11. cvičení z Ml 110 - matice lineárního zobrazení a matice přechodu, podzim 2024
Příklad. 1. Najděte matici přechodu (id)^ mezi bázemi a = (x2 +
a (3 = (x2 + 2, x2 — x — 1, x + 1) prostoru B^rc].
Spočtěte ji prvně přímo z definice a potom pomocí matic přechodu (id)£)Q, a (id)£)/g, kde
Uvědomte si na tomto příkladě, že s maticemi přechodu se počítá jinak s bázemi a jinak se souřadnicemi. S bázemi zapisovanými do řádku takto:
ale se souřadnicemi vektorů takto:
Napište analogické vztahy pro matice obecných lineárních zobrazení.
Příklad. 2. Na některém z předchozích cvičení jsme hledali matici lineárního zobrazení ip : IR3 —> IR2 zadaného předpisem
v bázích a = ((1, 0,1)T, (1,1, 2)T, (1,-1, 2)T) a (3 = ((1, 2)T, (2, 3)T) přímo z definice. Tentokrát ji spočítejte pomocí "vzorečku" s maticemi přechodu, kde se vyskytují standardní báze K3aM2.
Příklad. 3. Najděte předpis pro složené zobrazení ip o tp : IR3 —y IR3
dvou lineárních zobrazení tp : IR3 —> IR2 a ip : IR2 —> IR3 zadaných na vektorech bází takto:
Příklad. 4. Dokažte, že pokud má markovovská matice (její prvky jsou nezáporná čísla a součet prvků v každém sloupci je roven jedné) reálné vlastní číslo, je toto číslo rovno jedné. Najděte vlastní vektor k vlastnímu číslu 1 markovovské matice
□
1/2 1/3 1/5 1/4 1/3 3/5 1/4  1/3 1/5
2
Řešení. Vlastní vektory k vlastnímu číslu 1 jsou p(100,105, 75)T. □