\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def \N{\mathbb N}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  4. cvičení z M1110 -- inverzní matice a LU rozklad, podzim 2024}
\end{center}
\bigskip

\begin{zad}{\bf 1A.\ } Pomocí zpětné Gaussovy eliminace spočtěte inverzní matici k matici $A$ a proveďte zkoušku.
$$A=\begin{pmatrix}
3&1&2\\
1&-1&-3\\
2&1 &2
\end{pmatrix}.$$ 
\end{zad}

\begin{res} $$A^{-1}=
\begin{pmatrix}
1&0&-1\\
-8&2&11\\
3&-1&-4
\end{pmatrix}$$
\end{res}

\medskip
\begin{zad}{\bf 1B.\ } Spočítejte LU rozklad matice $A$ z předchozí úlohy.
\end{zad}

\begin{navod} Chceme najít dolní trojúhelníkovou matici $L$ a horní trojúhelníkovou matici $U$ tak, že $A=L\cdot U$. Matici $U$ můžeme dostat  Gaussovou eliminací matice $A$ na schodovitý tvar bez použití  výměny řádků a násobení řádků.  Jestliže při úpravách od $i$-řádku odečítáme
$l_{ik}$ násobek $k$-tého řádku od $i$-tého řádku: 
$$ \text{new row}_i =\text{old row}_i-l_{ik}\text{row}_k,$$
pak $l_{ik}$ je člen matice $L$ v $i$-tém řádku a $k$-tém sloupci pro $i>k$, $l_{jj}=1$ a $l_{ij}= 0$ pro $i<j$. 
 \end{navod}

\begin{res} 
 $$L=\begin{pmatrix}
1&0&0\\
\frac13&1&0\\
\frac23&-\frac14&1
\end{pmatrix}, \quad
U=\begin{pmatrix}
3&1&2\\
0&-\frac43&-\frac{11}{3}\\
0&0&-\frac14
\end{pmatrix}$$
\end{res}

\medskip
\begin{zad}{\bf 1C.\ } Řešte soustavu 
$$\begin{array}{rcrcrcr}
3x&+&y&+&2z&=&a \\
x&-&y&- &3z&=&b \\
2x&+&y&+&2z&=&c\\
\end{array}$$
nejdříve pomocí znalosti inverzní matice a potom pomocí znalosti LU rozkladu. 

\end{zad}

\medskip
%příklad 2
\begin{zad}{\bf 2.\ } 
 Spočtěte inverzní matici k matici
$$\begin{pmatrix}
1&4&-2&3\\
2&9&3&-2\\
-1&-6 &-11&4\\
0&-1&-6&0
\end{pmatrix}.$$ 
Zkoušku proveďte aspoň částečně.
\end{zad}

\begin{res} Inverzní matice je
$$\begin{pmatrix}
154&-179&-205&235\\
-36&42&48&-55\\
6&-7 &-8&9\\
1&-1&-1&1
\end{pmatrix}.$$ 
\end{res}

\medskip
%příklad 3
\begin{zad}{\bf 3.\ }
Spočtěte inverzní matici k matici
$$\begin{pmatrix}
1&a&0&0&0\\
0&1&a&0&0\\
0&0 &1&a&0\\
0&0&0&1&a\\
0&0&0&0&1
\end{pmatrix}.$$ 
Proveďte zkoušku.
\end{zad}


\medskip
%příklad 4
\begin{zad}{\bf 4.\ }
Spočtěte inverzní matici k matici tvaru $n\times n$
$$\begin{pmatrix}
2-n&1&1&\dots&1&1\\
1&2-n&1&\dots&1&1\\
1&1 &2-n&\dots&1&1\\
.&.&.&\dots&.&.\\
1&2&1&\dots&2-n&1\\
1&1&1&\dots&1&2-n
\end{pmatrix}.$$ 
\end{zad}

\begin{navod} K 1. řádku přičtěte ostatní řádky. 
\end{navod}

\medskip
%příklad 5
\begin{zad}{\bf 5.\ }  Pomocí algoritmu pro výpočet inverzní matice dokažte:
\begin{enumerate}
\item Dolní troj[helníková matice $L$ má inverzní matici, právě když má na uhlopříčce pouze nenulová čísla.
\item Inverzní matice k dolní trojúhelníkové je dolní trojúhelníková.
\item Analogická tvrzení pro horní trojúhelníkové matice.
\end{enumerate}
\end{zad}

\medskip
%příklad 6
\begin{zad}{\bf 6.\ }  Najděte příklad matice $2\times 2$, která nemá LU rozklad.
\end{zad}

\medskip
%příklad 7
\begin{zad}{\bf 7.\ }  Pro matici 
$$B=\begin{pmatrix}
0&1&2\\
3&2&1\\
4&-1&2
\end{pmatrix}$$
najděte dolní trojúhelníkovou $L$, horní trojúhelníkovou $U$ a matici $P$, která má v každém řádku a sloupci právě jednu jedničku a jinak samé nuly
tak, že platí
$$P\cdot A=L\cdot U.$$
\end{zad}

\begin{navod} V matici $A$ provedeme permutaci řádků tak, abychom mohli provést LU rozklad. Permutace řádků odpovídá násobení nějakou maticí $P$ zleva.
\end{navod}

\end{document}