Odpovědi a řešení k úlohám na komplexní čísla
1 Uděláme to, co se po nás chce, a vytkneme takto:
e𝔦𝜑
+ e𝔦𝜓
= e𝔦
𝜑+𝜓
2 [e𝔦
𝜑−𝜓
2 + e−𝔦
𝜑−𝜓
2 ]
(nevěříte-li, roznásobte si závorku napravo). Podle Eulerových vzorců platí 1
2(e𝔦𝑥
+ e−𝔦𝑥
) = cos 𝑥 a závorka
v našem výrazu má přesně ten tvar. Místo ní tedy můžeme napsat 2 cos
𝜑−𝜓
2 a skutečně dostaneme
e𝔦𝜑
+ e𝔦𝜓
= 2e𝔦
𝜑+𝜓
2 cos
𝜑 − 𝜓
2
= 2 cos
𝜑 − 𝜓
2
[cos
𝜑 + 𝜓
2
+ 𝔦 sin
𝜑 + 𝜓
2
] .
Exponenciály vlevo také můžeme rozložit na reálnou a imaginární část. Tak dostaneme
cos 𝜑 + cos 𝜓 + 𝔦 (sin 𝜑 + sin 𝜓) = 2 cos
𝜑 − 𝜓
2
[cos
𝜑 + 𝜓
2
+ 𝔦 sin
𝜑 + 𝜓
2
] .
Musí se rovnat zvlášť reálné a zvlášť imaginární části, takže dostáváme
cos 𝜑 + cos 𝜓 = 2 cos
𝜑 − 𝜓
2
cos
𝜑 + 𝜓
2
,
sin 𝜑 + sin 𝜓 = 2 cos
𝜑 − 𝜓
2
sin
𝜑 + 𝜓
2
.
2 Podle Eulerových vzorců můžeme psát
cos
𝛼
2
=
e𝔦𝛼/2
+ e−𝔦𝛼/2
2
=
e−𝔦𝛼/2
2
(e𝔦𝛼
+ 1).
Zapíšeme tak všechny tři kosiny a dostaneme
4 cos
𝛼
2
cos
𝛽
2
cos
𝛾
2
=
1
2
e−𝔦(𝛼+𝛽+𝛾)/2
(e𝔦𝛼
+ 1)(e𝔦𝛽
+ 1)(e𝔦𝛾
+ 1).
Máme (𝛼 + 𝛽 + 𝛾)/2 = 𝜋/2, a tak ta exponenciála před závorkou je prostě jen 1/𝔦. Roznásobením všech
tří závorek dostaneme
4 cos
𝛼
2
cos
𝛽
2
cos
𝛾
2
=
1
2𝔦
[e𝔦(𝛼+𝛽+𝛾)
+ e𝔦(𝛼+𝛽)
+ e𝔦(𝛽+𝛾)
+ e𝔦(𝛾+𝛼)
+ e𝔦𝛼
+ e𝔦𝛽
+ e𝔦𝛾
+ 1] .
Použitím e𝔦(𝛼+𝛽+𝛾)
= −1, e𝔦(𝛼+𝛽)
= −e𝔦𝛾
atd. se monstrvýraz v závorce poněkud zjednoduší:
4 cos
𝛼
2
cos
𝛽
2
cos
𝛾
2
=
1
2𝔦
[−1 − e−𝔦𝛾
− e−𝔦𝛼
− e−𝔦𝛽
+ e𝔦𝛼
+ e𝔦𝛽
+ e𝔦𝛾
+ 1] = sin 𝛼 + sin 𝛽 + sin 𝛾,
protože podle Eulerových vzorců platí 1
2𝔦(e𝔦𝛼
− e−𝔦𝛼
) = sin 𝛼 atd.
3 Stačí si uvědomit, že arc tg 1
5 = arg(5 + 𝔦) a arc tg −1
239 = arg(239 − 𝔦). Proto musíme spočítat
(5 + 𝔦)4
(239 − 𝔦) = (625 + 500𝔦 − 150 − 20𝔦 + 1)(239 − 𝔦) = (476 + 480𝔦)(239 − 𝔦).
Jestli má být argument tohoto čísla 𝜋/4, jak se to říká v zadání, tak musí být reálná část tohoto součinu
stejná jako imaginární. To buď ověříme snadno na kalkulačce, nebo se na to můžeme podívat takto:
reálná je 476⋅239+480, imaginární je 480⋅239−476. Odečtu je od sebe a dostanu 4⋅239−956, a tady
se lze už i z hlavy přesvědčit, že rozdíl je skutečně nula a proto je 𝕽𝖊 = 𝕴𝖒.
4 Uděláme, co se po nás v zadání žádá. Dosadíme 𝑥 = e𝔦𝜑
a ještě to všechno přenásobíme e𝔦𝛼
.
Tím obdržíme
e𝔦𝛼
[1 + e𝔦𝜑
+ e2𝔦𝜑
+ ⋯ + e(𝑛−1)𝔦𝜑
] = e𝔦𝛼 e 𝑛𝔦𝜑
− 1
e𝔦𝜑 − 1
.
Ve zlomku vytknu v čitateli e 𝑛𝔦𝜑/2
, ve jmenovateli e𝔦𝜑/2
, a tím skutečně získám
exp [𝔦 (𝛼 +
𝑛 − 1
2
𝜑)] ⋅
e 𝑛𝔦𝜑/2
− e−𝑛𝔦𝜑/2
e𝔦𝜑/2 − e−𝔦𝜑/2
,
přičemž podle Eulerových vzorců platí e𝔦𝑥
− e−𝔦𝑥
= 2𝔦 sin 𝑥. 2𝔦 se pokrátí a zůstane skutečně
e𝔦𝛼
+ e𝔦(𝛼+𝜑)
+ e𝔦(𝛼+2𝜑)
+ ⋯ + e𝔦(𝛼+(𝑛−1)𝜑)
= exp [𝔦 (𝛼 +
𝑛 − 1
2
𝜑)]
sin
𝑛𝜑
2
sin
𝜑
2
.
Pak už stačí vzít reálnou a imaginární část a dostat
cos 𝛼 + cos(𝛼 + 𝜑) + cos(𝛼 + 2𝜑) + ⋯ + cos[𝛼 + (𝑛 − 1)𝜑] = cos (𝛼 +
𝑛 − 1
2
𝜑)
sin
𝑛𝜑
2
sin
𝜑
2
,
sin 𝛼 + sin(𝛼 + 𝜑) + sin(𝛼 + 2𝜑) + ⋯ + sin[𝛼 + (𝑛 − 1)𝜑] = sin (𝛼 +
𝑛 − 1
2
𝜑)
sin
𝑛𝜑
2
sin
𝜑
2
.
5 Protože e𝔦𝑥
= cos 𝑥 + 𝔦 sin 𝑥, je opravdu zjevně 𝕴𝖒 e𝔦𝑥
𝕽𝖊 e𝔦𝑥 = sin 𝑥
cos 𝑥 = tg 𝑥. No a protože máme
e𝔦(𝜑+𝜓)
= cos 𝜑 cos 𝜓(1 + 𝔦 tg 𝜑)(1 + 𝔦 tg 𝜓) = cos 𝜑 cos 𝜓 [1 − tg 𝜑 tg 𝜓 + 𝔦(tg 𝜑 + tg 𝜓)] ,
zjistíme skutečně, že
tg(𝜑 + 𝜓) =
𝕴𝖒 e𝔦(𝜑+𝜓)
𝕽𝖊 e𝔦(𝜑+𝜓)
=
cos 𝜑 cos 𝜓(tg 𝜑 + tg 𝜓)
cos 𝜑 cos 𝜓(1 − tg 𝜑 tg 𝜓)
=
tg 𝜑 + tg 𝜓
1 − tg 𝜑 tg 𝜓
.
U tří úhlů bude podobně
e𝔦(𝑎+𝑏+𝑐)
= cos 𝑎 cos 𝑏 cos 𝑐(1 + 𝔦 tg 𝑎)(1 + 𝔦 tg 𝑏)(1 + 𝔦 tg 𝑐).
Co bude obsahovat reálná část součinu těch tří závorek? Zřejmě činitele, kde není žádné 𝔦 (ten je jen
jeden.1⋅1⋅1),apakty,kteréobsahujídvě 𝔦,takžesevsoučinuobjeví 𝔦2
= −1.Tyjsoutři:tg 𝑎 tg 𝑏,tg 𝑏 tg 𝑐
a tg 𝑐 tg 𝑎 — všechny součiny po dvou. Naopak imaginární část obsahuje všechny součiny s jedním 𝔦 (ty
jsouzasetři,atotg 𝑎,tg 𝑏atg 𝑐),apaktystřemi 𝔦(tenjejeden:tg 𝑎 tg 𝑏 tg 𝑐,anavíc 𝔦3
= −𝔦).Podělením
dostaneme
tg(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) =
tg 𝑎 + tg 𝑏 + tg 𝑐 − tg 𝑎 tg 𝑏 tg 𝑐
1 − tg 𝑎 tg 𝑏 − tg 𝑏 tg 𝑐 − tg 𝑐 tg 𝑎
.
Už je Vám asi jasné, podle jakého vzoru to bude pokračovat u většího počtu úhlů. V čitateli bude
imaginárníčást,kterábudeobsahovatsoučinyslichýmpočtem 𝔦,tedysoučetsoučinůpojednom,mínus
(𝔦2
= −1)součetsoučinůpotřech,plussoučetsoučinůpopětí,atakfurt,zatovejmenovatelibudereálná
část: 1 mínus součet součinů po dvou plus součet součinů po čtyřech a tak furt. Dá se to zapsat třeba nějak
takhle:
tg(𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛) =
𝑆1 − 𝑆3 + 𝑆5 − 𝑆7 + ⋯
1 − 𝑆2 + 𝑆4 − 𝑆6 + ⋯
,
kde 𝑆𝑘 je součet všech možných součinů tangent po 𝑘 a v čitateli i ve jmenovateli se objevují další a další
členy se střídavými znameními až do 𝑆𝑛.
6 Vektor z bodu e𝔦𝜓
do bodu e𝔦𝜑1 můžu zapsat jako e𝔦𝜑1 −e𝔦𝜓
, a podobně zapíšu i vektor z e𝔦𝜓
do
e𝔦𝜑2. Obě tato čísla budou v polárním tvaru vypadat jako 𝑟1e𝔦𝛼1, resp. 𝑟2e𝔦𝛼2 (pro nějaké 𝑟1,2 a 𝛼1,2). Takže
pokud chci rozdíl úhlů mezi těmito vektory, musím je podělit a dostanu
e𝔦𝜑2 − e𝔦𝜓
e𝔦𝜑1 − e𝔦𝜓
=
𝑟2
𝑟1
e𝔦(𝛼2−𝛼1)
.
Z toho výsledku mě zajímá jen 𝛼2 − 𝛼1 v exponenciále, zatímco podíl velikostí je mi úplně jedno. Proto
vezmeme argument, který nám právě ten úhel vytáhne, a mám
𝛼2 − 𝛼1 = arg
e𝔦𝜑2 − e𝔦𝜓
e𝔦𝜑1 − e𝔦𝜓
.
No a teď udělám to, co už tu bylo mockrát: v čitateli vytknu exp 𝔦
𝜑2+𝜓
2 , ve jmenovateli exp 𝔦
𝜑1+𝜓
2 , čímž
dostanu
arg
e𝔦𝜑2 − e𝔦𝜓
e𝔦𝜑1 − e𝔦𝜓
= arg (e𝔦(𝜑2−𝜑1)/2 e𝔦
𝜑2−𝜓
2 − e−𝔦
𝜑2−𝜓
2
e𝔦
𝜑1−𝜓
2 − e−𝔦
𝜑1−𝜓
2
) = ⋯
Využijeme toho, že argument součinu je součet argumentů:
⋯ =
𝜑2 − 𝜑1
2
+ arg
2𝔦 sin
𝜑2−𝜓
2
2𝔦 sin
𝜑1−𝜓
2
=
𝜑2 − 𝜑1
2
+ arg
sin
𝜑2−𝜓
2
sin
𝜑1−𝜓
2
.
Ten podíl sinů je už ale reálný, takže jeho argument může být buď nula (pokud je ten podíl kladný),
nebo 𝜋 (pokud je záporný). Na ničem kromě znamení tohoto podílu už nezáleží. Když se to rozmyslí,
je vidět, že to 𝜋 se přičítá, pokud je e𝔦𝜓
„mezi“ e𝔦𝜑1 a e𝔦𝜑2 (v tom smyslu, že je mezi nimi na té straně,
kde je mezi těmito dvěma body kratší oblouk).