\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  3. cvičení z M1110 -- násobení matic, podzim 2024}
\end{center}
\bigskip
%příklad 1
\begin{zad}{\bf 1.\ }
Zjistěte, zda jde matice násobit , a pokud ano, vynásobte je.
$$
\begin{pmatrix}
3&5&6&7\\
-2&1&0&5\\
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
2&8\\
-1&-5\\
9&11
\end{pmatrix},\quad 
\begin{pmatrix}
2&8\\
-1&-5\\
9&11
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
3&5&6&7\\
-2&1&0&5\\
\end{pmatrix},
$$
$$
\begin{pmatrix}
2&8&3&21&5
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
2\\
-1\\
9\\
-6\\
3
\end{pmatrix},\quad
\begin{pmatrix}
2\\
-1\\
9\\
-6\\
3
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
2&8&3&21&5
\end{pmatrix}
$$
\end{zad}

\medskip
%příklad 2
\begin{zad}{\bf 2.\ }
Napište nějaké matice tvaru $5\times 4$ a $4\times 3$ a vynásobte je.
\end{zad}

\medskip
%příklad 3
\begin{zad}{\bf 3.\ } Nechť $A=\begin{pmatrix}
0&x&y\\
0&0&z\\
0&0&0
\end{pmatrix}$. Vypočtěte $A^2=A\cdot A$ a $A^3=A\cdot A\cdot A$.
\end{zad}

\medskip
%příklad 4 
\begin{zad}{\bf 4.\ }
Vynásobte následující dvě matice a výsledek vyčíslete s použitím součtových vzorců pro goniometrické funkce 
$$\begin{pmatrix}
\cos\alpha&-\sin\alpha\\
\sin\alpha&\cos\alpha
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
r\cos\beta\\
r\sin\beta
\end{pmatrix}.$$
Na základě toho ukažte, že zobrazení
$$F\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\cos\alpha&-\sin\alpha\\
\sin\alpha&\cos\alpha
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}=
$$
je otočení kolem počátku v rovině o úhel $\alpha$.
\end{zad}

\medskip
%příklad 5
\begin{zad}{\bf 5.\ }
Pro všechny  elementární řádková operace $\operatorname{op}$ na maticích o $k$ řádcích platí $$\operatorname{op}(E_k)\cdot A=\operatorname{op}(A),$$
kde symbol $\operatorname{op}(A)$ znamená provedení operace na matici $A$ tvaru $k\times n$ a $E_k$ je jednotková matice tvaru $k\times k$. Ukažte pro nějakou konkrétní matici $A$. 
\end{zad}

\bigskip
\parindent=0pt
{\bf Následující příklady ukazují aplikace násobení matic.}  

\bigskip
%příklad A
\begin{zad}{\bf A.\ } Mějme orientovaný graf s $n$ uzly.  V něm jsou některé dvojice uzlů spojeny orientovanou hranou. Tomuto grafu můžeme přiřadit matici $A$ tvaru $n\times n$ takovou, že
$A_{ij}=1$, jestliže existuje orientovaná hrana z uzlu $i$ do uzlu $j$, a $A_{ij}=0$, jestliže taková hrana neexistuje. Jaký význam mají prvky matice $A^2$, tj. čísla
$(A^2)_{ij}$. Jaký význam mají prvky matice $A^3$?
\end{zad}

\medskip
%příklad B
\begin{zad}{\bf B. Markovovův proces.} Uvažujme časovou stupnici $t=0, 1, 2, \dots$ a časově proměnný proces, který nabývá stavů $i=1, 2, \dots, n$. Pravděpodobnost, že je proces ve stavu $i$ v čase $t$ je dána číslem $p_i(t)\in [0,1]$. Dále uvažujme matici $M$ tvaru $n\times n$, kde číslo
$M_{ij}\in [0,1]$ je pravděpodobnost, že mezi časem $t$ a $t+1$ přejde proces ze stavu $j$ do stavu $i$. Ukažte, že 
\begin{enumerate}
\item součet prvků v každém sloupci matice $M$ je roven $1$,
\item  platí
$$\begin{pmatrix}p_1(t+1)\\p_2(t+1)\\ \dots  \\p_n(t+1)\end{pmatrix}=M\cdot \begin{pmatrix}p_1(t)\\p_2(t)\\ \dots  \\p_n(t)\end{pmatrix}$$.
\end{enumerate}
Pomocí Markovova procesu řešte {\bf úlohu o mlsném hazardérovi}. Hazardér má dvě kremrole a hází mincí. Padne-li orel vyhrává další kremroli, padne-li panna, musí jednu kremroli vrátit. Hra končí, jestliže má hazardér 5 kremrolí nebo žádnou. Jaká je pravděpodobnost, že hra skončí nejpozději po 4 kolech?

\medskip
\parindent=0pt
{\it Návod:} Popište situaci jako Markovovův proces a napište vhodnou Markovovu matici $M$. Výslednou pravděpodobnost spočítejte pomocí maticového násobení. 
\end{zad}

\medskip
%příklad C
\begin{zad}{\bf C. Leslieho populační model.} Uvažujme populaci o třech generacích. To, jak se mění tato populace mění za délku období jedné generace popisuje tzv. Leslieho matice $L$. Čísla $L_{11}$, $L_{12}$ a $L_{13}$ popisují porodnost první, druhé a třetí generace. Čísla $L_{21}$ a $L_{32}$ udávají postupně, jaká část jedinců první generace přežije do 2. generace a jaká část jedinců 2. generace přežije do 3. generace. Ostatní prvky matice jsou nulové.

Označme $x_i(t)$ počet jedinců $i$-té generace v čase $t$. (Období mezi $t$  a $t+1$ odpovídá výměně generací.) Ukažte, že platí
 $$\begin{pmatrix}x_1(t+1)\\x_2(t+1)\\x_3(t+1)\end{pmatrix}=L\cdot \begin{pmatrix}x_1(t)\\x_2(t)\\x_3(t)\end{pmatrix}$$

\medskip
Napište Leslieho matici pro následující situaci: Farmář chová ovce. Jejich porodnost je dána pouze věkem a je průměrně 2 ovce na jednu ovci mezi jedním a dvěma lety věku, 4 ovce na jednu ovci mezi dvěma a třemi lety věku
a 2 ovce na jednu ovci mezi třemi a čtyřmi roky věku. Ovce do jednoho roku nerodí. Z roku na rok umře vždy polovina ovcí a to rovnoměrně ve všech věkových skupinách. Po~4~letech posílá farmář ovce na jatka. 

\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 6.\ } Matice $A$ a $B$ tvaru $n\times n$ jsou dány předpisem:
$$
A_{ij}=
\begin{cases}
1, &\text{if $i\ge j$,}\\
2, &\text{if $ i< j$,}
\end{cases}
\qquad
B_{ij}=
\begin{cases}
1, &\text{if $i\le j$,}\\
3, &\text{if $ i>j$.}
\end{cases}
$$
Vypočtěte, čemu se rovná jejich součin. 
\end{zad}

\medskip
\parindent=0pt
{\it Návod:} Napište si tyto matice například  pro $n=6$. Zkuste si provést jejich násobení. Pro obecné $n$ spočtěte $(A\cdot B)_{ij}$ zvlášť pro $i\le j$ a pro $i\ge j$.

\medskip
\begin{zad}{\bf 7.\ } Vypočtěte $B^n$, jestliže $B=\begin{pmatrix}
1&2&0\\
0&1&3\\
0&0&1
\end{pmatrix}$. 

\medskip
\parindent=0pt
{\it Návod:} Dokažte indukcí, že $B^n=\begin{pmatrix}
1&2n&3n(n-1)\\
0&1&3n\\
0&0&1
\end{pmatrix}$. 
\end{zad}

\medskip
\begin{zad}{\bf 8.\ } Vypočtěte $C^n=\begin{pmatrix}
1&1&2\\
0&2&0\\
0&0&3
\end{pmatrix}^n$.
\end{zad}

\medskip
\parindent=0pt
{\it Návod:} Spočtěte si $C^2$, $C^3$ a $C^4$. Pomocí toho si udělejte hypotézu, čemu se rovná $C^n$, a tu dokažte indukcí.



\end{document}

