1 Z rozvojů, které jste už získali dříve ve cvičení, hbitě vypočtěte:
1. lim𝑥→0
sin 𝑥
𝑥
; 2. lim𝑥→0
sin 𝑎𝑥
sin 𝑏𝑥
; 3. lim𝑥→0
(1 + 𝑥)1/𝑥
; 4. lim𝑥→0
1 − cos 𝑥
𝑥2 .
2 Vhodným rozvojem vyčíslete limity:
1. lim𝑥→0
1 + sin 𝑥 − cos 𝑥
1 + sin 𝑎𝑥 − cos 𝑎𝑥
; 2. lim𝑥→0
tg 𝑥 − sin 𝑥
sin3
𝑥
; 3. lim𝑥→0
cos 𝑥 − e−𝑥2
/2
𝑥4 ;
4. lim𝑥→0
1 − cos 𝑥√cos 2𝑥 3
√cos 3𝑥
𝑥2 ; 5. lim𝑥→0
√1 + 𝑥 − √1 − 𝑥
3
√1 + 𝑥 − 3
√1 − 𝑥
; 6. lim𝑥→0
ln cos 𝑎𝑥
ln cos 𝑏𝑥
.
3 Limity, kde jde 𝑥 do nekonečna, můžeme vyčíslit pomocí podobného triku, jaký jsme používali
při rozvojích: jde-li 𝑥 do nekonečna a je tedy velmi velké, pak 1/𝑥 je určitě velmi malé. Můžeme
pak rozvíjet podle 1/𝑥.
1. lim𝑥→∞
(1 +
1
𝑥
)
𝑥
; 2. lim𝑥→∞
(√(𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) − 𝑥); 3. lim𝑥→∞
(3
√ 𝑥3 + 3𝑥2 − √ 𝑥2 − 2𝑥 );
4 Nakonec můžeme vyčíslovat i limity, kde 𝑥 jde k nějakému jinému číslu než nule či nekonečnu.
Prostě stačí vhodně 𝑥 nahradit jinou proměnnou tak, aby ta jiná proměnná šla už do nuly.
Vyzkoušejte si to na následujících příkladech:
1. lim𝑥→4
√2𝑥 + 1 − 3
√𝑥 − 2
; 2. lim𝑥→𝑎
√𝑥 − √𝑎 + √𝑥 − 𝑎
√ 𝑥2 − 𝑎2
; 3. lim𝑥→1
(
𝑚
1 − 𝑥 𝑚 −
𝑛
1 − 𝑥 𝑛 ); 4. lim𝑥→𝑎
ln 𝑥 − ln 𝑎
𝑥 − 𝑎
.