\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def \Z{\mathbb Z}
\def\N{\mathbb N}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\def\d{\operatorname{dist}}
\def\i{\operatorname{i}}
\begin{document}
 
\parindent=0pt
\begin{center}
{\bf  1. cvičení z M1110 -- komplexní čísla, podzim 2024}
\end{center}

\bigskip
%příklad 1
\begin{zad}{\bf 1.\ } Číselné množiny, se kterými budeme počítat, jsou přirozená čísla $\mathbb N$, celá čísla $\mathbb Z$, racionální čísla $\mathbb Q$
a reálná čísla $\mathbb R$. Stručně si připomeňte vlastnosti sčítání a násobení na jednotlivých množinách. 
\end{zad}

\bigskip
%příklad 2
\begin{zad}{\bf 2.\ } {\bf Zavedení komplexních čísel $\C$.} 
Pro každé reálné číslo $x$ platí, že $x^2\ge 0$. Proto neexistuje reálné číslo s vlastností $x^2=-1$.

Základní myšlenka zavedení komplexních čísel: Chceme rozšířit množinu reálných čísel a operace sčítání a násobení tak, aby
\begin{enumerate}
\item rovnice $x^2=-1$ měla řešení,
\item sčítání a násobení komplexních čísel mělo stejné vlastnosti jako sčítání a násobení reálných čísel. 
\end{enumerate}

To lze realizovat takto:
\begin{enumerate}
\item[a)] K reálným číslům přidáme číslo $\i $, takové že $\i^2=-1$.
\item[b)] Dále přidáme všechny reálné násobky čísla $\i$, to jsou čísla $a\i$, kde $a\in \R$. S nimi počítáme takto:
$$0\i=0,\quad 1 \i=\i, \quad a\i+b\i=(a+b)\i, \quad (a\i)\cdot (b\i)=ab\i^2=-ab.$$
\item[c)] Dále přidáme všechny možné součty reálných čísel a násobků čísla $\i$, to jsou čísla $a+b\i$, kde $a,b\in\R$. S nimi počítáme podle komutativity a asociativity sčítání a násobení a podle distributivity násobení vzhledem ke sčítání takto:
\begin{align*}
0+b\i&=b\i\\
(a+b\i)+(c+d\i)&=(a+c)+(b+d)\i,\\
 (a+b\i)\cdot (c+d\i)&=ac+ad\i+bc\i+bd\i^2=(ac-bd)+(ad+dc)\i.
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{zad}

\bigskip
%příklad 3
\begin{zad}{\bf 3.\ }  Množina komplexních čísel $\C$ má neutrální prvek pro sčítání a neutrální prvek pro násobení stejný jako množina reálných čísel.

Pro komplexní číslo $z=a+b\i$ definujeme komplexní číslo sdružené $\bar z=a-b\i$. 
\begin{enumerate}
\item Vypočtěte $z+\bar z$ a $z\cdot \bar z$. Na základě toho ukažte, že obě tato čísla jsou reálná. Definujeme absolutní hodnotu čísla $z$ jako 
$$|z|=\sqrt{z\cdot \bar z}=\sqrt{a^2+b^2}.$$
\item Dokažte, že pro absolutní hodnoty komplexních čísel $z$ a $v$ platí 
$$|z+v|\le |z|+|v| \quad\text{ a }\quad |z\cdot v|=|z|\cdot |v|.$$
\item K nenulovému komplexnímu číslu $z=a+b\i$ vypočtěte jeho převrácené číslo. Jednak pomocí $z$ a $\bar z$, jednak pomocí $a$ a $b$.
\item Spočtěte podíl dvou komplexních čísel, $a+b\i$ děleno $c+d\i$, je-li $c+d\i\ne 0$.
\item Pro každé reálné číslo $a$ najděte všechna komplexní řešení rovnice
$$z^2=a.$$
\end{enumerate}
\end{zad}

\newpage
\begin{zad}{\bf 4.\ }  Spočítejte
\begin{enumerate}
\item $(3-4i)(5+6i)$, $(7+3i)(4+6i)$, $(1+2i)(-6+11i)$.
\medskip
\item $\displaystyle\frac{3-4i}{5+6i}$, $\displaystyle\frac{7+3i}{4+6i}$, $\displaystyle\frac{1+2i}{-6+11i}$
\end{enumerate}

\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 5.\ } Uvažujme kvadratickou rovnici s reálnými koeficienty
$$ax^2+bx+c=0$$
se záporným diskriminantem $D=b^2-4ac<0$. Odvoďte, že v komplexním oboru má řešení
$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \i\sqrt {-D}}{2a}.$$

Pomocí toho vyřešte rovnici $3x^2-4x+6=0$.
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 6.\ } {\bf Goniometrický tvar komplexních čísel.} Každé komplexní číslo $z\ne 0$ lze psát v tzv. goniometrickém tvaru takto:
$$z=a+ib=\sqrt{a^2+b^2}\big(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\i\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\big)=|z|(\cos\alpha+\i\sin\alpha)$$
pro právě jeden úhel $\alpha\in[0,2\pi)$. 

Nakreslete si k tomu obrázek v rovině s reálnou a imaginární osou. Komplexní čísla $\cos\alpha+\i\cos\alpha$ vyplní jednotkovou kružnici. Nazýváme je komplexní jednotky. jejich převrácené číslo je číslo komplexně sdružené, tedy opět komplexní jednotka.

Napište následující komplexní čísla v goniometrickém tvaru:
$$8, -6i, 3+3\i, 5-5\i, 1+\sqrt{3}, -\sqrt{3}+3. $$

\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 7.\ } {\bf Geometrický význam násobení komplexních čísel.} Dokažte, že pro součin komplexních čísel zapasaných v goniometrickém tvaru platí
$$r(\cos\alpha+\i\sin\alpha)\cdot q(\cos\beta+\i\sin\beta)=r\cdot q(\cos(\alpha+\beta)+\i \sin(\alpha+\beta).$$
Na základě toho indukcí dokažte, že pro všechna přirozená čísla platí
$$[r(\cos\alpha+\i\sin\alpha)]^n=r^n(\cos(n\alpha)+\i\sin(n\alpha)).$$
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 8.\ }  {\bf Zobrazení v rovině reprezentovaná komplexními čísly.} Představme si rovinu s počátkem. Komplexní číslo $z=a+b\i$ ztotožníme s bodem
roviny o souřadnicích $[a,b]$. Následudující zobrazení $f:\C\to \C$ interpretujte jako zn8m8 geometrická zobrazení v rovině:
\begin{enumerate}
\item $f(z)=-z$,
\item $f(z)=\bar z$,
\item $f(z)=z+v$, kde $v$ je pevně zvolené komplexní číslo,
\item $f(z)=tz$, kde $t\in \R$ je pevně zvolené číslo,
\item $f(z)=(\cos\varphi+\i\sin\varphi)\cdot z$, kde $\varphi$ je pevně zvolený úhel.
\end{enumerate}
\end{zad}


\bigskip
\begin{zad}{\bf 9$^*$.\ }  V rovině uvažujme vektory začínající v počátku a končící v nenulových komplexních číslech $z=a+b\i$ a $v=c+d\i$. Jak spočítáme pomocí operací s komplexními čísly cosinus a sinus jejich odchylky?
\end{zad}

\begin{navod} Představte si komplexní čísla v goniometrrickém tvaru.
\end{navod} 

\bigskip
\begin{zad}{\bf 10$^*$.\ }  Pomocí zobrazení $f:\C\to\C$ popište symetrii v rovině podle osy, která svírá s osou $x$ úhel $\alpha$.  
\end{zad}

\begin{navod} Osa symetrie je určena komplexním číslem $\cos\alpha+\i \sin\alpha$. Využijte toho, že umíte popsat symetrii podle osy $x$ a skládaní zobrazení.
Osu symetrie nejdříve otočíme do osy $x$, provedeme symetrii podle osy $x$ a výsledek otočíme o úhel $\alpha$.
\end{navod}

\end{document}

