1 Aproximujte do prvního řádu konstantní funkci 𝑓(𝑥) = 𝑐. Ukažte, že derivace konstantní
funkce je vždy 0.
2 Ukažte,žederivacejelineární.Tedyžepokud 𝛼a 𝛽jsoukonstanty,platí(𝛼𝑓+𝛽𝑔)′
= 𝛼𝑓′
+𝛽𝑔′
.
3 Mějme funkce 𝑓(𝑥) a 𝑔(𝑥). Uvažme jejich součin 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥). Pomocí derivací 𝑓 a 𝑔
aproximujte do prvního řádu výraz 𝐹(𝑥+ 𝜖). Z toho zjistěte derivaci 𝐹′
(𝑥). Výslednému vztahu se někdy
říká Leibnizovo pravidlo.
4 Mějme opět funkce 𝑓(𝑥) a 𝑔(𝑥), ale teď budou vnořené do sebe takto: 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)). Aproximujte
do prvního řádu výraz 𝐹(𝑥+𝜖). Opět zjistěte derivaci 𝐹′
. Tomuto vztahu se říká řetězové pravidlo.
5 Nakonec si dokážeme tzv. větu o inversní funkci. Pro každou funkci 𝑓 máme d𝑓 = 𝑓′
(𝑥) d𝑥.
Řekněme, že teď budeme naopak považovat 𝑥 za funkci 𝑓. Vyjádřete d𝑥 v závislosti na d𝑓. Zjistěte
derivaci takové inversní funkce.
6 Aproximujte do prvního řádu (𝑥 + 𝜖) 𝛼
, kde 𝛼 je jakákoli reálná konstanta. Zjistěte z toho
derivaci funkce 𝑥 𝛼
.
7 Na tabuli jsme ukázali, že sin 𝜖 = 𝜖. Na základě toho zjistěte:
1. čemu je do prvního řádu roven cos 𝜖; 2. derivace sinu a kosinu v bodě 𝑥 = 0; 3. derivace sinu
a kosinu v jakémkoli bodě (rozepište sin(𝑥 + 𝜖) a cos(𝑥 + 𝜖) podle součtových vzorců).
8 Derivujte tg 𝑥 jako součin sin 𝑥 ⋅ 1
cos 𝑥. Na druhý činitel použijte řetězové pravidlo. Ukažte, že
výsledek lze zapsat buď ve tvaru 1
cos2 𝑥, nebo ve tvaru 1 + tg2
𝑥.
9 Pomocí věty o inversní funkci a předchozích dvou úloh derivujte funkce:
1. arc sin 𝑥; 2. arc cos 𝑥; 3. arc tg 𝑥.
10 Na tabuli jsme rovněž ukázali, že do prvního řádu platí ln(1 + 𝜖) = 𝜖. Pomocí toho zjistěte:
1. čemu je rovno ln(𝑥 + 𝜖) a jaká je derivace logaritmu v obecném bodě 𝑥;
2. pomocí věty o inversní funkci zjistěte derivaci funkce e 𝑥
v obecném bodě;
3. pomocí této derivace do prvního řádu aproximujte e𝜖
.
1 Vypočtěte derivace následujících funkcí — měla by Vám stačit pravidla o derivaci součtu a součinu.
𝑎 a 𝑏 jsou reálné konstanty.
1.
1
𝑥
+
2
𝑥2 +
3
𝑥3 ; 2. (𝑥− 𝑎)(𝑥− 𝑏); 3.
𝑥 − sin 𝑥 cos 𝑥
2
; 4. 𝑥2√ 𝑥 − 𝑥
3
√ 𝑥2 ; 5. (1−√ 𝑥 )(1+ 𝑥);
6. −
𝑥
2
+
1 + 𝑥2
2
arc tg 𝑥; 7. (𝑥 + 1)(𝑥 + 2)2
(𝑥 + 3)3
; 8. 𝑥2
e 𝑥
sin 𝑥;
2 Už víme, že (1
𝑥)′
= − 1
𝑥2 :
1. Pomocí řetězového pravidla spočtěte ( 1
𝑔(𝑥)
)
′
, kde 𝑔(𝑥) je libovolná funkce.
2. Spočtěte též (
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
)
′
. (Derivujte jako součin 𝑓(𝑥) ⋅ 1
𝑔(𝑥)
.)
3 Pomocí pravidla z minulého bodu derivujte následující funkce:
1. tg 𝑥; 2.
𝑥2
− 1
𝑥2 + 1
; 3.
𝑥 ln 𝑥
1 + ln 𝑥
; 4.
3
√1 + 𝑥
1 − 𝑥
; 5.
(1 − 𝑥) 𝑎
(1 + 𝑥) 𝑏
.
4 Pomocí věty o inversní funkci nalezněte derivace následujících funkcí:
1. √𝑥 ; 2. arc tg 𝑥 (nápověda: dokažte 1
cos2 𝑥 = 1 + tg2
𝑥); 3. 𝑊(𝑥), což je funkce inversní k 𝑥e 𝑥
.
5 Na tyto příklady už bude potřeba i řetězové pravidlo (derivace složené funkce):
1. ln cos 𝑥; 2. 2𝑥 − (1− 𝑥2
) ln
1 + 𝑥
1 − 𝑥
; 3. ln(ln(ln 𝑥)); 4.
𝑥2
4
−
𝑥
4
sin 2𝑥−
cos 2𝑥
8
; 5.
cos 𝑥
2 sin2
𝑥
;
6. tg4
𝑥 − 2 tg2
𝑥 − 4 ln cos 𝑥; 7. arc ctg√1 − 𝑥2 ; 8. 𝑥(arc sin 𝑥)2
+ 2√1 − 𝑥2 arc sin 𝑥 − 2𝑥;
9. esin 𝑥+cos 𝑥
; 10. 2tg 𝑥
; 11. e√𝑥
(√ 𝑥 − 1); 12. 𝑥(𝑎 𝑎
)
+ 𝑎(𝑥 𝑎
)
+ 𝑎(𝑎 𝑥
)
.
6 Zkuste také tyto ještě zákeřnější příklady:
1. e 𝑎𝑥 𝑎 sin 𝑏𝑥 − 𝑏 cos 𝑏𝑥
𝑎2 + 𝑏2 ; 2.
arc sin 𝑥
√1 − 𝑥2
+
1
2
ln
1 − 𝑥
1 + 𝑥
; 3.
1
2√ 𝑎𝑏
ln
√𝑎 + 𝑥√ 𝑏
√𝑎 − 𝑥√ 𝑏
;
4.
2
√ 𝑎2 − 𝑏2
arc tg (√ 𝑎 − 𝑏
𝑎 + 𝑏
tg
𝑥
2
); 5.
𝑥
2
√ 𝑥2 + 𝑎2 +
𝑎2
2
ln (𝑥 + √ 𝑥2 + 𝑎2 );
6.
arc cos 𝑥
𝑥
+
1
2
ln
1 − √1 − 𝑥2
1 + √1 − 𝑥2
; 7.
1
4√2
ln
𝑥2
+ 𝑥√2 + 1
𝑥2 − 𝑥√2 + 1
−
1
2√2
arc tg
𝑥√2
𝑥2 − 1
.
7 Někdy je zapotřebí funkci před derivováním trochu přepsat. V následujících příkladech se to
týká mocnin:
1. 𝑥 𝑥
. Tady přepište 𝑥 𝑥
= e 𝑥 ln 𝑥
a pak derivujte; 2. 𝑥(𝑥 𝑥
)
; 3. (sin 𝑥)cos 𝑥
; 4. (ln 𝑥)tg 𝑥
.
8 Samozřejmě můžeme derivovat i výrazy obsahující libovolnou funkci. Řekněme, že 𝑦 je nějaká
funkce 𝑥; pak můžeme například podle řetězového pravidla psát (𝑦2
)′
= 2𝑦⋅𝑦′
(𝑦2
se derivuje na 2𝑦 a 𝑦(𝑥)
je vnitřní funkce, která se derivuje na 𝑦′
). Podobně derivujte i následující výrazy:
1. 𝑥2
⋅ 𝑦; 2. 𝑦 sin 𝑦; 3. e 𝑦
/𝑦; 4. 𝑦3
+ 𝑦2
+ 𝑦.