4. cvičení z Ml 110 - inverzní matice a LU rozklad, podzim 2024
Příklad. 1A. Pomocí zpětné Gaussovy eliminace spočtěte inverzní matici k matici A a proveďte zkoušku.
Řešení.
Příklad. 1B. Spočítejte LU rozklad matice A z předchozí úlohy.
Návod. Chceme najít dolní trojúhelníkovou matici L a horní trojúhelníkovou matici U tak, že A = L ■ U. Matici U můžeme dostat Gaussovou eliminací matice A na schodovitý tvar bez použití výměny řádků a násobení řádků. Jestliže při úpravách od i-řádku odečítáme lik násobek fc-tého řádku od i-tého řádku:
new rowj = old rowj — kkľowk,
pak lik je člen matice L v i-tém řádku a fc-tém sloupci pro i > k, Ijj = 1 aly = 0 pro i < j.
□
Řešení.
Příklad. 1C. Řešte soustavu
3x + y + 2z = a
x — y — 3z = b
2x + y + 2z = c
nejdříve pomocí znalosti inverzní matice a potom pomocí znalosti LU rozkladu. Příklad. 2. Spočtěte inverzní matici k matici
/l 4	-2	3\
2 9	3	-2
-1 -6	-11	4
\0 -1	-6	
Zkoušku proveďte aspoň částečně.
i
2
Řešení. Inverzní matice je
		/154	-179 -205	235 \
		-36	42 48	-55
		6	-7 -8	9
		l 1	-1 -1	1 /
Příklad. 3. Spočtěte inverzní matici k matici				
			/l   a  0   0 (A	
			0   1   a  0 0	
			0   0   1   a 0	
			0   0   0   1 a	
			\0  0  0  0 1/	
Proveďte zkoušku.				
Příklad. 4. Spočtěte inverzní matici k matici tvaru n				x n
	/2-n	1	1	1
	1	2-71 1		1
	1	1	2-n ...	1
	1	2	1     ... 2	— n
	v 1	1	1	1
□
1 \
1 1
□
Návod. K 1. řádku přičtěte ostatní řádky.
Příklad. 5. Pomocí algoritmu pro výpočet inverzní matice dokažte:
(1) Dolní troj[helníková matice L má inverzní matici, právě když má na úhlopříčce pouze nenulová čísla.
(2) Inverzní matice k dolní trojúhelníkové je dolní trojúhelníková.
(3) Analogická tvrzení pro horní trojúhelníkové matice.
Příklad. 6. Najděte příklad matice 2x2, která nemá LU rozklad. Příklad. 7. Pro matici
/O    1 2N
5=3    2 1
V4  -1 2,
najděte dolní trojúhelníkovou L, horní trojúhelníkovou U a matici P, která má v každém řádku a sloupci právě jednu jedničku a jinak samé nuly tak, že platí
P ■ A = L ■ U.
Návod. V matici A provedeme permutaci řádků tak, abychom mohli provést LU rozklad. Permutace řádků odpovídá násobení nějakou maticí P zleva. □