\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def \Q{\mathbb Q}
\def \K{\mathbb K}
\def \N{\mathbb N}
\def \Z{\mathbb Z}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  5. cvičení z M1110 - vektorové prostory a lineární zobrazení, podzim 2024}
\end{center}
\bigskip

\begin{zad}{\bf 1.} Zopakujte si, že $\K^n$ je vektorový prostor nad $\K$ pro $\K=\Q$, $\R$, $\C$.  Ukažte, že $\C^n$ je také vektorový prostor nad $\R$. 
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 2.\ } Ukažte, že každá reálná matice $A$ tvaru $k\times n$ zadává lineární zobrazení
$$\varphi:\R^n\to \R^k, \varphi \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}=A\cdot \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}.$$
Platí i obrácené tvrzení, každé lineární zobrazení z $R^n$ do $\R^k$ lze psát pomocí násobení maticí tak, jak je uvedeno výše. To si ale dokážeme později.
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 3.\ } Ukažte, že následující množiny lze opatřit vhodnou operací sčítání a násobení skalárem tak, aby se s těmito operacemi staly vektorovými prostory nad $\R$ nebo $\C$.
\begin{enumerate}
\item[(a)] Množina $\R[x]$ všech polynomů s reálnými koeficienty. 
\item[(b)] Množina $\C_s[x]$ všech polynomů s komplexními koeficienty stupně nejvýše $s$.
\item[(c)] Množina $\operatorname{Mat}_{k\times n}(\R)$ matic tvaru $k\times n$ s reálnými čísly.
 \item[(d)] Množina $\{f:\N\to \R\}$ všech posloupností reálných čísel.
 \item[(e)] Množina  $\{f:M\to \C\}$ všech zobrazení nějaké neprázdné množiny $M$ do komplexních čísel.
\end{enumerate}
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 4.\ } Rozhodněte, zda následující zobrazení mezi vektorovými prostory jsou li\-neár\-ní. 
\begin{enumerate}
\item[(a)] $\varphi:\R^2\to \R,\ \varphi(x_1,x_2)=2x_1+x_1x_2$,
\item[(b)] $\varphi:\R^2\to\R^3,\ \varphi (x_1,x_2)=(2x_1-3x_2, 5x_2, x_1-x_2)$,
\item[(c)] $\varphi:\R_3[x]\to\R^2,\ \varphi(p)=(p(1),p(2)^2)$,
\item[(d)] $\varphi:\R_3[x]\to\R^2,\ \varphi(p)=(p(1), p(2))$.
\end{enumerate}
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 5.\ } Ukažte, že množina $U=\R^3$ s operacemi
$$(x_1,x_2,x_3)+(y_1,y_2,y_3)=(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3),\quad a\odot(x_2,x_2,x_3)=
(ax_1,x_2,x_3)$$
není vektorový prostor. Zjistěte, které axiomy vektorového prostoru jsou splněny a které nikoliv.
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 6.\ } Ukažte, že množina
$$U=(0,\infty)$$
společně s operacemi
$$x\oplus y=xy,\quad a\odot x=x^a$$
tvoří vektorový prostor nad $\R$.
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 7.\ } Ukažte, že exponenciální funkce $x\mapsto 2^x:\R\to (0.,\infty)$ je lineární zobrazení vektorového prostoru
$(\R,+,\cdot)$ do vektorového prostoru $(U=(0,\infty), \oplus,\odot)$ z předchozího příkladu. Najděte nějaké lineární zobrazení, které vede z $U$ do $\R$. 
\end{zad} 






\end{document}

