První písemka
1. Písemka je na 30 minut. Během prvních sedmi minut si musíte vybrat dvě úlohy, které
budete řešit, ostatní mi vrátíte!
2. Z celé písemky můžete získat max. 2 body.
Pište prosím VŽDY postupy!Hodnotím primárně postup, ne výsledek. U složitějších
úvah se prosím zkuste vyjadřovat v celých větách.
1 Co nejvíc upravte výraz
1
(𝑥 + √ 𝑥2 + 1 − √4𝑥2 + 1 )
2 +
1
(𝑥 − √ 𝑥2 + 1 − √4𝑥2 + 1 )
2 . [1 bod]
2 Každý trojúhelník se stranami 𝑎, 𝑏, 𝑐 a úhly 𝛼, 𝛽, 𝛾 musí splnit kosinovou větu: 𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
−
− 2𝑏𝑐 cos 𝛼. Označme 𝑠 = 𝑎+𝑏+𝑐
2 .
1. Ukažte, že platí sin 𝛼
2 = √(𝑠−𝑏)(𝑠−𝑐)
𝑏𝑐
, cos 𝛼
2 = √ 𝑠(𝑠−𝑎)
𝑏𝑐
a tg 𝛼
2 = √(𝑠−𝑏)(𝑠−𝑐)
𝑠(𝑠−𝑎)
. [½ bodu]
2. Pro plochu trojúhelníka platí 𝑆 = 1
2 𝑏𝑐 sin 𝛼. Použijte vztahy získané v předchozím bodě a odvoďte
z toho Heronův vzorec 𝑆 = √ 𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐) . [½ bodu]
3 Ve starém Egyptě zlomky nezapisovali ve tvaru 𝑎
𝑏
jako my; místo toho všechny zlomky mezi 0
a 1 psali jako součet zlomků ve tvaru 1/𝑛 (pro 𝑛 ≥ 2 přirozené). Ale každý takový zlomek se směl použít
jen jednou. Takže např. číslo 2
3 se nepsalo jako 1
3 + 1
3, ale třeba jako 1
2 + 1
6.
1. Dokažte, že každý zlomek 1
𝑛 lze zapsat také jako 1
𝑛+1 + 1
𝑛(𝑛+1)
. [½ bodu]
2. Zapište tato čtyři čísla jako součet různých zlomků 1/𝑛 (𝑛 ≥ 2 přirozené): 2
7; 3
5; 5
9; 1. [1 bod celkem]
3. Dokažte, že jedno a totéž číslo může mít několik různých zápisů v tomto tvaru a že zápis tedy není
jednoznačný. (Nápověda: Zkuste najít např. druhý způsob, jak zapsat číslo 2
3. Viz bod 1.) [½ bodu]
4 Dvě rovné silnice se křižují pod úhlem 𝜔. Po každé z nich
jede konstantní rychlostí vozidlo.
1. Ukažte, že vidí-li řidič jednoho vozidla to druhé vozidlo stále ve stejném
směru, obě vozidla se srazí. [1 bod]
2. Křižovatky s malým 𝜔 mohou být nebezpečné pro cyklisty, protože
to auto, které je podle bodu 1 srazí, může být celou dobu za jejich zády. Jaký aspoň musí být úhel 𝜔, aby
se to nestalo? Počítejte, že cyklisté jezdí rychlostí 𝑣1, auta rychlostí 𝑣2 a za zády cyklisty je vše, co se od
směru jeho jízdy odchyluje víc než o 90° vlevo či vpravo (viz obrázek). [1 bod]
5 Dokažte, že platí 4 cos 𝑎 cos 𝑏 cos 𝑐 = cos(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) + cos(𝑎 + 𝑏 − 𝑐) + cos(𝑏 + 𝑐 − 𝑎) +
+ cos(𝑐 + 𝑎 − 𝑏). Nápověda: Využijte Eulerův vzorec cos 𝑥 = 1
2(e𝔦𝑥
+ e−𝔦𝑥
). [1 bod]
6 Mějme v komplexní rovině trojúhelník s vrcholy v bodech (tj. komplexních číslech) 𝛢, 𝛣 a 𝐶.
Označíme v tomto trojúhelníku jako obvykle délky stran 𝑎, 𝑏, 𝑐 a úhly 𝛼, 𝛽, 𝛾. Ukažte, že platí
𝛣 − 𝛢
𝛢 − 𝐶
= −
𝑐
𝑏
e−𝔦𝛼
,
𝐶 − 𝛣
𝛣 − 𝛢
= −
𝑎
𝑐
e−𝔦𝛽
,
𝛢 − 𝐶
𝐶 − 𝛣
= −
𝑏
𝑎
e−𝔦𝛾
,
a pomocí těchto vzorců dokažte, že součet úhlů v každém rovinném trojúhelníku je roven 𝜋. [2 body]