9. cvičení z Ml 110 - lineárni zobrazení, podzim 2024
Příklad. 1. Ve vektorovém prostoru IR3 uvažujme bázi ui = (1, 0,1), u2 = (0,1,1), u3 = (1,1,1). Nechť p : IR3 —> IR3 je lineární zobrazení, o němž víme, že
V?(«i) = Ui, if{u2) = u3, p(ll3) = u2.
Najděte matici A tvaru 3x3 tak, aby v souřadnicích standardní báze bylo p{x) = Ax.
Příklad. 2. Nechť p je zobrazení IR3 do sebe, které je symetrií podle roviny xi — x3 = 0.
(1) Najděte matici B takovou, že v souřadnicích standardní báze je p(x) = Bx.
(2) Najděte všechny vektory ííéI3 takové, že platí ip{u) = u.
(3) Najděte všechny vektory t)Gl3 takové, že platí ip{v) = —v.
(4) Předchozí vektory se nazývají vlastní vektory. Ukažte, že mezi nimi lze najít bázi celého M3.
Příklad. 3. Najděte bázi jádra a obrazu lineárního zobrazení : K4 pisem
x2
x3
w
-2xľ + x2 - x3 xi + 2x-2 + 3x3 + 5x4 2xi + 3x2 + 5x3 + 8x4
zadaného před-
Příklad. 4. Najděte nějaké lineární zobrazení /' :
takové, že
ker /
a   im /
Příklad. 5. Nechť je lineární zobrazení <p : M4 —> IR3 zadáno svými hodnotami na vektorech báze prostoru IR4.
p(l, 2, 2, 2) = (1, -5,4), p(0,1, 2, 2) = (1,2, -3), ^(0, 0,1, 2) = (2, -3,1), ^(0,0,0,1) = (-3,1,2). Najděte bázi jeho jádra a obrazu.
Příklad. 6. Napište konkrétní předpis lineárního zobrazení F : Mi0o [x] —>
že dimker F = 70.
p 50
takového,
Příklad. 7*. Nechť p : U —> V je lineární zobrazení a uľ, u2, uk E U. Dokažte: Jsou-li <p(ui), <p(u2), • ■ ■, p(uk) E V lineárně nezávislé, pak jsou rovněž u1}u2,... ,uk E U lineárně nezávislé.
1