Škola úpravy výrazu V následujících úlohách Vám zkusím představit různé užitečné typy úprav a rovnou poskytnout jednoduché úlohy, na nichž byste si je mohli procvičit. Složitější výrazy pak často můžete upravit tím, že použijete těchto prvků několik po sobě. Roznásobení. Mám-li součin součtu s čímkoli jiným, např. (a + b + c)x, můžu ho zapsat jako součet, v němž je každý sčítanec postupně násoben tím druhým činitelem. Takže zde by to bylo ax + bx + cx. Funguje to pro libovolný počet sčítanců. i. (a + b)(c + d); 2. (a + b)2 (tj. (a + b)(a + b)); 3. (a — b)2; 4. (a — b)(a — d) — (a + b)(a + d); 5. (a + b + i)(c +i) + {a + b- i)(i - c). Vytknutí. Jde o opačný postup k roznásobení: vidím-li například ax + bx + cx, můžu x „vytknout" a převést to zpět na součin (a + b + c)x. Občas je ale možného vytknutí trochu těžké si povšimnout. i.ab+ac—2a; 2.x2y3+y2x3; 3. x2+ xxy -\-y2 (viz bod 2 předchozí úlohy); 4.ab+ac+bd+cd (vytkněte zvlášť z prvních a druhých dvou); 5. xy3 + yx3 + ix2y2. 3 Zkusíme přepsat na součin a2 — b2. Pomůžeme si trikem: doprostřed přidáme — ab + ab. To je nula, takže tím se nic nezmění, ale pak máme a2 — ab + ab — b2. Vytkněte z prvních i druhých dvou členů a třetím vytknutím přepis na součin dokončete. Krácení ve zlomcích. Přejdeme k počítání se zlomky. Jelikož zlomek je prostě podíl čitatele a jmenovatele, je jasné, že pokud obojí násobíme týmž číslem, výsledek se nezmění. Proto můžeme stejný nenulový činitel v čitateli i jmenovateli odstranit. Třeba můžu psát a (č+d) = 7+ď — °bou a se můžu zbavit. To funguje jen pro součiny!! abc ab+ac a2+ab a^+za+i a(b+cý bc+c2' 3* a2-b2' 4* az-i ' ý Rozšíření ve zlomcích. Je to opačný proces ke krácení — čitatele i jmenovatele zlomku vynásobíme týmž nenulovým číslem. Upotřebíme ho často při zacházení s odmocninami společně se vztahem pro a2 — b2 ze čtvrté úlohy. V následujících bodech zkuste „usměrnit zlomky" — odstranit odmocniny ze jmenovatelů. 1 1 JW 1 6 Sčítání zlomků. Důležité je, že bezprostředně sčítat (a odčítat) se smí jen zlomky se stejným jmenovatelem. Pak platí 7 + 7 = Upravte: az___zab 1 bz ab . ac a2-b2 a2-b2 a2-b2' * b+c \ b+c' Pokud jsou jmenovatele různé, musíme oba zlomky rozšířit tak, aby se staly stejnými. Třeba takto: sčítáme-li | + |, rozšíříme druhý zlomek dvěma a dostaneme § + §• Zde už můžeme sečíst, protože jsou jmenovatelé stejní, a dostaneme \ = \- a _ b_ a _|_ a <£_i_£ /i i+x , 1—x Rozklad zlomku na součet. Jde o opačný proces ke sčítání. Pokud máme například ab+bc ab můžeme to rozbít na součet dvou zlomků se stejným jmenovatelem: ^ +1| = 1 + £. To NEFUNGUJE se jmenovatelem!! 1. gi7 (napište n - 1 = (n + 1) - 2); 2. ^± (zkuste obdobně); 3. (napište 1 = (n + 1) - n); 4. (využijte toho, že 3 = («2 + n + 1) - (n + 2)(« - 1)). Odpovědi i. ac + ad + bc + bd; 2. a2 + xab + b2; 3. <22 — xab + b2 (všimněte si, že u b2 je zase plus!); 4. Tady se po roznásobení několik sčítanců vyruší, další se zas sečtou a zůstane — iab — iad; 5. Tady je to vyrušení ještě markantnější. Zbude 2a + ib + ic. 1. a(b-\-c — 2); 2.x2y2(x+y); 3je to vlastně ^H-x^+xy+j'2 = x(x -\-y) +y(x -\-y) = = (x+y)(x+y) = (x-\-y)2; 4.a(b+c)+d(b+c) = (a+d)(b+c); $.xy(y2 -\-x2 -\-ixý) = xy{x-\-y)2. 3 Máme a2 — ab + ab — b2 = a(a — b)-\- b(a — b) = (a + b)(a — b). aia+b) _ g i- TT- (vtom už nelze krátit!); 2. af,+c\ = 7; b+c v n c[b+c) c (a+if _ a+i (a+b)(a-b) a-b> (a+i)(a—i) a—i' 1.2 — vT; 2.3 + 2V21; 3. ^3(5 + 2vT)' = V6 + 5vT'; 4- Zkusme se nejdřív zbavit té vT tím, že rozšíříme 1 + V21 — vT- Vznikne (I+^2_3 = I+2^+^_3 • Jaké štěstí! Ve jmenovateli zůstane jen 2V21. Rozšiřme tedy ještě V21 a máme (' bd ' (i+x)2+(i-x)2 (1— x)(i+x) Tady můžeme roznásobit a obdržet 2^^-. Budeme se zařizovat podle nápověd v závorkách. 1. = 2 = 1 — 2. V čitateli chceme přidat ke in něco tak, aby vznikl násobek jmenovatele, tj. n — 2. Zřejmě tedy máme přičíst —4. Totéž ale musíme zas odečíst — hodnotu zlomku nesmíme změnit! Takže získáme 2^-4+4+1 _ 2«-4 , _J_ _ , _J_ Má (»+i)-» _ I _ n—2 n—2 ' n—2 A ' n—2' * 1Vi£llllc n(n-^^ n ! {n2+n+i)-{n+2){n-i) _ i_i__i n+z 3 (nz+n+i)(n— i) j__ 4. Zlomek je roven 3 n— 1 3W2+W+I-