vod do matematiky pro biology M1030 Matematika pro biology 26.9.2024 Historické poznámky Vývoj matematiky Matematika a biologie Příklady_ Historické poznámky Vývoj matematiky 3/ Vývoj matematiky Pythagoras ze Samu (5807-501 BCE) • Pokusy s monochordem, figurální čísla • Skutečnost určují čísla a jejich poměry Vývoj matematiky Poznámka ke slovu „matematika": /jLQiŮrj/jLQi /jLOiŮrj/jLQiTLKOS fiaůrifianřía poučeni, naučeni učedník nauka, to co je k naučení něco mezi einarruiri (známost, lat. scientia) jvujat^ (poznání, lat. cognitio) náležející k nauce (učedník i pojednání) všechny věci, které jsou této naučné povahy (plurál středního rodu) Vlivem pythagorejských učedníků {jiaů^jiaTinoi) se význam slova „matematika" zúžil na zabývání se čísly a geometrickými objekty. Vývoj matematiky Pythagoras ze Samu (5807-501 BCE) • Pokusy s monochordem, figurální čísla • Skutečnost určují čísla a jejich poměry • Krize: V poměru strany a úhlopříčky čverce není ratio, Xo^o*; Vývoj matematiky Pythagoras ze Samu (5807-501 BCE) • Pokusy s monochordem, figurální čísla • Skutečnost určují čísla a jejich poměry • Krize: V poměru strany a úhlopříčky čverce není ratio, Xo^o*; Eukleidés (3657-300? BCE) • Základy (geometrie) • Deduktivní výstavba teorie (axiomy - definice - postuláty) Vývoj matematiky Pythagoras ze Samu (5807-501 BCE) • Pokusy s monochordem, figurálni čísla • Skutečnost určují čísla a jejich poměry • Krize: V poměru strany a úhlopříčky čverce není ratio, Xo^os Eukleidés (3657-3007 BCE) • Základy (geometrie) • Deduktivní výstavba teorie (axiomy - definice - postuláty) Muhamad ibn Musa Abu Abdalah al-Chvárizmí (7807-8507 CE) • Aritmetika (arabské číslice) a algebra (symbol pro neznámou, řešení rovnic) • K poznaní lze dospět formální manipulací se symboly Vývoj matematiky Pythagoras ze Samu (5807-501 BCE) • Pokusy s monochordem, figurálni čísla • Skutečnost určují čísla a jejich poměry • Krize: V poměru strany a úhlopříčky čverce není ratio, Xo^os Eukleidés (3657-3007 BCE) • Základy (geometrie) • Deduktivní výstavba teorie (axiomy - definice - postuláty) Muhamad ibn Musa Abu Abdalah al-Chvárizmí (7807-8507 CE) • Aritmetika (arabské číslice) a algebra (symbol pro neznámou, řešení rovnic) • K poznaní lze dospět formální manipulací se symboly Leonardo Pisano (Fibonacci) (11707-1250) • Liber abaci; zprostředkování arabského a antického vědění Vývoj matematiky Pythagoras ze Samu (5807-501 BCE) • Pokusy s monochordem, figurálni čísla • Skutečnost určují čísla a jejich poměry • Krize: V poměru strany a úhlopříčky čverce není ratio, Xo^o*; Eukleidés (3657-300? BCE) • Základy (geometrie) • Deduktivní výstavba teorie (axiomy - definice - postuláty) Muhamad ibn Musa Abu Abdalah al-Chvárizmí (7807-850? CE) • Aritmetika (arabské číslice) a algebra (symbol pro neznámou, řešení rovnic) • K poznaní lze dospět formální manipulací se symboly Leonardo Pisano (Fibonacci) (11707-1250) • Liber abaci; zprostředkování arabského a antického vědění René Descartes (1596-1650) • Rozprava o metodě; geometrické úlohy lze řešit metodami algebry Vývoj matematiky Pythagoras ze Samu (5807-501 BCE) • Pokusy s monochordem, figurálni čísla • Skutečnost určují čísla a jejich poměry • Krize: V poměru strany a úhlopříčky čverce není ratio, Xo^o*; Eukleidés (3657-300? BCE) • Základy (geometrie) • Deduktivní výstavba teorie (axiomy - definice - postuláty) Muhamad ibn Musa Abu Abdalah al-Chvárizmí (7807-850? CE) • Aritmetika (arabské číslice) a algebra (symbol pro neznámou, řešení rovnic) • K poznaní lze dospět formální manipulací se symboly Leonardo Pisano (Fibonacci) (11707-1250) • Liber abaci; zprostředkování arabského a antického vědění René Descartes (1596-1650) • Rozprava o metodě; geometrické úlohy lze řešit metodami algebry Isaac Newton (1643-1727), Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) • Matematický popis pohybu a změny (infinitesimální počet) 3/9 Vývoj matematiky Pythagoras ze Samu (5807-501 BCE) • Pokusy s monochordem, figurálni čísla • Skutečnost určují čísla a jejich poměry • Krize: V poměru strany a úhlopříčky čverce není ratio, Xo^o*; Eukleidés (3657-3007 BCE) • Základy (geometrie) • Deduktivní výstavba teorie (axiomy - definice - postuláty) Muhamad ibn Musa Abu Abdalah al-Chvárizmí (7807-8507 CE) • Aritmetika (arabské číslice) a algebra (symbol pro neznámou, řešení rovnic) • K poznaní lze dospět formální manipulací se symboly Leonardo Pisano (Fibonacci) (11707-1250) • Liber abaci; zprostředkování arabského a antického vědění René Descartes (1596-1650) • Rozprava o metodě; geometrické úlohy lze řešit metodami algebry Isaac Newton (1643-1727), Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) • Matematický popis pohybu a změny (infinitesimální počet) • Krize: infinitesimál je logicky sporný objekt 3/9 Matematika a biologie 4/ Matematika a biologie Fibonacci (1170-1250) V Liber abaci úloha o množení králíků Matematika a biologie Fibonacci (1170-1250) V Liber abaci úloha o množení králíků Leonhard Euler (1707-1783) V učebnici Introductio in a na lysin infinitorum model růstu populace Matematika a biologie Fibonacci (1170-1250) V Liber abaci úloha o množení králíků Leonhard Euler (1707-1783) V učebnici Introductio in a na lysin infinitorum model růstu populace Daniel Bernoulli (1700-1782), Jean le Rond ďAlembert (1717-1783) Matematický model umírání na neštovica a vlivu očkování 4/9 Matematika a biologie Fibonacci (1170-1250) V Liber abaci úloha o množení králíků Leonhard Euler (1707-1783) V učebnici Introductio in a na lysin infinitorum model růstu populace Daniel Bernoulli (1700-1782), Jean le Rond ďAlembert (1717-1783) Matematický model umírání na neštovica a vlivu očkování Johann Gregor Mendel (1822-1884) Formulace přírodního zákona pomocí matematických pojmů 4/9 Matematika a biologie Fibonacci (1170-1250) V Liber abaci úloha o množení králíků Leonhard Euler (1707-1783) V učebnici Introductio in a na lysin infinitorum model růstu populace Daniel Bernoulli (1700-1782), Jean le Rond d'Alembert (1717-1783) Matematický model umírání na neštovica a vlivu očkování Johann Gregor Mendel (1822-1884) Formulace přírodního zákona pomocí matematických pojmů Vito Volterra (1860-1940), Alfred Lotka (1880-1949) Matematické modely základních vztahů populační dynamiky a chemické kinetiky (obyčejné diferenciální rovnice) 4/9 Matematika a biologie Fibonacci (1170-1250) V Liber abaci úloha o množení králíků Leonhard Euler (1707-1783) V učebnici Introductio in a na lysin infinitorum model růstu populace Daniel Bernoulli (1700-1782), Jean le Rond d'Alembert (1717-1783) Matematický model umírání na neštovica a vlivu očkování Johann Gregor Mendel (1822-1884) Formulace přírodního zákona pomocí matematických pojmů Vito Volterra (1860-1940), Alfred Lotka (1880-1949) Matematické modely základních vztahů populační dynamiky a chemické kinetiky (obyčejné diferenciální rovnice) Anderson G. McKendrick (1876-1943), William O. Kermack (1898-1970) Matematické modely šírení epidemií 4/9 Matematika a biologie Fibonacci (1170-1250) V Liber abaci úloha o množení králíků Leonhard Euler (1707-1783) V učebnici Introductio in a na lysin infinitorum model růstu populace Daniel Bernoulli (1700-1782), Jean le Rond d'Alembert (1717-1783) Matematický model umírání na neštovica a vlivu očkování Johann Gregor Mendel (1822-1884) Formulace přírodního zákona pomocí matematických pojmů Vito Volterra (1860-1940), Alfred Lotka (1880-1949) Matematické modely základních vztahů populační dynamiky a chemické kinetiky (obyčejné diferenciální rovnice) Anderson G. McKendrick (1876-1943), William O. Kermack (1898-1970) Matematické modely šírení epidemií Alan Turing (1912-1954) Matematický model morfogeneze (parciální diferenciální rovnice) 4/9 Matematika a biologie Fibonacci (1170-1250) V Liber abaci úloha o množení králíků Leonhard Euler (1707-1783) V učebnici Introductio in analysin infinitorum model růstu populace Daniel Bernoulli (1700-1782), Jean le Rond d'Alembert (1717-1783) Matematický model umírání na neštovica a vlivu očkování Johann Gregor Mendel (1822-1884) Formulace přírodního zákona pomocí matematických pojmů Vito Volterra (1860-1940), Alfred Lotka (1880-1949) Matematické modely základních vztahů populační dynamiky a chemické kinetiky (obyčejné diferenciální rovnice) Anderson G. McKendrick (1876-1943), William O. Kermack (1898-1970) Matematické modely šíření epidemií Alan Turing (1912-1954) Matematický model morfogeneze (parciální diferenciální rovnice) Aristid Lindenmayer (1925-1989) Popis růstu organismů (formální gramatika) Matematika a biologie Fibonacci (1170-1250) V Liber abaci úloha o množení králíků Leonhard Euler (1707-1783) V učebnici Introductio in a na lysin infinitorum model růstu populace Daniel Bernoulli (1700-1782), Jean le Rond d'Alembert (1717-1783) Matematický model umírání na neštovica a vlivu očkování Johann Gregor Mendel (1822-1884) Formulace přírodního zákona pomocí matematických pojmů Vito Volterra (1860-1940), Alfred Lotka (1880-1949) Matematické modely základních vztahů populační dynamiky a chemické kinetiky (obyčejné diferenciální rovnice) Anderson G. McKendrick (1876-1943), William O. Kermack (1898-1970) Matematické modely šírení epidemií Alan Turing (1912-1954) Matematický model morfogeneze (parciální diferenciální rovnice) Aristid Lindenmayer (1925-1989) Popis růstu organismů (formální gramatika) John Maynard Smith (1920-2004) Matematický model evoluce (teorie her) 4/9 Historické poznámky Příklady Množení králíků Eulerův model růstu populace Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním Příklady Množení králíků Leonardo Pisánský (Fibonacci) Liber abaci 1202: Kdosi umístil pár králíků na určitém místě, se všech stran ohrazeném zdí, aby poznal, kolik párů králíků se při tom zrodí průběhem roku, jestliže u králíků je tomu tak, že pár králíků přivede na svět měsíčně jeden pár a že králíci počínají rodit ve dvou měsících svého věku. Množení králíků Leonardo Pisánský (Fibonacci) Liber abaci 1202: Kdosi umístil pár králíků na určitém místě, se všech stran ohrazeném zdí, aby poznal, kolik párů králíků se při tom zrodí průběhem roku, jestliže u králíků je tomu tak, že pár králíků přivede na svět měsíčně jeden pár a že králíci počínají rodit ve dvou měsících svého věku. o 1 Množení králíků Leonardo Pisánský (Fibonacci) Liber abaci 1202: Kdosi umístil pár králíků na určitém místě, se všech stran ohrazeném zdí, aby poznal, kolik párů králíků se při tom zrodí průběhem roku, jestliže u králíků je tomu tak, že pár králíků přivede na svět měsíčně jeden pár a že králíci počínají rodit ve dvou měsících svého věku. 9 1 1 6/9 Množení králíků Leonardo Pisánský (Fibonacci) Liber abaci 1202: Kdosi umístil pár králíků na určitém místě, se všech stran ohrazeném zdí, aby poznal, kolik párů králíků se při tom zrodí průběhem roku, jestliže u králíků je tomu tak, že pár králíků přivede na svět měsíčně jeden pár a že králíci počínají rodit ve dvou měsících svého věku. 6/9 Množení králíků Leonardo Pisánský (Fibonacci) Liber abaci 1202: Kdosi umístil pár králíků na určitém místě, se všech stran ohrazeném zdí, aby poznal, kolik párů králíků se při tom zrodí průběhem roku, jestliže u králíků je tomu tak, že pár králíků přivede na svět měsíčně jeden pár a že králíci počínají rodit ve dvou měsících svého věku. 6/9 Množení králíků Leonardo Pisánský (Fibonacci) Liber abaci 1202: Kdosi umístil pár králíků na určitém místě, se všech stran ohrazeném zdí, aby poznal, kolik párů králíků se při tom zrodí průběhem roku, jestliže u králíků je tomu tak, že pár králíků přivede na svět měsíčně jeden pár a že králíci počínají rodit ve dvou měsících svého věku. 6/9 Množení králíků Leonardo Pisánský (Fibonacci) Liber abaci 1202: Kdosi umístil pár králíků na určitém místě, se všech stran ohrazeném zdí, aby poznal, kolik párů králíků se při tom zrodí průběhem roku, jestliže u králíků je tomu tak, že pár králíků přivede na svět měsíčně jeden pár a že králíci počínají rodit ve dvou měsících svého věku. Množení králíků počet párů králíků v měsíci t 6/ Množení králíků počet párů králíků v měsíci t x (ť) Množení králíků x (t) .. . počet párů králíků v měsíci t x (t) x(t- 1) Přežívají všechny páry z předchozího měsíce Množení králíků x (t) .. . počet párů králíků v měsíci t x (t) x(t- l) + x(t-2) Přežívají všechny páry z předchozího měsíce Každý pár starý alespoň měsíc vyprodukuje pár nový Množení králíků x (t) .. . počet párů králíků v měsíci t x (t) x(t- l) + x(t-2) Přežívají všechny páry z předchozího měsíce Každý pár starý alespoň měsíc vyprodukuje pár nový t x (t) t x (t) 1 1 7 13 2 1 8 21 3 2 9 34 4 3 10 55 5 5 11 89 6 8 12 144 Eulerův model růstu populace velikost populace v čase t 7/ Eulerův model růstu populace x(ť) ... velikost populace v čase t x(t + 1) = x(ť) + množství nových jedinců — množství uhynulých jedinců 7/9 Eulerův model růstu populace x(ť) ... velikost populace v čase t b ... porodnost (birth rate) d ... úmrtnost (death rate) x(t + 1) = x(ť) + množství nových jedinců — množství uhynulých jedinců = x(t) + bx(t) - dx{ť) = (1 + b - d)x(t) Předpoklady: narozených, vylíhnutých, vyklíčených Množství uhynu|ých je úměrné množství žijících. Eulerův model růstu populace x(ť) ... velikost populace v čase t b ... porodnost (birth rate) d ... úmrtnost (death rate) r ... koeficient růstu (intrinsic growth rate) x(t + 1) = x(t) + množství nových jedinců — množství uhynulých jedinců = x(t) + bx(t) - dx{ť) = (1 + b - d)x(t) Předpoklady: narozených, vylíhnutých, vyklíčených ... Množství uhynu|ých je úměrné množství žijících. Označení: r = 1 + b — d x(t + 1) = rx(t) Eulerův model růstu populace velikost populace v čase t koeficient růstu (intrinsic growth rate) x (t + 1) = r x (t) 7/ Eulerův model růstu populace x(ť) ... velikost populace v čase t r ... koeficient růstu (intrinsic growth rate) x (t + 1) = r x (t) Rekurentní vztah pro geometrickou posloupnost, tedy x (t) = x(oy Eulerův model růstu populace x(ť) ... velikost populace v čase t r ... koeficient růstu (intrinsic growth rate) x(t + 1) = rx(t) Rekurentní vztah pro geometrickou posloupnost, tedy x(t) = x(oy r > 1 =^> populace neomezeně roste r = 1 ^> populace má stálou velikost r < 1 ^> populace vymírá Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním Aristid Lindenmayer (1925-1989) Systémy s diskrétním časem a paralelním prepisovaním Aristid Lindenmayer (1925-1989) Abeceda: množina nějakých rozlišitelných symbolů A Stav: konečná posloupnost prvků z A, slovo vytvořené z písmen abecedy Přepisovací pravidla: přiřazení nějakého slova každému písmenu abecedy Počáteční stav: s0 Stav Si+i vznikne ze stavu Si tak, že každý člen x v Si se nahradí slovem podle přiřazovacího pravidla Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním Aristid Lindenmayer (1925-1989) Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (, ) Přepisovací pravidla: 1 ^ 23 2 ^2 6^7 7 i-> 8(1) Počáteční stav: 1 3 ^ 24 8^8 4 ^ 54 5^6 )^) Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (, ) Přepisovací pravidla: 1 4 23 2^2 3 4 24 4 4 54 5 4 6 6^7 74 8(1) 848 ( 4 ( ) 4 ) Počáteční stav: 1 so =1 Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (, ) Přepisovací pravidla: 1 ^ 23 2^2 3 ^ 24 4 ^ 54 5^6 6^7 7 ^ 8(1) 8^8 ( i-> ( ) i-> ) Počáteční stav: 1 so =1 si =23 Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (, ) Přepisovací pravidla: 1 ^ 23 2^2 3 ^ 24 4 ^ 54 5^6 6^7 7 ^ 8(1) 8^8 ( i-> ( ) i-> ) Počáteční stav: 1 si =23 s2 =224 Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (, ) Přepisovací pravidla: 1 ^ 23 2^2 3 ^ 24 4 ^ 54 5^6 6^7 7 ^ 8(1) 8^8 ( i-> ( ) i-> ) Počáteční stav: 1 so =1 si =23 s2 =224 s3 =2254 Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (, ) Přepisovací pravidla: 1 ^ 23 2^2 3 ^ 24 4 ^ 54 5^6 6^7 7 ^ 8(1) 8^8 ( i-> ( ) i-> ) Počáteční stav: 1 so =1 si =23 s2 =224 s3 =2254 s4 =22654 Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (, ) Přepisovací pravidla: 1 ^ 23 2^2 3 ^ 24 4 ^ 54 5^6 6^7 7 ^ 8(1) 8^8 ( i-> ( ) i-> ) Počáteční stav: 1 so =1 si =23 s5 =227654 s2 =224 s3 =2254 s4 =22654 Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (, ) Přepisovací pravidla: 1 ^ 23 2^2 3 ^ 24 4 ^ 54 5^6 6^7 7 ^ 8(1) 8^8 ( i-> ( ) i-> ) Počáteční stav: 1 =1 Sl =23 s5 =227654 S2 =224 s6 =228(1)7654 S3 =2254 s4 =22654 Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (, ) Přepisovací pravidla: 1 ^ 23 2^2 3 ^ 24 4 ^ 54 5^6 6^7 7 ^ 8(1) 8^8 ( i-> ( ) i-> ) Počáteční stav: 1 so =1 si =23 s5 =227654 s2 =224 s6 =228(1)7654 s3 =2254 s7 =228(23)8(1)7654 s4 =22654 Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (, ) Přepisovací pravidla: 1^ 23 2^2 3 ^ 24 4^54 6^7 7 i-> 8(1) 8^8 ( i-> ( Počáteční stav: 1 s5 =227654 s6 =228(1)7654 = 1 =23 =224 S3 =2254 s7 =228(23)8(1)7654 s4 =22654 s8 =228(224)8(23)8(1)7654 Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (, ) Přepisovací pravidla: 1 ^ 23 2^2 3 ^ 24 4 ^ 54 5^6 6^7 7 ^ 8(1) 8^8 ( i-> ( ) i-> ) Počáteční stav: 1 =1 Sl =23 S5 =227654 S2 =224 S6 =228(1)7654 S3 =2254 S7 =228(23)8(1)7654 s4 =22654 S8 =228(224)8(23)8(1)7654 s9 =228(2254)8(224)8(23)8(1)7654 Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (, ) Přepisovací pravidla: 1 ^ 23 2 ^2 6^7 Počáteční stav: 1 so =1 si =23 s2 =224 s3 =2254 s4 =22654 3 ^ 24 4 ^ 54 5^6 7 i-> 8(1) 8^8 ( i-> ( ) i-> ) s5 =227654 s6 =228(1)7654 s7 =228(23)8(1)7654 s8 =228(224)8(23)8(1)7654 s9 =228(2254)8(224)8(23)8(1)7654 sio =228(22654)8(2254)8(224)8(23)8(1)7654 Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (, ) Přepisovací pravidla: 1 4 23 2 ^2 6 4 7 Počáteční stav: 1 So =1 E> si =23 s2 =224 s3 =2254 s4 =22654 3 ^ 24 44 54 546 7 4 8(1) 8 4 8 ( 4 ( ) 4 ) s5 =227654 s6 =228(1)7654 s7 =228(23)8(1)7654 s8 =228(224)8(23)8(1)7654 s9 =228(2254)8(224)8(23)8(1)7654 sio =228(22654)8(2254)8(224)8(23)8(1)7654 Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (, ) Přepisovací pravidla: 1 h> 23 2 ^2 6^7 Počáteční stav: 1 = 1 Sl =23 S2 =224 S3 =2254 S4 =22654 3 ^ 24 4 54 7 i-> 8(1) 8^8 ( ^ ( s5 =227654 s6 =228(1)7654 sr =228(23)8(1)7654 s8 =228(224)8(23)8(1)7654 s9 =228(2254)8(224)8(23)8(1)7654 sio =228(22654)8(2254)8(224)8(23)8(1)7654 Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (, ) Přepisovací pravidla: 1 h> 23 2 h> 2 6^7 Počáteční stav: 1 3 ^ 24 4 ^ 54 5 ^6 7 i-> 8(1) 8^8 ( i-> ( ) i-> ) = 1 =23 IMS) S5 S2 =224 S3 =2254 S7 S4 =22654 S8 s7 =228(23)8(1)7654 s8 =228(224)8(23)8(1)7654 s9 =228(2254)8(224)8(23)8(1)7654 sio =228(22654)8(2254)8(224)8(23)8(1)7654 Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (, ) Přepisovací pravidla: 1 h> 23 Počáteční stav: 1 si =23 S2 =224 SEG3 s3 =2254 UMEm 2^2 3 ^ 24 4 ^ 54 5^6 7 i-> 8(1) 8^8 ( ^ ( ) i-> ) s5 =227654 s6 =228(1)7654 s7 =228(23)8(1)7654 s4 =22654 s8 =228(224)8(23)8(1)7654 s9 =228(2254)8(224)8(23)8(1)7654 sio =228(22654)8(2254)8(224)8(23)8(1)7654 Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (, ) Přepisovací pravidla: 1 h> 23 Počáteční stav: 1 si =23 S2 =224 SEG3 s3 =2254 UMEm 2^2 3 ^ 24 4 ^ 54 5^6 7 i-> 8(1) 8^8 ( ^ ( ) i-> ) s5 =227654 s6 =228(1)7654 s7 =228(23)8(1)7654 s4 =22654 s8 =228(224)8(23)8(1)7654 s9 =228(2254)8(224)8(23)8(1)7654 sio =228(22654)8(2254)8(224)8(23)8(1)7654 Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (, ) Přepisovací pravidla: 1 h> 23 Počáteční stav: 1 si =23 S2 =224 SEG3 2^2 3 ^ 24 7 i-> 8(1) 8^8 s5 =227654 s6 =228(1)7654 4 ^ 54 5^6 s3 =2254 UMEm s7 =228(23)8(1)7654 s4 =22654 s8 =228(224)8(23)8(1)7654 s9 =228(2254)8(224)8(23)8(1)7654 sio =228(22654)8(2254)8(224)8(23)8(1)7654 Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (, ) Přepisovací pravidla: 1 4 23 6 4 7 Počáteční stav: 1 so =1 si =23 cap S2 =224 SEG3 2 4 2 3 4 24 7 4 8(1) 8 4 8 s5 =227654 s6 =228(1)7654 4 4 54 5 4 6 HHJ2) s3 =2254 s7 =228(23)8(1)7654 s4 =22654 s8 =228(224)8(23)8(1)7654 s9 =228(2254)8(224)8(23)8(1)7654 sio =228(22654)8(2254)8(224)8(23)8(1)7654 Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (, ) Přepisovací pravidla: 1 h> 23 6^7 Počáteční stav: 1 si =23 s 2 =224 sura s3 =2254 JWH) 2^2 3 ^ 24 7 i-> 8(1) 8^8 s5 =227654 s6 =228(1)7654 s7 =228(23)8(1)7654 4 h> 54 (^( 5^6 )-0 a > s4 =22654 HEHEE) s8 =228(224)8(23)8(1)7654 s9 =228(2254)8(224)8(23)8(1)7654 sio =228(22654)8(2254)8(224)8(23)8(1)7654 Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (, ) Přepisovací pravidla: 1 h> 23 6^7 Počáteční stav: 1 si =23 s 2 =224 stxE> s3 =2254 &HEEE> s4 =22654 E3±HE) 2^2 3 ^ 24 7 i-> 8(1) 8^8 4 ^ 54 5 ^6 US) s5 =227654 s6 =228(1)7654 s7 =228(23)8(1)7654 s8 =228(224)8(23)8(1)7654 lHláĚÉ&lIB) -TTU|g s9 =228(2254)8(224)8(23)8(1)7654 sio =228(22654)8(2254)8(224)8(23)8(1)7654 Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (, ) Přepisovací pravidla: 1 i-» 23 6 ^ 7 Počáteční stav: 1 so =1 si =23 s2 =224 se© s3 =2254 s4 =22654 2^2 3 ^ 24 7 i-> 8(1) 8^8 s5 =227654 s6 =228(1)7654 4 ^ 54 5 ^6 0 mSS> gig^Tj^ 111 EDD s9 =228(2254)8(224)8(23)8(1)7654 s7 =228(23)8(1)7654 s8 =228(224)8(23)8(1)7654 gaJE^gpTO^) i»nmnn>i»it)gjji sio =228(22654)8(2254)8(224)8(23)8(1)7654 Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (, ) Přepisovací pravidla: 1 h> 23 6^7 Počáteční stav: 1 si =23 s 2 =224 ee© s3 =2254 OHIO) s4 =22654 2^2 3 ^ 24 7 i-> 8(1) 8^8 s5 =227654 s6 =228(1)7654 s7 =228(23)8(1)7654 4 ^ 54 5 ^6 2 > - Em gT S[+M)[-M)SM Abeceda: M, S, +, -, Počáteční stav: M Pravidla: M i-> S[+M][-M]SM 4 Abeceda: M, S, +, -, Počáteční stav: M Pravidla: M i-> S[+M][-M]SM 4 Abeceda: M, S, +, -, Počáteční stav: M Pravidla: M i-> S[+M][-M]SM 4 Abeceda: M, S, +, -, Počáteční stav: M Pravidla: M i-> S[+M][-M]SM 4 Abeceda: M, S, +, -, Počáteční stav: M Pravidla: M i-> S[+M][-M]SM 4 Abeceda: M, S, +, -, Počáteční stav: M Pravidla: M i-> S[+M][-M]SM 4 Abeceda: M, S, +, —, [, Počáteční stav: M Pravidla: M i-> S[+M][-M]SM 5 i-> S S i = 5 9/9