10. cvičení z M1110 - matice lineárního zobrazení,vlastní vektory, podzim 2024
Příklad. 1. Nechť tp : JH3[x] —ř IR4[:r] je lineární zobrazení zadané předpisem
(p(p) = (x2 + l)p'(x),
kde p' je derivace polynomu p. Najděte matici (<p)p,a zobrazení tp v bázích a = (l,x,x2, x3) prostoru M.3[x] a (3 = (x4, x3, x2, x, 1) prostoru IR4[:r]. (Pozor na pořadí vektorů v bázi.)
Příklad. 2. Nechť tp je zobrazení IR3 do sebe, které je symetrií podle roviny xi + 2x2 — x% = 0. Pomocí geometrické představy o tomto zobrazení najděte všechny vlastní vektory k vlastnímu číslu 1 a všechny vlastní vektory k vlastnímu číslu -1. Potom najděte podle definice matici = A tohoto zobrazení v bázi a složené z vlastních vektorů. Dále
podle definice najděte matici (<p)e,e = B ve standardní bázi prostoru IR3.
Příklad. 3. Najděte podle definice matici lineárního zobrazení tp : IR3 —>• IR3 zada-
ného předpisem
/5 2  -3\ fxA
ip(x) =4 5  -4 \ \x2\
\6 4  -A) \x3J
vbázia = ((l,l,2f,(l,0,lf,(l,2,2f).
Příklad. 4. Najděte podle definice matici lineárního zobrazení tp : IR3 —>• IR2 zadaného předpisem
(id)Qia a (id)^.
Příklad. 6. Nechť lineární zobrazení tp : Mat2X2(K) —> IR2M má v bázích
a = ((o i) ' (o i) ' (i i) ' (2 l) )
a
/3 = (x2 - 2x + 3, x + 2, 2x2 - 1)
matici
/ 1    2    3 4\ (ip)^ =-12    0    1 . \2    1   -1 3/
Najděte předpis
fa b\ V{c d)=---
1