3. cvičení z Ml 110 - násobení matic, podzim 2024
Příklad. 1. Zjistěte, zda jde matice násobit, a pokud ano, vynásobte je.
(2  8  3  21  5) •    9    ,       9     • (2  8  3  21 5) -6 -6
V3/ V3/
Příklad. 2. Napište nějaké matice tvaru 5x4a4x3a vynásobte je.
(0   x y\ 0  0  z\. Vypočtěte A2 = A ■ A a A3 = A ■ A ■ A. 0  0 0/
Příklad. 4. Vynásobte následující dvě matice a výsledek vyčíslete s použitím součtových vzorců pro goniometrické funkce
je otočení kolem počátku v rovině o úhel a.
Příklad. 5. Pro všechny elementární řádková operace op na maticích o k řádcích platí
kde symbol op (A) znamená provedení operace na matici A tvaru k x n a E\. je jednotková matice tvaru k x k. Ukažte pro nějakou konkrétní matici A.
Následující příklady ukazují aplikace násobení matic.
Příklad. A. Mějme orientovaný graf s n uzly. V něm jsou některé dvojice uzlů spojeny orientovanou hranou. Tomuto grafu můžeme přiřadit matici A tvaru nxn takovou, že Aíj = 1, jestliže existuje orientovaná hrana z uzlu i do uzlu j, a = 0, jestliže taková hrana neexistuje. Jaký význam mají prvky matice A2, tj. čísla (A2),^. Jaký význam mají prvky matice A31
Příklad. B. Markovovův proces. Uvažujme časovou stupnici t = 0,1, 2,... a časově proměnný proces, který nabývá stavů i = 1,2,... ,n. Pravděpodobnost, že je proces ve stavu i v čase t je dána číslem Pi(t) E [0,1]. Dále uvažujme matici M tvaru nxn, kde číslo Mi j E [0,1] je pravděpodobnost, že mezi časem t a t + 1 přejde proces ze stavu j do stavu i. Ukažte, že
Na základě toho ukažte, že zobrazení
op(Ek) ■ A = op(A)
2
(1) součet prvků v každém sloupci matice M je roven 1,
(2) platí
p2(* + l)    =M. p2(í)
\pn(r+l)/ \Pn(t)J
Pomocí Markovova procesu řešte úlohu o mlsném hazardérovi. Hazardér má dvě kremrole a hází mincí. Padne-li orel vyhrává další kremroli, padne-li panna, musí jednu kremroli vrátit. Hra končí, jestliže má hazardér 5 kremroli nebo žádnou. Jaká je pravděpodobnost, že hra skončí nejpozději po 4 kolech?
Návod: Popište situaci jako Markovovův proces a napište vhodnou Markovovu matici M. Výslednou pravděpodobnost spočítejte pomocí maticového násobení.
Příklad. C. Leslieho populační model. Uvažujme populaci o třech generacích. To, jak se mění tato populace mění za délku období jedné generace popisuje tzv. Leslieho matice L. Čísla Ln, Li2 a L13 popisují porodnost první, druhé a třetí generace. Čísla L2i a -^32 udávají postupně, jaká část jedinců první generace přežije do 2. generace a jaká část jedinců 2. generace přežije do 3. generace. Ostatní prvky matice jsou nulové.
Označme Xi(t) počet jedinců i-té generace v čase t. (Období mezi t&t + l odpovídá výměně generací.) Ukažte, že platí
Napište Leslieho matici pro následující situaci: Farmář chová ovce. Jejich porodnost je dána pouze věkem a je průměrně 2 ovce na jednu ovci mezi jedním a dvěma lety věku, 4 ovce na jednu ovci mezi dvěma a třemi lety věku a 2 ovce na jednu ovci mezi třemi a čtyřmi roky věku. Ovce do jednoho roku nerodí. Z roku na rok umře vždy polovina ovcí a to rovnoměrně ve všech věkových skupinách. Po 4 letech posílá farmář ovce na jatka.
Příklad. 6. Matice A a B tvaru n x n jsou dány předpisem:
Vypočtěte, čemu se rovná jejich součin.
Návod: Napište si tyto matice například pro n = 6. Zkuste si provést jejich násobení. Pro obecné n spočtěte (A ■ B)^ zvlášť pro i < j a pro i > j.
Xi(t+ 1)
x2(t+l) x3(t+l)
)
íxi{t) L ■ x2(t) \x3(t)
)
Příklad. 7. Vypočtěte Bn, jestliže B
1   2n  3n(n — 1) 0    1 3n 0   0 1
3
/l   1 2
Příklad. 8. Vypočtěte Cn =   0  2 0
\0  0 3
Návod: Spočtěte si C2, C3 a C4. Pomocí toho si udělejte hypotézu, čemu se rovná Cn, a tu dokažte indukcí.