Technické věci
1 V naší definici integrálu
𝑏
∫
𝑎
d𝑓 = 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) použijte následující pravidla pro diferenciály:
1. d(𝛼𝑓 + 𝛽𝑔) = 𝛼d𝑓 + 𝛽d𝑔 (kde 𝛼, 𝛽 jsou konstanty) a dokažte tím linearitu integrálu;
2. d(𝑓𝑔) = 𝑓d𝑔 + 𝑔d𝑓. Vyjádřete
𝑏
∫
𝑎
𝑓 d𝑔 a odvoďte pravidlo per partes;
3. d𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓′
(𝑔(𝑥)) ⋅ 𝑔′
(𝑥) d𝑥 a odvoďte pravidlo o substituci.
2 Vysvětlete pomocí naší definice, proč se při prohození mezí změní znaménko integrálu.
Počítání
3 Vypočtěte: 1.
2
∫
1
d𝑥
√𝑥
; 2.
𝜋/4
∫
0
cos 𝑥 d𝑥; 3.
5
∫
0
e 𝑥
d𝑥; 4.
∞
∫
0
d𝑥
1 + 𝑥2 ; 5.
1
∫
0
d𝑥
√1 − 𝑥2
.
4 S pomocí lineární substituce vypočtěte následující integrály (𝑎 je konstanta):
1.
2𝑎
∫
𝑎
d𝑥
𝑥 + 𝑎
; 2.
1
∫
0
(2𝑥−3)10
d𝑥; 3.
2/5
∫
0
d𝑥
√2 − 5𝑥
; 4.
∞
∫
−∞
d𝑥
𝑥2 + 𝑎2 ; 5.
√ 𝑎/𝑏
∫
0
d𝑥
√ 𝑎 − 𝑏𝑥2
(𝑎 > 𝑏 > 0);
5 Ukažte, že pro libovolnou (dost slušnou) funkci 𝑓 platí
𝑏
∫
𝑎
𝑓′
(𝑥)
𝑓(𝑥)
d𝑥 = ln ∣
𝑓(𝑏)
𝑓(𝑎)
∣. Pak díky
tomu vypočtěte integrály: 1.
1
∫
0
𝑥 d𝑥
𝑥2 − 4
; 2.
2
∫
1
3𝑥2
− 1
𝑥3 − 𝑥 + 7
d𝑥; 3.
𝜋/4
∫
0
tg 𝑥 d𝑥; 4.
0
∫
−∞
e 𝑥
d𝑥
e 𝑥 + 2
.
6 Pomocí rozkladu v parciální zlomky vyčíslete následující integrály:
1.
5
∫
2
d𝑥
2 − 𝑥 − 𝑥2 ; 2.
4
∫
3
d𝑥
1 − 𝑥2 ; 3.
−3
∫
−5
d𝑥
(𝑥 + 1)(𝑥 − 3)2 ; 4.
5
∫
4
d𝑥
(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)
.