Integrální počet M1030 Matematika pro biolo 19.12.2024 Úvod Základní úloha integrálního počtu Neurčitý integrál_ Určitý integrál a jeho užití Nevlastní integrál _ Úvod Základní úloha integrálního počtu 3/ Základní úloha integrálního počtu Určit obsah S obrazce pod grafem spojité funkce na intervalu (a Základní úloha integrálního počtu Určit obsah S obrazce pod grafem spojité funkce na intervalu (a Základní úloha integrálního počtu Určit obsah S obrazce pod grafem spojité funkce na intervalu (a, b) Označení: F (x) obsah obrazce pod grafem funkce / na intervalu od a do x 3/17 Základní úloha integrálního počtu Určit obsah S obrazce pod grafem spojité funkce na intervalu (a, b) Označení: F (x) obsah obrazce pod grafem funkce / na intervalu od a do x Ax přírůstek nezávisle proměnné /* (x, Ax) = max {f (s) : x < s < x + Ax} /*(#, Ax) = min {f (s) : x < s < x + Ax} 3/17 Základní úloha integrálního počtu Určit obsah S obrazce pod grafem spojité funkce na intervalu (a, b) Označení: F (x) obsah obrazce pod grafem funkce / na intervalu od a do x Ax přírůstek nezávisle proměnné /* (x, Ax) = max {f (s) : x < s < x + Ax} /*(#, Ax) = min {f (s) : x < s < x + Ax} Platí: lim f (x,Ax) = lim f*(x,Ax) = f(x) Ax^O Ax^O 3/17 Základní úloha integrálního počtu Určit obsah S obrazce pod grafem spojité funkce na intervalu (a, b) Označení: F (x) obsah obrazce pod grafem funkce / na intervalu od a do x Ax přírůstek nezávisle proměnné /* (x, Ax) = max {f (s) : x < s < x + Ax} /*(#, Ax) = min {f (s) : x < s < x + Ax} Platí: lim f (x,Ax) = lim f*(x,Ax) = f(x) Ax^O Ax^O Dále: F (x) + Ax)Ax < F(x + Ax) < + f* (x, Ax)Ax V' *(x, Ax) * (x, Ax) F (x) a a cx + Ax b x 3/17 Základní úloha integrálního počtu Určit obsah S obrazce pod grafem spojité funkce na intervalu (a, b) Označení: F (x) obsah obrazce pod grafem funkce / na intervalu od a do x Ax přírůstek nezávisle proměnné /* (x, Ax) = max {f (s) : x < s < x + Ax} /*(#, Ax) = min {f (s) : x < s < x + Ax} Platí: lim f (x,Ax) = lim f*(x,Ax) = f(x) Ax^O Ax^O Dále: F (x) + /„(x, Ax)Ax < F(x + Ax) < + Ax)Ax f*(x,Ax) < -±--^ < /* x, Ax) Ax Základní úloha integrálního počtu Určit obsah S obrazce pod grafem spojité funkce na intervalu (a, b) Označení: F (x) obsah obrazce pod grafem funkce / na intervalu od a do x Ax přírůstek nezávisle proměnné /* (x, Ax) = max {f (s) : x < s < x + Ax} /*(#, Ax) = min {f (s) : x < s < x + Ax} Platí: lim f (x,Ax) = lim f*(x,Ax) = f(x) Ax^O Ax^O Dále: F (x) + Ax)Ax < F(x + Ax) < + f* (x, Ax)Ax fJx.Ax) < —--— < f*(x,Ax) hm Ax As^O Základní úloha integrálního počtu Určit obsah S obrazce pod grafem spojité funkce na intervalu (a, b) Označení: F (x) obsah obrazce pod grafem funkce / na intervalu od a do x Ax přírůstek nezávisle proměnné /* (x, Ax) = max {f (s) : x < s < x + Ax} /*(#, Ax) = min {f (s) : x < s < x + Ax} Platí: lim f (x,Ax) = lim f*(x,Ax) = f(x) Ax^O Ax^O Dále: F (x) + Ax)Ax < F(x + Ax) < + f* (x, Ax)Ax fJx.Ax) < —--— < f*(x,Ax) hm Ax As^O Základní úloha integrálního počtu Určit obsah S obrazce pod grafem spojité funkce na intervalu (a, b) Označení: F (x) obsah obrazce pod grafem funkce / na intervalu od a do x Ax přírůstek nezávisle proměnné /* (x, Ax) = max {f (s) : x < s < x + Ax} /*(#, Ax) = min {f (s) : x < s < x + Ax} Platí: lim f (x,Ax) = lim f*(x,Ax) = f(x) Ax^O Ax^O Dále: F (x) + /„(x, Ax)Ax < F(x + Ax) < + Ax)Ax f*(x,Ax) < -±--^ < /* x, Ax) Ax f (x) < F'(x) < f (x) lim Ax^O Odtud: F'{x) = f (x) 3/17 Základní úloha integrálního počtu Určit obsah S obrazce pod grafem spojité funkce na intervalu (a, b) Označení: F (x) obsah obrazce pod grafem funkce / na intervalu od a do x Ax přírůstek nezávisle proměnné /* (x, Ax) = max {f (s) : x < s < x + Ax} /*(#, Ax) = min {f (s) : x < s < x + Ax} Platí: lim f (x,Ax) = lim f*(x,Ax) = f(x) Ax^O Ax^O Dále: F (x) + /„(x, Ax)Ax < F(x + Ax) < + Ax)Ax f*(x,Ax) < -±--^ < /* x, Ax) Ax f (x) < F'(x) < f (x) lim Ax^O Odtud: F'{x) = f (x) Pritom: F(a) = 0, S = F (b) 3/17 Úvod Primitivní funkce a její vlastnosti „Tabulkové integrály" Substituční metoda Integrace „per partes" Příklady Určitý integrál a jeho užití Nevlastní integrál Neurčitý integrál Primitivní funkce a její vlastnosti Funkce F je primitivní k funkci f na intervalu (a, b), je-li na tomto intervalu spojitá a pro každé x £ (a, b) platí F'(x) = f(x). Primitivní funkce a její vlastnosti Funkce F je primitivní k funkci f na intervalu (a, b), je-li na tomto intervalu spojitá a pro každé x G (a, b) platí F'(aO = /(*). Označení: F = í f(x)dx. Primitivní funkce a její vlastnosti Funkce F je primitivní k funkci f na intervalu (a, b), je-li na tomto intervalu spojitá a pro každé x G (a, b) platí F'(aO = /(z). Označení: F = J f(x)dx. Alternativní názvy: Funkce F je neurčitý integrál z funkce f. Funkce F je antiderivace k funkci f. Primitivní funkce a její vlastnosti Funkce F je primitivní k funkci f na intervalu (a, b), je-li na tomto intervalu spojitá a pro každé x G (a, b) platí F'(a;) = /(z). Vlastnosti primitivní funkce: Primitivní funkce a její vlastnosti Funkce F je primitivní k funkci f na intervalu (a, b), je-li na tomto intervalu spojitá a pro každé x G (a, b) platí F'(a;) = /(z). Vlastnosti primitivní funkce: • Ke každé funkci spojité na intervalu (a, b) existuje na tomto intervalu funkce primitivní. Primitivní funkce a její vlastnosti Funkce F je primitivní k funkci f na intervalu (a, b), je-li na tomto intervalu spojitá a pro každé x G (a, b) platí F'(a;) = /(z). Vlastnosti primitivní funkce: • Ke každé funkci spojité na intervalu (a, b) existuje na tomto intervalu funkce primitivní. • Primitivní funkce k dané funkci, pokud existuje, není určena jednoznačně. Je-li F primitivní k /, pak také F + c je primitivní k / pro libovolnou konstantu c. Primitivní funkce a její vlastnosti Funkce F je primitivní k funkci f na intervalu (a, b), je-li na tomto intervalu spojitá a pro každé x G (a, b) platí F'(a;) = /(z). Vlastnosti primitivní funkce: • Ke každé funkci spojité na intervalu (a, b) existuje na tomto intervalu funkce primitivní. • Primitivní funkce k dané funkci, pokud existuje, není určena jednoznačně. Je-li F primitivní k /, pak také F + c je primitivní k / pro libovolnou konstantu c. • Primitivní funkce je aditivní: J [f(x)+g(x))dx = J f(x)dx-\- J g(x)dx. Primitivní funkce a její vlastnosti Funkce F je primitivní k funkci f na intervalu (a, b), je-li na tomto intervalu spojitá a pro každé x G (a, b) platí F'(a;) = /(z). Vlastnosti primitivní funkce: • Ke každé funkci spojité na intervalu (a, b) existuje na tomto intervalu funkce primitivní. • Primitivní funkce k dané funkci, pokud existuje, není určena jednoznačně. Je-li F primitivní k /, pak také F + c je primitivní k / pro libovolnou konstantu c. • Primitivní funkce je homogenní: (cf(x))dx = cl f(x)dx. Primitivní funkce a její vlastnosti Funkce F je primitivní k funkci f na intervalu (a, b), je-li na tomto intervalu spojitá a pro každé x G (a, b) platí F'(a;) = /(z). Vlastnosti primitivní funkce: • Ke každé funkci spojité na intervalu (a, b) existuje na tomto intervalu funkce primitivní. • Primitivní funkce k dané funkci, pokud existuje, není určena jednoznačně. Je-li F primitivní k /, pak také F + c je primitivní k / pro libovolnou konstantu c. Primitivní funkce je lineární. (af{x)Jrbg{x))áx = a J f(x)dx-\-b J g(x)dx. „Tabulkové integrály" 6/ „Tabulkové integrály" „Tabulkové integrály" x áx — x a+l a + 1 pro a / -1 — áx — ln Ixl x 6 / 1 „Tabulkové integrály" x áx — x a+l a + 1 pro a / -1 — áx — ln Ixl x e áx = e CC 6 / 1 „Tabulkové integrály" X a+1 x áx: — - pro a / -1 a + 1 — áx — ln Ixl x x I e áx: — e X X 1 a áx — a X lna 6 / 1 „Tabulkové integrály" X a+1 x áx: — - pro a / -1 a + 1 — áx — ln Ixl x x I e áx: — e X X 1 a áx — a X lna lnxdx — x(lnx — 1) 6 / 1 „Tabulkové integrály" X a+1 x áx: — - pro a / -1 a + 1 — áx — ln Ixl x x I e áx: — e X X 1 a áx — a X lna lnxdx — x(lnx — 1) sin xdx — — cos x 6 / 1 „Tabulkové integrály" X a+1 x áx — - pro a / -1 a + 1 — áx — ln Ixl x x I e áx: — e X X 1 a áx — a X lna lnxdx — x(lnx — 1) sin xáx — — cos x cosxdx = sin x 6 / 1 „Tabulkové integrály" X a+1 x áx — - pro a / -1 a + 1 — áx — ln Ixl x exáx — ex a áx — a X lna lnxdx — x(lnx — 1) sin xáx — — cos x cosxdx = sin x (cosx): áx „Tabulkové integrály" X a+1 x áx — - pro a / -1 a + 1 — áx — ln Ixl x x I e áx: — e X X 1 a áx — a X lna lnxdx — x(lnx — 1) sin xáx — — cos x cosxdx = sin x (cosx)2 1 (sinx)2 áx — tgx áx — — cotg x „Tabulkové integrály" X a+1 x áx: — - pro a / -1 a + 1 — áx — ln Ixl x x I e áx: — e X X 1 a áx — a X lna lnxdx — x(lnx — 1) sin xdx — — cos x cosxdx = sinx (cosx)2 1 (sinx)2 1 áx — tgx áx — — cotg x 1 + x: áx — arctg x — — arccotg x „Tabulkové integrály" x°áx — xa+1 a + 1 — áx — X ln \x\ exáx — X e pro a / -1 a áx — a X lna \nxáx — x(\nx — 1) sin xáx — — cos x cosxdx = sinx 1 (cosx)2 1 (sinx)2 1 áx = tgx áx — — cotg x l + x2 1 áx — arctg x — — arccotg x áx — arcsin x — — arccos x „Tabulkové integrály" x°áx — X a + 1 —dx — X ln \x\ exdx — X e pro a / -1 axdx — a X lna \nxdx — x(\nx — 1) sin xdx = — cos x cosxdx = sin x (cosx)2 1 (sinx)2 1 dx — tgx dx — — cotg x 1 + x2 1 dx — arctg x — — arccotg x dx — arcsin x — — arccos x l + x 1 — x 6/1 „Tabulkové integrály x°áx — X a + 1 —dx — X ln \x\ exdx — X e pro a ^ — 1 axdx — X lna lnxdx — x(\nx — 1) sin xdx — — cos x cos xdx — sin x (cos x)2 1 (sin x)2 1 dx = tgx dx = — cotg x 1 + x2 1 dx — arctg x — — arccotg x :dx — arcsinx — — arccosx X' -—-—-dx = — ln 1 -x2 2 dx — ln 1 +x 1 — X Vx2 ± 1 X + \/x2 ± 1 = - ln x Vx2 ± 1 6/1 „Tabulkové integrály X a+1 xadx — - pro a ^ — 1 a + 1 ^ — dx — ln Ixl e^dx — e X axdx — X lna lnxdx = x(lnx — 1) sin xdx — — cos x cosxdx = sin x (cosx)2 1 (sinx)2 1 dx = tgx dx = — cotg x 1 + x: dx — arctg x — — arccotg x :dx — arcsinx — — arccosx X' -—-—-dx = — ln 1 -x2 2 dx — ln 1 +x 1 — X Vx2 ± 1 X + \/x2 ± 1 = - ln x Vx2 ± 1 6/1 „Tabulkové integrály" Příklady: „Tabulkové integrály" Příklady: J (3x5 - 2x3 + x2 - 2) áx „Tabulkové integrály" Příklady: (3x5 - 2x3 + x2 - 2) dx = 3y - 2y + ^- - 2x = \x% - \xA + |x2 - 2x ry* ^ ry* ^ rv> „Tabulkové integrály" Příklady: (3x5 - 2x3 + x2 - 2) áx = 3— - 2^— + — - 2x = \x% - \xA + |x2 - 2x ry* ^ ry* ^ rv> 6 4 2x2 — x + 2x\fx — \fx x + 1 dx „Tabulkové integrály" Příklady: /6 4 3 (3x5 - 2x3 + x2 - 2] áx = 3— - 2— + — - 2x = \xQ - \xA + \x2 - 2x v 7 6 4 3 2 2 3 2x2 — x + 2x\fx — \fx ^ Z4 2x\fx [^fx + 1) — + 1) ^ x + 1 ./ + 1 5 3 o 3 A , 0 # 2 3?2 2^2 — .x2 I d.x = 2-^---3~ = — yx 2 2 „Tabulkové integrály" Příklady: /6 4 3 (3x5 - 2x3 + x2 - 2] áx = 3— - 2— + — - 2x = \xQ - \xA + \x2 - 2x v 7 6 4 3 2 2 3 2x2 — x + 2x\fx — \fx ^ Z4 2x\fx [^fx + 1) — + 1) ^ x + 1 ./ \Jx + 1 5 3 o 3 A , 0 # 2 3?2 2^2 — .x2 I d.x = 2-^---3~ = (|x — 2 2 „Tabulkové integrály" Příklady: J (3x5 - 2x3 + x2 - 2) áx = 3 x 6 6 4 3 2x2 — x + 2x\fx — \fx X + 1 2x\fx [yfx + 1) — + 1) X + 1 2^2 i X 2 d.x = 2 5 X 2 2 3 2 X — 1 3x áx x2 - 2x + 1 to2 dx i 9 1---hX" = ± í x - 2 ln dX : 1 1 9 Substituční metoda F' = f, F = ff Substituční metoda Derivace složené funkce: [F((£))] = —F (<£>(£)) = f((p(t))(p'(t) yJLL Odtud: f((£))] = —F (<£>(£)) = f((p(t))(p'(t) yJLL Odtud: jf^(t))^'(t)át = F^(t)) Použití vzorce: 1. Výpočet integrálu f f(cp(x))cp'(x)dx substituce: cp(x) = s, dcp(x) = cp'(x)dx = ds f((p(x))(p'(x)áx= í f(s)ds = F(s) = F((£))] = —F (<£>(£)) = f((p(t))(p'(t) yJLL Odtud: jf^(t))^'(t)át = F^(t)) Použití vzorce: 1. Výpočet integrálu f f(cp(x))cp'(x)dx substituce: cp(x) = s, dcp(x) = cp'(x)dx = ds f((p(x))(p'(x)áx= í f(s)ds = F(s) = F((£))] = —F (<£>(£)) = f((p(t))(p'(t) yJLL Odtud: jf^(t))^'(t)át = F^(t)) Použití vzorce: 1. Výpočet integrálu f f(cp(x))cp'(x)dx substituce: cp(x) = s, dcp(x) = cp'(x)dx = ds f((p(x))(p'(x)áx= í f(s)ds = F(s) = F(x — / cos2xdx substituce: 2x = s, 2dx = ds, dx = ^ds Substituční metoda Příklady: 1-52;, f 3 - 5x - 2 l /\ n f 1 l 2 f -5 1 áx = / -áx = / láx — 21 -áx = x + | / -dx= 3 — 5x / 3 — 5x / / 3 — 5x 5 / 3 — 5x x + | / -ds = x + # ln 5 = x + # ln 3 — 5x 1 5 / g^ " 1 5 2 5 substituce: 3 — 5x = s, —5dx = ds _cos 2x f 1 (sinx)2dx = /-dx = / -dx —\ \ cos2xdx = \x — \ / cos2xdx= 2 12 - Ir - i 2^ 4 y cos sds — \x~\ sm s = ^ — \ sm 2x = ^ (x — sin x cos x) substituce: 2x = s, 2áx = ds, dx = ^ás 7/17 Substituční metoda Příklady: JyV2 — x2 dx Substituční metoda Příklady: J\Jr2 — x2 áx substituce: x = rcoss, áx = —rsinsds yV2 — (r cos s)2 = ^Jr2(l — (cos s)2) = r sin s Substituční metoda Příklady: J\Jr2 — x2 áx = — r2 J(sins)2d,s = |r2(sin s cos s — s) substituce: x = rcoss, áx = —rsinsds yV2 — (r cos s)2 = ^Jr2(l — (cos s)2) = r sin s Substituční metoda Příklady: J\Jr2 — x2 áx = — r2 J{úns)2ás = |r2(sin s cos s — s) substituce: x = rcoss, áx = —rsinsds yV2 — (r cos s)2 = ^Jr2(l — (cos s)2) = r sin s s = arccos —, sin s = \ 1 — — = r v \ r / r Substituční metoda Příklady: J\Jr2 — x2 dx = — r2 J(sins)2d,s = |r2(sin s cos s — s) Ir2 2 ' \Jr2 — x2 x r x -- arccos — iy ty* IxV — x 2 1^2 X arccos — Z ty substituce: x = rcoss, dx = —rsinsds yV2 — (r cos s)2 = ^Jr2(l — (cos s)2) = r sin s x x\ 2 \Jr2 — x- s = arccos —, sin s = \ 1 — — = r V V v J r 7/17 Substituční metoda Příklady: 1 + dx Substituční metoda Příklady: l + Vx áx substituce: x = s2, áx = 2sás Substituční metoda Příklady: l + Vx dx 1 + 5 2sds = 2 1 + 5 ds 1 + 1 5 + 1 Cl5 25-2 + 2 1 5 + 1 ds = 52 - 25 + 21n |s + 1| = x - - 2^ + ln(l + y/x)' substituce: x = s2, dx = 25 ds 7/17 Substituční metoda Lineární substituce: jf(aX + b)á Substituční metoda Lineární substituce: f(ax + b)dx 1 substituce: ax + b = 5, adx = ds, dx = —ds a Substituční metoda Lineární substituce: / f(ax + b)dx = - í f{s)ds = -F(s) = -F(ax + b) J a J a a 1 substituce: ax + b = s, adx = ds, dx = -ds a Substituční metoda Lineární substituce: /f(ax + b)dx = —Fiax + b) a Substituční metoda Lineární substituce: Logaritmická substituce: 1 f(ax + b)áx = —F(ax + b) a Substituční metoda Lineární substituce: /f(ax + b)dx = —Fiax + b) a Logaritmická substituce: fix) dx 1 substituce: ln \f(x) \ = s, f'{x)dx = ds J \x) Substituční metoda Lineární substituce: /f(ax + b)dx = —Fiax + b) a Logaritmická substituce: f(x) dx ds = s = ln \ f(x) 1 substituce: ln \f(x) \ = s, f'(x)dx = ds Substituční metoda Lineární substituce: jf(aX + b)äX Logaritmická substituce: Integrace „per partes" 8/ Integrace „per partes" Derivace součinu funkcí: (u(x)v(x))' = u'(x)v(x) -\-u(x)v'(x), Integrace „per partes Derivace součinu funkcí: odtud (u(x)v(x))' = u'(x)v(x) -\-u(x)v'(x) u(x)v'(x) = (u(x)v(x))' — u (x)v(x) Integrace „per partes Derivace součinu funkcí: odtud tedy (u(x)v(x))' = u'(x)v(x) -\-u(x)v'(x). u(x)v'(x) = (u(x)v(x))' — u (x)v(x) u{x)v'{x)áx = u(x)v(x) — / u (x)v(x)dx Integrace „per partes u(x)v'\x)áx = u(x)v(x) — / u'\x)v(x)áx Příklady: Integrace „per partes u(x)v'\x)áx = u(x)v(x) — / u'\x)v(x)áx Příklady: J(2- 3x)e1~xdx Integrace „per partes" u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) — / u'\x)v(x)dx Příklady: J(2- 3x)e1~xdx u = 2 — 3x v' = e1_x' Integrace „per partes u(x)v'\x)áx = u(x)v(x) — / u'\x)v(x)áx Příklady: J(2- 3x)e1~xdx u = 2 — 3x u' = —3 v' = e1_x' v = —e1_x' Integrace „per partes" u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) — / v!(x)v(x)dx J J Příklady: J (2- 3x)el~xdx = -(2 - 3x)e1~x - J3e1~xdx = (3x - 2)e1~x + 3e = (3x + l)e u = 2 — 3x v! = —3 1 —X _ 1 —X ^/ _ el x ^ _ _el X Integrace „per partes u(x)v'\x)dx = u(x)v(x) — / u'\x)v(x)dx Příklady: J(2- 3x)e1~xdx = -(2 - 3x)e1~x - J3el~xdx = (3x - 2)e1~x + 3e l — x = (3x + l)e l — x hixdx Integrace „per partes" u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) — / v!(x)v(x)dx J J Příklady: J (2- 3x)e1~xdx = -(2 - 3x)e1~x - J3e1~xdx = (3x - 2)e1~x + 3e l — x _ 1 — x = (3x + l)e \nxdx 1 u = In x u' = — v' = 1 v = x Integrace „per partes" u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) — J u'\x)v(x)dx Příklady: J(2- 3x)el~xdx = -(2 - 3x)e1~x - J3el~xdx = (3x - 2)e1~x + 3e = (3x + l)e /ln,d,=,ln,-/ld, = ,ln,-,= ,(ln,-l) 1 u = ln x u' = — x v' = 1 V = X 1 — x _ 1 — x Integrace „per partes u(x)v'\x)dx = u(x)v(x) — / u'\x)v(x)dx Příklady: J(2- 3x)e1~xdx = -(2 - 3x)e1~x - J3e1~xdx = (3x - 2)e1~x + 3e /ln,d,=,ln,-/ld, = ,ln,-,= ,(ln,-l) l — X = (3x + l)e l — x x2 cos x dx Integrace „per partes u(x)v'\x)dx = u(x)v(x) — / u'\x)v(x)dx Příklady: J (2- 3x)e1~xdx = -(2 - 3x)e1~x - J3e1~xdx = (3x - 2)e1~x + 3e /ln,d,=,ln,-/ld, = ,ln,-,= ,(ln,-l) l — X = (3x + l)e l — x x2 cos x dx u = x2 u' = 2x v' = cos x v = sin x 8/17 Integrace „per partes u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) — / v!(x)v(x)dx Příklady: J (2- 3x)e1~xdx = -(2 - 3x)e1~x - J3e1~xdx = (3x - 2)e1~x + 3e /ln,d,=,ln,-/ld, = ,ln,-,= ,(ln,-l) l — X = (3x + l)e l — x x2 cos x dx = x2 sin x — 2 x sin x dx u = x2 u' = 2x v' = cos x v = sin x 8/17 Integrace „per partes u(x)v'\x)dx = u(x)v(x) — / u'\x)v(x)dx Příklady: J (2- 3x)e1~xdx = -(2 - 3x)e1~x - J3e1~xdx = (3x - 2)e1~x + 3e /ln,d,=,ln,-/ld, = ,ln,-,= ,(ln,-l) l — X = (3x + l)e l — x x2 cos xdx = x2 sin x — 2 x sin x dx u = x u' = 1 v = sin x v = — cos x 8/17 Integrace „per partes u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) — / u'\x)v(x)dx Příklady: J (2- 3x)e1~xdx = -(2 - 3x)e1~x - J3e1~xdx = (3x - 2)e1~x + 3e /ln,d,=,ln,-/ld, = ,ln,-,= ,(ln,-l) l — X = (3x + l)e l — x x2 cos xdx = x2 sin x — 2 / x sin xdx = x2 sin x — 2 [ —x cos x + / cos x dx ix' = 1 v = sin x v = — cos x 8/17 Integrace „per partes" l — x _ 1 — x u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) — / v!(x)v(x)dx J J Příklady: J (2- 3x)e1~xdx = -(2 - 3x)e1~x - J3e1~xdx = (3x - 2)e1~x + 3e = (3x + l)e /ln,d,=,ln,-/ld, = ,ln,-,= ,(ln,-l) cos x dx = x» sin x - 2 f * sin * ds = sin * - 2 (-, cos * + J cos * ds = x2 sin x + 2x cos x — 2 sin x = [x2 — 2) sin x -\- 2x cos x 8/17 Příklady 9/ Příklady X \ X XK dx = x 2+ Í 5 A rY> - dx = Ix 2dx = x 3 2 2 1 9/17 Příklady X2\/X XK dx = x2+2 5dx = x 2 dx = 6 x 3 2 1 3 2 3 7ex - - ) dx x 9 / 1 Příklady X2\/X XK dx = x 2+ i 5j„ — dx = / i' 2 dx = x 3 2 1 7e* - - ) dx = 7ex - 6 ln x x 7ex — ln x 3 2 6 3 a/x3" 9 / 1 Příklady Příklady X2\/X XK dx = 6 x 2+ Í 5 A rY> - dx = / x 2 dx = x 3 2 1 7e* - - dx = 7ex - 6 ln x x 7ex — ln x 3 2 6 3 a/x3" (cotgx)2 dx /cosx\2 -- dx V srn x / 1 — (sinx)' (sinx)2 dx 1 (sinx): 1 j dx = = — cotg x — x Příklady 9/17 Příklady X2\/X ar dx = 6 x dx = / x 2 dx = x 3 2 1 3 2 3 Vx~š 7ex--) dx = 7ex — 6 ln x = 7ex - ln x6 x (cotgx)2 dx /cosx\2 -- dx V srn x / 1 — (sinx)' X' dx 1 + x2 - 1 dx (sinx): 1 dx 1 (sinx): 1 j dx = = — cotg = — arccos x — \x\J\ — x2 + ^ arccos x = - - ^ ( arccos x + x\/r Příklady X2\/X ar áx = 6 x áx = / x 2 d.x = x 3 2 1 3 2 3 7ex--) áx = 7ex — 6 ln x = 7ex - ln x6 x (cotgx)2 áx X' áx /cosx\2 -- dx V srn x J 1 — (sinx)' 1 + x2 - 1 vT^2 (sinx): 1 vT^2 dx 1 (sinx): 1 j dx = = — cotg = — arccos x — \x\J\ — x2 + ^ arccos x = ■ - \ ( arccos x + x\/r 3e xáx Příklady X2\/X XK dx = 6 x 2+ Í 5 A rY> - dx = / x 2 dx = x 3 2 1 3 2 3 a/x^ 7ex--) dx = 7ex — 6 ln x = 7ex - ln x6 x (cotgx)2 dx /cosx\2 -- dx V srn x / 1 — (sinx)' X' dx 1 + x2 - 1 dx (sinx): 1 dx 1 (sinx): 1 j dx = = — cotg = — arccos x — \x\J\ — x2 + ^ arccos x = - - ^ ( arccos x + x\/r 3e xdx = —3e x Příklady X2\/X XK dx = 6 x 2+ Í 5 A rY> - dx = / x 2 dx = x 3 2 1 3 2 3 Vx3 7ex--) dx = 7ex — 6 ln x = 7ex - ln x6 x (cotgx)2 dx /cosx\2 -- dx V srn x / 1 — (sinx)' X' dx 1 + x2 - 1 dx (sinx): 1 dx 1 (sinx): 1 j dx = = — cotg = — arccos x — \x\J\ — x2 + ^ arccos x = - - ^ ( arccos x + x\/r 3e xdx = —3e x (3x - 7)14dx Příklady X2\/X ar dx = 6 x 2+ Í 5 A rY> - dx = / x 2 dx = x 3 2 1 3 2 3 Vx~š 7ex--) dx = 7ex — 6 ln x = 7ex - ln x6 x (cotgx)2 dx /cosx\2 -- dx V srn x / 1 — (sinx)' X' dx 1 + x2 - 1 dx (sinx): 1 dx 1 (sinx): 1 j dx = = — cotg = — arccos x — \x\J\ — x2 + ^ arccos x = - - ^ ( arccos x + x\/r 3e xdx = —3e x (3x - 7)14dx = \ 1{3x-7)lb (3x--7) 15 15 45 Příklady X x2 — 1 dx 9 / 1 Příklady 1 2 2x x2 — 1 dx 9 / 1 Příklady x2-ldX~2f x2-ldX substituce: x2 — 1 = s, 2xdx Příklady X x2 — 1 dx 1 2 2x x2 — 1 dx = 77 / -cis i In ln ar 1 substituce: x2 — 1 = s, 2xdx = ds 9 / 1 Příklady X áx 1 2 2x áx = \ ( x2 — 1 2 J x2 — 1 substituce: x2 — 1 = s, 2xdx = ds \ ln ln ar 1 tgxdx 9 / 1 Příklady X x2 — 2 I x2 — 1 dx = \ í -ds = \ ln ln substituce: x2 — 1 = s, 2xdx = ds X' 1 tgxdx sinx dx cosx 9 / 1 Příklady x f 2x f 1 dx = A / —-dx = A / -ds x2-l 2J x2-l 2J s substituce: x2 — 1 = s, 2xdx = ds . / smx tgxdx = / -dx j cosx . . . - sin x 1 substituce: In cosx = s, -dx cosx Příklady x f 2x f 1 dx = A / —-dx = A / -ds = A In x2-i V x2-i 27 s 2 substituce: x2 — 1 = s, 2xdx = ds / smx / tg xdx = / -dx = — / ds = — s = - In J COS X J . . . - sin x substituce: In cosx = s, -dx = ds cosx cosx Příklady x f 2x f 1 dx = A / —-dx = A / -cis = A In x2 — 1 2J x2 — 1 2j s 2 substituce: x2 — 1 = s, 2xdx = ds / smx / tg xdx = / -dx = — / ds = — s = - In J COS x J . . . - sin x substituce: In cosx = s, -dx = as cosx smx -dx cosx >/2 + cosx Příklady X 1 x2-ldX~ 2 dx = h í -ds = 7T ln x2 — 1 substituce: x2 — 1 = s, 2xdx = ds tgxdx sinx dx cosx substituce: ln cosx ds = — s sinx ln s, cosx dx = ds smx >/2 + dx cosx substituce: 2 + cosx = s, — sinxdx = ds Příklady X x2 — 1 dx 1 2 d.x = A / -ds = tt ln x2 — 1 ln ar 1 substituce: a;2 — 1 = s, 2xdx = ds tgxda; srna; da: cos a: substituce: ln cos a: ds = —s = - — sin x s, -da; = ds ln cos a: cos a: srna: >/2 + da; 1 cos a: ds s 2 ds 1 S2 2 ■2y/š= -2\J2 + cos a: substituce: 2 + cos a: = s, — sinxda: = ds Příklady x x -i i 2x M dx = 2 / ^1 dx = 7} J -ds = 7) In |s| = ln a/ x2 — 1 substituce: x2 — 1 = s, 2xdx = ds . smx tgxdx = / -dx cosx substituce: ln cosx ds = —s = ■ — sin x s, -dx = ds ln cosx cosx sin x \/2T dx = — 1 cosx ST* ds i S2 s"2ds = —=- = -2y/š = -2a/2T cosx substituce: 2 + cosx = s, — sinxdx = ds 2x 1 :dx Příklady X x2 — 1 áX = 77 2 1 x2 - 1 dx = A / -ds = 77 ln ln y^x2 — 1 substituce: x2 — 1 = s, 2xdx = ds . smx tgxdx = / -dx cosx substituce: ln cosx = — J ds = —s = - — sin x = -dx = ds cosx ln cosx sin x >/2 + dx = — cosx ás = s 2ás 1 2 = -2y/š = -2^/2^ cosx substituce: 2 + cosx = s, — sinxdx = ds 2x Vex - 1 dx substituce: ex — 1 = s, exdx = ds 9/17 Příklady X ^__ 1 _ 1 2-l 2/ x2-l 2x n , Z4 1 , dx = ^ I -ds = ^ In ln \/|x2 — 1 substituce: x2 — 1 = s, 2xdx = ds . smx tgxdx = / -dx cosx substituce: ln cosx ds = — s = - ln — sin x s, -dx = ds cosx cosx srn x >/2 + dx 1 cosx ds = — / s 2 ds S2 2 cosx substituce: 2 + cosx = s, — sinxdx = ds t2x V? 1 :dx = s + 1 ds s2 + s 2 ) ds 3 S2 ~3~ 2 i S2 + V = + 3) substituce: — 1 = s, e^dx = ds = fVe^Tíe^ + 2) 9/17 Příklady Příklady u = x3 v! = 3x2 v' = ex v = ex Příklady x3exdx = x3ex - 3 / x2exdx u v' ar \ OČ u v 3ar Příklady x3exdx = x3ex - 3 / x2exdx u v' X' \ OČ w v 2x Příklady x3exáx = x3ex - 3 / x2exdx = x3ex - 3 í x2ex - 2 / xexdx u = x2 u' — 2x v' — ex v = ex Příklady x3exáx = x3ex - 3 / x2exdx = x3ex - 3 ( x2ex - 2 / xexdx = x3ex - 3x2ex + 6 / xexdx u = x u' = 1 vf = ex v = ex Příklady x3exdx = x3ex -3 1 x2exdx = x3ex - 3 [ x2ex -2 1 xexdx ty \ ,j / = x3ex - 3x2ex + 6 J xexdx = x3ex - 3x2ex + 6 (xex - ex) = = [x3 — 3x2 + 6x — 6) e 2X = X u' = 1 vf = ex v = ex Příklady x3exdx = x3ex -3 1 x2exdx = x3ex - 3 [ x2ex -2 1 xexdx ty \ ,j / = x3ex - 3x2ex + 6 J xexdx = x3ex - 3x2ex + 6 (xex - ex) = = [x3 — 3x2 + 6x — 6) e x2 ln x dx 9/17 Příklady x3exdx = x3ex -3 1 x2exdx = x3ex - 3 [ x2ex -2 1 xexdx ty \ ,j / = x3ex - 3x2ex + 6 J xexdx = x3ex - 3x2ex + 6 (xex - ex) = = [x3 — 3x2 + 6x — 6) e x2 ln x dx 1 a = ln x u' = — t? = X V = ^X Příklady x3exdx = x3ex -3 1 x2exdx = x3ex - 3 [ x2ex -2 1 xexdx ty \ ,j / = x3ex - 3x2ex + 6 J xexdx = x3ex - 3x2ex + 6 (xex - ex) = = [x3 — 3x2 + 6x — 6) e x2 \nxdx = |x3lnx 1 a = ln x u' = — V = X V = ^X | / x2dx |x3 lnx — \jX3 = |x3 (lna;3 l) Příklady x3exdx = x3ex -3 1 x2exdx = x3ex - 3 [ x2ex -2 1 xexdx x2 ln x dx ty \ ty / x3ex - 3x2ex + 6 J xexdx = x3ex - 3x2ex + 6 (xex - ex) = = [x3 — 3x2 + 6x |x3 hix — | /x2dx = |x3 lnx — = jjX3 (inx3 — l) -6) »OČ 1=1 sin ln x dx 9/17 Příklady x3exdx = x3ex -3 1 x2exdx = x3ex - 3 [ x2ex -2 1 xexdx ty \ ,j / x3ex - 3x2ex + 6 J xexdx = x3ex - 3x2ex + 6 (xex - ex) = = (x3 — 3x2 + 6x -6) »OČ x2 ln x dx |x3 lnx — | / x2dx = |x3 lnx — |x3 = |x3 (lnx3 l) I = sin ln x dx ?x = sin ln x u' = — cos ln x x v' = 1 v = x 9/17 Příklady x3exdx = x3ex -3 1 x2exdx = x3ex - 3 [ x2ex -2 1 xexdx ty \ ,j / x3ex - 3x2ex + 6 J xexdx = x3ex - 3x2ex + 6 (xex - ex) = = (x3 — 3x2 + 6x -6) »OČ x2 ln x dx |x3 lnx — | / x2dx = |x3 lnx — |x3 = |x3 (lnx3 l) I = sin ln x dx = x sin ln x — / cos ln x dx ?x = sin ln x u' = — cos ln x x v' = 1 v = x Příklady x3exdx = x3ex -3 1 x2exdx = x3ex - 3 [ x2ex -2 1 xexdx ty \ ,j / x3ex - 3x2ex + 6 J xexdx = x3ex - 3x2ex + 6 (xex - ex) = = (x3 — 3x2 + 6x -6) »OČ x2 ln x dx |x3 lnx — | / x2dx = |x3 lnx — |x3 = |x3 (lnx3 l) I = sin ln x dx = x sin ln x — / cos ln x dx ?x = cos ln x v! =--sin ln x x v' = 1 v = x 9/17 Příklady x3exdx = x3ex -3 1 x2exdx = x3ex - 3 [ x2ex -2 1 xexdx ty \ ,j / x3ex - 3x2ex + 6 J xexdx = x3ex - 3x2ex + 6 (xex - ex) = = (x3 — 3x2 + 6x -6) »OČ x2 ln x dx |x3 lnx — | / x2dx = |x3 lnx — |x3 = |x3 (lnx3 l) I = sin ln x dx = x sin ln x — / cos ln x dx x sin ln x — ( x cos ln x + / sin ln x dx I = x sin ln x — x cos ln x — I u = cos ln x v! =--sin ln x x v' = 1 v = x 9/17 Příklady x3exdx = x3ex -3 1 x2exdx = x3ex - 3 [ x2ex -2 1 xexdx ty \ ty / x3ex - 3x2ex + 6 J xexdx = x3ex - 3x2ex + 6 (xex - ex) = = [x3 — 3x2 + 6x -6) »OČ x2 ln x dx |x3 lnx — | / x2dx = |x3 lnx — |x3 = |x3 (lnx3 l) 1=1 sin ln x dx = x sin ln x — / cos ln x dx x sin ln x — ( x cos ln x + / sin ln x dx I = x sin ln x — x cos ln x — J Tedy 21 = x sin ln x — x cos ln x, odtud J = \x (sin ln x - - cos ln x) Příklady e^dx 9/ Příklady e^dx substituce: x = t2, dx = Příklady e^dx = 2 / tédt substituce: x = t2, dx = 2tdt 9 / 1 Příklady u = t u' v' = et v Příklady Příklady substituce: x = t2, dx = 2Mí 9/17 Příklady e^dx = 2 tetdt= 2 [té - \ édt J = 2(t - l)eť = 2 (y/x - 1) substituce: x = t2, dx = 2ícU a = t v! = 1 vf = e1 v = et 9 / 1 Úvod Neurčitý integrál Určitý integrál a jeho užití Definice a základní vlastnosti Obsah obrazce Délka rovinné křivky Objem tělesa (exhaustivní metoda) Nevlastní integrál _ Určitý integrál a jeho užití Definice a základní vlastnosti Nechť / je spojitá funkce na (a, b) a F je funkce primitivní k / F'(x) = f(x) pro všechna x G (a, 6) Definice a základní vlastnosti Nechť / je spojitá funkce na (a, b) a F je funkce primitivní k /, F'(x) = f (x) pro všechna x G (a, 6). Newtonův určitý integrál z funkce f v mezích od a do b je definován jako b J f(x)dx = F (b) - F (a) a Definice a základní vlastnosti Nechť / je spojitá funkce na (a, b) a F je funkce primitivní k /, F'(x) = f(x) pro všechna x G (a, 6). Newtonův určitý integrál z funkce f v mezích od a do b je definován jako o J f(x)dx = F(b) - F (a) a Označení: F(b) - F(á) = \F(x) x=a Definice a základní vlastnosti Nechť / je spojitá funkce na (a, b) a F je funkce primitivní k /, F'(x) = f(x) pro všechna x G (a, 6). Newtonův určitý integrál z funkce f v mezích od a do b je definován jako o J f(x)dx = F(b) - F (a) a Označení: F(b) - F(á) = \F(x) x=a F(x) a Definice a základní vlastnosti Nechť / je spojitá funkce na (a, b) a F je funkce primitivní k /, F'(x) = f(x) pro všechna x G (a, 6). Newtonův určitý integrál z funkce f v mezích od a do b je definován jako f(x)dx = F(b) - F (a) = \F(x) a a Označení: F(b) - F(á) = \F(x) x=a F(x) a Definice a základní vlastnosti f{x)dx = F(b) - F (a) = \F(x) a a Definice a základní vlastnosti f(x)dx = F(b) - F (a) = \F(x)ib a a a b a • I f(x)dx = 0, J f(x)dx = — J f(x)dx a a b Definice a základní vlastnosti f{x)dx = F(b) - F (a) = \F(x) a a a a J f(x)dx = 0, J f(x)dx = — J f(x)dx b a a Linearita vzhledem k integrované funkci: Definice a základní vlastnosti f{x)dx = F(b) - F (a) = \F(x) a a a a J f(x)dx = 0, J f(x)dx = — J f(x)dx b a a Linearita vzhledem k integrované funkci: b b b aditivita: J (f(x)+g(x)}dx = J f(x)dx + Jg(x)dx a a a Definice a základní vlastnosti f{x)dx = F(b) - F (a) = \F(x) a a a a J f(x)dx = 0, J f(x)dx = — J f(x)dx b a a Linearita vzhledem k integrované funkci: b b b aditivita: J (f(x)+g(x)}dx = J f(x)dx + Jg(x)dx a a a b b homogenita: J cf(x)dx = c J f(x)dx a a Definice a základní vlastnosti f{x)dx = F(b) - F (a) = \F(x) a a a a J f(x)dx = 0, J f(x)dx = — J f(x)dx b a a Linearita vzhledem k integrované funkci: b b b aditivita: J (f(x)+g(x)}dx = J f(x)dx + Jg(x)dx a a a b b homogenita: J cf(x)dx = c J f(x)dx a a Aditivita vzhledem k integračnímu oboru: b c b c G (a, b) => J f(x)dx = J f(x)dx + J f(x)dx a a Definice a základní vlastnosti f{x)dx = F(b) - F (a) = \F(x) a a Integrace „per partes" pro určité integrály: b b J u(x)v' (x)dx = u(x)v(x) — J u'(x)v(x)dx a a Definice a základní vlastnosti f{x)dx = F(b) - F (a) = \F(x) a a Integrace „per partes" pro určité integrály: b b J u(x)v' (x)dx = u(x)v(x) — J u'(x)v(x)dx a a Substituční metoda pro určité integrály: b oo ^—' y y z=0 i=0 a a Obsah obrazce Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b). o S — j f(x)dx a Příklady: Obsah obrazce Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b). b S — J f(x)dx a Příklady: Vypočítejte obsah parabolické úseče, která má výšku v a délku zákla a. Obsah obrazce Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b). b S — J f(x)dx a Příklady: Vypočítejte obsah parabolické úseče, která má výšku v a délku zákla a. Obsah obrazce Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b). b S — J f(x)dx a Příklady: Vypočítejte obsah parabolické úseče, která má výšku v a délku základny a. Obsah obrazce Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b). b S — J f(x)dx a Příklady: Vypočítejte obsah parabolické úseče, která má výšku v a délku základny a. 2 vi f 4 2 \ a2 ± 2 v 1 — V a2 2 2 dx 4v 2 2 x2dx — v [x] ^ a 4v x1 2 f a a\ 4v (a3 a3 2 = -va Obsah obrazce Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b). b S — J f(x)dx a Příklady: Vypočítejte obsah elipsy s poloosami a a b. Obsah obrazce Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b). b S — J f(x)dx a Příklady: Vypočítejte obsah elipsy s poloosami a a b. 2 2 x y --h — = 1 a2 b2 12 / 17 Obsah obrazce Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b). b S — J f(x)dx a Příklady: Vypočítejte obsah elipsy s poloosami a a b. 2 2 7 —+ — = 1 y=-Va2-x2 az oz a 12 / 17 Obsah obrazce Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b). b S — J f(x)dx a Příklady: Vypočítejte obsah elipsy s poloosami a a b. 2 2 x y a* b2 a + = 1 —>> y = - V a2 — x2 a S = 4 / — \Ja2 — x2 dx J a o 12 / 17 Obsah obrazce Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b). b S — J f(x)dx a Příklady: Vypočítejte obsah elipsy s poloosami a a b. 2 2 x y a* b2 + 77 = 1 —>• y — —\fa2 — x2 a a 7T 2 7T 2 S — 4: Í —\/a2 — x2 dx = — ľ a2 (cos s)2ds — 4a6 / Ja cl J J 1 + cos 2s ds — o o o 2a6 sin 2s 7T 2 j s = 0 substituce: x = a sin s, dx = a cos s ds, a2 — x2 = a2 (l — (sin s)2) = a2 (cos s)' Délka rovinné křivky Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a Délka rovinné křivky Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a, b). b — a n G N, položíme Ax =-, x o = a, xz = a + iAx, n Ayi = f(xi+i) - f(xi), i = 1,2,... ,n. 13 / 17 Délka rovinné křivky Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a, b). n G N, položíme Ax = b — a n , xq = a, Xi = a + iAx, Ayi = f(xi+i) - f(xi), z = 1,2,... ,n. Pak je lim ^ = /'(*,), tedy * f'(Xi) Ax^O Ax n—l Ax n—l £«^V(Ax)2 + (Ayi)2 = ^Wl + i=() n—l i=0 Ax n—l Ax ~ V1 + (/'(xí))2ax lim V Jl + (f'(Xi))2Ax = í Jl + (f'(x)fdx, n—)-oo z—' v 7 i=0 a /(^i+i) = a xi ■ ■ ■ Xi xi+i Délka rovinné křivky Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a, b). n G N, položíme Ax = b — a n , xq = a, Xi = a + iAx, Ayi = f(xi+i) - f(xi), z = 1,2,... ,n. Pak je lim ^ = /'(*,), tedy * f'(Xi) Ax^O Ax Ax n—l n—l / / * \ 2 n—1 ,- £ « ^ V(Ax)2 + (Aj/ť)2 = E V 1 + ( ^ Ax^Ev/l + í/'rfAar i=o i=o V V / i=o i=0 n—l lim V Jl + (f'(Xi))2Ax = í Jl + (f'(x)fdx, tedy n—)-oo z—' v J i=0 a b i = [ ji + {f'{x)ýáx a 13 / 17 Délka rovinné křivky Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a, b). Její délka je dána integrálem b i = I y/l + (f>(x))2dx a Délka rovinné křivky Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a, b). b 1= í y/l + (f'(x a Příklad: Délka rovinné křivky Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a, b). b t= í v/i+ (/'(* a Příklad: Vypočítejte délku kružnice o poloměru r. Délka rovinné křivky Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a, b). b t= í v/i+ (/'(* a Příklad: Vypočítejte délku kružnice o poloměru r. f(x) = Vr2 — x2 Délka rovinné křivky Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a, b). 1 = a Příklad: Vypočítejte délku kružnice o poloměru r. e f{x) = Vr2 - x2, f(x) = ~X ' nn2 X' \/r2 — x2 . (/'(*)) = ty 2 _ rjQ 2 13 / 17 Délka rovinné křivky Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a, b). b i = I y/l + (f'(x))2dx a Příklad: Vypočítejte délku kružnice o poloměru r. yV2 - x2 ' r2 - x 2 r X2 i = A J a/1 + —--dx o ty 2 _ rj* 2 Délka rovinné křivky Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a, b). b i = I y/l + (f'(x))2dx a Příklad: Vypočítejte délku kružnice o poloměru r. yV2 - x2 ' r2 - x 2 ty* ty* x2 ľ r i = 4 j yl + —-2 dx = 4J ~dx o o substituce: x = r sin s, áx = rcossds Délka rovinné křivky Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a, b). b i = I y/l + (f'(x))2dx a Příklad: Vypočítejte délku kružnice o poloměru r. f(x) = V^^, f(x) = -ř^L=, {f'{x)f yV2 - x2 ' r2 - x 2 7T r ,- r 2" x2 Ír £ = 4 / \ 1 + —-- dx = 4 / d.x = 4r2 7 V r2-x2 J Vr2 - x2 0 0 0 substituce: x = r sin s, dx = rcossds Objem tělesa (exhaustivní metoda) Těleso umístěné v souřadné soustavě. Objem tělesa (exhaustivní metoda) Těleso umístěné v souřadné soustavě. Uvažujeme jeho řezy rovinami kolmými k ose x, které jsou od sebe vzdáleny o Ax. Objem tělesa (exhaustivní metoda) Těleso umístěné v souřadné soustavě. Uvažujeme jeho řezy rovinami kolmými k ose x, které jsou od sebe vzdáleny o Ax. Nechť roviny protínají osu x v bodech xq = a, #1, #2, • • • ? xn — b. Přitom Xi+i — Xi = Ax, celé těleso se nachází mezi 0-tou a n-tou rovinou. Objem tělesa (exhaustivní metoda) Těleso umístěné v souřadné soustavě. Uvažujeme jeho řezy rovinami kolmými k ose x, které jsou od sebe vzdáleny o Nechť roviny protínají osu x v bodech xq = a,#1,#2,... ,xn = b. Přitom Xi+i — Xi = Ax, celé těleso se nachází mezi 0-tou a n-tou rovinou. Obsah řezu (průniku) tělesa i-tou rovinou označíme S(xí). Objem tělesa (exhaustivní metoda) Těleso umístěné v souřadné soustavě. Uvažujeme jeho řezy rovinami kolmými k ose x, které jsou od sebe vzdáleny o Ax. Nechť roviny protínají osu x v bodech xq = a, #1, #2, • • •, xn = b. Přitom Xi+i — Xi = Ax, celé těleso se nachází mezi 0-tou a n-tou rovinou. Obsah řezu (průniku) tělesa i-tou rovinou označíme S(xí). Objem (tenké) vrstvy tělesa mezi (i — l)-ní a i-tou rovinou je přibližně roven S(xí)Ax. Objem tělesa (exhaustivní metoda) Těleso umístěné v souřadné soustavě. Uvažujeme jeho řezy rovinami kolmými k ose x, které jsou od sebe vzdáleny o Ax. Nechť roviny protínají osu x v bodech xq = a, #1, #2, • • • ? xn — b. Přitom Xi+i — Xi = Ax, celé těleso se nachází mezi 0-tou a n-tou rovinou. Obsah řezu (průniku) tělesa i-tou rovinou označíme S(xí). Objem (tenké) vrstvy tělesa mezi (i — l)-ní a i-tou rovinou je přibližně roven S(xi)Ax. n Pro objem tělesa tedy platí: V Objem tělesa (exhaustivní metoda) Těleso umístěné v souřadné soustavě. Uvažujeme jeho řezy rovinami kolmými k ose x, které jsou od sebe vzdáleny o Ax. Nechť roviny protínají osu x v bodech xq = a, #1, #2, • • • ? xn — b. Přitom Xi+i — Xi = Ax, celé těleso se nachází mezi 0-tou a n-tou rovinou. Obsah řezu (průniku) tělesa i-tou rovinou označíme S(xí). Objem (tenké) vrstvy tělesa mezi (i — l)-ní a i-tou rovinou je přibližně roven S(xi)Ax n Pro objem tělesa tedy platí: V i=l Limitním přechodem n 00 dostaneme b V a Objem tělesa (exhaustivní metoda) o V = J S(x)dx a 14 / 1 Objem tělesa (exhaustivní metoda) o V = J S(x)dx a Příklad: Vypočítejte objem trojosého elipsoidu s poloosami a. Objem tělesa (exhaustivní metoda) o V = J S(x)dx a Příklad: Vypočítejte objem trojosého elipsoidu s poloosami a, 6, c. x2 y2 z2 ^ a2 b2 c2 ~ Objem tělesa (exhaustivní metoda) o V = J S(x)dx a Příklad: Vypočítejte objem trojosého elipsoidu s poloosami a, b x2 y2 z2 ^ a2 62 c2 — ?/2 z2 Obvodová křivka řezu rovinou kolmou k ose x\ — H—- = 1 — b2 c2 y2 z2 ^--= i (1-fí)^2 (l-fí)cŕ Objem tělesa (exhaustivní metoda) o V = J S(x)dx a Příklad: Vypočítejte objem trojosého elipsoidu s poloosami a, b x2 y2 z2 ^ a2 b2 c2 ~ y2 z2 Obvodová křivka řezu rovinou kolmou k ose x\ — H—- = 1 — b2 c2 y2 z2 ^--= i (l-fl)62 (l"fl)C: = irbc (1--- Objem tělesa (exhaustivní metoda) o V = J S(x)dx a Příklad: Vypočítejte objem trojosého elipsoidu s poloosami a, 6, c x2 y2 z2 ^ a2 b2 c2 ~ y2 z2 x2 Obvodová křivka řezu rovinou kolmou k ose x\ — H—0 = 1--0 b2 a- + (l-fí)^ (l-fí)c = 1 = 7r6c ( 1 ar a V irbc í 1 x' (X dx = 27r6c o ar 3a2 n a Jo 27r6c í a 3a2 Objem tělesa (exhaustivní metoda) o V = J S(x)dx a Speciální případ: těleso vzniklé rotací „podgrafu" funkce y = f (x) definované na intervalu (a, b) kolem osy x. S(x) = 7r(f(x))2, tj. V = tt J (f(x))2dx o Objem tělesa (exhaustivní metoda) o V = tt J (f(x))2dx 0 14 / 1 Objem tělesa (exhaustivní metoda) o V = tt J (f(x))2dx 0 Příklad: Vypočítejte objem kulové vrstvy tloušťky h s poloměry podstav R a r. Objem tělesa (exhaustivní metoda) o V = tt J (f(x))2dx 0 Příklad: Vypočítejte objem kulové vrstvy tloušťky h s poloměry podstav R a a-\-h V = 7T J [g2 — x2) dx a Objem tělesa (exhaustivní metoda) V = tt j (f(x))2dx o Příklad: Vypočítejte objem kulové vrstvy tloušťky h s poloměry podstav R a r. a-\-h 14 / 17 Objem tělesa (exhaustivní metoda) o V = tt J (f(x))2dx 0 Příklad: Vypočítejte objem kulové vrstvy tloušťky h s poloměry podstav R a r. a-\-h V = 7T ^ (^>2 - X2) dx = 7T ^ r -i 1 ry, 3 .3^ . a a / a = Ti (g2h - \(3a2h + 3a/i2 + /i3)) a2 = £2 - R2 (a + h)2 = g2 -r2 14 / 17 Objem tělesa (exhaustivní metoda) o V = tt J (f(x))2dx 0 Příklad: Vypočítejte objem kulové vrstvy tloušťky h s poloměry podstav R a r. a-\-h V = 7T ^ (^>2 - X2) dx = 7T ^ r -i 1 ry, 3 .3^ . a a / a = 7T (g2h - \(3a2h + 3a/i2 + /i3)) a2 = £2 - R2 (a + h)2 = g2 - r2 -+ 2a/i + h2 = Ŕ2 -r2 14 / 17 Objem tělesa (exhaustivní metoda) o V = tt J (f(x))2dx 0 Příklad: Vypočítejte objem kulové vrstvy tloušťky h s poloměry podstav R a r. a-\-h V = 7T ^ (^>2 - X2) dx = 7T ^ r -i 1 ry, 3 .3^ . a a / a a2 = g2 - R2 (a + h)2 = Q2 - r2 = 7T (g2h - \(3a2h + 3a/i2 + /i3)) R2 — r2 — h2 2ah + h2 = R2 - r2 < a — £2 = 2/i (iť-r2-/i2)2 4X2 14 / 1 Objem tělesa (exhaustivní metoda) o V = tt J (f(x))2dx 0 Příklad: Vypočítejte objem kulové vrstvy tloušťky h s poloměry podstav R a r. a-\-h V = 7T ^ (^>2 - X2) dx = 7T ^ r -i 1 ry, 3 .3^ . a a / a = 7T (g2h - \(3a2h + 3a/i2 + /i3)) R2 — r2 — h2 a2 = g2 - R2 (a + h)2 = g2 -r2 -+ 2ah + h2 = R2 - r2 < a — £2 = Celkem: v = |tt/i(3(í?2 + r2) + /i2) 2h (R2-r2-h2)2 4h? Objem tělesa (exhaustivní metoda) o V = tt J (f(x))2dx 0 Příklad: Vypočítejte objem kulové vrstvy tloušťky h s poloměry podstav R a r. a-\-h V = 7T y (^2 - X2) dx = 7T ^ r -i 1 ry, 3 .3^ . a a / a = 7T (g2h - \(3a2h + 3a/i2 + /i3)) R2 — r2 — h2 a2 = Q2 - R2 (a + h)2 = g2 -r2 -+ 2ah + h2 = R2 - r2 < a — £2 = Celkem: v = |tt/i(3(í?2 + r2) + h2) Specielně - Kulová úseč (r = 0): V = \7ľh{3R2 + /i2) Polokoule (r = 0,h = R):V = |ttí?3 2/i (iť-r2-/i2)2 4/^ Úvod Neurčitý integrál_ Určitý integrál a jeho užití Nevlastní integrál Integrál na neomezeném intervalu Integrál z neohraničené funkce Nevlastní integrál Integrál na neomezeném intervalu nkce / spojitá na intervalu (a, oo): 16/ Integrál na neomezeném intervalu oo b Funkce / spojitá na intervalu (a, oo): / f(x)dx = lim / /( J J a a pokud tato limita existuje a je vlastní. Integrál na neomezeném intervalu oo Funkce / spojitá na intervalu (a, oo): / f(x)dx= lim / f(x)dx, J b^oo J a pokud tato limita existuje a je vlastní. D Funkce / spojitá na intervalu (—00,6): J f (x) d a ■00 x = lim / f(x)dx a^ř—oo a pokud tato limita existuje a je vlastní. Integrál na neomezeném intervalu oo Funkce / spojitá na intervalu (a, oo): / f(x)dx= lim / f(x)dx, J b^oo J a pokud tato limita existuje a je vlastní. D Funkce / spojitá na intervalu (—00,6): J f (x) d a ■oo x = lim / f(x)dx, a^- — oo a pokud tato limita existuje a je vlastní. Funkce / spojitá na intervalu (—00,00) 00 o /f(x)dx = lim / f(x)dx + lim / f(x)dx, — J 6—)-oo J ■00 a 0 pokud obě limity existují a jsou vlastní. Integrál na neomezeném intervalu oo Funkce / spojitá na intervalu (a, oo): / f(x)dx= lim / f(x)dx, J b^oo J a pokud tato limita existuje a je vlastní. D Funkce / spojitá na intervalu (—00,6): J f (x) d a ■oo x = lim / f(x)dx, a^- — oo a pokud tato limita existuje a je vlastní. Funkce / spojitá na intervalu (—00,00) 00 o /f(x)dx = lim / f(x)dx + lim / f(x)dx, — J b^-oo J ■00 a 0 pokud obě limity existují a jsou vlastní. Říkáme, že nevlastní integrál konverguje. Integrál na neomezeném intervalu Příklady: Integrál na neomezeném intervalu Příklady: oc 0 Integrál na neomezeném intervalu Příklady: oc e xdx = lim / e xdx 6—)-oo 0 0 Integrál na neomezeném intervalu Příklady: oc e xdx = lim / e xdx = lim 6—)-oo J b^-oo 0 0 ■x b 0 Integrál na neomezeném intervalu Příklady: oc e xdx = lim / e xdx = lim 6—)-oo J b^-oo 0 0 ■x b 0 lim ( 6—)-oo Integrál na neomezeném intervalu Příklady: oc e xdx = lim / e xdx = lim 6—)-oo J b^-oo 0 0 ■x b 0 lim ( 6—)-oo Integrál na neomezeném intervalu Příklady: oc e xdx = lim / e xdx = lim 6—)-oo J 6—)-oo 0 0 ■x b 0 lim (-e"6 + l) oc 1 ~xž+ 1 dx Integrál na neomezeném intervalu Příklady: oc e xdx = lim / e xdx = lim 6—)-oo J 6—)-oo 0 0 ■x 0 lim ( 6—)-oo -e"6 + 1) OC 1 x2 + 1 dx = lim 1 6^oo J x2 -\- 1 1 dx = lim [arctgx 6—)-oo = lim (arctg b — arct 6—)-oo Integrál na neomezeném intervalu Příklady: oc e xdx = lim / e xdx = lim 6—)-oo J 6—)-oo 0 0 ■x 0 lim ( 6—)-oo -e"6 + 1) = 1 OC 1 X2 + 1 dx = lim 1 6^oo J X2 -\- 1 1 dx = lim [arctg x 6—)-oo 7T = lim (arctg b — arctg 1) =---- = — 6—)-oo 2 7T 4 7ľ 4 OC a > 1. 1 x a dx Integrál na neomezeném intervalu Příklady: oc e xdx = lim / e xdx = lim 6—)-oo J 6—)-oo 0 0 ■x 0 lim ( 6—)-oo -e"6 + 1) = 1 OC 1 X2 + 1 dx = lim 1 6^oo J X2 -\- 1 1 dx = lim [arctgx 6—)-oo = lim (arctgfr — arctg 1) 6—)-oo oc a > 1 1 x a dx = lim 1 dx = lim 6^oo J Xa b^oc x -a+1 n 6 -a + 1 J i - lim (-—- 1-a 6^oo V ba~l Integrál na neomezeném intervalu Příklady: 00 /—dx x 1 Integrál na neomezeném intervalu Příklady: oc ľ 1 lim / —áx b^oo J X 1 lim [ln x 6—)-oo lim ln 6 6—)-oo Integrál na neomezeném intervalu Příklady: oc 1 — áx nekonverguje x ľ 1 lim / — áx b^oo J X 1 lim [ln x 6—)-oo lim \nb 6—)-oo Integrál z neohraničené funkce Funkce / spojitá na intervalu (a, b) a neohraničená: Integrál z neohraničené funkce Funkce / spojitá na intervalu (a, b) a neohraničená: b p /f(x)dx = lim / f(x)dx pokud tato limita existuje a je vlastní. I3^b J a a Integrál z neohraničené funkce Funkce / spojitá na intervalu (a, b) a neohraničená: b p /f(x)dx = lim / f(x)dx pokud tato limita existuje a je vlastní. I3^b J a a Funkce / spojitá na intervalu (a, b) a neohraničená: b b /f(x)dx = lim / f(x)dx pokud tato limita existuje a je vlastní. a a Integrál z neohraničené funkce Funkce / spojitá na intervalu (a, b) a neohraničená: b p /f(x)dx = lim / f(x)dx pokud tato limita existuje a je vlastní. I3^b J a a Bod b se nazývá singularita funkce f. Funkce / spojitá na intervalu (a, b) a neohraničená: b b /f(x)dx = lim / f(x)dx pokud tato limita existuje a je vlastní. a a Bod a se nazývá singularita funkce f. Říkáme, že nevlastní integrál konverguje. Integrál z neohraničené funkce Příklady: Integrál z neohraničené funkce Příklady: Integrál z neohraničené funkce Příklady: 1 dx = lim 1 dx lim arcsm x Integrál z neohraničené funkce Příklady: 1 dx = lim 1 dx lim arcsm x /5 0 = arcsin 1 — arcsin 0 Integrál z neohraničené funkce Příklady: 1 áx 1 áx lim arcsm x /5 0 / i = arcsin 1 — arcsin 0 = — 7ľ 2 Integrál z neohraničené funkce Příklady: 1 o dx /5 lim 1 0 dx lim arcsm x /5 0 / i = arcsin 1 — arcsin 0 = — 7ľ 2 i 0 Integrál z neohraničené funkce Příklady: 1 /5 0 dx lim 1 0 dx lim arcsm x /5 0 / i = arcsin 1 — arcsin 0 = — 7ľ 2 lnxdx = lim / \nxdx Integrál z neohraničené funkce Příklady: 1 /5 0 dx lim 1 0 dx lim arcsm x /5 0 / i = arcsin 1 — arcsin 0 = — 7ľ 2 lnxdx = lim / \nxdx lim ľx(l nx i)" Q! Integrál z neohraničené funkce Příklady: 1 /5 0 dx lim 1 0 dx lim arcsm x /5 0 / i = arcsin 1 — arcsin 0 = — 7T 2 ln xdx = lim / ln xdx a—tO lim ľx(l nx i) Q! 1 — lim a(ln a — 1) Integrál z neohraničené funkce Příklady: 1 /5 0 dx lim 1 0 dx lim arcsm x /5 0 / i = arcsin 1 — arcsin 0 = — 7ľ 2 lnxdx = lim / \nxdx lim ľx(l nx i) Q! 1 — lim a(ln a — 1) = — 1 — lim x lnx Integrál z neohraničené funkce Příklady: 1 /5 0 dx lim 1 0 dx lim arcsm x /5 0 / i = arcsin 1 — arcsin 0 = — 7ľ 2 i i /lnxckc = lim / lnxckc = lim ľxílnx — 1) a^O J a^O 1 1 a 0 = — 1 — lim x ln x = —1 — lim 1 — lim a(ln a — 1) ln x x—)•() x^O 1 x Integrál z neohraničené funkce Příklady: 1 /5 0 dx lim 1 0 dx lim arcsm x /5 0 = arcsin 1 — arcsin 0 \nxdx = lim / \nxdx at—tO lim ľxílnx — 1) Q! 1 — lim a(ln a — 1) 0 Q! In x = — 1 — lim x ln x = —1 — lim —r- = — 1 — lim x x^O x^O 1 x x^-0--\ x Integrál z neohraničené funkce Příklady: 1 /5 0 dx lim 1 0 áx lim arcsm x /5 0 = arcsin 1 — arcsin 0 ln xdx = lim / ln xdx at—tO lim ľxílnx — 1) 1 — lim a(ln a — 1) 0 Q! lnx = — 1 — lim x lnx = —1 — lim —r— = — 1 — lim x x^O x^O 1 x x^-0--\ x