5. cvičení z Ml 110 - vektorové prostory a lineárni zobrazení, podzim 2024
Příklad. 1. Zopakujte si, že Kn je vektorový prostor nad je také vektorový prostor nad IR.
pro
C. Ukažte, že Cr
(X1\		(Xl\
x2	= A ■	x2
		
\xnJ		\xnJ
Příklad. 2. Ukažte, že každá reálná matice A tvaru k x n zadává lineární zobrazení
Platí i obrácené tvrzení, každé lineární zobrazení z Rn do IRfc lze psát pomocí násobení maticí tak, jak je uvedeno výše. To si ale dokážeme později.
Příklad. 3. Ukažte, že následující množiny lze opatřit vhodnou operací sčítání a násobení skalárem tak, aby se s těmito operacemi staly vektorovými prostory nad IR nebo C.
(a) Množina M.[x] všech polynomů s reálnými koeficienty.
(b) Množina Cs[x] všech polynomů s komplexními koeficienty stupně nejvýše s.
(c) Množina Matfcxn(IR) matic tvaru k x n s reálnými čísly.
(d) Množina {/ : N —> IR} všech posloupností reálných čísel.
(e) Množina {/ : M —> C} všech zobrazení nějaké neprázdné množiny M do komplexních čísel.
Příklad. 4. Rozhodněte, zda následující zobrazení mezi vektorovými prostory jsou lineární.
(a) p
(b) ip
(c) lf
(d) ip
i2 -> h [x] -> h [x] ->
3, ip(xux2)
2, PÍP) = 2, <P(P) =
- 2xi + x±x2,
= (2xi — 3x2,5x2,x1
(P(1),P(2)2), (p(l),p(2)).
X2)
Příklad. 5. Ukažte, že množina U = M3 s operacemi
(xu x2, x3) + (í/i, y2, y3) = (xx + yľ, x2 + y2, x3 + y3),    a Q (x2, x2, x3) = (ax1, x2, x3)
není vektorový prostor. Zjistěte, které axiomy vektorového prostoru jsou splněny a které nikoliv.
Příklad. 6. Ukažte, že množina společně s operacemi tvoří vektorový prostor nad I
U = (0,oo) x © y = xy,    a Q x = xa
Příklad. 7. Ukažte, že exponenciální funkce x i—> 2X : IR —> (0., oo) je lineární zobrazení vektorového prostoru (IR, +, •) do vektorového prostoru (U = (0, oo), ©, 0) z předchozího příkladu. Najděte nějaké lineární zobrazení, které vede z U do IR.
i