2. cvičení z Ml 110 - soustavy rovnic, podzim 2024
Příklad. 1. Řešte soustavu rovnic
X\	+  2x2 -	f     x3 +	3x4 +	2x5 =	-2
2x1	+    x2 -	f      X3 +	x4 +	3x5 =	1
X\		f    x3 -	x4 +	2x5 =	0
X\	+  2x2 -	f  2x3 +	2x4 +	3x5 =	0
Řešení. Nemá řešení.					
Příklad. 2. Řešte soustavu rovnic					
X\	+  2x2 -	f    x3 -	x4 +	x5 =	0
2x1	+    x2 -	{-  2x3 -	2x4 +	2x5 =	0
		f      X3 -	x4 +	2x5 =	-1
X\	+    x2 -	f  2x3 -	2x4 +	x5 =	1
Řešení. [-1,0,1,0,0] +	s(0,0,l,l,	0)+í(-l,	0,0,0,1)		
Příklad. 3. Řešte soustavu rovnic
2xi — x2 2xi — x2 3xx
2xi   + 2x2
Řešení. Jediné řešení.
Příklad. 4. Řešte soustavu rovnic
X3   — x4
— 3x4
x3   + x4
2x3   + 5x4
1
2
-3 -6
2xi -	3x2 H	17x3 -	29x4 -	36x5 =	22
2xi -	3x2 H	-    18x3 -	27x4 +	33x5 =	21
12xi -	18x3 -\	-   102x3 -	174x4 -	216x5 =	132
2xi -	3x2 H	-     21X3 "	24x4 -	30x5 =	20
2xi -	3x2 H	-    24x3 -	21x4 -	27x5 =	19
□
□
□
Příklad. 5. Řešte soustavu rovnic pro neznámé x, y, z v závislosti na hodnotách parametru
aeR:
x x ax
y
ay
y
az z z
Řešení. Po řádkových úpravách dostaneme
a -^2
Pro a = 1 má soustava nekonečně mnoho řešení závislých na dvou parametrech. Pro a = 2 nemá soustava řešení. Pro ostatní a má jediné řešení. □
1
Příklad. 6. Najděte všechny dvojice parametrů a, b G IR, pro které je množina řešení soustavy rovnic
x  +    y   +   az   = 1 x  +   ay   +   2z   = 1 ax  +    y   +   3z   = b
o neznámých x, y, z G IR
(a) prázdná,
(b) nekonečná.
V druhém případě soustavu vyřešte. Řešení. Po řádkových úpravách dostaneme
'l      1 a 0  a — 1      2 — a ^0     0     5 — a — a
Řešte zvlášť pro a = 1, kdy matice není ve schodovitém tvaru, a pro kořeny polynomu a2 + a-5. □