Diferenciální počet M1030 Matematika pro biolog 28.11. a 5.12.2024 Derivace Derivace funkce v bodě Operace s derivacemi Derivace jako funkce Derivace elementárních funkcí Příklady Diferenciál Užití derivací Derivace Derivace funkce v bodě Základní úloha diferenciálního počtu: najít směrnici tečny ke grafu funkce / v bodě (#0>Ž/o) Derivace funkce v bodě Základní úloha diferenciálního počtu: najít směrnici tečny ke grafu funkce / v bodě (xo,f(xo)) Xq X 3/16 Derivace funkce v bodě Základní úloha diferenciálního počtu: najít směrnici tečny ke grafu funkce / v bodě (xo,f(xo)) xo x0 + h % 3/16 Derivace funkce v bodě Základní úloha diferenciálního počtu: najít směrnici tečny ke grafu funkce / v bodě (xo,f(xo)) f(x0 + h) yo = f(x0) Směrnice sečny vedené body (xq, /(#o)) a (xq + h, f(xo + h)) f(x0 + h) - f(x0) h Derivace funkce v bodě Základní úloha diferenciálního počtu: najít směrnici tečny ke grafu funkce / v bodě (xo,f(xo)) f(x0 + h) yo = f(x0) xq + h Směrnice sečny vedené body (xo, /(#o)) a (xo + h, f(xo + h)) Pokud se h „přibližuje" k 0, bod (xq + h, f(xo + h)) se „přibližuje" k bodu (xo,f(xo)) f(x0 + h) - f(x0) h Derivace funkce v bodě Základní úloha diferenciálního počtu: najít směrnici tečny ke grafu funkce / v bodě (xo,f(xo)) xq + h x Směrnice sečny vedené body (xo, /(#o)) a (xo + h, f(xo + h)) Pokud se h „přibližuje" k 0, bod (xq + h, f(xo + h)) se „přibližuje" k bodu (xo,f(xo)) f(x0 + h) - f(x0) h Derivace funkce v bodě Základní úloha diferenciálního počtu: najít směrnici tečny ke grafu funkce / v bodě (xo,f(xo)) Směrnice Pokud se h „přibližuje" k 0, bod (xq + h, f(xo + h)) se „přibližuje" k bodu (xq, f(xo)). Derivace funkce v bodě Základní úloha diferenciálního počtu: najít směrnici tečny ke grafu funkce / v bodě (xo,f(xo)) f(x0 + h) yo = f(x0) xo x0 + h f(x0 + h) - f(x0) h Směrnice sečny vedené body (xo, f(xo)) a (xo + h, f(xo + h)) Pokud se h „přibližuje" k 0, bod (xo + h, f(xo + h)) se „přibližuje" k bodu (xo,f(xo)) Nakonec tyto body splynou a sečna splyne s tečnou. Derivace funkce v bodě Základní úloha diferenciálního počtu: najít směrnici tečny ke grafu funkce / v bodě (xo,f(xo)) f(x0 + h) yo = f(x0) xo x0 + h Směrnice sečny vedené body (xo, /(#o)) a (xo + h, f(xo + h)) Směrnice tečny je rovna f(x0 + h) - f(x0) f(x0 + h) - f(x0) h lim h Derivace funkce v bodě Derivace funkce f v bodě xq je f'(x0) = lim ^—^ Derivace funkce v bodě Derivace funkce f v bodě xo je ,// x r f(xo + h) - f(x0) j ixo) = lim--- Alternativní označení: x = xo + h f (x0) = lim - x->x0 X — Xq Derivace funkce v bodě Derivace funkce f v bodě xo je ,// x r f(xo + h) - f(x0) f (xo) = lim---. h^O h Alternativní označení: x = xo + h f (xo) = lim - x^xq x — Xo Axq = (xo -\-h) — Xo = h Af(x0) = f(x0 + h)- /(xo) = Ay0 f'{xo) — iím —f(x°^ — \[m y° Axq^O Axq Axq^O Axq Derivace funkce v bodě Derivace funkce f v bodě xq je ,// x r f(xo + h) - f(x0) f (xo) = lim---. h^O h Alternativní označení: ,// \ r f(x) ~ f(x0) f (xo) = lim - x^xq X — Xq ,// \ r A/(sq) r AVo J \%o) — lim —-- = lim —— Derivace funkce v bodě Derivace funkce f v bodě x o je nn x r f(xo + h) - f(x0) f (xo) = lim---. h^O h Alternativní označení: ,// \ r f(x) ~ f(x0) f {xo) = lim - x^xq x — Xo J \Xo) = lim —-- = lim —— Ax0^0 AXq Ax0^0 AXq Příklad: Napište rovnici tečny k parabole dané rovnicí y = x2 v bodě (1,1) Derivace funkce v bodě Derivace funkce f v bodě x o je nn x r f(xo + h) - f(x0) f (xo) = lim---. h^O h Alternativní označení: ,// x r f(X) - f(Xo) f (xo) = lim - x^xq x — Xo ,// x r A/Qp) r AVo J (xo) — lim —-- = lim —— Příklad: Napište rovnici tečny k parabole dané rovnicí y = x2 v bodě (1,1) f(x) — x2, Xq — 1, Derivace funkce v bodě Derivace funkce f v bodě x o je f(x0 + h) - f(x0) f'(x0) = lim Alternativní označení: h->0 h f{xo) = lim m^iM x^xq X — Xq f'{xo) — lim —°^ = lim ^° Příklad: Napište rovnici tečny k parabole dané rovnicí y = x2 v bodě (1,1) /(*)=*", xo = l, /'(!)= lim d + fe)2-l2 = liml + 2fe + fe- lim ^ + 2) lim^ + 2) = 2 3/16 Derivace funkce v bodě Derivace funkce f v bodě x o je f{xo) = lim /(»o + fe)-/(»o). h^O h Alternativní označení: f{xo) = lim /(*) - /(*°) x^x0 X — Xq f'{xo) — lím —°^ = lim ^° Příklad: Napište rovnici tečny k parabole dané rovnicí y = x2 v bodě (1,1). /(*)=*", ,o = l, /'(!)= lim d + y-l2 = liml + ^ + fe2-l = lim ^ + 2) lim^ + 2) = 2 Rovnice tečny: y — 1 = 2(x — 1) 3/16 Derivace funkce v bodě Derivace funkce f v bodě x o je f(x0 + h) - f(x0) f'(x0) = lim Alternativní označení: h->0 h f{xo) = lim m^iM x^xq X — Xq f'{xo) — lim —°^ = lim ^° Příklad: Napište rovnici tečny k parabole dané rovnicí y = x2 v bodě (1,1) /(*)=*", ,o = l, /'(!)= lim d + y-l2 = liml + ^ + ^-l = lim ^ + 2) lim^ + 2) = 2 Rovnice tečny: y = 2x — 1 3/16 Derivace funkce v bodě Derivace funkce f v bodě xp je ,// x r f(xo + h) - f(x0) f (xp) = lim---. h^O h Alternativní označení: ,// \ r f(x) ~ f(x0) f (xp) = lim - x^xq x — Xo ,// \ r A/(sq) r AVo J \%o) — lim —-- = lim —— Axo^O l\Xp Axo^O l\Xp Poznámky: Derivace funkce v bodě Derivace funkce f v bodě xq je ,// x r f(xo + h) - f(x0) f (xo) = lim---. h^O h Alternativní označení: f (xo) = lim - x^xq x — Xo ,// \ r A/(sq) r AVo J \Xo) = lim —-- = lim —— Ax0^0 AXq Ax0^0 AXq Poznámky: • Funkce má v bodě nejvýše jednu derivaci. Derivace funkce v bodě Derivace funkce f v bodě xp je f'{x0) = lim h^P f(x0 + h) - f(x0) h Alternativní označení: f (xp) = lim - x^xq X — Xp ,// \ r A/(sq) r AVo J \Xp) = lim —-- = lim —— Ax0^0 AXp Ax0^0 AXp Poznámky: • Funkce má v bodě nejvýše jednu derivaci. • Derivace může být nevlastní. y ■ y = f(x) f'{x2) = -oo X\ X2 X 3/16 Derivace funkce v bodě Derivace funkce f v bodě xo je ,// x r f(Xp + ft) - f{x0) f {xp) = lim---. h^o h Alternativní označení: f {xp) = lim - x->x0 X — Xo «, \ v Mixp) Ayp t (Xo) = lim —-- = lim -— Ax0^0 AXo Ax0^0 AXo Poznámky: • Funkce má v bodě nejvýše jednu derivaci. • Derivace může být nevlastní. • Funkce je spojitá bodě, v němž má vlastní derivaci. Derivace funkce v bodě Derivace funkce f v bodě xq je f (x0) = lim---. h^O h Alternativní označení: f (xo) = lim - x^xq x — Xq x r A/(x0) A^/o j (xo) = lim —-- = lim -— Ax0^0 AXo Ax0^0 Axo Poznámky: • Funkce má v bodě nejvýše jednu derivaci. • Derivace může být nevlastní. • Funkce je spojitá bodě, v němž má vlastní derivaci. • Funkce nemusí mít vlastní derivaci v bodě, v němž je spojitá. Operace s derivacemi Nechť existují derivace ff(xo), gf(xo), (pf(xo), /'(<£>(#o)) Operace s derivacemi Nechť existují derivace f'(xo), gf(%o)> ^'(^o). í'[}f{xo)) . (c/)'(*o) = lim C/(g° + kl - CfiX0) = c lim f{X0 + k) h^O h h^O h Operace s derivacemi Nechť existují derivace f'(xo), gf(xo), (ff(xo), f'(ip(xo)) (cf)'(x0) = cf'(x0) Operace s derivacemi Nechť existují derivace ff(xo), gf(xo), (pf(xo), /'(<£>(#o)) • (cf)'(xo) = cf(xo) (f+9y(x0)= lim (/M+^))-(/w+^°)) x^xq X — Xq lim (ZP) ~ f(xo) + -ffPoA = íe^íeo \ x — Xq X — Xq J = nm ~ + iim íe^íeo x — Xq x^xq X Operace s derivacemi Nechť existují derivace /'(#o)» gf(xo), ^(xq), /'(<£>(#o)) • (cf)'(xo) = cf(xo) (f-9y(Xo)= lim (/m-^))-(/w-^°)) x^xq X — Xq iim (ZP) ~ f(xo) _ g(x)-g(xo)\ = x^x0 y X — Xq X — Xq J = lim ^ ~ - lim 9{X)-9{X0) =f'(Xo)-9'(Xo) x^xq X — Xq x^xq X — Xq Operace s derivacemi Nechť existují derivace f'(xo), g'{xo), (#o)) • (cfY(x0) = cf(x0) • (f±gy(x0) = f(x0)±g'(x0) U9) (xo) = lim lim x^xq X — Xq f(x)g(x) - f(x0)g(x) + f(x0)g(x) - f(x0)g(x0) x^xq x — Xo x^xq y X — Xq X — Xo ) = lim ~ /(*°) lim fl(a:) + ,(*„) lim g{x) ~ g(Xo) = íe^íeo X — Xq x^x0 x^x0 X — Xq = f(x0)g(x0) + f(x0)g'(x0) 4/16 Operace s derivacemi Nechť existují derivace ff(xo), gf(xo), (pf(xo), /'(<£>(#o)) • (cf)'(xo) = cf(xo) • (f±g)'(x0) = f'(xo)±g'(xo) • (fg)'(xo) = f'(xo)g(x0) + f(x0)g'(x0) Operace s derivacemi Nechť existují derivace f (xo), gf(xo), ^'(^o). /'(^(^o)) • (cfY(xo) = cf(x0) • (/±5)'(a;o) = /,(xo)±5,(xo) • (f9)'(xo) = f(x0)g(x0) + f(x0)g'(x0) 1V (a!o) = lim gfež gíaž = iim ^o) - g(x) g) x^x0 x — Xq x^x0 (x — xo)g(x)g(xo) g(x) - g(x0) 1 = lim x->x0 \ x — xo g(x)g(xo) Operace s derivacemi Nechť existují derivace f'(xo), g'(xo), (#o)) • (cf)'(xo) = cf(xo) • (f±g)'(x0) = f'(xo)±g'(xo) • (fg)'(xo) = f'(xo)g(x0) + f(x0)g'(x0) Operace s derivacemi Nechť existují derivace f'(xo), gf(xo), ^'(^o). /'(^(^o)) . (cfy(x0) = cf'(x0) • (f±gy(x0) = f(x0)±g,(x0) • (fdYixo) = f(x0)g(x0) + f(x0)g'(x0) '/V , x = f(x0)g(x0) - f(x0)g'(x0) g) 0 #Oo)2 (/ o (/?)'Oo) = lim /(^))-/(^o)) = lim /(yfo)) ~ /(^(^o)) yfo) - ypKo) = lim /(^)) -/(^o)) lim ~ Pfro) X^Xo ^(^O _ ^(^o) ÍE-^O X — Xq = /'M^o))^'(>o) 4/16 Operace s derivacemi Nechť existují derivace ff(xo), gf(xo), (pf(xo), /'(<£>(#o)) • (cf)'(xo) = cf(xo) • (f±g)'(x0) = f'(xo)±g'(xo) • (fg)'(xo) = f'(xo)g(x0) + f(x0)g'(x0) /V / x = f'(xo)g(x0) - f(xo)g'(x0) 9J ° g{xo)2 (fo> lim - h^o h ve všech bodech definičního oboru funkce /, ve kterých existuje uvedená limita. Derivace jako funkce Buď / funkce. Definujeme funkci f(x + h)-f(x) j : x i—>> lim - h^o h ve všech bodech definičního oboru funkce /, ve kterých existuje uvedená limita. Tato /' funkce je odvozena - derivována - z funkce /, nazývá se (první) derivace funkce f. Derivace jako funkce Buď / funkce. Definujeme funkci f(x + h)- f(x) j : x i—>> lim - /i-)>0 /i ve všech bodech definičního oboru funkce /, ve kterých existuje uvedená limita. Tato /' funkce je odvozena - derivována - z funkce /, nazývá se (první) derivace funkce f. Analogicky lze z funkce /' odvodit funkci f". Nazveme ji druhá derivace funkce f. Derivace jako funkce Buď / funkce. Definujeme funkci fjx + h)- fjx) j : x i—>> lim - h^o h ve všech bodech definičního oboru funkce /, ve kterých existuje uvedená limita. Tato /' funkce je odvozena - derivována - z funkce /, nazývá se (první) derivace funkce f. Analogicky lze z funkce /' odvodit funkci f". Nazveme ji druhá derivace funkce f. Stejně tvoříme derivaci třetí, čtvrtou, pátou ..., /'", f(4\ f(5\ .. Derivace elementárních funkcí 6/ Derivace elementárních funkcí • f(x) c: Derivace elementárních funkcí • fix) — c: f'(x) — lim , — O Derivace elementárních funkcí • f(x) = c: f'(x) = O Derivace elementárních funkcí • f(x) = c: f(x) = 0 • f(x) — xn: Derivace elementárních funkcí • f(x) = c: f'(x) = 0 • f(x) — xn: f'(x) — lim (x + h)n - x h n xn + nx^h + ^^xn-2h2 + • • • + nxh71'1 + h — lim----- h^O h nxn-xh + ^^xn-2h2 + • • • + nxh71-1 + h — lim----- h^O h T / n — 1 , n(n — 1) n-2y , , >n-2 , in —1 — lim nx H----x h + • • • + nx/i + h h^o V 2 n — 1 6/16 Derivace elementárních funkcí • f(x) = c: f'(x) = O • f(x) — xn: f'(x) — nx Derivace elementárních funkcí • f(x) = c: f'(x) = O • f(x) — xn: f'(x) — nx • f(x) = ex: Derivace elementárních funkcí • f(x) = • f(x) = • /(*) = c: /'(x) = 0 xn: f'(x)=nxn-1 ex: /'(#) — lim h—tO x-\-h x e — e h - 1 e~ lim —-- h^O h — e X Derivace elementárních funkcí • f(x) = c: f'(x) = O • f(x) — xn: f'(x) — nx • f{x)=ex: f{x)=ď Derivace elementárních funkcí • f(x) = c: f'(x) = O • f(x) — xn: f'(x) — nx • f{x)=ex: f{x)=ď • f(x) = lnx: Derivace elementárních funkcí • f(x) = c: f'(x) = O • f(x) — xn: f'(x) — nx • f{x)=ex: f{x)=ď • f(x) = lnx: f(x) — ln x xf'(x) = l /'(*) = - X Derivace elementárních funkcí • f(x) = c: f'(x) = O • f(x) — xn: f'(x) — nx • f{x)=ex: f{x)=ď • f(x) — \nx: f'(x) — — Derivace elementárních funkcí • /(a;) = c: f'(x) = 0 • f(x) — xn: f'(x) — nx • f{x)=ex: f'{x) = ď • f(x) — \nx: fix) — — x • f(x) = ax: Derivace elementárních funkcí • f(x) = c: /'(*) = O • f(x) = xn: f'(x) = nx"-1 • f{x)=ex: f'{x) = ď • f(x) — \nx: f'(x) — — x • f(x) = ax: / x\f ( x ln a \ xln a / -i \I x i (a J = le I = e (xma) — a lna Derivace elementárních funkcí • f(x)=G /'(*)= O • f(x)=xn: f'(x) = nxn-1 • f(x)=e*: f'(x)=ex • fix) — lna?: fix) — — x • f{x) — ax\ f'{x) — axhia Derivace elementárních funkcí • f(x) = c: f'(x) = O • f(x)=xn: f'(x) = nxn-1 • f{x)=ex: f{x)=ď • fix) — lnx: f'(x) — — x • f{x) — ax: f'(x) — ax lna • f(x) = \ogax: Derivace elementárních funkcí c: /'(x) = 0 xn: f(x)=nxn-1 x. r/( \ x e : / (x) = e lnx: f'(x) — — x ax: f(x) — ax lna loga x: Derivace elementárních funkcí • f(x) = c: f'(x) = 0 • f(x)=xn: f'(x) = nxn-1 • f{x)=ex: f{x)=ď • fix) — lnx: f'{x) — — x • f{x) — ax: f'(x) — ax lna .f(x) = logax: ť(x) = J^ Derivace elementárních funkcí . f(x) = c: f'(x) = O • f(x) = xn: f'(x) = nx"-1 • f{x) = e": f{x) = ď • f(x) — \nx: f'(x) — — x • f(x) — ax\ f'(x) — axhia • f(x) = \ogax\ f'{x) = —! • /(x) = xa: Derivace elementárních funkcí • f(x)=G f'(x)=0 • f(x)=xn: f'(x) = nxn-1 • f(x)=e*: f'(x)=ex • fix) — \nx\ fix) — — x • f{x) — ax\ f'(x) — axhia • fix) x ln a • fix) x Derivace elementárních funkcí c: f'(x) = 0 xn: f(x)=nxn-1 x. r/( \ x e : / (x) = e lnx: f'(x) — — x ax: /'(#) — ax lna logax: f'(x) = —— x lna 6/1 Derivace elementárních funkcí = c: f'(x) = 0 = xn: f(x)=nxn-1 x. r/( \ x = e : / (x) = e — In x: f'(x) — — x — ax: /'(#) — ax lna = logax: f'(x) = —— x lna — sinx: 6/1 Derivace elementárních funkcí f(x) = c: f'(x) = O f{x)=xn: f'(x) = nxn-1 f{x)=ď: f{x)=ď f(x) — lnx: f'(x) — — x f(x) = ax: f'{x) — ax\na f(x) \oga x: f'(x) xma f(x) = xa: fř(x) = axa~x f(x) = sinx: .. sin(x + h) — sinx sin x cos h + cos x sin h — sin x lim--- — lim--- h^O h h^O h sin h + sinx lim h = cos x + sin x lim 2 (sin \ h)2 h — cos x — sinx lim lim —h — cosx — sinx • 1 • 0 = cosx 6/16 Derivace elementárních funkcí = c: f'(x) = 0 = xn: f(x)=nxn-1 x. r/( \ x = e : / (x) = e — In x: f'(x) — — x — ax: /'(#) — ax lna = sinx: /'(#)= cos x Derivace elementárních funkcí = c: f'(x) = 0 = xn: f(x)=nxn-1 x. r/( \ x = e : / (x) = e — In x: f'(x) — — x — ax: f(x) — ax lna = logax: f'(x)= 1 x lna = sinx: /'(#)= cos x — cosx: 6/1 Derivace elementárních funkcí f(x) = a f'(x) = 0 f(x) = xn: f{x) = nx"'1 f(x) = ex: f'(x) = e* f(x) — lnx: f'(x) — — x f(x) = ax: f'{x) — ax\na f(x) \oga x: f'(x) xma f(x) = xa: fř(x) = axa~x f(x) = sinx: f'(x) — cosx f(x) = cosx: ř(x) — (cosx)7 — (sin(x + I")) — (sin(x + |-)) (x + — cos(x + ^) = — sinx Derivace elementárních funkcí = c: f'(x) = 0 = xn: f(x)=nxn-1 x. r/( \ x = e : / (x) = e — In x: f'(x) — — x — ax: /'(#) — ax lna = logax: f'(x)= 1 x lna sinx: /'(#) = cosx cosx: f'{x) — — sinx 6/1 Derivace elementárních funkcí c: f'(x) = 0 xn: f(x)=nxn-1 x. r/( \ x e : / (x) = e lnx: f'{x) — — x ax: /'(#) — ax lna logax: f'(x)= 1 x lna sinx: /'(#) = cosx cosx: f'(x) — — sinx tgx: 6/1 Derivace elementárních funkcí x) — c: f'(x) — O x) — xn: f(x) — nxn_1 x) — ex: f(x) — ex x) — lnx: f'(x) — — x x) — ax\ f'{x) — ax\na x) = logax: f(x) = —— xma 00^ — 00 m J~ ^00^ — QjOC x) — sinx: f'(x) — cosx x) — cosx: f'(x) — — sinx x) — tgx: . /sinx\ (sinx)'cosx — sinx(cosx)' (cosx)2 + (sinx)2 1 \cosx J (cosx)2 (cosx)2 (cosx): Derivace elementárních funkcí = c: f'(x) = 0 = xn: f(x)=nxn-1 x. r/( \ x = e : / (x) = e — In x: f'(x) — — x — ax: /'(#) — ax lna = logax: f'(x) = x lna — 00 m J~ ^00^ — QjOC — sinx: /'(#)= cos x = cosx: f'{x) — — sinx 1 = tgx: f'(x) = (cosx): 6 / 1 Derivace elementárních funkcí c: f'(x) = 0 xn: f(x)=nxn-1 x. r/( \ x e : / (x) = e lnx: f'(x) — — x ax: /'(#) — ax lna logax: f'(x)= 1 x lna sinx: /'(#) = cosx cosx: f'(x) — — sinx tgx: f'(x) = -—~ (cosx)^ cotgx: 6/1 Derivace elementárních funkcí c: f'(x) = 0 xn: f(x)=nxn-1 x. r/( \ x e : / (x) = e lnx: f'(x) — — x ax: f(x) — ax lna logax: f'(x)= 1 x lna 00 m J~ ^00^ — QjOC sinx: f'(x) — cosx cosx: f'{x) — — sinx 1 tgx: f'{x) = (cosx): cotgx: f'(x) — (cotgxV = ( —— J = (cos:E) (tgx): Derivace elementárních funkcí = c: f'(x) = 0 = xn: f(x)=nxn-1 x. r/( \ x = e : / (x) = e — In x: f'(x) — — x — ax: /'(#) — ax lna = logax: f'(x) = x lna — 00 m J~ ^00^ — QjOC — sinx: /'(#)= cos x = cosx: f'{x) — — sinx 1 = tgx: f'(x) = (cosx): — cotgx: f'(x) — — (sinx): 6 / 1 Derivace elementárních funkcí • f(x) — arcsinx: Derivace elementárních funkcí • f(x) = arcsinx: f(x) = arcsinx sin/(x) = x /'(x)cos/(x) = 1 1 cos/(x) y/\ - (sin/(x))2 Vl -x2 Derivace elementárních funkcí f(x) = arcsinx: f'(x) — Vl-x2 6/16 Derivace elementárních funkcí Derivace elementárních funkcí f(x) — arcsinx: f'(x) — y/1 — X 2 1 • f(x) — arccosx: f'{x) —--■ v 1 — x2 • f[x) — arctgx: Derivace elementárních funkcí — arcsinx: f'(x) — y/1 — X' — arccosx: ff(x) — — Vl-x2 — arctgx: tg/(z) i — arctg x (cos/(V)) X 1 f'(x) (cos/(x))2 Vl + x2 Derivace elementárních funkcí f(x) = arcsinx: f'(x) — VT f(x) — arccosx: f'(x) — — X' 1 y/1 — X' f(x) = arctgx: f'(x) — 1 + X' Derivace elementárních funkcí arcsinx: f'(x) = \/l — X' arccosx: f'(x) = >/l — ar arctgx: /'(#) = 1 + x2 arccotgx: f'(x) — — — + X' 6 / 1 Derivace elementárních funkcí arcsinx: f'(x) = y/1 — x- arccosx: f'{x) — — \J\ — X' arctgx: f'{x) — 1 1 + x2 arccotgx: f'{x) — — — ln (x ± y/l + x2): + x: 6 / 1 Derivace elementárních funkcí f(x) = arcsinx: f (x) — y/l — x f(x) — arccosx: ff(x) — — 2 1 a/1 — x: 1 + x f(x) arctgx: f'(x) -f(x) — arccotgx: f'{x) — —- + x' • f[x) — ln (x ± a/1 + x2): f(x) = 1 (i ± 2x \ = ^/^+^ ±£ = ± 1 x ± Vl +x2 V + / (x± y/l +x2) Vl+x2 Vl + x2 Derivace elementárních funkcí arcsinx: f'(x) — >/l — x arccosx: f'(x) — — 2 1 arct gx: f'(x) = - 1 arccot + x2 1 gx: f'(x) = -- + X' ln (x± Vl + x2): f'(x) = ± Vl + x2 6 / ] Derivace elementárních funkcí arcsinx: /'(#) = arccosx: ff(x) = VI -x2 1 a/1 — 1 arctgx: /'(#) = ^ arccotgx: f'(x) —--- w 1 + x2 + X2 1 + ln (x± Vl + x2): f'(x) = ± 1 — x Vl + x2 6/1 Derivace elementárních funkcí f(x) — arcsinx: f'(x) — \/l — x f(x) = arccosx: f'(x) — 2 1 X' f(x) arctgx: f(x) * 2 -L | 00 f(x) arccotgx: f'(x) - —^ 2 /(x) = ln (x ± Vl + x2): /'(x) = db f(x) = \nJ^±^: f'(x)= (§(ln(l + z)-ln(l-*)))' = — 1 \ 1 1 — x+l+x 1 _ 2 ^ 1 + x l-xy_2(l + x)(l - x) 1 - X2 Derivace elementárních funkcí arcsinx: f'{x) = \/\ — x arccosx: f'{x) — arctgx: f'(x) = 2 1 y/1 — X' 1 1 + x2 1 arccotgx: f'(x) — ————- A. I OC ln (x± Vl + x2): /'(x) = ± vi + x 2 ln 1 — x 1 — X2 6/] Derivace elementárních funkcí /(*) /(*) c X n x lnx a* X ^ogax smx cosx 0 nx71-1 ex 1 x ax lna 1 x lna cosx — sinx tgx cotgx arcsin x arccos x arctg x arccotg x ln 1 + x 1 — X (cosx)2 1 (sinx)2 1 X' y/1 — X' 1 1 +x2 1 ln (1 ± Vl + x2) ± 1 + x2 1 1 — X' Příklady (6x3 - 2x2 + 3x - 5)' Příklady (6x3 - 2x2 + 3x - 5)' = 6 • 3x2 - 2 • 2x + 3x° - O = 18x2 - 4x + 3 Příklady (6x3 - 2x2 + 3x - 5)' = 6 • 3x2 - 2 • 2x + 3x° - O = 18x2 - 4x + 3 (3(x2 - 2x + 1) - 51nx + 2v/x)/ Příklady (6x3 - 2x2 + 3x - 5)' = 6 • 3x2 - 2 • 2x + 3x° - O = 18x2 - 4x + 3 Í3(x2 - 2x + 1) - 51nx + 2Jx)' = 3(2x - 2) - 5- + 2±x"i = 6x-6-- + ^ Příklady (6x3 - 2x2 + 3x - 5)' = 6 • 3x2 - 2 • 2x + 3x° - O = 18x2 - 4x + 3 (3(x2 - 2x + 1) - 51nx + 2y/öc)' = 3(2x - 2) - 5- + 2±x"i = 6x - 6 - - + oc oc (3x5 - 6(1 - 3x)4)' Příklady (6x3 - 2x2 + 3x - 5)' = 6 • 3x2 - 2 • 2x + 3x° - O = 18x2 - 4x + 3 (3(x2 - 2x + 1) - 51nx + 2y/öc)' = 3(2x - 2) - 5- + 2\x~^ = 6x - 6 - - + oc oc (3x5 - 6(1 - 3x)4)' = 15x4 - 24(1 - 3x)3(-3) = 15x4 + 72(1 - 3x)3 Příklady (6x3 - 2x2 + 3x - 5)' = 6 • 3x2 - 2 • 2x + 3x° - O = 18x2 - 4x + 3 (3(x2 - 2x + 1) - 51nx + 2y/x)' = 3(2x - 2) - 5- + 2^x"i = 6x-6-- + ^ (3x5 - 6(1 - 3x)4)' = 15x4 - 24(1 - 3x)3(-3) = 15x4 + 72(1 - - 3x): 3x-2 x3 -8 Příklady 2x2 + 3x - 5)' = 6 • 3x2 - 2 • 2x + 3x° - O = 18x2 - - 4x + 3 - 2x + 1) - 51nx + 2Vx); = 3(2x - 2) - 5- + 2±x~i = 6x - 6 6(1 - 3x)4)' = 15x4 - 24(1 - 3x)3(-3) = 15x4 + 72(1 - 3x)3 2 V _ 3(x3 - 8) - (3x - 2)3x2 _ 3x3 - 24 - 9x3 + 6x2 _ -6x3 + 6x2 - 24 8J (x3 - 8)2 (x3 - 8)2 x6 - 16x3 + 64 Příklady (6x3 - 2x2 + 3x - 5)' = 6 • 3x2 - 2 • 2x + 3x° - O = 18x2 - - 4x + 3 (3(x2 - 2x + 1) - 51nx + 2y/x)f = 3(2x - 2) - 5- + 2 ±x_i = 6x - 6 (3x5 - 6(1 - 3x)4)' = 15x4 - 24(1 - 3x)3(-3) = 15x4 + 72(1 - 3x)3 Í3x - 2 V _ 3(x3 - 8) - (3x - 2)3x2 _ 3x3 - 24 - 9x3 + 6x2 _ -6x3 + 6x2 - 24 \x3 - 8J ~ (x3 - 8)2 ~ (x3 - 8)2 x6 - 16x3 + 64 (lnx2Ťl) Příklady (6x3 - 2x2 + 3x - 5)' = 6 • 3x2 - 2 • 2x + 3x° - O = 18x2 - - 4x + 3 (3(x2 - 2x + 1) - 51nx + 2y/x)f = 3(2x - 2) - 5- + 2\x~^ = 6x - 6 (3x5 - 6(1 - 3x)4y = 15x4 - 24(1 - 3x)3(-3) = 15x4 + 72(1 - 3x)3 (3x - 2V _ 3(x3 - 8) - (3x - 2)3x2 _ 3x3 - 24 - 9x3 + 6x2 _ -6x3 + 6x2 - 24 \x3 - 8J ~ (x3 - 8)2 ~ (x3 - 8)2 x6 - 16x3 + 64 / x2 - 1V _ x2 + 1 2x(x2 + 1) - (x2 - l)2x _ 4x _ 4x V n x2 + 1) ~ x2 - 1 (x2 + l)2 (x2 - l)(x2 + 1) ~ x4 - 1 Příklady (6x3 - 2x2 + 3x - 5)' = 6 • 3x2 - 2 • 2x + 3x° - O = 18x2 - 4x + 3 (3(x2 - 2x + 1) - 51nx + 2y/x)f = 3(2x - 2) - 5- + 2 ±x_i = 6x - 6 (3x5 - 6(1 - 3x)4)' = 15x4 - 24(1 - 3x)3(-3) = 15x4 + 72(1 - 3x)3 (3x - 2 V _ 3(x3 - 8) - (3x - 2)3x2 _ 3x3 - 24 - 9x3 + 6x2 _ -6x3 + 6x2 - 24 \x3 - 8J ~ (x3 - 8)2 ~ (x3 - 8)2 x6 - 16x3 + 64 / x2 - 1 y _ x2 + 1 2x(x2 + 1) - (x2 - l)2x _ 4x _ 4x V n x2 + 1) ~ x2 - 1 (x2 + l)2 (x2 - l)(x2 + 1) ~ x4 - 1 Příklady (6x3 - 2x2 + 3x - 5)' = 6 • 3x2 - 2 • 2x + 3x° - O = 18x2 - 4x + 3 (3(x2 - 2x + 1) - 51nx + 2y/x)f = 3(2x - 2) - 5- + 2 ±x_i = 6x - 6 (3x5 - 6(1 - 3x)4)' = 15x4 - 24(1 - 3x)3(-3) = 15x4 + 72(1 - 3x)3 (3x - 2 V _ 3(x3 - 8) - (3x - 2)3x2 _ 3x3 - 24 - 9x3 + 6x2 _ -6x3 + 6x2 - 24 \x3 - 8J ~ (x3 - 8)2 ~ (x3 - 8)2 x6 - 16x3 + 64 / x2 - 1 y _ x2 + 1 2x(x2 + 1) - (x2 - l)2x _ 4x _ 4x V n x2 + 1) ~ x2 - 1 (x2 + l)2 (x2 - l)(x2 + 1) ~ x4 - 1 Příklady (6x3 - 2x2 + 3x - 5)' = 6 • 3x2 - 2 • 2x + 3x° - O = 18x2 - - 4x + 3 (3(x2 - 2x + 1) - 51nx + 2y/x)' = 3(2x - 2) - 5- + 2±x"i = 6x-6-- + ^ 00 00 00 (3x5 - 6(1 - 3x)4)' = 15x4 - 24(1 - 3x)3(-3) = 15x4 + 72(1 - 3x)3 3x - 2 V _ 3(x3 - 8) - (3x - 2)3x2 _ 3x3 - 24 - 9x3 + 6x2 _ -6x3 + 6x2 - 24 x3 - 8J ~ (x3 - 8)2 ~ (x3 - 8)2 ~ x6 - 16x3 + 64 - 1V x2 + 1 2x(x2 + 1) - (x2 - l)2x 4x 4x 00 In x2 + iy x2-l (x2 + l)2 (x2-l)(x2 + l) x4--l (^V xv/x3^ ((sinx)x) Příklady (6x3 - 2x2 + 3x - 5)' = 6 • 3x2 - 2 • 2x + 3x° - O = 18x2 - - 4x + 3 (3(x2 - 2x + 1) - 51nx + 2y/x)f = 3(2x - 2) - 5- + 2 ±x_i = 6x - 6 (3x5 - 6(1 - 3x)4)' = 15x4 - 24(1 - 3x)3(-3) = 15x4 + 72(1 - 3x)3 (3x - 2 V _ 3(x3 - 8) - (3x - 2)3x2 _ 3x3 - 24 - 9x3 + 6x2 _ -6x3 + 6x2 - 24 \x3 - 8J ~ (x3 - 8)2 ~ (x3 - 8)2 x6 - 16x3 + 64 / x2 - 1V _ x2 + 1 2x(x2 + 1) - (x2 - l)2x _ 4x _ 4x V n x2 + 1) ~ x2 - 1 (x2 + l)2 (x2 - l)(x2 + 1) ~ x4 - 1 ((sinx)x)ř = (exlnsinx)' = exlnsinx (lnsinx + x^^) = (sinx)x (lnsinx + xcotgx) V smx/ Derivace Diferenciál Pojem diferenciálu Užití diferenciálu Užití derivací Diferenciál Pojem diferenciálu Diferenciál funkce f v bodě xq, df(xo): přírůstek funkce naměřený na tečně. xq+Ax x Pojem diferenciálu Diferenciál funkce f v bodě xq, df(xo): přírůstek funkce naměřený na tečně. Pojem diferenciálu Diferenciál funkce f v bodě xq, df(xo): přírůstek funkce naměřený na tečně. Diferenciál funkce f v obecném bodě x\ dy = d f (x) = f'(x)Ax Pojem diferenciálu Diferenciál funkce f v bodě xq, df(xo): přírůstek funkce naměřený na tečně. Diferenciál funkce f v obecném bodě x\ dy = d f (x) = f'(x)Ax Pro funkci g danou předpisem g (x) = x platí dx = dg(x) = g'(x)Ax = Ax. Pojem diferenciálu Diferenciál funkce f v bodě x0, df(xo): přírůstek funkce naměřený na tečně. Platí: f (x) = f(x0 + Ax) « f(x0) + df(x0) df(x0) tj- Ax = /'(*o), d/(x0) = f'(x0)Ax Diferenciál funkce f v obecném bodě x\ dy = d f (x) = f' (x)Ax Pro funkci g danou předpisem g(x) = x platí dx = dg(x) = g'(x)Ax = Ax. Proto lze psát dy = f'(x)dx, neboli /'(x) = ^p. 9/16 Užití diferenciálu ) ~ f{x0) + df(x0) = f(x0) + f'(x0)Ax = f(x0) + f'{x0)(x Užití diferenciálu f (x) « f(x0) + d/(x0) = /(x0) + f(x0)Ax = f(x0) + f'(x0)(x - x0) Přibližný výpočet funkčních hodnot Užití diferenciálu f(x) « f(x0) + d/(x0) = /po) + f(x0)Ax = f(x0) + f'(x0)(x - x0) Přibližný výpočet funkčních hodnot Příklady: Přibližně vypočítejte \/2. Užití diferenciálu f(x) « f(x0) + d/(x0) = /(a?0) + f'{x0)Ax = f(x0) + /'Oo)0 - a?o) Přibližný výpočet funkčních hodnot Příklady: Přibližně vypočítejte \/2. f{x) = xi, fix) = !*"§ = I , ^2 = /(2), Užití diferenciálu f (x) « f(x0) + d/(x0) = /Oo) + f'(x0)Ax = f(x0) + f(x0)(x Přibližný výpočet funkčních hodnot Príklady: Přibližně vypočítejte \/2. f (x) = xi, f (x) = \x~l = § (^j , ^2 = /(2), Užití diferenciálu f(x) « f(x0) + d/(x0) = /Oo) + f(x0)Ax = f(x0) + f(x0)(x Přibližný výpočet funkčních hodnot Příklady: Přibližně vypočítejte \/2. f(x) = xi, f'{x) = \x~2ž = I (-L) , ^2 = /(2), 125 *o = (f)* = W. /(*<>) = |, f'(xo) = § = ±f, A* = 2 - 64 - 64 ^2 = /(2)«| + i|A = li = 1,26 Užití diferenciálu f(x) « f(x0) + d/(x0) = /po) + f'(x0)Ax = f(x0) + f(xo)(x Přibližný výpočet funkčních hodnot Příklady: Přibližně vypočítejte \/2. /(*) = xi, f'(x) = \x~i = i , = /(2), *o = (I)3 = W- /(*o) = f. /'(xo) = | (I)' = A* = 2 - ±f = ^ = /(2)«! + M = i = 1.26 Přesná hodnota: ^2 = 1,25992. Užití diferenciálu f(x) « f(x0) + df(x0) = /(x0) + f(x0)Ax = f(x0) + f'{x0)(x - x0) Přibližný výpočet funkčních hodnot Příklady: Přibližně vypočítejte log109. Užití diferenciálu f(x) « f(x0) + d/(x0) = /(x0) + f{x0)Ax = f(x0) + f{x0)(x - x0) Přibližný výpočet funkčních hodnot Příklady: Přibližně vypočítejte log10 9. f(x) = logwx, f(x) = —!—, ln 10 = 2,3026, x ln 10 Užití diferenciálu f(x) « f(x0) + d/(x0) = /(x0) + f'(x0)Ax = f(x0) + /'Ozo)(a - ^o) Přibližný výpočet funkčních hodnot Příklady: Přibližně vypočítejte log10 9. f{x) = log10x, /'(ar) = —^j, ln 10 = 2,3026, x0 = 10, f(x0) = log10 10 = 1, Ax = -1, Užití diferenciálu f (x) « f(x0) + d/(x0) = /(x0) + f'(x0)Ax = f(x0) + f'(x0)(x - x0) Približný výpočet funkčních hodnot Príklady: Približne vypočítejte log10 9. f (x) = log10 x, /'(x) = —i—, ln 10 = 2,3026, x In 10 xo = 10, /(x0) = log10 10 = 1, Ax = -1, log10 9 =/(9) ^ 1 - = 0,957 Užití diferenciálu f(x) « f(x0) + d/(x0) = /(ffo) + f'(x0)Ax = f(x0) + f'{x0)(x - x0) Přibližný výpočet funkčních hodnot Příklady: Přibližně vypočítejte log10 9. f(x) = log10x, f'(x) = -f^, ln 10 = 2,3026, x0 = 10, f(x0) = log10 10 = 1, Ai = -1, log10 9 = /(9) « 1 - 237)26 = 0,957 Přesná hodnota: log109 = 0,9542. Derivace Diferenciál Užití derivací Konstrukce tečen Aproximace funkcí Taylorův polynom Limity neurčitých výrazů Průběh funkce Užití derivací Konstrukce tečen Přímka, která má směrnici q a prochází bodem (#0,2/0) má rovnici y-yo = q(x- x0). Konstrukce tečen Přímka, která má směrnici q a prochází bodem (#0>ž/o) má rovnici y-yo = q{x- x0). Tečna ke grafu funkce y = f(x) v bodě (#o?/(#o)) m^ rovn'c' 2/ - /(x0) = f'(x0)(x - x0), tj. y = f(x0) + f'(x0)(x - x0). Konstrukce tečen Přímka, která má směrnici q a prochází bodem (#o>Ž/o) m^ rovnici y-yo = q(x- x0). Tečna ke grafu funkce y = f (x) v bodě (xo,f(xo)) má rovnici V ~ f(x0) = f'(x0)(x - x0), tj. y = f(x0) + f'(x0)(x - x0). Příklady: Najděte tečnu k parabole dané rovnicí y = 1 — (x — l)2 v bodě (|, |). Konstrukce tečen Přímka, která má směrnici q a prochází bodem (#o?ž/o) má rovnici y-yo = q(x- x0). Tečna ke grafu funkce y = f (x) v bodě (x0,/(x0)) má rovnici V ~ f(x0) = f'(x0)(x - x0), tj. y = f(x0) + f'(x0)(x - x0). Příklady: Najděte tečnu k parabole dané rovnicí y = 1 — (x — 1) v bodě (|, |) f(x) = l-(x- l)2, x0 = f, ž/o : f'(x) = 0 - 2(x - 1) = 2 - 2x, /'(§) = 2 - 3 = -1 3 4 2/ 4 (x 2) A ' ' X Konstrukce tečen Přímka, která má směrnici q a prochází bodem (#o?Ž/o) ma rovnici y-yo = q(x- x0). Tečna ke grafu funkce y = f (x) v bodě po,/po)) má rovnici V ~ /po) = /'po)P ~ x0), tj. y = f(x0) + f'(x0)(x - x0). Příklady: Napište rovnici tečny ke kružnici dané rovnicí x2 + y2 = r2 v bodě po, i/o)- Konstrukce tečen Přímka, která má směrnici q a prochází bodem (#o>Ž/o) m^ rovnici y-yo = q(x- x0). Tečna ke grafu funkce y = f (x) v bodě (xo,f(xo)) má rovnici V ~ f(x0) = f'(x0)(x - x0), tj. y = f(x0) + f'(x0)(x - x0). Příklady: Napište rovnici tečny ke kružnici dané rovnicí x2 + y2 = r2 v bodě (#o?Ž/o)-y — f(x) — ±\/r2 — x2 Konstrukce tečen Přímka, která má směrnici q a prochází bodem (#o>Ž/o) m^ rovnici y-yo = q(x- x0). Tečna ke grafu funkce y = f (x) v bodě (xo,f(xo)) má rovnici y - f(x0) = f'(x0)(x - x0), tj. y = f(x0) + f'(x0)(x - x0). Příklady: Napište rovnici tečny ke kružnici dané rovnicí x2 + y2 y = f (x) = ±\/r2 — x2; derivujeme obě strany této rovnosti. r2 v bodě (x0,y0) \Jr2 — x2 (-2ar) = t X V?-X2 12 / 16 Konstrukce tečen Přímka, která má směrnici q a prochází bodem (#o>Ž/o) m^ rovnici y-yo = q(x- x0). Tečna ke grafu funkce y = f (x) v bodě (xo,f(xo)) má rovnici V ~ f(x0) = f'(x0)(x - x0), tj. y = f(x0) + f'(x0)(x - x0). Příklady: Napište rovnici tečny ke kružnici dané rovnicí x2 + y2 y = f (x) = ±\/r2 — x2; derivujeme obě strany této rovnosti. r2 v bodě (x0,y0) \/r2 — x2 (-2ar) = t X \/r2 — x2 f'(x0) = t x0 Xq — x o 2/o 12 / 16 Konstrukce tečen Přímka, která má směrnici q a prochází bodem (#o?Ž/o) m^ rovnici y-yo = q(x- x0). Tečna ke grafu funkce y = f (x) v bodě (xo,f(xo)) má rovnici y - f(x0) = f'(x0)(x - x0), tj. y = f(x0) + f'(x0)(x - x0). Příklady: Napište rovnici tečny ke kružnici dané rovnicí x2 + y2 y = f (x) = ±\/r2 — x2; derivujeme obě strany této rovnosti. r2 v bodě (x0,y0) y - yo = 2 \/r2 Xq yo X' (x - Xq) (-2x) = t x v? x- Xq Vr2 Xq X 0 Xo 2/o Konstrukce tečen Přímka, která má směrnici q a prochází bodem (#0,2/0) má rovnici y-yo = q(x- x0). Tečna ke grafu funkce y = f (x) v bodě (x0,/(x0)) má rovnici y - f(x0) = f'(x0)(x - x0), tj. y = f(x0) + f'(x0)(x - x0). Příklady: Napište rovnici tečny ke kružnici dané rovnicí x2 + y2 y = f (x) = ±\/r2 — x2; derivujeme obě strany této rovnosti. r2 v bodě (x0,y0) Xq \fr* — x- (-2ar) = T \/r2 — x2 f'(x0) = T 7 t X0 — x o Xo 2/o y - íjo =--(x - x0) 2/o + 2/02/ = ^o + Ž/o Konstrukce tečen Přímka, která má směrnici q a prochází bodem (#o?ž/o) má rovnici y-yo = q(x- x0). Tečna ke grafu funkce y = f (x) v bodě p0,/po)) má rovnici V ~ /po) = /'po)P ~ x0), tj. y = f(x0) + f'(x0)(x - x0). Příklady: Napište rovnici tečny ke kružnici dané rovnicí x2 + y2 y = f (x) = ±\/r2 — x2; derivujeme obě strany této rovnosti. r2 v bodě (x0,y0) fP) = ±\ 2 /r2 Xq \fr* — x- (-2ar) = T X \/r2 — x: rpo) = t Xq \fr2 Xq X o Xo 2/o y -yo =--(x - x0) 2/0 ^o^ + yoy = v Aproximace funkcí Funkci y = f(x) aproximujeme v okolí bodu xq lineární funkcí y = qx + p 13 / 16 Aproximace funkcí Funkci y = f (x) aproximujeme v okolí bodu xq lineární funkcí y = qx + p Graf funkce / nahradíme jeho tečnou v bodě (xo,yo) = (#o?/(#o))» tj. 1/ = Vo + f'(x0)(x - x0). 13 / 16 Aproximace funkcí Funkci y = f (x) aproximujeme v okolí bodu xq lineární funkcí y = qx+p = f(x0) + f(x0)(x - x0). Graf funkce / nahradíme jeho tečnou v bodě (xo,yo) = (xo, f(xo)), tj. V = Vo + f'(xo)(x ~ x0). 13 / 16 Aproximace funkcí Funkci y = f(x) aproximujeme v okolí bodu xq kvadratickou funkcí y = T2 (x) = ax2 + bx + c 13 / 16 Aproximace funkcí Funkci y = f (x) aproximujeme v okolí bodu xq kvadratickou funkcí y = T2 (x) = ax2 + bx + c Přitom požadujeme /(x0) = T2(x0), /'(^o) = T^xo). /"(#o) = ^'(xo), tj. ax\ -\- bxo -\-c = f(xo) 2axo -\- b = f'(xo) 2a =f"(x0) Xq X 13 / 16 Aproximace funkcí Funkci y = f(x) aproximujeme v okolí bodu xq kvadratickou funkcí y = T2 (x) = ax2 + bx + c Přitom požadujeme /(x0) = T2(x0), f (x0) = T^o), f (x0) = T^(x0) axg + b xq -\-c = /(#o) 2axg + 6 = f'(xo) 2a =f"(x0) To je soustava tří lineárních rovnic pro tři neznámé parametry a, 6, c. Aproximace funkcí Funkci y = f(x) aproximujeme v okolí bodu xq kvadratickou funkcí y = T2 (x) = ax2 + bx + c Přitom požadujeme /(x0) = T2(x0), /'(^o) = T^xo). /"(#o) = ^'(xo), tj. ax\ -\- bxp -\-c = f(xo) 2axo -\- b = f'(xo) 2a =f"(x0) To je soustava tří lineárních rovnic pro tři neznámé parametry a, 6, c. Řešení a = \ f"(xo), b = f - x0f"(x0), c = f(x0) - x0f'(x0) + \xlf"(xo) Aproximace funkcí Funkci y = f (x) aproximujeme v okolí bodu xq kvadratickou funkcí y = T2 (x) = ax2 + bx + c Přitom požadujeme /(x0) = T2(x0), /'(^o) = T^xo). /"Oo) = ^'(xo). tj. ax\ -\- bxp -\-c = f(xo) 2axo -\- b = f'(xo) 2a =f"(x0) To je soustava tří lineárních rovnic pro tři neznámé parametry a, 6, c. Řešení a = |f (x0), b = f - x0f"(x0), c = f(x0) - x0f'(x0) + \xlf"(xo) Tedy T2(x) = /(x0) + f'(x0)(x - Xq) + ±/"(xo)(tf - X0)2 Aproximace funkcí Funkci y = f(x) aproximujeme v okolí bodu xq kvadratickou funkcí V = T2{x) = f(x0) + f(x0)(x - x0) + \f"(xp)(x - x0)2 Aproximace funkcí Funkci y = f (x) aproximujeme v okolí bodu xq kvadratickou funkcí V = T2(x) = f(x0) + f{x0)(x - x0) + \ f"(xo)(x - Xq)2 Příklad: Funkci y = cotg x aproximujte v okolí bodu xq = W funkcí kvadratickou Aproximace funkcí Funkci y = f(x) aproximujeme v okolí bodu xq kvadratickou funkcí v = T2(x) = f(x0) + f'(x0)(x - Xq) + \ f"(xo)(x ~ Xq)2 Příklad: Funkci y = cotgx aproximujte v okolí bodu xq = W funkcí kvadratickou cotgx (cotgx)' = — 1 (sinx)2 cotg(jTr) = 1 (sin \tt)2 sin(W) = -2 = 1 / . \// 0 cos # (cotgxj = 2- (sinx)3 COS |7T (sin t7t)3 4 13 / 16 Aproximace funkcí Funkci y = f (x) aproximujeme v okolí bodu xq kvadratickou funkcí V = T2(x) = f(x0) + f{x0)(x - x0) + \ f"(xo)(x - Xq)2 Příklad: Funkci y = cotg x aproximujte v okolí bodu xq = ^ir funkcí kvadratickou i cos(W) cotg x cotg(i7r) = . n = 1 sm(i7r) N, 1 1 (cotgx)=- —-— - = -2 (sin#)J (sin^7r)2 , N„ COSX rt COS j7T cotg x = 2-—-^ 2 . x4 = 4 Tedy cotg x « 1 - 2(x - W) + 2(x - \iľ)2 Aproximace funkcí Funkci y = f{x) aproximujeme v okolí bodu xq kvadratickou funkcí V = T2(x) = f(x0) + f{x0)(x - x0) + \ f"(xo)(x - Xq)2 Příklad: ^2 Aproximace funkcí Funkci y = f (x) aproximujeme v okolí bodu xq kvadratickou funkcí V = T2(x) = f(x0) + f{x0)(x - x0) + \ f"(xo)(x - Xq)2 Příklad: f (x) \p£~i Xq -g^-, J(xq) ^, x 2, X g^, Aproximace funkcí Funkci y = f(x) aproximujeme v okolí bodu xq kvadratickou funkcí V = T2(x) = f(x0) + f{x0)(x - X0) + \ f"(xo)(x - Xq)2 Příklad: ^2 f (x) \[x~i Xq -g^-, J(xq) ^, x 2, # #o Q4? f/fTA _ lT-2/3 f//T. \ _ 16 — _ 2 -5/3 _ _2 /4\5 _ 2 048 «/ K^J ~ d, i J V °/ — 75 > V / — 9 ' «/ V / — 9 V5/ — 28 125' Aproximace funkcí Funkci y = f (x) aproximujeme v okolí bodu x0 kvadratickou funkcí y = T2(x) = f(x0) + f'(x0)(x - Xq) + \f"{x0)(x - Xq)2 Příklad: ^2 f{x) — \fx^ Xq = "734"? f (X()) = 4? X = 2, X g^, / (X) = 3X 2^3' / (Xo) = 755 / (x) = ~~ 9,X' ^ 5 / (x) — ~ 9 (5) = — 28 125 ' 3/Ô _ f/o\ ~ 5 i 16 _3__ 1 2 048 ( 3_\2 v «/ v / ^ 4 ~^ 75 ' 64 2 ' 28 125 V 64/ Aproximace funkcí Funkci y = f (x) aproximujeme v okolí bodu x0 kvadratickou funkcí v = T2(x) = f(x0) + f'(x0)(x - Xq) + \f"{x0)(x - Xq)2 Příklad: f(x) = \/x^ Xq = "734T? f(x()) — 45 x = 2, X — Xq = g^, / (x) : 3X' 2^3? / (xo) — 755 / ix) = — gx' ^ 5 ./ (x) = ~~ 9 (5) = ~ 28125' 3/Ô _ f/o\ ~ 5 , 16 _3__ 1 2 048 ( 3_\2 _ 453 571 j_ -1 qcqqo ^ «/ v / ^ 4 75 * 64 2 ' 28 125 ' V 64/ ~~ 360 000 — J-,^<-^^ Taylorův polynom Motivace: tt = 3,141592654 ••• = 3 + ^+ 4- ^ + -r^ + 5 • + • Taylorův polynom Motivace: tt = 3,141592654 ••• = 3 + ^+ 4- ^ + ^ + 5 • + • • = l + x + x2+x3^---- 1 — x Taylorův polynom Motivace: tt = 3,141592654 ... = 3 + ^+ 4-^ + ^ + 5 • + l - 1 + x + x2 + x3 H---- 1 — x součet členů geometrické posloupnosti s nultým členem 1 a kvocientem x Taylorův polynom Motivace: tt = 3,141592654 ... = 3 + ^+ 4- ^ + ^ + 5 i 10 000 + 1 1 — X 1 + x + x2 + xd + součet členů geometrické posloupnosti s nultým členem 1 a kvocientem platí pro x < 1. Taylorův polynom Motivace: tt = 3,141592654 ••• = 3 + ^+ 4- ^ + -j^ + 5 • + 1 1 — x = l+ X + X2+XÓJr součet členů geometrické posloupnosti s nultým členem 1 a kvocientem x; platí pro \x\ < 1. Taylorův polynom Motivace: tt = 3,141592654 ... = 3 + ^+ 4- ^ + ^ + 5 i 10 000 + 1 1 — X 1 + x + x2 + xd + součet členů geometrické posloupnosti s nultým členem 1 a kvocientem x platí pro < 1. 1 , 1 f(x) = ~,-> /'0*0 = i-x7 -v 7 (i-x)2'j v' (i-x)3'j v y (i /(o) = i, //(o) = i, r(o) = 2, r/(o) = 6,... Taylorův polynom Motivace: tt = 3,141592654 ••• = 3 + ^+ 4- ^ + + 5 • tttt^ + i 10 100 1 1000 10 000 1 1 — X 1 + x + x2 + xó + součet členů geometrické posloupnosti s nultým členem 1 a kvocientem x\ platí pro x < 1. í-^-^ (i-x)2w v^y (i-x)3w v~y (i-x)4 /(o) = i, /,(o) = i, r(o) = 2, r/(o) = 6,... /P) = —L- = i+x+x2+x3 + -- - = /(o)+/(o)^+\r\tí)x2 + ^r(o)x 1 — x 2 6 Taylorův polynom Motivace: tt = 3,141592654 ••• = 3 + ^+ 4- ^ + + 5 • tttt^ + i 10 100 1 1000 10 000 1 1 — X 1 + x + x2 + xó + součet členů geometrické posloupnosti s nultým členem 1 a kvocientem x; platí pro x < 1. i-x7^(i-x)2w v^y (i-x)3w v~y (i-x)4 /(0) = 1, //(0) = 1, /"(O) =2, ////(0) = 6,... /(*) = —^- = l + x + x2+x3 + -- - = /(O) + /'(0)z + \f"(Q)x2 + ^/"(O)a; 1 — x 2 6 /(ar) « /(O) + f'(0)x + \f"(0)x2 + \f"(0)x* Taylorův polynom fix) « /(O) + f\0)x + ±/"(0)s2 + ±/"(0)s3 + • + -^r/(n)a; n! n 14 / 1 Taylorův polynom f(x) * /(O) + f'(0)x + \f"(Q)x2 + lf'(0)x3 + ■■■ + -f^xn 2 6 n\ McLaurinův polynom stupně n Taylorův polynom /(*) « /(O) + f'(0)x + \f"{0)x2 + lf"(0)x3 + ■■■ + ^f(n)xn McLaurinův polynom stupně n Obecně: f(x) « /(x0) + f'(x0)x + i//;(x0)(x - x0)2 + i//;(x0)(x - x0)3 H-----h ^y/(n)(x0 Taylorův polynom f(x) « /(O) + f'(0)x + -f'(0)x2 + -f"(0)x3 + ■■■ + -fWxn 2 6 n\ McLaurinův polynom stupně n Obecně: f(x) « f(x0) + f/(x0)x + ■^///(x0)(x - x0)2 + \f"(xo)(x - x0)3 H-----h ^r/(n)(x0)(x - x0) Taylorův polynom stupně n se středem xq. Taylorův polynom f(x) « /(O) + f'(0)x + -f'(0)x2 + -f"(0)x3 + ■■■ + -fWxn 2 6 n\ McLaurinův polynom stupně n Obecně: f(x) « f(x0) + f/(x0)x + ■^///(x0)(x - x0)2 + \f"(xo)(x - x0)3 H-----h ^r/(n)(x0)(x - x0) Taylorův polynom stupně n se středem x0. Příklad: Taylorův polynom funkce y = f(x) = ex se středem xq = 0. Taylorův polynom f(x) * /(O) + f\0)x + -f"(0)x2 + -f"(0)x3 + ■■■ + -f^xn 2 6 n\ McLaurinův polynom stupně n Obecně: f(x) « f(x0) + f/(x0)x + ■^///(x0)(x - x0)2 + \f"(xo)(x - x0)3 H-----h ^r/(n)(x0)(x - x0) Taylorův polynom stupně n se středem x0. Příklad: Taylorův polynom funkce y = f(x) = ex se středem xq = 0. /(0)=e° = l, fM(x)=ex, f^(0) = l pro i = 1,2,3,... Taylorův polynom f(x) * /(O) + f'(0)x + \f"(Q)x2 + lf'(0)x3 + ■■■ + -f^xn 2 6 n\ McLaurinův polynom stupně n Obecně: f(x) « f(x0) + f/(x0)x + ■^///(x0)(x - x0)2 + \f"(xo)(x - x0)3 H-----h ^r/(n)(x0)(x - x0)n 2 6 n\ Taylorův polynom stupně n se středem x0. Příklad: Taylorův polynom funkce y = f(x) = ex se středem xq = 0. /(0)=e° = l, fM(x)=ex, f^(0) = l pro i = 1,2,3,... ex « 1 + x + -x2 + -x3 H-----h —txn 2 6 n! Limity neurčitých výrazů Je-li f(xo) = O = g(xo) a f(x) ^ O ^ g(x) na ryzím okolí bodu x0, pak f(x) = f(x) - f(x0) = f(x) - f(x0) x-xp g(x) g(x) - g(x0) x - x0 g(x) - g(x0)' tedy lim ^7—7 = lim ^-7—7. x->x0 g(x) x^xq g'(x) Limity neurčitých výrazů De l'Hôpitalovo pravidlo: Nechť x0 G M*, a G R*. Pak lim f (x) = 0 = lim g (x) & lim ^77^ = a =^> lim ^-7—^ = a x^xq x^xq x^x0 g'[X) x-^xq g[x) lim fix) = 00 = lim g i x) & lim ^77^ = a => lim = a x->-xo x^xq x^cco # (x) x^x0 g[x) Limity neurčitých výrazů De 1'Hopitalovo pravidlo: Nechť x0 G R*. a e R*. Pak lim /(#) = 0 = lim flf(x) & lim ^77^ = a ^> lim ^-7—^ = a x^xq x^xq x^x0 g'[X) x-^xq g[x) lim fix) = 00 = lim g(x) & lim ^77^ = a => lim = a x^x0 x^x0 x^x0 g'(x) x^xq g[x) Příklady: . x — sin x lim--- x-+0 xó Limity neurčitých výrazů De l'H6pitalovo pravidlo: Nechť x0 e R*. a e R*. Pak lim f(x) = 0 = lim g(x) & lim ^\ = a ^ lim ^7—7 = a a^xo x^xo x^xo g (x) x^-xq g(x) lim f(x) = 00 = lim & lim ^-7—r = a => lim ^ ^ = a íe^íeo x^xo x^xq g'(x) x^xq g(x) Příklady: . x — sin x 1 — cos x sin x 1 lim--- = lim--— = lim-= j. x^O X6 x^o 3x2 x^O 6x Limity neurčitých výrazů De 1'Hopitalovo pravidlo: Nechť x0 G R*. a e R*. Pak lim /(#) = 0 = lim g(#) & lim ^77^ = a ^> lim ^7—^ = a x^xq x^xq x^x0 g'[X) x-^xq g[x) lim fix) = 00 = lim g(x) & lim ^77^ = a => lim = a x^x0 x^x0 x^x0 g (X) x^xq g[x) Příklady: . lnx lim —= x-^oo a/X' Limity neurčitých výrazů De l'Hôpitalovo pravidlo: Nechť x0 G M*, a G R*. Pak lim f (x) = 0 = lim g (x) & lim ^77^ = a ^ lim ^[ \ = a x^x0 x^x0 x^x0 g'(X) x^xq g[X) lim fix) = 00 = lim g i x) & lim ^ = a lim | = a x^xq x^-xq x^x0 g [X) x^xq g[x) Príklady: lim = lim = ^ = lim —= = 0 x—>oo a/X x—)>oo — ^= x—)>oo a/X v 2 ^/x v Limity neurčitých výrazů De 1'Hópitalovo pravidlo: Nechť x0 e R*. a e R*. Pak lim f(x) = 0 = lim g(x) & lim ^\ = a ^ lim ^-7—7 = a a^xo x^xo x^xo g (x) x^-xq g(x) lim f(x) = 00 = lim & lim ^-7—7 = a => lim ^7^-7 = a x^x0 x^x0 x^x0 g'(x) x^x0 g(x) Příklady: lim {x — ln x) x^-oo Limity neurčitých výrazů De l'H6pitalovo pravidlo: Nechť x0 e R*. a e R*. Pak lim f(x) = 0 = lim g{x) & lim ^\ = a ^ lim ^-7—7 = a a^xo x^xo x^xo g (x) x^-xq g(x) lim f(x) = 00 = lim & lim ^-7—7 = a => lim ^7^-7 = a x^x0 x^x0 x^x0 g (X) x^x0 g(x) Příklady: 1 \ l-^lnx lim (x — Inx) = lim -j--In.x J = lim 1 Limity neurčitých výrazů De l'Hôpitalovo pravidlo: Nechť x0 Gl*, a G R*. Pak lim /(x) = 0 = lim g (x) & lim ——— = a X^-Xq X^-Xq X^-Xq g [x) x^xq g[x) lim f (x) = 00= lim g (x) & lim ^-7—^ = a x^xq x^xq x^xq g (x) "-TT Příklady: 1 lim {x — hi x) = lim -j--ln x x^-oc x^-oo \ — x lim IľiX 1 lim x^-oo 1 1 - -In x x 1 x — lim x- — lim — = 0 x—)-00 X x—)-00 1 x^-oo x Limity neurčitých výrazů De l'Hôpitalovo pravidlo: Nechť x0 Gl*, a G R*. Pak lim /(x) = 0 = lim g (x) & lim ———- = a X^-Xq X^-Xq X^-Xq g [x) x^xq g[x) lim f (x) = 00= lim g (x) & lim ^-7—7 = a x^xq x^xq x^xq g (x) "-TT Příklady: 1 lim {x — ln x) = lim -j--ln x x^-oc x^-oo \ — x lim IľiX 1 lim x^-oo 1 1 - -In x x 1 x 00 = lim — = lim — = O x^-oo x x^-oo 1 x^-oo x Limity neurčitých výrazů De 1'Hopitalovo pravidlo: Nechť x0 G R*. a e R*. Pak lim /(#) = 0 = lim g(#) & lim ^-77^ = a ^> lim ^-7—^ = a x^xq x^xq x^x0 g'[X) x-^xq g[x) lim fix) = 00 = lim g(x) & lim ^-7—7 = a => lim ^7—7- = a x^x0 x^x0 x^x0 g (X) x^xq g[x) Příklady: lim I 1 + - z—>-oo \ x X Limity neurčitých výrazů De 1'Hopitalovo pravidlo: Nechť x0 G R*. a e R*. Pak lim /(#) = 0 = lim flf(x) & lim ^77^ = a ^> lim ^-7—^ = a x^xq x^xq x^x0 g'[x) x-^xq g[x) lim fix) = 00 = lim g(x) & lim ^-7—7 = a => lim ^7—7- = a x^x0 x^x0 g (x) x^xq g[x) X^-Xq Příklady: X 1 \ i x±l lim 1 H— = lim ex * >-oo \ xi x—>-oo Limity neurčitých výrazů De 1'Hopitalovo pravidlo: Nechť x0 e R*. a e R*. Pak lim fix) = 0 = lim gix) & lim ^77—7 = a =^ ^m ^7~T = a lim fix) = 00 = lim & lim ^77^ = a =^> lim ^7^7 = a x->x0 x-^x0 x-*x0 g'[x) x^x0 g[x) Příklady: X lim ( 1 + — ) = lim exln ^ X—>00 \ XI X^rOC X + 1 lim x ln Limity neurčitých výrazů De l'Hôpitalovo pravidlo: Nechť x0 Gl*, a G R*. Pak lim /(x) = 0 = lim g (x) & lim ———- = a X^-Xq X^-Xq X^-Xq g [x) y /(*) lim —t-^ = a x^-x o #0) lim /(x) = 00= lim g (x) & lim ^-7—7 = a x^xq x^xq x^xq g (x) r /(*) hm -——- = a x—»-x o g (x) Príklady: 1 lim ( 1 + - x^oo \ x x lim e x—)-oo x ln ČC + l ľ 1 x + 1 hm x m- x^oo x ln(x + l)-lnx 77+1 = hm -=- = hm —!— 1 x x—)-oo 1 x x—)-oo x' x = lim í-- x^oo \ x + 1 + x ) = lim x—)-oo —x2 + x2 + x x + 1 = lim — x^oo x Limity neurčitých výrazů De l'Hôpitalovo pravidlo: Nechť x0 Gl*, a G R*. Pak lim /(x) = 0 = lim g (x) & lim ——— = a X^-Xq X^-Xq X^-Xq g [x) y /(*) lim —t-^ = a x^-x o #0) lim /(x) = 00= lim g (x) & lim ^ [X} = a íe^-íeo íe^-íco X^Xq g [x) r /(*) lim -——- = a x—»-x o g (x) Príklady: 1 lim ( 1 + - x^oo \ x x lim e x—)-00 x ln ČC + l ľ 1 x + 1 lim x m- x^oo x ln(x + l)-lnx 7+1 = lim -=- = lim —!— 1 x x—)-00 1 x x—)-00 X' x = lim í-- x^oo \ x + 1 + x ) = lim x—)-00 —x2 + x2 + x x + 1 = lim — x^oo x Průběh funkce Extrémy funkcí: Průběh funkce Extrémy funkcí: Funkce f nabývá v bodě xq G D(f) svého lokálního maxima f(xo), pokud existuje okolí bodu xq takové, že žádná funkční hodnota na tomto okolí nepřevýší hodnotu f(xo). Průběh funkce Extrémy funkcí: Funkce f nabývá v bodě x0 G D(f) svého lokálního maxima f(x0), pokud existuje okolí bodu xo takové, že žádná funkční hodnota na tomto okolí nepřevýší hodnotu f(xo). (3e > 0) (Wx e £>(/))\x-x0\ f{x) Průběh funkce Extrémy funkcí: Funkce f nabývá v bodě x0 G D(f) svého lokálního maxima f(x0), pokud existuje okolí bodu xo takové, že žádná funkční hodnota na tomto okolí nepřevýší hodnotu f(xo). (3e > 0) (Wx e £>(/))\x-x0\ f{x) Průběh funkce Extrémy funkcí: Funkce f nabývá v bodě xq G D(f) svého lokálního maxima f(xo), pokud existuje okolí bodu xq takové, že žádná funkční hodnota na tomto okolí nepřevýší hodnotu f(xo). (3e > 0) (Vs G D(f))\x-x0\ f(x) Funkce f nabývá v bodě x0 G D(f) svého ostrého lokálního maxima f(x0), pokud existuje ryzí okolí bodu xq takové, že každá funkční hodnota na tomto okolí je menší než f(xo). (3e > 0) (Vx G D(f))0 < \x - x0\ < e => f(x0) > f(x) Průběh funkce Extrémy funkcí: Funkce f nabývá v bodě Xo G D(f) svého lokálního maxima f(xo): (3e > 0) (\/x G D(f))\x-x0\ f(x) Funkce f nabývá v bodě Xo G D(f) svého ostrého lokálního maxima f(xo) (3e > 0) (Vz G D(f))0 <\x-x0\ f(x0) > f(x) Průběh funkce Extrémy funkcí: Funkce f nabývá v bodě xq G D(f) svého lokálního minima /(#o)» pokud existuje okolí bodu xq takové, že žádná funkční hodnota na tomto okolí neklesne pod hodnotu f(xo). (3e > 0) (Vs G D(f))\x-x0\ 0) (Vs G D(f))\x-x0\ 0) (Vx G D(f))0 < \x - x0\ < e => f(x0) < f(x) f M Průběh funkce Extrémy funkcí: Funkce f nabývá v bodě x0 G D(f) svého lokálního maxima f(x0)\ (3e > 0) (Vx G £>(/)) |x - x0| < e /(*o) > f{x) Funkce f nabývá v bodě xq G £>(/) své/70 ostrého lokálního maxima f(xo) (3e > 0) (Vx G £>(/))0 < |x - x0| < e f(x0) > f(x) Funkce f nabývá v bodě xq G D(f) svého lokálního minima f(xo): (3e > 0) (Vx G D(f))\x-x0\ 0) (Vx G D(f))0 < \x - x0\ < e f(x0) < f(x) Průběh funkce Funkce f v bodě x roste: existuje okolí bodu x, na kterém je funkce / rostou Průběh funkce Funkce f v bodě x roste: existuje okolí bodu x, na kterém je funkce / rostoucí Funkce f v bodě x klesá: existuje okolí bodu x, na kterém je funkce / klesající Průběh funkce Funkce f v bodě x roste: existuje okolí bodu x, na kterém je funkce / rostoucí Funkce f v bodě x klesá: existuje okolí bodu x, na kterém je funkce / klesající Tedy: ff(x)>0^fv bodě x roste f'(x) < 0 f v bodě x klesá Průběh funkce Je-li e „malé", pak pro x G (xo — e,xo + e) platí f (x) = f(x0) + f'(x0)(x - Xq) + ±/"(x0)(a - x0)2 + Ä, kde i? je „zanedbatelně malé". Hodnoty f (x o) + f'(xo)(x — x o) leží na tečně ke grafu funkce / v bodě (x0,/(x0)). Pokud f"(xo) > 0, tak hodnoty f (x) leží nad touto tečnou, pokud f"(xo) < 0, tak pod ní. Průběh funkce Je-li e „malé", pak pro x £ (xo — e,xq + e) platí f (x) = /(xo) + f'(x0)(x - x0) + ±/"(x0)(tf - x0)2 + Ä, kde R je „zanedbatelně malé". Hodnoty f (x o) + f'(xo)(x — x o) leží na tečně ke grafu funkce / v bodě (#o,/(#o)). P°kud í"{xq) > 0, tak hodnoty f (x) leží nad touto tečnou, pokud í"{xq) < 0, tak pod ní. Tedy: f"{x) > 0 f je v bodě x /convexw(FFgraf leží nad tečnou") Průběh funkce Je-li e „malé", pak pro x £ (xo — e,xq + e) platí f (x) = /(xo) + f'(x0)(x - x0) + ±/"(x0)(tf - x0)2 + Ä, kde R je „zanedbatelně malé". Hodnoty f (x o) + f'(xo)(x — x o) leží na tečně ke grafu funkce / v bodě (#o,/(#o)). P°kud í"{xq) > 0, tak hodnoty f (x) leží nad touto tečnou, pokud í"{xq) < 0, tak pod ní. Tedy: f"{x) > 0 f je v bodě x /convexw(FFgraf leží nad tečnou") f" {x) < 0 =^> / je v bodě x konkávni („graf leží pod tečnou") Průběh funkce Je-li e „malé", pak pro x £ (xo — e,xq + e) platí f (x) = /(xo) + f'(x0)(x - x0) + ±/"(x0)(tf - x0)2 + Ä, kde R je „zanedbatelně malé". Hodnoty f (x o) + f'(xo)(x — x o) leží na tečně ke grafu funkce / v bodě (#o,/(#o)). P°kud í"{xq) > 0, tak hodnoty f (x) leží nad touto tečnou, pokud í"{xq) < 0, tak pod ní. Tedy: f"{x) > 0 f je v bodě x /convexw(FFgraf leží nad tečnou") f" {x) < 0 =^> / je v bodě x konkávni („graf leží pod tečnou") Průběh funkce Bod xq se nazývá inflexní bod, pokud v jeho levém okolí je funkce / konvexní (resp. konkávni) a v pravém okolí je konkávni (resp. konvexní); „graf funkce přechází v bodě (xq, f(xo)) z jedné strany tečny na druhou". x 16 / 16 Průběh funkce Vyšetřování průběhu funkce /: 1. Určíme D(f), sudost/lichost, periodičnost, hodnotu /(O) (průsečík grafu s osou y). 2. Najdeme nulové body funkce / a intervaly, na nichž je funkce kladná a záporná. 3. Najdeme nulové body první derivace f' a body, v nichž f' není definována. Najdeme intervaly, na kterých je funkce / rostoucí a na kterých je klesající. 4. Najdeme body lokálních extrémů, tj. body, v nichž se funkce mění z rostoucí na klesající (lokální maxima), a body, v nichž se mění z klesající na rostoucí (lokální minima). 5. Najdeme nulové body druhé derivace f" a body, vnichž f" není definována. Najdeme intervaly, na kterých je funkce / konvexní a na kterých je konkávni. 6. Najdeme inflexní body s příslušnými funkčními hodnotami a hodnotou derivace (směrnici tečny v inflexním bodě). 7. Určíme limity v nevlastních bodech. 8. Určíme chování funkce v okolí bodů, které „leží na kraji" D(f). 9. Nakreslíme graf funkce / 16 / 16 Průběh funkce Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) Průběh funkce x Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) =--- -L \~ x 1. D(f) = R, lichá - stačí vyšetřovat na (0,oo), Průběh funkce Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) = x 1 + x' 1. D(f) = R, lichá - stačí vyšetřovat na (0,oo), 0 y' _1_1_w -1-1- -1 1 W X 16 / 16 Průběh funkce Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) = 1. D(f) = R, lichá - stačí vyšetřovat na (0, oo), /(O) = 0 x 1 + x" o 1/' i _1_1_fc. -1-1-' 1 1 w X 16 / 16 Průběh funkce Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) = 1. D(f) = M, lichá - stačí vyšetřovat na (0,oo), /(O) = o 2. f(x) > O pro x 6 (0,oo) y' i > -1-1- X 16 / 16 Průběh funkce Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) - 1. D(f) = M, lichá - stačí vyšetřovat na (0,oo), /(O) = 0 2. f(x) > 0 pro x E (0, oo) 1 + ar o /(*) + 2/' -1-1- 16 / 16 Průběh funkce Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) = 1. D(f) = M, lichá - stačí vyšetřovat na (0,oo), /(O) = o 2. f(x) > 0 pro x G (0,oo) 1 — ar 3' / W = (1 + x2)2 = (1 + x2)2' y t H-r- H-h a; 16 / 16 Průběh funkce Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) = 1. D(f) = M, lichá - stačí vyšetřovat na (0, oo /(O) = 0 2. f(x) > 0 pro x E (0, oo) 1 + x2 — x • 2x 1 — x2 3' f^)= (l+a;2)2 = (1+^)2 ' /'(:c) > 0 pro x < 1, /'(x) < 0 pro x > 1 Průběh funkce Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) = 1. D(f) = M, lichá - stačí vyšetřovat na (0, oo /(O) = 0 2. f(x) > 0 pro x E (0, oo) 1 + x2 — x • 2x 1 — x2 3' f^)= (l+a;2)2 = (1+^)2 ' /'(:c) > 0 pro x < 1, /'(x) < 0 pro x > 1 Průběh funkce Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) x 1 + x- 1. D(f) = M, lichá - stačí vyšetřovat na (0,oo), /(O) = 0 2. /(a;) > 0 pro x E (0, oo) 1 + — x • 2x 1 — x2 3' (1+x2)2 = {l+X2)2' f'(x) > 0 pro x < 1, /'(x) < 0 pro íc > 1 0 /(*) + + y' -1-1- X 16 / 16 Průběh funkce Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) = 1. D(f) = M, lichá - stačí vyšetřovat na (0, oc /(O) = 0 2. f(x) > 0 pro x G (0, oo) 1 + - x • 2a; _ 1 - x2 (1 + z2)2 ~(l + z2)2' /'(a;) > 0 pro x < 1, fř(x) < 0 pro x > 1 4- /(I) = \ Průběh funkce Příklady: Vyšetřete průběh funkce f{x) = 1. D(f) = M, lichá - stačí vyšetřovat na (0, oo), /(O) = 0 2. f(x) > 0 pro x G (0, oo) • 2x 1 — x 3- r w = - x 4. 5. 1 + x' (1 + x2)2 (l + z2)2' f'(x) > 0 pro íc < 1, /'(cc) < 0 pro x > 1 -2x(l + x2)2 - 2(1 - x2)(l + xz) • 2x (1 + x2)4 2íc(íc2 - 3) (1 + x2)3 0 /(*) Průběh funkce Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) = 1. D(f) = M, lichá - stačí vyšetřovat na (0, oo), /(O) = 0 2. f(x) > 0 pro x E (0,oo) x 1 + x 2 " 3- f'(x) X' (1 + x2)2 (1 + x2)2' f'(x) > 0 pro x < 1, /'(x) < 0 pro x > 1 4- /(I) = | 5. r(x) = 2a;(1 + a;2)2 - 2(1 - ar*)(l + ar") • 2a; (1 + a;2)4 /"(as) > 0 pro x > y/Š, f"(x) <0pro0 0 pro x € (0,oo) ... 1 | 00 00 * ^i00 l — ar 3' / W = (1 + x2)2 = (1 + x2)2' /'(z) > 0 pro x < 1, /'(a;) < 0 pro a: > 1 4- /(I) = | -2a:(l + a:2)2 - 2(1 - a:2)(l + x2) ■ 2x (1 + ai2)4 2a:(a:2 - 3) (1 + a;2)3 f"(x) > 0 pro x > VŠ, f"(x) <0pro0 0 pro x € (0, oo) ... 1 | £c 00 * ^00 l — ar 3' / W = (1+x2)2 = (1+x2)2' /'(z) > 0 pro a: < 1, f'(x) < 0 pro a: > 1 4- /(I) = \ x 1 + x 2 " 5. f"(x) = 2x(l + x2)2 - 2(1 - a^)(l + xz) • 2x (1+^2)4 /"(as) > 0 pro x > y/Š, f"(x) <0pro0 0 pro x E (0, oo) 00 00 • 2x 1 — x 3' f W = (1 + x2)2 = (l + x2)2' f'(x) > 0 pro x < 1, /'(» < 0 pro íc > 1 4- /(I) = \ v -2x(l + z2)2 - 2(1 - x2)(l + x2) • 2x 5 f {x) =-(IT^- _ 2x(x2 - 3) (1 + x2)3 /"(x) > 0 pro x > x/3, /"(x) <0pro0 0 pro x G (0, oo) • 2x 1 — x 3' /W= (1 + z2)2 = {1 + x2)2' /'(a;) > 0 pro x < 1, /'(cc) < 0 pro x > 1 4- /(I) = é 1 + x' -2x(l + x2)2 - 2(1 - x2)(l + xz) • 2x 5. f»{x) (1 + x2)4 2íc(íc2 - 3) (1 + x2)3 f"(x) > 0 pro x > VŠ, f"(x) <0pro0 0 pro x £ (0,oo) 1 + a;2 — x • 2x 1 — x2 3' /(x) = (1 + a;2)2 =(l + x2)2' /'(a;) > 0 pro z < 1, f(x) < 0 pro x > 1 4- /(I) = ^ 1 + x' -2x(l + x2)2 - 2(1 - x2)(l + a:2) • 2a: 5. f"{x) (1 + a;2)4 2cc(a2 - 3) (1 + a;2)3 f"(x) > 0 pro x > VŠ, f"(x) <0pro0 0 pro x £ (0,oo) 1 + a;2 — x • 2x 1 — x2 3' /(x) = (1 + z2)2 = (l + z2)2' /'(a;) > 0 pro z < 1, f(x) < 0 pro x > 1 4- /(I) = ^ 1 + x' -2x(l + x2)2 - 2(1 - x2)(l + a:2) • 2x 5. r(^) (1 + x2)4 2cc(a:2 - 3) (l + x2)3 f"(x) > 0 pro x > VŠ, f"(x) <0pro0 0 pro x £ (0,oo) 1 + a;2 — x • 2x 1 — x2 3' /(x) = (l + z2)2 =(l + x2)2' /'(a;) > 0 pro z < 1, /'(cc) < 0 pro x > 1 4- /(I) = | _„, , -2x(l + x2)2 - 2(1 - x2)(l + x2) • 2x 5 ; (x) =-- _ 2x(x2 - 3) (1 + x2)3 f"(x) > 0 pro x > VŠ, f"(x) <0pro0 O pro x G (-oo, 0)axG (0,1), / (x) < 0 pro x > 1 i / 2a;(l-aQ-a;2\ _ 3x-2 7 w 6 v x4(i-x2) y 6x3(i-x)2 /'(a;) > 0 pro x < 0, x G (|, 1) a x > 1, /'(x) < 0 pro x £ (0, §) ;/ _ j 3x3(l -x)2 - (3x - 2)(3x2{l-x)2 - 2x3(l-x)) f W = 6 x6(l-x)4 x4(l-x)3 f"(x) > 0 pro x < 0 a x G (0,1), /"(z) < 0 pro a: > 1 4. /(§) = U = 1,125 7. 8. oo, /(a;) > 0 nalevo od 1 a /(#) < 0 napravo od Průběh funkce Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) 1 6x2(l — x) 1. D(/)=R\{0,1} 2. f(x) > O pro x G (-oo, 0) a x G (0,1), / (x) < 0 pro x > 1 i / 2a;(l-aQ-a;2\ _ 3x-2 7 w 6 v x4(i-x2) y 6x3(i-x)2 /'(a;) > 0 pro x < 0, x £ (|, 1) a x > 1, /'(x) < 0 pro x £ (0, §) ;/ _ j 3x3(l -x)2 - (3x - 2)(3x2{l-x)2 - 2x3(l-x)) f W = 6 X*(l-XY x4(l-x)3 f"(x) > 0 pro x < 0 a x G (0,1), /''(a;) < 0 pro a: > 1 4. /(§) = U = 1,125 7. 8. oo, /(#) > 0 nalevo od 1 a /(a;) < 0 napravo od