k porovnání střední hodnoty výběrového souboru s konstantou (H0:  x = μ)
§Pracujeme s jedním výběrovým souborem
§Aritmetický průměr výsledků série měření (výběrového souboru) je správný, pokud jeho rozdíl od
skutečné hodnoty μ s určitou pravděpodobností (na zvolené hladině významnosti a) není statisticky
významný.
§Skutečnou hodnotu μ obvykle neznáme a tedy ji nahrazujeme konvenčně správnou hodnotou (tzv.
"analytické standardy",) nebo analýzou vzorku se známou koncentrací stanovované složky.
§
§Oboustranný test: srovnání střední hodnoty naměřených hodnot s deklarovanou hodnotou (hodnotou
standardu) – test přítomnosti soustavné chyby
§Jednostranný test: srovnání, zda střední hodnota naměřených dat je menší (větší) deklarované
hodnotě – např. test, zda koncentrace dané látky (např. v půdě) nepřekračují zákonem stanovenou
normu.
§

Jednovýběrový Studentův t-test o střední hodnotě
Ho: x = μ
HA: x ‹ m (x › m)
H0: x = m
HA: x ≠ m
S – je odhad směrodatné odchylky výběru

Stanovení kritické hodnoty (oboustranná varianta testu)
Grafické znázornění
kritické hodnoty
Stanovení
kritické hodnoty
a)pomocí funkcí
       v excelu T.INV
b)    ze statistických
       tabulek

0,95
1,729
Stanovení kritické hodnoty (jednostranná varianta testu)
Grafické znázornění
kritické hodnoty
Stanovení
kritické hodnoty
a)pomocí funkcí
       v excelu  T.INV
b)    ze statistických
       tabulek
Stanovení kritické hodnoty u jednostranné varianty testu ze studentova rozdělení pro a = 5%. Tedy
jako hodnotu kvantilu pro (1-a; n). Kritická hodnota Tk pro p(0,95) a stupně volnosti 19 je 1,729.

Kritickou hodnotu zjistím a) v Excelu
§
§     Novější verze MS Office
§T.INV (0.975;19) = 2,093 –  stanovím hodnotu kvantilu pro pravděpodobnost 0,975 (tedy 1-a/2) pro
daný počet stupňů volnosti
§T.INV.2T (0.05;19) = 2,093 - zadám hladinu významnosti s níž testuji a počet stupňů volnosti (samo
si rozdělí a na dvě poloviny a dopočte 1-a/2)
§ pouze pro oboustranné varianty testů       =˃    problém při jednostranné variantě textu (nutno
zadat dvojnásobnou a)
§
§     Starší verze MS Office –jen jeden typ funkce TINV
§TINV (0.05;19) = 2,093 - zadám hladinu významnosti s níž testuji a počet stupňů volnosti
(analogicky pracuje jako T.INV.2T)
§

Kritickou hodnotu zjistím b) ze  statistických tabulek
Kvantily  t1-α/2 Studentova t rozdělení pro dané stupně volnosti (n = n-1)
St. volnosti
0,80
0,90
0,95
0,975
0,9875
0,995
1
1,376
3,078
6,314
12,706
25,452
63,657
2
1,061
1,886
2,920
4,303
6,205
9,925
3
0,978
1,638
2,353
3,182
4,176
5,841
4
0,941
1,533
2,132
2,776
3,495
4,604
5
0,920
1,476
2,015
2,571
3,163
4,032
6
0,906
1,440
1,943
2,447
2,969
3,707
7
0,896
1,415
1,895
2,365
2,841
3,499
8
0,889
1,397
1,860
2,306
2,752
3,355
9
0,883
1,383
1,833
2,262
2,685
3,250
10
0,879
1,372
1,812
2,228
2,634
3,169
11
0,876
1,363
1,796
2,201
2,593
3,106
12
0,873
1,356
1,782
2,179
2,560
3,055
13
0,870
1,350
1,771
2,160
2,533
3,012
14
0,868
1,345
1,761
2,145
2,510
2,977
15
0,866
1,341
1,753
2,131
2,490
2,947
16
0,865
1,337
1,746
2,120
2,473
2,921
17
0,863
1,333
1,740
2,110
2,458
2,898
18
0,862
1,330
1,734
2,101
2,445
2,878
19
0,861
1,328
1,729
2,093
2,433
2,861
20
0,860
1,325
1,725
2,086
2,423
2,845
∞
0,8416
1,2816
1,6448
1,9600
2,2414
2,5758
pro hladinu významnosti 0,05 – tedy hodnotu kvantilu (1-0,05/2)
a počet stupňů volnosti 19 (rozsah souboru = 20 měření)

§Reálný příklad
§Proběhlo testování analytických laboratoří. Máme chemicky homogenní sklo s deklarovaným chemickým
složením, v laboratoři provedeme 20 analýz na různých místech tohoto skla a spočteme průměrné
koncentrace jednotlivých oxidů.
§Deklarovaný obsah Al2O3 ve skle je 13,52 hm.%
§Výsledky laboratoře poskytly průměrný obsah Al2O3 ve skle 13,31 hm.% a Sx 0,12
§Otázka je: liší se tato hodnota statisticky významně od hodnoty deklarované? Pracuje naše
laboratoř dobře? Pracujeme při hladině významnosti a = 0,05.
§oboustranný test:
§H0 = naměřený obsah Al2O3 se významně neliší od deklarovaného obsahu; X = m
§HA = naměřený obsah se významně liší od deklarovaného;  X ≠ m
§
§Spočteme testovací kritérium                     =  7,83
§
§
§Testovací kritérium má Studentovo rozdělení se stupni volnosti n= n-1
§Kritická hodnota - stanovíme jako příslušný kvantil Studentova rozdělení pro n-1 stupnů volnosti
(fce T.INV)  Tk(1-a/2;n-1) = tk(0,975; 19) = 2,09
§t srovnám s Tk: pokud 7,83 > 2,09;  pak Ho - nulovou hypotézu zamítám
§Výsledek je zatížen soustavnou chybou – koncentrace Al2O3 stanovené v laboratoři nejsou správné.
§
§
§
§
Jednovýběrový Studentův t-test o střední hodnotě

§Děkuji za pozornost